
CALCUL ALGÉBRIQUE | ALGÈBRE
ENSEMBLISTE | CALCUL
DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
SUITES
ET SÉRIES | CALCUL
VECTORIEL | ALGÈBRE
LINÉAIRE | CALCUL
TENSORIEL
CALCUL
SPINORIEL
L'algèbre
est la science du calcul des grandeurs ou structures
représentées
par des lettres
(Larousse).
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Dans la section d'Arithmétique
de ce site, nous avons beaucoup écrit sur différents
théorèmes
utilisant les nombres abstraits afin de généraliser
l'étendue de la validité de
ces derniers. Nous avons cependant peu abordé la
façon dont
nous devions manipuler ces nombres abstraits.
C'est ce
que nous allons voir maintenant.
Comme vous le savez peut-être
déjà, le nombre peut être envisagé en faisant
abstraction de la nature des objets qui constituent le groupement
qu'il caractérise
et ainsi qu'à la façon de codifier (chiffre arabe, romain, ou autre
système...). Nous disons alors que le nombre est un "nombre
abstrait"
et lorsque nous manipulons ces types d'objets nous disons que
nous faisons du "calcul algébrique" ou
encore du "calcul
littéral".
Définition: Le "calcul
littéral"
consiste à calculer
avec des variables (c'est-à-dire avec des lettres)
comme on le ferait avec des nombres.
Pour les mathématiciens il n'est souvent pas
avantageux de travailler avec des valeurs numériques (1,2,3...)
car ils représentent uniquement des cas particuliers. Ce
que cherchent les physiciens, ingénieurs ainsi que les
mathématiciens, ce sont
des relations applicables universellement dans un cadre le plus
général possible.
Ces nombres abstraits appelés
aujourd'hui communément "variables"
sont très souvent représentés par l'alphabet
latin (pour lequel les premières lettres de l'alphabet latin a, b, c, ...
désignent souvent les nombres connus, et les dernières x, y, z,
... les nombres inconnus.), l'alphabet
grec (aussi beaucoup utilisé pour représenter
des opérateurs mathématiques
plus ou moins complexes) et l'alphabet hébraïque (dans
une moindre mesure)
Bien que ces symboles puissent
représenter n'importe quel nombre, il en existe cependant
quelques-uns aussi bien en physique ou en mathématique qui peuvent
représenter
des constantes dites Universelles (vitesse de la lumière c,
la constante gravitationnelle G, la valeur Pi, le nombre
d'Euler, ...).
Remarque: Il semblerait que les lettres pour représenter
les nombres ont été employées pour la première
fois par Viète
au milieu du 16ème siècle (mais la notation des exposants
n'existait pas encore).
Une variable est donc susceptible de
prendre des valeurs numériques différentes. L'ensemble de ces valeurs
peut varier suivant le caractère du problème considéré.
Rappels (nous avions déjà défini cela
dans le chapitre traitant des Nombres dans la section d'Arithmétique):
R1. Nous appelons "domaine
de définition"
d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques qu'elle est susceptible
de prendre entre deux bornes.
Soit a
et b
deux nombres tel que a<b. Alors:
R2. Nous appelons "intervalle
fermé d'extrémités a
et b",
l'ensemble de tous les nombres x
compris entre ces deux valeurs et nous le désignons de
la façon suivante:
(8.1)
R3. Nous appelons "intervalle
ouvert d'extrémités a
et b",
l'ensemble de tous les nombres x
compris entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons
de la façon suivante:
(8.2)
R4.
Nous appelons "intervalle fermé à gauche,
ouvert à droite" la relation suivante:
(8.3)
R5.
Nous appelons "intervalle ouvert à gauche,
fermé à droite" la relation suivante:
(8.4)
Remarque: Si la variable peut prendre toutes les valeurs
négatives
et positives possibles nous écrivons dès lors:  où
le symbole "  " signifie
" infini". Évidemment il
peut y avoir des combinaisons d'intervalles ouvert et infini à droite,
fermé et limité à gauche et réciproquement.
Définition: Nous appelons "voisinage de a",
tout intervalle ouvert de contenant a (c'est un concept simple que nous reprendrons pour définir ce qu'est
une fonction continue). Ainsi:
(8.5)
est un voisinage de a.
ÉQUATIONS
ET INÉQUATIONS
L'algèbre élémentaire consiste
à partir des définitions de l'addition, soustraction, multiplication,
et puissance et de leurs propriétés (associativité,
distributivité,
commutativité, élément neutre, inverse,
...) - ce qui constitue selon l'ensemble sur lequel nous travaillons
un corps ou un
groupe commutatif
abélien ou non (cf. chapitre Théorie
des Ensembles)
- à manipuler selon un but fixé des "équations
algébriques" mettant en relation des variables
et constantes.
Nous allons définir de suite après
ce qu'est une équation et une inéquation mais nous souhaitons d'abord
définir certaines de leurs propriétés:
Soit A et B deux
polynômes (ou monômes) quelconques - voir définitions un
peu plus loin - les expressions:
(8.6)
Vérifient les propriétés suivantes:
P1. Nous pouvons toujours ajouter ou
ôter aux deux membres d'une inéquation ou équation
un même polynôme
en obtenant une inéquation ou équation équivalente
(c'est à dire
avec les mêmes solutions ou réductions). Nous disons alors
que l'égalité ou l'inégalité restent "vraies" par
l'opération d'addition ou de soustraction membre à membre.
P2. Si nous multiplions ou si nous
divisons les deux membres d'une équation ou inéquation
par un même nombre positif
nous obtenons également une inéquation ou équation équivalente
(nous avons déjà vu cela). Nous disons alors
que l'égalité ou l'inégalité reste "vraie" par
l'opération de multiplication ou division membre à membre.
P3. Si nous multiplions ou si nous
divisons les deux membres d'une inéquation par un même nombre
négatif
et si nous inversons le sens de l'inégalité, nous
obtenons alors une inéquation ou équation équivalente.
