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CALCUL ALGÉBRIQUE | ALGÈBRE ENSEMBLISTE | CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
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CALCUL SPINORIEL

L'algèbre est la science du calcul des grandeurs ou structures représentées par des lettres (Larousse).

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-01-31 10:12:10 | {oUUID 1.687}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Dans la section d'Arithmétique de ce site, nous avons beaucoup écrit sur différents théorèmes utilisant les nombres abstraits afin de généraliser l'étendue de la validité de ces derniers. Nous avons cependant peu abordé la façon dont nous devions manipuler ces nombres abstraits. C'est ce que nous allons voir maintenant.

Comme vous le savez peut-être déjà, le nombre peut être envisagé en faisant abstraction de la nature des objets qui constituent le groupement qu'il caractérise et ainsi qu'à la façon de codifier (chiffre arabe, romain, ou autre système...). Nous disons alors que le nombre est un "nombre abstrait" et lorsque nous manipulons ces types d'objets nous disons que nous faisons du "calcul algébrique" ou encore du "calcul littéral".

Définition: Le "calcul littéral" consiste à calculer avec des variables (c'est-à-dire avec des lettres) comme on le ferait avec des nombres.

Pour les mathématiciens il n'est souvent pas avantageux de travailler avec des valeurs numériques (1,2,3...) car ils représentent uniquement des cas particuliers. Ce que cherchent les physiciens, ingénieurs ainsi que les mathématiciens, ce sont des relations applicables universellement dans un cadre le plus général possible.

Ces nombres abstraits appelés aujourd'hui communément "variables" sont très souvent représentés par l'alphabet latin (pour lequel les premières lettres de l'alphabet latin a, b, c, ... désignent souvent les nombres connus, et les dernières x, y, z, ... les nombres inconnus.), l'alphabet grec (aussi beaucoup utilisé pour représenter des opérateurs mathématiques plus ou moins complexes) et l'alphabet hébraïque (dans une moindre mesure)

Bien que ces symboles puissent représenter n'importe quel nombre, il en existe cependant quelques-uns aussi bien en physique ou en mathématique qui peuvent représenter des constantes dites Universelles (vitesse de la lumière c, la constante gravitationnelle G, la valeur Pi, le nombre d'Euler, ...).

Une variable est donc susceptible de prendre des valeurs numériques différentes. L'ensemble de ces valeurs peut varier suivant le caractère du problème considéré.

Rappels (nous avions déjà défini cela dans le chapitre traitant des Nombres dans la section d'Arithmétique):

R1. Nous appelons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques qu'elle est susceptible de prendre entre deux bornes.

Soit  a et b deux nombres tel que a<b. Alors:

R2. Nous appelons "intervalle fermé d'extrémités a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris entre ces deux valeurs et nous le désignons de la façon suivante: 

  (8.1)

R3. Nous appelons "intervalle ouvert d'extrémités a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons de la façon suivante: 

  (8.2)

R4. Nous appelons "intervalle fermé à gauche, ouvert à droite" la relation suivante:

  (8.3)

R5. Nous appelons "intervalle ouvert à gauche, fermé à droite" la relation suivante:

  (8.4)

Remarque: Si la variable peut prendre toutes les valeurs négatives et positives possibles nous écrivons dès lors:  où le symbole "" signifie "infini". Évidemment il peut y avoir des combinaisons d'intervalles ouvert et infini à droite, fermé et limité à gauche et réciproquement.

Définition: Nous appelons "voisinage de a", tout intervalle ouvert de  contenant a (c'est un concept simple que nous reprendrons pour définir ce qu'est une fonction continue). Ainsi:

  (8.5)

est un voisinage de a.

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS

L'algèbre élémentaire consiste à partir des définitions de l'addition, soustraction, multiplication, et puissance et de leurs propriétés (associativité, distributivité, commutativité, élément neutre, inverse, ...) - ce qui constitue selon l'ensemble sur lequel nous travaillons un corps ou un groupe commutatif abélien ou non (cf. chapitre Théorie des Ensembles) - à manipuler selon un but fixé des "équations algébriques" mettant en relation des variables et constantes.

Nous allons définir de suite après ce qu'est une équation et une inéquation mais nous souhaitons d'abord définir certaines de leurs propriétés:

Soit A et B deux polynômes (ou monômes) quelconques - voir définitions un peu plus loin - les expressions:

  (8.6)

Vérifient les propriétés suivantes:

P1. Nous pouvons toujours ajouter ou ôter aux deux membres d'une inéquation ou équation un même polynôme en obtenant une inéquation ou équation équivalente (c'est à dire avec les mêmes solutions ou réductions). Nous disons alors que l'égalité ou l'inégalité restent "vraies" par l'opération d'addition ou de soustraction membre à membre.

P2. Si nous multiplions ou si nous divisons les deux membres d'une équation ou inéquation par un même nombre positif nous obtenons également une inéquation ou équation équivalente (nous avons déjà vu cela). Nous disons alors que l'égalité ou l'inégalité reste "vraie" par l'opération de multiplication ou division membre à membre.

P3. Si nous multiplions ou si nous divisons les deux membres d'une inéquation par un même nombre négatif et si nous inversons le sens de l'inégalité, nous obtenons alors une inéquation ou équation équivalente.

ÉQUATIONS

Définition: Une "équation" est une relation d'égalité entre des valeurs toutes abstraites (autrement dit: deux expressions algébriques) ou non toutes abstraites (dès lors nous parlons d'équations à une inconnue, deux inconnues, trois inconnues, ... ) reliées entre elles par des opérateurs divers.