ÉQUATIONS
Définition: Une "équation"
est une relation d'égalité entre des valeurs toutes abstraites
(autrement dit: deux expressions algébriques) ou non toutes abstraites
(dès
lors nous parlons d'équations à une inconnue, deux inconnues, trois
inconnues, ... ) reliées entre elles par des opérateurs divers.
La maîtrise parfaite de
l'algèbre élémentaire
est fondamentale en physique-mathématique et dans l'industrie!!!
Comme il existe une infinité
de types d'équations, nous ne les présenterons pas ici. C'est le
rôle de l'enseignant/formateur dans les classes d'entraîner
le cerveau de son auditoire pendant plusieurs années (2 à 3 ans
en moyenne) à résoudre énormément de configurations différentes
d'équations
algébriques (exposées sous forme de problèmes de tous les jours,
géométriques ou purement mathématiques) et ce afin que les élèves
manipulent ces dernières sans erreurs en suivant un raisonnement
logique et rigoureux (ce n'est qu'en forgeant que l'on devient
forgeron...)!!!
En d'autres termes: Un professeur/formateur et un
établissement ad hoc sont irremplaçables pour acquérir un savoir
et avoir un retour d'expérience!!!
Nous avons tenté, ci-dessous, de faire une généralisation
simpliste des règles de base de l'algèbre élémentaire. Cette généralisation
sera d'autant plus simple à comprendre que le lecteur aura l'habitude
de manipuler des quantités abstraites:
Ainsi, soit a,
b, c, d, e, ..., x, y
des nombres abstraits pouvant prendre n'importe quelle valeur
numérique (nous restons dans le cadre des nombres classiques scolaires
et industriels...).
Soit (la
lettre majuscule grecque se prononçant "Xi") représentant
un ou plusieurs nombres abstraits (variables) opérants
entre eux d'une façon quelconque
tel que nous ayons des monômes (un seul nombre abstrait) ou polynômes
(poly = plusieurs) algébriques différents distinguables ou non
(nous faisons donc ici une sorte d'abstrait de l'abstraction
ou si vous préférez une variable de plusieurs variables).
Propriétés (il s'agit plus d'exemples au fait que de propriétés...):
P1. Nous aurons toujours si
et seulement si le terme à
gauche de l'égalité représente le même terme que
celui qui est à droite de l'égalité. Si cette condition
est satisfaite nous avons alors:
(8.7)
Sinon:
(8.8)
où nous excluons donc les cas
où tous les
sont identiques entre eux (sinon nous revenons à P1).
P2. Nous avons:
(8.9)
qui vérifie la symbolique de l'équation
dans
le cas seulement où les éléments sont
identiques entre eux (nous excluons bien évidemment le cas avec
dénominateur
nul).
Nous avons
sinon dans le cas où tous les sont
strictement différents:
(8.10)
Nous pouvons avoir:
(8.11)
dans le cas où une simplification
(ou non) des termes contenus dans les
amène à une identité de la relation binaire (non
nécessairement
égale à l'unité).
P3. Si tous les
sont strictement identiques, alors:
(8.12)
Sinon nous avons:
(8.13)
qui ne peut s'écrire sous forme condensée simple. Il peut aussi
arriver que:
(8.14)
avec
le à
droite de l'égalité identique à aucun, un ou encore plusieurs du
membre gauche de l'égalité.
P4. Nous pouvons avoir:
(8.15)
sans
que nécessairement les exposants du numérateur ou
dénominateur soient
égaux (nous excluons le dénominateur nul).
Sinon nous pouvons avoir:
ou
(8.16)
mais il n'est cependant bien évidemment
pas impossible d'avoir quand même ou
(nous
excluons le cas avec dénominateur nul).
P5. Nous avons si tous les
sont
strictement identiques aux dénominateurs:
(8.17)
Mais...
il est également possible que dans l'expression précédente
certains
différents
s'annulent cependant entre eux dès que leur division mutuelle
est
égale à l'unité (nous excluons le dénominateur
nul).
Si tous les de
la relation précédente sont identiques, la relation
est égale à
l'unité.
Sinon nous avons:
(8.18)
mais il n'est cependant pas impossible
d'avoir quand même:
(8.19)
avec
le à
droite de l'égalité identique à aucun, un ou plusieurs du
membre gauche de l'égalité ou même il est tout à fait possible
d'avoir:
(8.20)
P6. Soit
représentant indifféremment soit exclusivement l'addition
ou exclusivement la soustraction nous avons (au signe près):
(8.21)
si
tous les
sont identiques entre eux ou si la combinaison d'un nombre indéterminés
de
sont égaux au
présent à droite de l'égalité.
Sinon quoi nous aurons:
(8.22)
il peut cependant arriver que le à
droite de l'égalité soit identique à aucun, un ou plusieurs du
membre gauche de l'égalité.
Nous pouvons également avoir:
(8.23)
si
et seulement si les
sont tous égaux (ou décomposable égaux) et les puissances
non nécessairement égales.
A partir de la connaissance des ces
7 règles/exemples de base, nous
pouvons résoudre, simplifier ou montrer qu'une équation simple
possède
des solutions ou non par rapport à un problème ou énoncé donné.
Ainsi, soit une
opérande ou une suite d'opérations quelconques sur une ou des abstractions
d'abstrait et
parmi tous les ,
une (ou plusieurs) dont la ou les valeurs numériques est ou sont
inconnues (les autres étant connues). Alors, nous devons pouvoir
trouver ou démontrer qu'une équation du type:
(8.24)
possède ou non des solutions.
Dans
le cas d'une équation avec la valeur absolue (cf.
chapitre Opérateurs Arithmétiques) du type:
(8.25)
avec
le deuxième membre strictement positif (sinon la relation précédente
serait un non sens) cela équivaut bien sûr d'après la définition
de la valeur absolue à écrire:
et
(8.26)
Remarques:
R1. La présence de la valeur absolue dans une équation algébrique
dont nous cherchons les solutions double souvent le nombre de solutions.