La maîtrise parfaite de l'algèbre élémentaire est fondamentale en physique-mathématique et dans l'industrie!!! Comme il existe une infinité de types d'équations, nous ne les présenterons pas ici. C'est le rôle de l'enseignant/formateur dans les classes d'entraîner le cerveau de son auditoire pendant plusieurs années (2 à 3 ans en moyenne) à résoudre énormément de configurations différentes d'équations algébriques (exposées sous forme de problèmes de tous les jours, géométriques ou purement mathématiques) et ce afin que les élèves manipulent ces dernières sans erreurs en suivant un raisonnement logique et rigoureux (ce n'est qu'en forgeant que l'on devient forgeron...)!!!

En d'autres termes: Un professeur/formateur et un établissement ad hoc sont irremplaçables pour acquérir un savoir et avoir un retour d'expérience!!!

Nous avons tenté, ci-dessous, de faire une généralisation simpliste des règles de base de l'algèbre élémentaire. Cette généralisation sera d'autant plus simple à comprendre que le lecteur aura l'habitude de manipuler des quantités abstraites:

Ainsi, soit a, b, c, d, e, ..., x, y des nombres abstraits pouvant prendre n'importe quelle valeur numérique (nous restons dans le cadre des nombres classiques scolaires et industriels...).

Soit (la lettre majuscule grecque se prononçant "Xi") représentant un ou plusieurs nombres abstraits (variables) opérants entre eux d'une façon quelconque tel que nous ayons des monômes (un seul nombre abstrait) ou polynômes (poly = plusieurs) algébriques différents distinguables ou non (nous faisons donc ici une sorte d'abstrait de l'abstraction ou si vous préférez une variable de plusieurs variables).

Propriétés (il s'agit plus d'exemples au fait que de propriétés...):

P1. Nous aurons toujours  si et seulement si le terme  à gauche de l'égalité représente le même terme que celui qui est à droite de l'égalité. Si cette condition est satisfaite nous avons alors:

  (8.7)

Sinon: 

  (8.8)

où nous excluons donc les cas où tous les sont identiques entre eux (sinon nous revenons à P1).

P2. Nous avons:

  (8.9)

qui vérifie la symbolique de l'équation  dans le cas seulement où les éléments sont identiques entre eux (nous excluons bien évidemment le cas avec dénominateur nul).

Nous avons sinon dans le cas où tous les sont strictement différents: 

    (8.10)

Nous pouvons avoir:

    (8.11)

dans le cas où une simplification (ou non) des termes contenus dans les amène à une identité de la relation binaire (non nécessairement égale à l'unité).

P3. Si tous les sont strictement identiques, alors:

    (8.12)

Sinon nous avons:

    (8.13)

qui ne peut s'écrire sous forme condensée simple. Il peut aussi arriver que:

  (8.14)

avec le à droite de l'égalité identique à aucun, un ou encore plusieurs  du membre gauche de l'égalité.

P4. Nous pouvons avoir:

    (8.15)

sans que nécessairement les exposants du numérateur ou dénominateur soient égaux (nous excluons le dénominateur nul).

Sinon nous pouvons avoir:

ou      (8.16)

mais il n'est cependant bien évidemment pas impossible d'avoir quand même  ou  (nous excluons le cas avec dénominateur nul).

P5. Nous avons si tous les sont strictement identiques aux dénominateurs:

    (8.17)

Mais... il est également possible que dans l'expression précédente certains différents s'annulent cependant entre eux dès que leur division mutuelle est égale à l'unité (nous excluons le dénominateur nul).

Si tous les de la relation précédente sont identiques, la relation est égale à l'unité.

Sinon nous avons:

   (8.18)

mais il n'est cependant pas impossible d'avoir quand même:

  (8.19)

avec le à droite de l'égalité identique à aucun, un ou plusieurs  du membre gauche de l'égalité ou même il est tout à fait possible d'avoir:

  (8.20)

P6. Soit représentant indifféremment soit exclusivement l'addition ou exclusivement la soustraction nous avons (au signe près): 

  (8.21)

si tous les sont identiques entre eux ou si la combinaison d'un nombre indéterminés de sont égaux au présent à droite de l'égalité.

Sinon quoi nous aurons:

  (8.22)

il peut cependant arriver que le à droite de l'égalité soit identique à aucun, un ou plusieurs  du membre gauche de l'égalité.

Nous pouvons également avoir: 

  (8.23)

si et seulement si les sont tous égaux (ou décomposable égaux) et les puissances non nécessairement égales.

A partir de la connaissance des ces 7 règles/exemples de base, nous pouvons résoudre, simplifier ou montrer qu'une équation simple possède des solutions ou non par rapport à un problème ou énoncé donné. 

Ainsi, soit  une opérande ou une suite d'opérations quelconques sur une ou des abstractions d'abstrait et parmi tous les , une (ou plusieurs) dont la ou les valeurs numériques est ou sont inconnues (les autres étant connues). Alors, nous devons pouvoir trouver ou démontrer qu'une équation du type:

  (8.24)

Dans le cas d'une équation avec la valeur absolue (cf. chapitre Opérateurs Arithmétiques) du type:

  (8.25)

avec le deuxième membre strictement positif (sinon la relation précédente serait un non sens) cela équivaut bien sûr d'après la définition de la valeur absolue à écrire:

et   (8.26)

Nous pouvons parfois avoir à résoudre (et non à simplifier) un "système d'équations". Qu'est-ce que c'est?: C'est un ensemble d'au moins 2 équations à résoudre (et non à simplifier!). La particularité du système?: L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions de toutes les équations à résoudre. Quel est son utilité ?: Elle est sans fin, ces systèmes permettent de résoudre des problèmes faisant intervenir des applications des mathématiques à d'autres domaines. A cause de la variété illimitée des applications, il est difficile d'établir des règles précises pour trouver des solutions. La marche à suivre que voici peut être utile pour autant bien sûr que le problème puisse être formulé sous forme d'équations:

1. Si le problème est posé par écrit, le lire plusieurs fois soigneusement, réfléchir aux faits donnés ainsi qu'à la quantité d'inconnues à trouver (résumer l'énoncé sur une feuille de papier est souvent plus qu'utile pour les gros problèmes!).

2. Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue. C'est l'un des pas décisifs dans la recherche de la solution. Des phrases contenant des mots comme: trouver, quoi, combien, où, quand ; devraient vous renseigner sur la quantité inconnue.

3. Faire éventuellement un dessin (de tête ou sur papier) avec des légendes.

4. Dresser une liste des faits connus et des relations concernant les quantités inconnues. Une relation peut être décrite par une équation dans laquelle apparaissent d'un seul ou des deux côtés du signe égal des énoncés écrits à la place des lettres ou des nombres.

5. Après avoir analysé la liste de l'étape 4, formuler une ou plusieurs équations qui décrivent précisément ce qui est énoncé avec des mots.

6. Résoudre l'équation ou le système d'équation(s) formulée(s) à l'étape 5.

7. Contrôler les solutions obtenues à l'étape 6 en se reportant à l'énoncé de départ du problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l'énoncé.

Les méthodes de résolutions des systèmes d'équations sont traitées en détails dans le chapitre de Méthodes Numériques (vous y verrez la méthode) et également dans le chapitre d'Algèbre linéaire de la présente section (vous y comprendrez pourquoi la méthode est telle quelle).

INÉQUATIONS

Précédemment nous avons vu qu'une équation était une égalité composée de différents calculs avec différents termes (dont au moins une "inconnue" ou un "chiffre abstrait"), et que "résoudre" une équation revenait à calculer la valeur de l'inconnue de l'égalité, alors que la "simplifier" revenait à minimiser mathématiquement le nombre de termes (en factorisant ou autre..) et que développer revenait à mettre à plat tous les termes.

Pourquoi avons-nous besoin de rappeler la définition d'une équation ? Tout simplement parce que pour l'inéquation, c'est le même système. La différence ? Si l'équation est une égalité, l'inéquation est une inégalité: comme l'équation, l'inéquation est composée de différents calculs avec différents termes reliés entre eux par des opérateurs quelconques, dont au moins une inconnue.

Différence entre égalité et inégalité:

- Egalité: Symbolisée par le signe =

- Inégalité: Symbolisée par les relations d'ordre d'égalités strictes et larges .

Lorsque nous résolvons une inéquation, notre inconnue peut-avoir un intervalle de valeurs qui satisfont à l'inéquation. Nous disons alors que la solution de l'inéquation est un "ensemble de valeurs". C'est la différence fondamentale entre une égalité (plusieurs solutions) et une inégalité (intervalle de solutions) !

Rappelons les signes que nous pouvons rencontrer dans une inéquation:

: Se lit "strictement inférieur à" ou "strictement plus petit que". Dans ce cas, le plus souvent, la valeur butoir numérique n'est pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à droite ...[ selon que la valeur butoir est positive ou négative.

: Se lit "strictement supérieur à" ou "strictement plus grand que". Dans ce cas, le plus souvent, la valeur butoir numérique n'est également pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à droite ...[ selon que la valeur butoir est positive ou négative.

: Se lit "inférieur ou égal à "ou "plus petit ou égal à". Dans ce cas, la valeur butoir numérique est comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet fermé à gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la valeur butoir est positive ou négative.

: Se lit "supérieur ou égal à" ou "plus grand ou égal à" . Dans ce cas, la valeur butoir numérique est également comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet fermé à gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la valeur butoir est positive ou négative.

L'objectif des inéquations est la plupart du temps (excepté le côté esthétique) d'avoir au moins parmi l'ensemble des termes une valeur numérique qui permet de définir le domaine de solution (de tous les termes abstraits de l'inéquation) qui satisfait l'inéquation.

Il existe plusieurs façons de représenter les domaines de définition des variables qui satisfont à l'inéquation. Nous allons voir à travers un petit exemple quelles sont ces possibilités:

Soit une inéquation linéaire (du premier degré) en x à une seule inconnue à laquelle nous imposons une contrainte particulière arbitraire pour l'exemple (évidemment l'expression peut contenir plus de termes...):

  (8.27)

nous avons dans l'inéquation ci-dessus déjà simplifié tous les termes qui étaient superflus.

Résoudre l'inégalité revient à chercher les valeurs de x inférieures à 2. Bien sûr, il n'existe pas une seule solution dans  mais un ensemble (intervalle) de solutions et c'est cela même le principe des inéquations!

Pour résoudre l'inéquation, nous observons d'abord le type d'inégalité imposée ("stricte" ou "égal"). Ensuite, dans les petites classes (et pas seulement parfois...) nous représentons l'ensemble traditionnellement par un tableau tel que:

-	0	+
...................	......|......	...................

Tableau: 8.1  - Résolution d'inéquation

Nous savons intuitivement que la solution de notre inéquation regroupe toutes les valeurs inférieures à 2 (2 exclu des solutions) et ce jusqu'à -. Nous écrivons alors cet intervalle ou domaine sous la forme suivante:

  (8.28)

Ensuite, nous pouvons représenter graphiquement l'ensemble des solutions (cela aide à comprendre et prépare l'étudiant à la résolution de systèmes d'équations et d'inéquations et aux variations de fonctions). Pour cela, nous reprenons le modèle de schéma du système numérique, et y plaçons notre valeur butoir (nous n'en avons qu'une dans cet exemple mais parfois il peut y en avoir plusieurs dû au fait qu'il y a une singularité ou des racines pour certaines valeurs du domaine de définition), soit 2:

-	0	2	+
...................	......|......	......|......	...................

Tableau: 8.2  - Construction des points particuliers de l'inéquation

et enfin, nous délimitons au stylo de couleur (...) l'ensemble des solutions de - à 2 exclu:

-	0	2	+
...................	......|......	......[......	...................

Tableau: 8.3  - Mise en place du type de bornes de l'inéquation

A la valeur 2, nous n'oublions pas de marquer le signe ....[ pour montrer que cette valeur est exclue des solutions. Et voilà, le tour est joué et le concept est extrapolable à des inéquations beaucoup plus complexes.

Nous pouvons également (au même titre que les équations) parfois avoir à résoudre un "système d'inéquations". Qu'est-ce que c'est?: C'est un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre. La particularité du système?: L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions des toutes les inéquations à résoudre.

Autrement dit, la méthode est la même que la précédente, à la différence près que notre tableau (représentant les domaines de solutions) comportera une ligne supplémentaire par inéquation supplémentaire dans le système plus une ligne de synthèse qui est la projection des domaines de solutions possibles du système.

Ainsi, un système à n inéquations aura un tableau récapitulatif à  lignes.

Mathématiquement, les domaines (car il peut y en avoir plusieurs qui sont disjoints) peuvent s'écrire comme un ensemble de domaines:

  (8.29)

Les systèmes d'inéquations sont très fréquents dans beaucoup de problèmes de la mathématique, physique, économétrie, etc... Il est donc important de s'entraîner à les résoudre pendant vos études avec l'aide de votre professeur.

Par exemple, voici une possible représentation du domaine de solutions d'un système d'inéquations pris du chapitre de Méthodes Numériques où nous étudions la "recherche opérationnelle".

Figure: 8.1 - Représentation graphique plane d'un système d'inéquations

IDENTITÉS REMARQUABLES

Les identités remarquables sont des sortes de relations magiques, qui nous servent le plus souvent pour la factorisation ou la résolution d'équations algébriques.

Rappelons certaines notions qui ont déjà été vues dans le chapitre de théorie des ensembles de la section d'arithmétique (nous supposons le concept d'élément neutre connu puisque déjà défini):

Commutativité: 

 et   (8.30)

Associativité: 

 et   (8.31)

Distributivité: 

  (8.32)

Les mêmes observations sont valables avec l'opération de soustraction bien évidemment dans les domaines de définition adéquats.

Nous pouvons vérifier avec des valeurs numériques (en remplaçant chaque nombre abstrait par un nombre choisi au hasard), ou par développement (ce serait mieux, ainsi vous êtes sûr d'avoir compris ce dont quoi nous parlions), que les identités algébriques suivantes sont vérifiées (ce sont les plus connues):

1. Identité du second degré:

  (8.33)

2. Identité du troisième degré:

  (8.34)

Remarque: Nous pouvons très bien poser que   où nous avons bien évidemment posé que (nous faisons un "abstrait d'abstraction" ou plus couramment: un "changement de variable")...:

  (8.35)

Nous pouvons remarquer ainsi qu'en toute généralité, pour calculer le développement de , nous utilisons le développement de , c'est-à-dire calculé avec la valeur précédente de n.

Nous remarquons les propriétés suivantes pour a et b:

P1. Les puissances de a décroissent de n à 0 (, donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P2. Les puissances de b croissent de 0 à n (, donc il n'est pas noté dans le premier terme)

P3. Dans chaque terme, la somme des puissances de a et b est égale à n

P4. Les coefficients multiplicateurs devant chaque terme se calculent en faisant la somme des coefficients multiplicateurs de deux termes du développement obtenu avec la valeur précédente de n (voir la figure ci-dessous).

Les coefficients binomiaux peuvent alors être obtenus par construction du "triangle de Pascal" ci-dessous:

Figure: 8.2 - Construction à la main du triangle de Pascal

Dont chaque élément est donné par (cf. chapitre de Probabilités):

    (8.36)

avec .

Nous pouvons alors démontrer que:

  (8.37)

ce qui constitue le fameux "binôme de Newton" (que nous réutiliserons à de multiples endroits sur le site) ou appelé aussi "théorème binomial".

Démonstration:

Cette relation se démontre simplement par récurrence en supposant la relation précédente vraie et en la calculant pour le rang 1:

  (8.38)

Montrons que si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1:

  (8.39)

La relation est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout n.

C.Q.F.D.

Pour ce qui est des identités remarquables avec des valeurs négatives, il est inutile d'apprendre par coeur l'emplacement du signe "-". Il suffit de faire un changement de variable et une fois le développement fait de refaire le changement de variable dans l'autre sens.

Exemple:

  (8.40)

et ainsi de suite pour toute puissance n.

Nous pouvons bien sûr mélanger les genres tels que (fameux exemple particulier):

  (8.41)

et quelques relations remarquables pratiques supplémentaires qui sont souvent utilisées dans les petites classes pour les exercices:

  (8.42)

et autre cas très fréquent:

  (8.43)

Bien sûr, il y a encore un beaucoup plus grand nombre de relations utiles (dont une partie découle d'une généralisation de celles présentées ci-dessus) que le lecteur découvrira par ses propres raisonnements et en fonction de sa pratique.

POLYNÔMES

Définition (simpliste): Nous appelons "polynôme algébrique P(x)" une fonction de degré qui s'écrit:

  (8.44)

ou de façon plus condensée par:

  (8.45)

Définition (ensembliste): Soit k un anneau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) et ., "l'anneau des polynômes" en n indéterminées (ou variables) est construit à partir d'un polynôme élémentaire, appelé "monôme" de la forme:

  (8.46)

où est le "coefficient du monôme", sont des entiers et où forme la "partie littérale du monôme". Ainsi, par construction, un polynôme est une somme d'un nombre fini de monômes appelés alors "termes du polynôme".