R2. Une équation est dite "équation
conditionnelle", s'il y a des nombres dans l'ensemble
de définition des expressions qui ne sont pas solutions
(ce qui est en fait le cas le plus fréquent). Inversement,
si tout nombre de l'ensemble de définition est solution
de l'équation alors l'équation
est dite "équation identité".
Nous pouvons parfois avoir
à résoudre (et non à simplifier) un "système
d'équations". Qu'est-ce que c'est?: C'est
un ensemble d'au moins 2 équations à résoudre
(et non à simplifier!). La
particularité
du système?: L'ensemble
des solutions du système est l'intersection des solutions
de toutes les équations à résoudre. Quel est
son utilité ?: Elle est
sans fin, ces systèmes permettent de résoudre des
problèmes faisant
intervenir des applications des mathématiques à d'autres
domaines. A cause de la variété illimitée
des applications, il est difficile d'établir
des règles précises pour trouver des solutions. La
marche à suivre
que voici peut être utile pour autant bien sûr que le problème
puisse
être formulé sous forme d'équations:
1. Si le problème est posé
par écrit, le lire plusieurs fois soigneusement, réfléchir aux
faits donnés ainsi qu'à la quantité d'inconnues à trouver (résumer
l'énoncé
sur une feuille de papier est souvent plus qu'utile pour les gros
problèmes!).
2. Choisir une lettre qui représente la quantité
inconnue. C'est l'un des pas décisifs dans la recherche de la solution.
Des phrases contenant des mots comme: trouver, quoi, combien,
où,
quand ; devraient vous renseigner sur la quantité inconnue.
3. Faire éventuellement un dessin (de tête ou sur
papier) avec des légendes.
4. Dresser une liste des faits connus et des relations
concernant les quantités inconnues. Une relation peut être décrite
par une équation dans laquelle apparaissent d'un seul ou des deux
côtés du signe égal des énoncés écrits à la place des lettres ou
des nombres.
5. Après avoir analysé la liste de l'étape
4, formuler une ou plusieurs équations qui décrivent
précisément ce
qui est énoncé avec
des mots.
6. Résoudre l'équation ou le système d'équation(s)
formulée(s) à l'étape
5.
7. Contrôler les solutions obtenues à l'étape 6
en se reportant à l'énoncé de départ du problème. Vérifier que la
solution concorde avec les conditions de l'énoncé.
Les méthodes de résolutions
des systèmes d'équations sont traitées en
détails dans le chapitre
de Méthodes Numériques (vous y verrez la méthode)
et également dans le chapitre
d'Algèbre
linéaire de la présente section (vous y comprendrez
pourquoi la méthode
est telle quelle).
INÉQUATIONS
Précédemment nous avons vu
qu'une équation était une égalité composée de différents calculs
avec différents termes (dont au moins une "inconnue" ou
un "chiffre abstrait"), et que "résoudre" une
équation revenait à calculer la valeur de l'inconnue de l'égalité,
alors que la "simplifier" revenait à minimiser mathématiquement
le nombre de termes (en factorisant ou autre..) et que développer
revenait à mettre à plat tous les termes.
Pourquoi avons-nous besoin de rappeler
la définition d'une équation ? Tout simplement parce que pour l'inéquation,
c'est le même système. La différence ? Si l'équation est une égalité,
l'inéquation est une inégalité: comme l'équation, l'inéquation
est composée de différents calculs avec différents termes reliés
entre eux par des opérateurs quelconques, dont au moins une
inconnue.
Différence entre égalité et inégalité:
- Egalité: Symbolisée par le signe =
- Inégalité: Symbolisée par les relations d'ordre d'égalités
strictes et larges .
Lorsque
nous résolvons une inéquation,
notre inconnue peut-avoir un intervalle de valeurs qui satisfont à l'inéquation.
Nous disons alors que la solution de l'inéquation est un "ensemble
de valeurs". C'est
la différence fondamentale entre une égalité (plusieurs
solutions) et une inégalité (intervalle de solutions)
!
Rappelons les signes que nous pouvons
rencontrer dans une inéquation:
:
Se lit "strictement inférieur à"
ou "strictement plus petit que".
Dans ce cas, le plus souvent, la valeur butoir numérique n'est
pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors
le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à
droite ...[ selon que la valeur butoir est positive ou négative.
:
Se lit "strictement supérieur à"
ou "strictement plus grand que".
Dans ce cas, le plus souvent, la valeur butoir numérique n'est
également pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter
alors le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou
à droite ...[ selon que la valeur butoir est positive ou
négative.
Remarque: Attention cependant pour les deux cas précités,
il existe des situations où le domaine est imposé par
l'ensemble de nombres sur lequel nous travaillons (penser par
exemple à
une inéquation où pour certaines valeurs les solutions
appartiennent à l'ensemble des complexes). Dans ce cas,
les valeurs butoirs à l'ensemble de nombres sur lequel
nous travaillons peuvent imposer des crochets fermés.
:
Se lit "inférieur ou égal à "ou
"plus petit ou égal à".
Dans ce cas, la valeur butoir numérique est comprise dans le domaine
et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet fermé
à gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement
les deux!) selon que la valeur butoir est positive ou négative.
:
Se lit "supérieur ou égal à" ou
"plus grand ou égal à" .
Dans ce cas, la valeur butoir numérique est également comprise
dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine
avec un crochet fermé à gauche [... ou à droite
...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la
valeur butoir est positive ou négative.
Remarque: Nous renvoyons le lecteur au début de
ce chapitre où
nous avions défini la manière d'écrire des
domaines de définition.
L'objectif
des inéquations est la plupart du temps (excepté le côté esthétique)
d'avoir au moins parmi l'ensemble des termes une valeur numérique
qui permet de définir le domaine de solution (de tous les termes
abstraits de l'inéquation) qui satisfait l'inéquation.