Ainsi, le cas particulier commun utilisé dans les petites classes et présenté au début est k[X], c'est-à-dire l'anneau des polynômes à une variable à coefficients dans k. Tout élément de k[X] s'écrit donc:

    (8.47)

avec  et .

Définition: Nous nommons "racine" ou "zéro de polynôme", la ou les valeurs x telles que "l'équation polynomiale" soit satisfaite à la condition qu'au moins un des  avec soit non nul.

Si le polynôme admet une ou plusieurs racines nous pouvons alors factoriser ce dernier sous la forme (nous le démontrerons rigoureusement de manière générale plus loin):

  (8.48)

afin que quand x prend la valeur d'une des racines, l'expression ci-dessus soit nulle. C'est ce que nous appelons par convention "factoriser un polynôme".

Les identités algébriques sont des formes particulières de fonctions polynomiales. Considérons une constante c et une variable x et:

  (8.49)

Nous voyons que si nous posons:

  (8.50)

nous retrouvons:

  (8.51)

Définition: Le "coefficient dominant" d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut degré.

DIVISION EUCLIDIENNE DES POLYNÔMES

Plaçons nous à présent dans l'anneau k[X]. Si , nous notons deg(P) le degré du polynôme P(X) à coefficients dans un anneau k (les réels ou les complexes... peu importe!)

Remarque: Par convention,

Soit:

  (8.52)

avec .

Alors il existe deux polynômes uniques  tels que:

    (8.53)

et:

  (8.54)

Démonstration:

Si u(X) = 0 le résultat est évident. Supposons que  et montrons l'existence par récurrence sur le degré k de u(X).

Si k = 0 alors q(X) = 0 (puisque ) et donc r(X) = u(X) fait l'affaire.

Supposons l'affirmation vraie pour tout  :

Soit u(X) de degré . Si  alors q(X) = 0 et r(X) = u(X) font l'affaire.

Sinon, si  alors en écrivant:

  (8.55)

nous réduisons u(X) à un polynôme de degré  puisque v(X) est de degré m (et qu'il existe)!

Effectivement, le terme:

  (8.56)

élimine (au moins) le terme de plus grand degré .

Par hypothèse de récurrence, il existe f(X), g(X) tels que:

  (8.57)

avec . Donc:

  (8.58)

et:

,    (8.59)

font l'affaire.

Donc par récurrence nous observons que la division euclidienne existe dans l'anneau des polynômes k[X].

C.Q.F.D.

THÉORÈME DE FACTORISATION DES POLYNÔMES

Nous allons maintenant démontrer une propriété importante qui est au fait à l'origine illustrée (entre autres) par les identités remarquables que nous avons vues plus haut:

Si une fonction polynôme  à coefficients dans k de degré  a une racine dans l'anneau k, alors nous pouvons factoriser P(x) par (x - r) tel que:

  (8.60)

où Q  est une fonction polynôme de degré n-1 (et peut donc être dans certains cas un simple monôme).

Autrement dit, "factoriser un polynôme", c'est l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes. La factorisation est donc une opération qui transforme une somme en un produit.

Démonstration:

L'idée consiste à effectuer la division euclidienne de P par (x-r). D'après le théorème précédent, il existerait un couple (Q, R) de polynômes tels que:

  (8.61)

et selon le résultat obtenu du théorème précédent sur la division euclidienne:

  (8.62)

Or, , donc  (ou par convention). R est donc une fonction polynôme constante. Par ailleurs, par hypothèse, r est une racine de P. Nous avons donc:

  (8.63)

Donc . Donc R est la fonction polynôme nulle et le théorème est pratiquement démontré. Il reste encore à prouver que , ce qui est une conséquence immédiate de la relation:

  (8.64)

D'où:

  (8.65)

C.Q.F.D.

De cette propriété de factoriser un polynôme vue précédemment, appelée "théorème de factorisation", nous pouvons donner un avant-goût d'un théorème beaucoup plus important:

Montrons que si nous avons une fonction polynôme  de degré  à coefficients dans k, alors elle possède au plus un nombre fini n de racines (certaines étant éventuellement confondues) dans k.

Démonstration:

D'abord, puisque P a un degré, P n'est pas la fonction polynôme nulle. Ensuite, raisonnons par l'absurde:

Si la fonction P possède p racines avec , en notant ces racines, nous avons, d'après le théorème de factorisation précédent (appliqué p fois):

  (8.66)

où Q est donc une fonction polynôme de degré:

  (8.67)

Or, comme par définition un polynôme en est un si seulement son degré appartient à , le polynôme Q doit donc être le polynôme nul tel que:

  (8.68)

Il s'ensuit que:

  (8.69)

ce qui contredit l'hypothèse initiale comme quoi P n'est la fonction polynôme nulle d'où:

  (8.70)

C.Q.F.D.

ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

Si nous généralisons le concept de polynôme avec plusieurs variables tel que:

  (8.71)

nous appelons alors "équation diophantienne" une équation de la forme:

  (8.72)

où P est un polynôme à coefficients entiers (ou rationnels) dont nous cherchons les radicaux strictement dans ou . Des exemples classiques d'équations diophantiennes sont:

- Les triplets pythagoriciens (ou triades) tel que:

  (8.73)

- Le grand théorème de Fermat dont la conjecture dit que si n est supérieur à 2, il n'existe pas d'entiers non nuls pour lesquels:

  (8.74)

Pour la démonstration il faudra attendre un peu que les auteurs du site aient le temps de la comprendre également (...).

POLYNÔMES DE DEGRÉ 1

Soit:

  (8.75)

Si  alors le polynôme admet une unique racine simple:

    (8.76)

tel que .

Voici quelques propriétés que nous considérons comme triviales et que nous admettrons donc sans démonstrations:

P1. Si nous ajoutons (ou si nous retranchons) un même nombre à chaque membre d'une équation, nous obtenons une équation qui a les mêmes solutions que l'équation dont nous sommes partis (et ce quel que soit son degré!).

P2. Si nous multiplions (ou si nous divisons) chaque membre d'une équation par un même nombre non nul, nous obtenons une équation qui a les mêmes solutions que l'équation dont nous sommes partis (et ce quel que soit son degré!).

La méthode devait être assez générale pour pouvoir être appliquée à toutes les équations de ce type, reposer sur les quatre opérations élémentaires de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, division) et l'extraction des racines. Quand nous pouvons trouver les solutions (racines), d'une équation à partir des coefficients, en n'utilisant que ces opérations, nous disons que l'équation est "résoluble par radicaux".

POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Soit le polynôme à coefficients réels (trinôme du second degré): 

  (8.77)

Si nous représentons ce polynôme graphiquement sur la plan réel, cela donne:

Figure: 8.3 - Représsentation des polynômes en fonction du signe du terme de degré 2

Si nous dérivons cette fonction (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) et cherchons en quel point la tangente s'annule, nous la trouvons toujours sur le point d'inflexion de la parabole (qui correspond aussi à son axe de symétrie):

Figure: 8.4 - Point d'inflexion de la tangente

Si  alors nous avons:

  (8.78)

Nous avons alors une "racine double" (ou "racine de multiplicité 2") que nous notons:

  (8.79)

tel que et où nous définissons un nouveau terme appelé rarement "déterminant du polynôme" ou plus couramment et plus rigoureusement "discriminant du polynôme" qui allège souvent les écritures: 

  (8.80)

Si le polynôme du deuxième degré en x comporte deux racines, nous pouvons alors factoriser de manière irréductible (selon le théorème fondamental de factorisation des polynômes vu plus haut) de la manière suivante:

  (8.81)

Nous démontrons, à partir de l'expression des racines, sans trop de peine les relations dites "relations de Viète":

 et   (8.82)

Avec le signe de a et celui du discriminant nous avons:

Figure: 8.5 - Caractéristique graphiques en fonction de la valeur du discriminant

Donc:

- Si le polynôme n'admet pas de zéros réels et ne se décompose pas en un produit de facteurs réels du premier degré mais de facteurs complexes. Ainsi (il est nécessaire d'avoir lu la partie traitant des nombres complexes dans le chapitre des Nombres de la section d'Arithmétique du site):

  (8.83)

et nous savons que nous pouvons écrire tout nombre complexe sous une forme condensée (formule d'Euler) et comme les racines complexes d'un polynôme du second degré sont conjuguées (nous connaissons ce terme) nous avons:

  (8.84)

- Si alors le polynôme possède une seule solution qui est bien évidemment:

  (8.85)

- Si alors le polynôme possède deux solutions définies par les relations générales que nous avons déjà données précédemment.

En ce qui concerne le cas complexe, prenons comme exemple le polynôme suivant du second degré:

  (8.86)

qui admet donc uniquement deux racines complexes qui sont i et -i. Dans le plan réel ce polynôme sera représenté avec Maple 4.00b par:

>plot(x^2+1,x=-5..5);

Figure: 8.6 - Exemple de tracé d'un polynôme de degré 2 qui admet que des solutions complexes

où nous voyons bien qu'il n'y a aucune solution (zéros) réelle. Alors qu'en nous plaçant dans les complexes, nous avons:

>plot3d(abs(-(re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=-2..2,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 8.7 - Le même polynôme mais en jouant avec la représentation complexe

où les deux zéros sont bien visibles sur l'axe imaginaire en -1 et +1. Évidemment quand c'est la première fois que l'on voit une fonction représentée sur une figure en prenant en compte les valeurs complexes on essaie d'y retrouver la parabole correspondante au cas purement réel. Pour cela, il suffit de couper la surface ci-dessus en deux sur l'axe imaginaire et nous avons alors:

>plot3d(abs((re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=0..2,view=[-2..2,-2..2,0..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 8.8 - Un petit zoom toujours sur le même polynôme

où nous retrouvons notre parabole bien visible sur la coupe de la surface. Ainsi, nous pouvons nous demander si les valeurs complexes ne sont pas une extension naturelle de notre espace conventionnel échappant à notre sens physique commun et nos appareils de mesures.

Évidemment de ce qui a été vu jusqu'à maintenant nous en tirons que si un polynôme admet une ou plusieurs racines alors ce même polynôme est divisible par .

Nombre d'Or

Il existe un polynôme de degré deux dont la solution est fameuse de par le monde. Ce nombre est appelé la "divine proportion" ou "nombre d'or" et se retrouve en architecture, esthétique ou encore en phyllotaxie (c'est-à-dire dans la disposition des feuilles autour de la tige des plantes). 

Ce nombre vaut:

    (8.87)

et appartient à l'ensemble des nombres irrationnels car il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction entière, mais c'est un nombre algébrique puisqu'il est la solution positive de l'équation:

    (8.88)

Il y a une manière très élégante de faire émerger ce polynôme qui consiste à utiliser la transformée en Z et que nous aborderons dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle.

POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Bien que rare à résoudre en physique théorique ou lors de ses études, la résolution d'un polynôme du 3^ème degré est assez récréative et montre un bon exemple d'un raisonnement mathématique déjà mature (nous devons ces développements à Scipione del Ferro et Jérome Cardan mathématiciens du 16ème siècle...).