Il existe plusieurs façons de représenter les domaines de définition
des variables qui satisfont à l'inéquation. Nous allons voir à
travers un petit exemple quelles sont ces possibilités:
Soit une inéquation linéaire
(du premier degré) en x
à une seule inconnue à laquelle nous imposons une contrainte particulière
arbitraire pour l'exemple (évidemment l'expression peut contenir
plus de termes...):
(8.27)
nous
avons dans l'inéquation ci-dessus déjà simplifié tous les termes
qui étaient superflus.
Résoudre l'inégalité revient
à chercher les valeurs de x inférieures
à 2. Bien sûr, il n'existe pas une seule solution dans mais
un ensemble (intervalle) de solutions et c'est cela même le principe
des inéquations!
Pour résoudre l'inéquation,
nous observons d'abord le type d'inégalité imposée
("stricte"
ou "égal"). Ensuite,
dans les petites classes (et pas seulement parfois...) nous représentons
l'ensemble traditionnellement par
un tableau tel que:
-
|
0 |
+ |
................... |
......|...... |
................... |
Tableau: 8.1
- Résolution d'inéquation
Nous
savons intuitivement que la solution de notre inéquation regroupe
toutes les valeurs inférieures à 2 (2 exclu des solutions) et ce
jusqu'à - .
Nous écrivons alors cet intervalle ou domaine sous la forme suivante:
(8.28)
Ensuite, nous pouvons représenter graphiquement l'ensemble des
solutions (cela aide à comprendre et prépare l'étudiant à la résolution
de systèmes d'équations et d'inéquations et aux variations de
fonctions). Pour cela, nous reprenons le modèle de schéma du
système numérique,
et y plaçons notre valeur butoir (nous n'en avons qu'une
dans cet exemple mais parfois il peut y en avoir plusieurs dû
au fait qu'il y a une singularité ou des racines pour certaines
valeurs du domaine de définition), soit 2:
-
|
0 |
2 |
+ |
................... |
......|...... |
......|......
|
................... |
Tableau: 8.2
- Construction des points particuliers de l'inéquation
et enfin, nous délimitons au stylo de couleur (...) l'ensemble
des solutions de - à
2 exclu:
-
|
0 |
2 |
+ |
................... |
......|...... |
......[......
|
................... |
Tableau: 8.3
- Mise en place du type de bornes de l'inéquation
A
la valeur 2, nous n'oublions pas de marquer le signe ....[ pour
montrer que cette valeur est exclue des solutions. Et voilà, le
tour est joué et le concept est extrapolable à des inéquations
beaucoup plus complexes.
Remarques:
R1.
Parfois au lieu de représenter les tableaux comme nous l'avons
fait, certains professeurs (c'est un choix complètement artistique)
demandent
à leur élèves d'hachurer les cases du tableau et d'y dessiner de
petits ronds, ou encore se servent de petites flèches, ou encore
de dessiner le graphique des fonctions de l'inéquation (cette
dernière
méthode est certes esthétique mais prend du temps..).
R2. Dans le cadre d'inéquations de degré supérieur à 1,
il faut (voir plus loin ce que cela signifie exactement) d'abord
déterminer
les racines de l'inéquation qui permettent de déterminer
les intervalles et ensuite par essais successifs, déterminer
quels intervalles sont
à rejeter ou à conserver.
Nous
pouvons également (au même titre que les équations)
parfois avoir
à résoudre un "système
d'inéquations". Qu'est-ce que c'est?: C'est
un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre.
La particularité
du système?: L'ensemble
des solutions du système est l'intersection des solutions
des toutes les inéquations à résoudre.
Autrement
dit, la méthode est la même que la précédente, à la
différence près que
notre tableau (représentant les domaines de solutions) comportera
une ligne supplémentaire par inéquation supplémentaire
dans le système
plus une ligne de synthèse qui est la projection des domaines
de solutions possibles du système.
Ainsi,
un système à n inéquations
aura un tableau récapitulatif à lignes.
Mathématiquement,
les domaines (car il peut y en avoir plusieurs qui sont disjoints)
peuvent s'écrire comme un ensemble de domaines:
(8.29)
Les systèmes d'inéquations sont très
fréquents dans beaucoup de problèmes de la mathématique,
physique,
économétrie, etc... Il est donc important de s'entraîner à les
résoudre
pendant vos études avec l'aide de votre professeur.
Par
exemple, voici une possible représentation du domaine de solutions
d'un système d'inéquations pris du chapitre de Méthodes Numériques
où nous étudions
la "recherche
opérationnelle".

Figure: 8.1 - Représentation graphique plane d'un système d'inéquations
IDENTITÉS
REMARQUABLES
Les identités
remarquables sont des sortes de relations magiques, qui nous
servent le plus souvent
pour la factorisation ou la résolution d'équations
algébriques.
Rappelons certaines
notions qui ont déjà été vues dans le chapitre de théorie des ensembles
de la section d'arithmétique (nous supposons le concept d'élément
neutre connu puisque déjà défini):
Commutativité:
et
(8.30)
Associativité:
et
(8.31)
Distributivité:
(8.32)
Les mêmes observations
sont valables avec l'opération de soustraction bien évidemment
dans les domaines de définition adéquats.
Nous pouvons vérifier
avec des valeurs numériques (en remplaçant chaque nombre
abstrait par un nombre choisi au hasard), ou par développement
(ce serait
mieux, ainsi vous êtes sûr d'avoir compris ce dont quoi nous parlions),
que les identités algébriques suivantes sont vérifiées
(ce sont les plus connues):
1. Identité
du second degré:
(8.33)
2. Identité
du troisième degré:
(8.34)
Remarque: Nous pouvons très bien poser que  où
nous avons bien évidemment posé que 
(nous faisons un "abstrait d'abstraction" ou plus couramment: un "changement de variable")...:
(8.35)
Nous
pouvons remarquer ainsi qu'en toute généralité, pour calculer le
développement
de ,
nous utilisons le développement de ,
c'est-à-dire calculé avec la valeur précédente
de n.
Nous
remarquons les propriétés suivantes pour a
et b:
P1.