Soit l'équation:

  (8.89)

avec les coefficients tous dans  (pour commencer...). Dans un premier temps, le lecteur pourra voir que les raisonnements que nous avons appliqués pour les polynômes de degrés inférieurs coincent rapidement (excepté pour des cas particuliers simplistes bien sûr...).

Nous allons contourner le problème par des changements de variables subtils mais tout à fait justifiés.

Ainsi, rien ne nous empêche de poser que:

  (8.90)

et qu'en divisant le polynôme de degré 3 par a d'écrire:

  (8.91)

En regroupant les termes de même ordre:

  (8.92)

et posons (rien, mais alors absolument rien ne nous l'interdit):

  (8.93)

où (1) est connu si et seulement si X est connu et où p, q sont de toute façon connus.

Le polynôme:

  (8.94)

étant de degré impair, il admet- comme permet de le constater tout tracé visuel d'un tel polynôme à coefficients réels - au moins une racine réelle, appelée "racine certaine" (vérifiez! Vous verrez bien par une représentation graphique d'un polynôme de degré impair que cela est trivial).

Maintenant, nous faisons un autre changement de variable (nous en avons tout à fait le droit) subtil:

    (8.95)

en imposant la condition que u,v doivent être tels que (rien ne nous empêche d'imposer une telle contrainte) et nous avons alors:

  (8.96)

Dès lors nous avons:

  (8.97)

Nous pouvons très bien faire une analogie entre les deux relations (1') et (2') et les relations de Viète que nous avions obtenues pour le polynôme de degré 2 qui rappelons-le étaient:

 et     (8.98)

à la différence que nous avons maintenant (nous adoptons une autre notation pour ces racines intermédiaires):

 et   (8.99)  

ce qui nous donne pour le polynôme P en imposant (toujours par analogie)  une nouvelle équation:

  (8.100)

dont  sont les racines.

Cette dernière équation a pour discriminant:

  (8.101)

Prenons maintenant le cas par cas:

- Si , l'équation en Z admet deux solutions  dont la somme va nous donner indirectement la valeur de X puisque par définition  et  et . Nous voyons que nous avons tous les ingrédients pour trouver la première racine de l'équation initiale qui sera la racine certaine (ou "zéro certain"). Ainsi:

  (8.102)

comme  et que les racines supérieures sont cubiques nous avons nécessairement  si tous les coefficients de l'équation originale sont bien dans .

- Si , nous le savons, l'équation en Z admet une racine double et puisque le discriminant comporte une puissance carrée de q cela signifie nécessairement que p est négatif.

Le polynôme P admet donc lui aussi une racine double et de même pour l'équation d'origine. Nous avons vu par ailleurs que pour un polynôme du second degré si le discriminant est nul les racines sont:

  (8.103)

alors par analogie:

  (8.104)

- Si   nous devons à nouveau utiliser les nombres complexes comme nous l'avons fait lors de notre étude du polynôme de degré 2. Ainsi, nous savons que l'équation en Z admet deux solutions complexes telles que:

  (8.105)

et à nouveau comme les racines sont conjuguées nous pouvons écrire sous la forme condensée:

  (8.106)

et comme:

  (8.107)

nous avons donc:

  (8.108)

Comme  sont conjugués, nous avons nécessairement .

Exemple:

Considérons l'équation:

  (8.109)

Nous avons donc:

  (8.110)

et alors:

  (8.111)

Nous avons donc:

  (8.112)

Les polynômes de degré trois soit donc bien résolubles par radicaux.

POLYNÔMES DE DEGRÉ 4

L'équation polynomiale à résoudre ici est:

  (8.113)

avec .

Quitte à diviser par a nous avons:

  (8.114)

Puis, en posant:

  (8.115)

l'équation se réduit:

  (8.116)

où nous voyons que le coefficient devant  s'annule. Ainsi, tout polynôme du type:

  (8.117)

peut être écrit sous la forme suivante:

  (8.118)

En posant:

  (8.119)

Remarque: Si , l'équation à résoudre est en réalité une "équation bicarrée". Le changement de variable  permet alors de se ramener à une équation polynomiale du deuxième degré (ce que nous savons facilement résoudre).

Nous introduisons maintenant un paramètre t (que nous choisirons judicieusement par la suite) et nous réécrivons l'équation polynomiale sous la forme suivante:

  (8.120)

Remarque: Si le lecteur développe et distribue tous les termes de la relation précédente il retombera bien évidemment sur .

L'idée sous-jacente est d'essayer de faire en sorte que la partie entre crochets de l'expression précédente puisse s'écrire comme un carré tel que:

  (8.121)

Car dans ce cas, en utilisant:

  (8.122)

Notre équation polynomiale peut alors s'écrire:

  (8.123)

et nous n'aurions plus qu'à résoudre deux équations polynomiales du deuxième degré (ce que nous savons déjà faire).

Or, pour que nous puissions écrire:

  (8.124)

il faudrait que l'expression du deuxième degré à gauche de l'égalité n'ait qu'une seule racine. Or, nous avons vu dans notre étude des équations polynomiales du deuxième degré que cela signifiait dès lors que le discriminant est nul:

  (8.125)

et que la racine s'exprimait par:

  (8.126)

Ce qui correspond dans notre cas:

  (8.127)

et donc que:

  (8.128)

avec:

  (8.129)

Donc finalement, si t est tel que , alors nous avons:

  (8.130)

puisque le théorème fondamental des polynômes nous donne pour un polynôme du deuxième degré n'ayant qu'une seule racine:

  (8.131)

Pour conclure, il suffit de voir que trouver un nombre t vérifiant la relation:

  (8.132)

est un problème de degré 3 que nous savons déjà résoudre par la méthode de Cardan.