Les puissances de a décroissent
de n à 0 ( ,
donc il n'est pas noté dans le dernier terme)
P2.
Les puissances de b croissent
de 0 à n ( ,
donc il n'est pas noté dans le premier terme)
P3.
Dans chaque terme, la somme des puissances de a et
b est
égale à n
P4.
Les coefficients multiplicateurs devant chaque terme se calculent
en faisant la somme des coefficients multiplicateurs de deux termes
du développement obtenu avec la valeur précédente
de n
(voir la figure ci-dessous).
Les coefficients
binomiaux peuvent alors être obtenus par construction du "triangle
de Pascal" ci-dessous:

Figure: 8.2 - Construction à la main du triangle de Pascal
Dont chaque élément est donné par (cf. chapitre
de Probabilités):
(8.36)
avec .
Nous pouvons alors démontrer
que:
(8.37)
ce qui constitue le fameux "binôme
de Newton" (que nous réutiliserons à de
multiples endroits sur le site) ou appelé aussi "théorème
binomial".
Démonstration:
Cette relation se démontre simplement par récurrence en supposant
la relation précédente vraie et en la calculant
pour le rang 1:
(8.38)
Montrons que si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour
n+1:
(8.39)
La relation est vraie au rang n+1, elle est
donc vraie pour tout n.
C.Q.F.D.
Pour
ce qui est des identités remarquables avec des valeurs négatives,
il est inutile d'apprendre par coeur l'emplacement du signe "-".
Il suffit de faire un changement de variable et une fois le développement
fait de refaire le changement de variable dans l'autre sens.
Exemple:
(8.40)
et
ainsi de suite pour toute puissance n.
Nous
pouvons bien sûr mélanger les genres tels que (fameux exemple particulier):
(8.41)
et
quelques relations remarquables pratiques supplémentaires qui sont
souvent utilisées dans les petites classes pour les exercices:
(8.42)
et
autre cas très fréquent:
(8.43)
Remarque: Lorsqu'à partir du terme de droite (sous forme
numérique simplifiée) le professeur demande à
ses élèves en tant qu'exercice d'obtenir la factorisation
à gauche de l'égalité, il n'existe pas d'autres
moyens que de procéder par essais successifs.
Bien
sûr, il y a encore un beaucoup plus grand nombre de relations
utiles (dont une partie découle d'une généralisation
de celles présentées ci-dessus) que le lecteur découvrira
par ses propres raisonnements et en fonction de sa pratique.
Remarque: Il est bien sûr possible de multiplier
des polynômes
entre eux et de distribuer les termes multiplicatifs. Inversement,
il est souvent demandé aux élèves des petites classes de faire
la procédure inverse ("factoriser" ou "décomposer"
un polynôme) afin qu'ils s'habituent à la manipulation des identités
remarquables. Décomposer en un produit de facteurs est une opération
importante en mathématiques, puisqu'il est ainsi possible de
réduire
l'étude d'expressions compliquées à l'étude de plusieurs expressions
plus simples.
POLYNÔMES
Définition (simpliste): Nous appelons "polynôme algébrique P(x)"
une fonction de degré qui s'écrit:
(8.44)
ou
de façon plus condensée par:
(8.45)
Remarques:
R1. Le n
en indice du P(x)
est parfois omis car explicitement défini dans l'énoncé.
R2. Le lecteur qui aura parcouru le chapitre de Théorie
Des Ensembles, se rappellera certainement que l'ensemble des polynômes
de degré n ou inférieurs forment une structure
d'espace vectoriel!
Définition (ensembliste): Soit k un
anneau (cf.
chapitre de Théorie Des Ensembles) et ., "l'anneau
des polynômes" en n
indéterminées (ou variables)
est construit à partir d'un polynôme élémentaire,
appelé "monôme"
de la forme:
(8.46)
où
est le "coefficient du monôme",
sont des entiers et
où forme
la "partie littérale du monôme".
Ainsi, par construction, un polynôme est une somme d'un nombre
fini de monômes appelés alors "termes
du polynôme".
Ainsi,
le cas particulier commun utilisé dans
les petites classes et présenté au début
est k[X], c'est-à-dire l'anneau des polynômes à une variable à coefficients
dans k. Tout élément de k[X] s'écrit
donc:
(8.47)
avec et .
Remarques:
R1. Notez bien que les puissances sont toujours
positives (ou nulles) dans k[X]!!!
R2. Nous disons que deux monômes sont semblables
s'ils
ont la même partie littérale.
Définition: Nous nommons "racine" ou "zéro
de polynôme", la ou les valeurs x telles
que "l'équation polynomiale" soit
satisfaite à la condition qu'au moins un des avec
soit non nul.
Si le polynôme admet une
ou plusieurs racines
nous pouvons alors factoriser ce dernier sous la forme (nous le
démontrerons rigoureusement de manière générale
plus loin):
(8.48)
afin que quand x prend la valeur d'une des racines,
l'expression ci-dessus soit nulle. C'est ce que nous appelons
par convention "factoriser un polynôme".
Les identités
algébriques sont des formes particulières de fonctions
polynomiales. Considérons une constante c
et une variable x et:
(8.49)
Nous voyons
que si nous posons:
(8.50)
nous retrouvons:
(8.51)
Définition: Le "coefficient
dominant" d'un polynôme est le coefficient
de son monôme de plus haut degré.
DIVISION
EUCLIDIENNE DES POLYNÔMES
Plaçons nous à présent dans l'anneau k[X].
Si ,
nous notons deg(P) le
degré du polynôme P(X) à
coefficients dans un anneau k (les réels ou les
complexes... peu importe!)
Remarque: Par convention, 
Soit:
(8.52)
avec .
Alors
il existe deux polynômes uniques tels
que:
(8.53)
et:
(8.54)
Démonstration:
Si u(X) = 0 le
résultat est évident. Supposons que et
montrons l'existence par récurrence sur le degré k de
u(X).
Si k = 0 alors q(X) = 0 (puisque )
et donc r(X) = u(X) fait
l'affaire.