De telles méthodes générales n'existent plus pour les degrés égaux ou supérieurs à 5 comme nous le verrons à l'aide de la théorie de Galois (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES

Définition: Nous appelons "polynôme trigonométrique" de degré N toute somme finie:

  (8.133)

où .

Un polynôme trigonométrique peut aussi être écrit en utilisant les fonctions trigonométriques usuelles grâce aux transformations suivantes:

  (8.134)

Soit en utilisant la formule d'Euler (cf. chapitre sur les Nombres):

  (8.135)

Ce que nous pouvons réécrire aussi sous la forme:

  (8.136)

En posant alors:

  (8.137)

Il vient:

  (8.138)

Nous verrons longuement dans le chapitre des Suites Et Séries comment utiliser ces polynômes dans le cadre de l'étude des séries de Fourier.

POLYNÔMES CYCLOTOMIQUES

Si n est un entier naturel et x un nombre complexe, nous appelons "polynôme cyclotomique" ce que nous notons traditionnellement  et que nous définissons comme étant le produit de tous les monômes:

  (8.139)

où  est une racine primitive n-ème de l'unité de . En d'autres termes:

  (8.140)

Pour rappel une racine n-ème de l'unité (parfois appelée "nombre de De Moivre") est un nombre complexe dont la puissance n-ème vaut 1.

Ainsi, l'ensemble des racines n-èmes de l'unité est l'ensemble:

  (8.141)

qui est un groupe cyclique (voir la Théorie Des Ensembles dans la section d'arithmétique du site et le chapitre d'Algèbre Ensembliste dans la présente section).

Nous appelons alors "racine primitive n-ème de l'unité" ou "R.P.N." tout élément de ce groupe l'engendrant.

Les éléments de  sont donc du type:

    (8.142)

avec . Nous écrivons alors l'ensemble des sous la forme:

  (8.143)

Un petit exemple de polynôme cyclotomique:

  (8.144)

avec:

  (8.145)

qui sont donc les racines quatrièmes de l'unité (autrement dit chacun de ces nombres mis à la puissance 4 donne 1). Elles forment le groupe  et celui-ci ne peut-être engendré que par i et -i (générateur du groupe selon ce qui a été vu dans le chapitre de Théorie des Ensembles).

Donc un polynôme cyclotomique est le produit de facteurs qui s'écrit:

  (8.146)

avec et k étant premier par rapport à n.

Les polynômes ont un grand nombre de propriétés que nous n'aborderons pas ici puisque ce site ne se veut pas être un ouvrage de mathématiques supérieures.

POLYNÔMES DE LEGENDRE

Définition: Les polynômes de Legendre sont définis par (lire de préférence les chapitres de Calcul Différentiel Et Intégral ainsi que d'Analyse Fonctionnelle avant de poursuivre):

  (8.147)

où est donc un polynôme de degré n. Nous retrouverons ces polynômes dans la résolution d'équations différentielles en physique (propagation de la chaleur, physique quantique, chimie quantique, etc.). Nous retrouvons plus souvent l'écriture équivalente triviale:

  (8.148)

Démontrons que selon la définition du produit scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Vectoriel) les polynômes de Legendre sont orthogonaux.

Démonstration:

Soit P un polynôme de degré . Il suffit de montrer que , c'est-à-dire que est orthogonal à l'espace des polynômes de degré inférieur à n. Nous avons en effet:

  (8.149)

en intégrant par parties nous obtenons:

  (8.150)

Attention pour le terme nul ci-dessus, seulement le terme  y est dérivé. Donc puisque x est au carré, quelque soit la dérivée la valeur sera toujours la même. Ce qui justifie que le terme soit nul.

En continuant de la sorte nous obtenons après n intégrations par parties:

  (8.151)

C.Q.F.D.

Voici quelques propriétés utiles pour le chapitre de Chimie Quantique des polynômes de Legendre:

P1.

Démonstration:

  (8.152)

et par la formule de Leibniz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous avons:

  (8.153)

d'où:

  (8.154)

C.Q.F.D.

P2. si n est pair:

Démonstration:

Si n est pair, est une fonction paire et donc:

  (8.155)

est paire.

C.Q.F.D.

P3. si n est impair.

Démonstration:

Si n est impair, est impaire et donc:

  (8.156)

est impaire.

C.Q.F.D.

Nous allons à présent démontrer la validité de la relation de récurrence suivante pour les (relations que nous utiliserons en physique):

  (8.157)

pour .

Démonstration:

est un polynôme de degré , il existe dès lors des tel que ce polynôme peut s'exprimer comme combinaison linéaire de la famille de polynômes constituant la base orthonormale (base qui permet donc d'engendrer ):

  (8.158)

nous pouvons dès lors écrire:

  (8.159)

mais nous choisissons (parce que est dès lors de degré ):

  (8.160)

Donc c'est-à-dire que nous devons avoir . Par suite:

  (8.161)

Par les propriétés des polynômes de Legendre vues précédemment, nous pouvons écrire les égalités:

:   (8.162)

et:

:   (8.163)

d'où:

et   (8.164)

Le coefficient dominant de est défini (rappelons-le) par le coefficient du monôme du plus grand degré. Ainsi, il est donné par:

  (8.165)

Donc:

  (8.166)

La relation:

  (8.168)

que nous avons obtenu ci-dessus nous impose que le coefficient dominant du polynôme de la combinaison linéaire soit égal au coefficient dominant du polynôme (nous avons éliminé le qui se simplifie):

  (8.169)

après simplification, nous obtenons:

  (8.170)

et ce qui donne finalement facilement:

  (8.171)

La relation:

  (8.172)

devient dès lors:

  (8.173)

C.Q.F.D.

Voici les six premiers polynômes de Legendre:

  (8.174)

Figure: 8.9 - Quelques polynômes de Legendre

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