Supposons
l'affirmation vraie pour tout :
Soit u(X) de
degré .
Si alors q(X)
= 0 et r(X) = u(X) font
l'affaire.
Sinon, si alors
en écrivant:
(8.55)
nous
réduisons u(X) à un polynôme
de degré puisque v(X) est
de degré m (et
qu'il existe)!
Effectivement, le terme:
(8.56)
élimine
(au moins) le terme de plus grand degré .
Par
hypothèse de récurrence,
il existe f(X), g(X) tels
que:
(8.57)
avec .
Donc:
(8.58)
et:
,
(8.59)
font l'affaire.
Donc par récurrence nous observons que la division euclidienne
existe dans l'anneau des polynômes k[X].
C.Q.F.D.
Remarque: Cette démonstration nous a permis dans
le chapitre de théorie des ensembles de montrer que cet
anneau est "principal".
THÉORÈME
DE FACTORISATION DES POLYNÔMES
Nous allons maintenant démontrer une propriété importante
qui est au fait à l'origine illustrée (entre autres) par
les identités
remarquables que nous avons vues plus haut:
Si une fonction polynôme à
coefficients dans k de degré a
une racine dans
l'anneau k, alors nous pouvons factoriser P(x)
par (x - r) tel
que:
(8.60)
où Q est une fonction polynôme de degré n-1
(et peut donc être dans certains cas un simple monôme).
Autrement dit, "factoriser un polynôme",
c'est l'écrire
sous la forme d'un produit de polynômes. La factorisation est
donc une opération qui transforme une somme en un produit.
Démonstration:
L'idée consiste à effectuer la division euclidienne
de P par (x-r). D'après le théorème
précédent, il existerait un couple (Q, R)
de polynômes
tels que:
(8.61)
et selon le résultat obtenu du théorème précédent sur la division
euclidienne:
(8.62)
Or, ,
donc (ou par
convention). R est
donc une fonction polynôme constante. Par ailleurs, par hypothèse, r est
une racine de P. Nous avons donc:
(8.63)
Donc .
Donc R est la fonction polynôme nulle et le théorème est
pratiquement démontré. Il reste encore à prouver que ,
ce qui est une conséquence immédiate de la relation:
(8.64)
D'où:
(8.65)
C.Q.F.D.
De cette propriété de factoriser un polynôme vue
précédemment, appelée "théorème
de factorisation", nous pouvons donner un avant-goût
d'un théorème beaucoup
plus important:
Montrons que
si nous avons une fonction polynôme de
degré à coefficients
dans k, alors elle possède au plus un nombre fini n de
racines (certaines étant éventuellement
confondues) dans k.
Démonstration:
D'abord, puisque P a un degré, P n'est
pas la fonction polynôme nulle. Ensuite, raisonnons par l'absurde:
Si la fonction P possède p racines
avec ,
en notant ces
racines, nous avons, d'après le théorème de
factorisation précédent
(appliqué p fois):
(8.66)
où Q est donc une fonction polynôme de degré:
(8.67)
Or,
comme par définition un polynôme en est un si seulement
son degré appartient à ,
le polynôme Q doit donc être le polynôme nul tel que:
(8.68)
Il
s'ensuit que:
(8.69)
ce
qui contredit l'hypothèse initiale comme quoi P n'est
la fonction polynôme nulle d'où:
(8.70)
C.Q.F.D.
ÉQUATIONS
DIOPHANTIENNES Si nous généralisons
le concept de polynôme avec plusieurs variables tel que:
(8.71) nous appelons
alors "équation diophantienne"
une équation de la forme:
(8.72) où P
est un polynôme à coefficients entiers (ou rationnels) dont nous
cherchons les radicaux strictement dans ou
.
Des exemples classiques d'équations diophantiennes sont: - Les triplets
pythagoriciens (ou triades) tel que:
(8.73) - Le grand
théorème
de Fermat dont la conjecture dit que si n est supérieur à
2, il n'existe pas d'entiers
non nuls pour lesquels:
(8.74) Pour
la démonstration il faudra attendre un peu que les auteurs du site
aient le temps de la comprendre également (...). POLYNÔMES
DE DEGRÉ 1 Soit:
(8.75)
Si alors
le polynôme admet une unique racine simple:
(8.76) tel que .
Remarques:
R1. Il faut toujours prendre
l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans l'équation
d'origine pour s'assurer de la validation du domaine de définition
de la solution. Effectivement, il existe des solutions aux développements
de résolution d'une équation qui ne vérifient pas l'équation
d'origine et c'est ce que nous nommons des "solutions étrangères"
ou encore "racines étrangères".
R2. Si les coefficients du
polynôme de degré 1 sont tous réels alors la racine est réelle.
R3. Si un des coefficients
est complexe alors la racine est nécessairement complexe.
R4. Si les deux coefficients sont complexes, alors la racine est
soit complexe soit réelle.
R5. Nous disons que deux équations sont équivalentes
si elles admettent le même ensemble de solutions.
Voici quelques propriétés que nous considérons comme triviales
et que nous admettrons donc sans démonstrations:
P1. Si nous ajoutons (ou si nous retranchons) un même nombre à chaque
membre d'une équation, nous obtenons une équation
qui a les mêmes solutions que l'équation
dont nous sommes partis (et ce quel que soit son degré!).
P2. Si nous multiplions (ou si nous divisons) chaque membre
d'une équation par un même nombre non
nul, nous obtenons une équation
qui a les mêmes solutions que l'équation
dont nous sommes partis (et ce quel que soit son degré!).
La méthode devait être assez générale
pour pouvoir être appliquée à toutes les équations
de ce type, reposer sur les quatre opérations élémentaires
de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication,
division) et l'extraction des racines. Quand nous pouvons trouver
les solutions (racines), d'une équation à partir
des coefficients, en n'utilisant que ces opérations, nous
disons que l'équation est "résoluble par radicaux".
POLYNÔMES
DE DEGRÉ 2
Soit le polynôme à
coefficients réels (trinôme du second degré):
(8.77)
Si nous représentons ce polynôme graphiquement sur
la plan réel, cela donne:

Figure: 8.3 - Représsentation des polynômes en fonction du signe du terme de
degré 2
Si nous dérivons cette fonction (cf.
chapitre de Calcul Différentiel et Intégral)
et cherchons en quel point la tangente s'annule, nous la trouvons
toujours sur le point d'inflexion de la parabole (qui correspond
aussi à son axe de symétrie):

Figure: 8.4 - Point d'inflexion de la tangente
Si alors
nous avons:
(8.78)
Nous avons alors une "racine double"
(ou "racine de multiplicité
2") que nous notons:
(8.79)
tel que
et où nous définissons un nouveau terme appelé rarement "déterminant
du polynôme" ou plus couramment et plus rigoureusement "discriminant
du polynôme"
qui allège souvent les écritures:
(8.80)
Remarque: Il faut aussi toujours prendre l'habitude de
vérifier
l'existence de la solution dans l'équation d'origine pour
s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution
au cas où la solution serait "étrangère".
Si le polynôme du deuxième
degré en x comporte
deux racines, nous pouvons alors factoriser de manière
irréductible (selon le théorème fondamental
de factorisation des polynômes vu plus haut) de la manière
suivante:
(8.81) Nous démontrons, à partir
de l'expression des racines, sans trop de peine les relations dites
"relations de Viète": et
(8.82)
Avec le signe de a et celui du discriminant nous
avons:
Figure: 8.5 - Caractéristique graphiques en fonction de la valeur du discriminant
Donc:
- Si le
polynôme n'admet pas de zéros réels et ne se décompose
pas en un produit de facteurs réels du premier degré mais
de facteurs complexes. Ainsi (il est nécessaire d'avoir
lu la partie traitant des nombres complexes dans le chapitre des
Nombres de la section
d'Arithmétique du site):
(8.83)
et
nous savons que nous pouvons écrire tout nombre complexe sous une
forme condensée (formule d'Euler) et comme les racines complexes
d'un polynôme du second degré sont conjuguées (nous connaissons
ce terme) nous avons:
(8.84)
où (rappel) r est
le module des racines complexes (module égal pour les deux racines)
et l'argument
des racines complexes (égales en valeur absolue).
- Si
alors le polynôme possède une seule solution qui est bien évidemment:
(8.85)
- Si
alors le polynôme possède deux solutions définies
par les relations générales que nous avons déjà données
précédemment.
En ce qui concerne le cas complexe, prenons comme exemple le polynôme
suivant du second degré:
(8.86)
qui admet donc uniquement deux racines complexes qui sont i et -i.
Dans le plan réel ce polynôme sera représenté avec
Maple 4.00b par:
>plot(x^2+1,x=-5..5);

Figure: 8.6 - Exemple de tracé d'un polynôme de degré 2 qui admet que des solutions
complexes
où nous voyons bien qu'il n'y a aucune solution (zéros) réelle.
Alors qu'en nous plaçant dans les complexes, nous avons:
>plot3d(abs(-(re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=-2..2,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 8.7 - Le même polynôme mais en jouant avec la représentation
complexe
où les deux zéros sont bien visibles sur l'axe imaginaire en
-1 et +1. Évidemment quand c'est la première fois que l'on voit
une fonction représentée sur une
figure en prenant en compte les valeurs complexes on essaie d'y retrouver la
parabole correspondante
au cas purement réel. Pour cela, il suffit de couper la surface ci-dessus
en deux sur l'axe imaginaire et nous avons alors:
>plot3d(abs((re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=0..2,view=[-2..2,-2..2,0..2],orientation=[-130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

Figure: 8.8 - Un petit zoom toujours sur le même polynôme
où nous retrouvons notre parabole bien visible sur la coupe de la surface.
Ainsi, nous pouvons nous demander si les valeurs complexes ne sont pas une extension
naturelle de notre espace conventionnel échappant à notre
sens physique commun et nos appareils de mesures.
Évidemment
de ce qui a été vu jusqu'à maintenant nous
en tirons que si un polynôme
admet une ou plusieurs racines alors ce même polynôme est
divisible par .
Nombre d'Or
Il
existe un polynôme de degré deux dont la solution est fameuse de
par le monde. Ce nombre est appelé la "divine
proportion" ou "nombre
d'or" et se retrouve
en architecture, esthétique
ou encore en phyllotaxie (c'est-à-dire dans la disposition des
feuilles autour de la tige des plantes).
Ce nombre vaut:
(8.87)
et
appartient à l'ensemble des nombres irrationnels car il ne peut
pas s'écrire sous forme de fraction entière, mais c'est un nombre
algébrique puisqu'il est la solution positive de l'équation:
(8.88)
Il y a une manière très élégante de faire émerger
ce polynôme qui consiste à utiliser la transformée en Z et que
nous aborderons dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle.
POLYNÔMES
DE DEGRÉ 3
Bien que rare à résoudre
en physique théorique ou lors de ses études,
la résolution
d'un polynôme du 3ème degré est assez récréative
et montre un bon exemple d'un raisonnement mathématique
déjà mature
(nous devons ces développements à Scipione del Ferro
et Jérome
Cardan mathématiciens du 16ème siècle...).
Soit l'équation:
(8.89)
avec les coefficients tous
dans (pour
commencer...). Dans un premier temps, le lecteur pourra voir que
les
raisonnements que nous avons appliqués pour les polynômes
de degrés
inférieurs coincent rapidement (excepté pour des
cas particuliers simplistes bien sûr...).
Nous allons contourner le
problème par des changements de variables subtils mais tout à fait
justifiés. Ainsi, rien ne nous empêche
de poser que:
(8.90)
et qu'en divisant le polynôme
de degré 3 par a d'écrire:
(8.91) En regroupant les termes
de même ordre:
(8.92) et posons (rien, mais alors
absolument rien ne nous l'interdit):
(8.93)
où (1) est connu si et seulement
si X est
connu et où p, q
sont de toute façon connus.
Le polynôme:
(8.94)
étant de degré impair, il
admet- comme permet de le constater tout tracé visuel d'un
tel polynôme
à coefficients réels - au moins une racine réelle,
appelée "racine
certaine" (vérifiez! Vous verrez bien par une
représentation
graphique d'un polynôme de degré impair que cela est trivial).
Maintenant, nous faisons
un autre changement de variable (nous en avons tout à fait
le droit) subtil:
(8.95)
en
imposant la condition que u,v doivent être
tels que (rien
ne nous empêche d'imposer une telle contrainte) et nous avons
alors:
(8.96)
Dès lors nous avons:
(8.97)
Nous pouvons très bien faire
une analogie entre les deux relations (1') et (2') et les relations
de Viète que nous avions obtenues pour le polynôme de degré 2
qui rappelons-le étaient:
et
(8.98)
à la différence que nous
avons maintenant (nous adoptons une autre notation pour ces racines
intermédiaires):
et
(8.99)
ce
qui nous donne pour le polynôme P en
imposant (toujours par analogie) une
nouvelle équation:
(8.100) dont sont
les racines.
Cette dernière équation a
pour discriminant:
(8.101)
Prenons maintenant le cas
par cas:
- Si ,
l'équation en Z admet
deux solutions dont
la somme va nous donner indirectement la valeur de X puisque
par définition et
et
.
Nous voyons que nous avons tous les ingrédients pour trouver la
première racine de l'équation initiale qui sera la racine certaine
(ou "zéro certain").
Ainsi:
(8.102)
comme et
que les racines supérieures sont cubiques nous avons nécessairement
si
tous les coefficients de l'équation originale sont bien dans .
- Si ,
nous le savons, l'équation en Z admet
une racine double et puisque le discriminant comporte une puissance
carrée de q cela
signifie nécessairement que p est négatif.
Le polynôme P admet
donc lui aussi une racine double et de même pour l'équation d'origine.
Nous avons vu par ailleurs que pour un polynôme du second degré
si le discriminant est nul les racines sont:
(8.103)
alors par analogie:
(8.104)
- Si nous
devons à nouveau utiliser les nombres complexes comme nous l'avons
fait lors de notre étude du polynôme de degré 2.
Ainsi, nous savons que l'équation en Z admet
deux solutions complexes telles que:
(8.105)
et à nouveau comme les racines
sont conjuguées nous pouvons écrire sous la forme
condensée:
(8.106) et comme:
(8.107) nous avons donc:
(8.108)
Comme
sont
conjugués, nous avons nécessairement .
Exemple:
Considérons l'équation:
(8.109)
Nous avons donc:
(8.110)
et alors:
(8.111)
Nous avons donc:
(8.112)
Les polynômes de degré trois soit donc bien résolubles
par radicaux.
POLYNÔMES
DE DEGRÉ 4
L'équation polynomiale à résoudre ici est:
(8.113)
avec .
Remarque: Nous devons cette méthode de résolution à l'italien
Ludovico Ferrari mathématicien italien du 16ème
siècle également.
Quitte à diviser par a nous avons:
(8.114)
Puis, en posant:
(8.115)
l'équation se réduit:
(8.116)
où nous voyons que le coefficient devant s'annule.
Ainsi, tout polynôme du type:
(8.117)
peut être écrit sous la forme suivante:
(8.118)
En posant:
(8.119)
Remarque: Si  ,
l'équation à résoudre est en réalité une " équation
bicarrée". Le changement de variable  permet
alors de se ramener à une équation polynomiale du deuxième
degré
(ce que nous savons facilement résoudre).
Nous introduisons maintenant un paramètre t (que
nous choisirons judicieusement par la suite) et nous réécrivons
l'équation polynomiale sous la forme suivante:
(8.120)
Remarque: Si le lecteur développe et distribue
tous les termes de la relation précédente il retombera
bien évidemment sur  .
L'idée sous-jacente est d'essayer de faire en sorte que la
partie entre crochets de l'expression précédente puisse s'écrire
comme un carré tel que:
(8.121)
Car dans ce cas, en utilisant:
(8.122)
Notre équation polynomiale peut alors s'écrire:
(8.123)
et nous n'aurions plus qu'à résoudre deux équations
polynomiales du deuxième degré (ce que nous
savons déjà faire).
Or, pour que nous puissions écrire:
(8.124)
il faudrait que l'expression du deuxième degré à gauche
de l'égalité n'ait qu'une seule racine. Or, nous
avons vu dans notre étude des équations polynomiales
du deuxième degré que
cela signifiait dès lors que le discriminant est
nul:
(8.125)
et que la racine s'exprimait par:
(8.126)
Ce qui correspond dans notre cas:
(8.127)
et donc que:
(8.128)
avec:
(8.129)
Donc finalement, si t est tel que ,
alors nous avons:
(8.130)
puisque le théorème fondamental des polynômes nous donne
pour un polynôme du deuxième degré n'ayant qu'une seule racine:
(8.131)
Pour conclure, il suffit de voir que trouver un nombre t vérifiant
la relation:
(8.132)
est un problème de degré 3 que nous savons déjà résoudre
par la méthode de Cardan.
De telles méthodes générales n'existent plus pour les degrés égaux
ou supérieurs à 5 comme nous le verrons à l'aide de la théorie
de Galois (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).
POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES
Définition: Nous appelons "polynôme
trigonométrique" de
degré N toute somme finie:
(8.133)
où .
Un polynôme trigonométrique peut aussi être écrit en utilisant
les fonctions trigonométriques usuelles grâce aux transformations
suivantes:
(8.134)
Soit en utilisant la formule d'Euler (cf.
chapitre sur les Nombres):
(8.135)
Ce que nous pouvons réécrire aussi sous la forme:
(8.136)
En posant alors:
(8.137)
Il vient:
(8.138)
Nous verrons longuement dans le chapitre des Suites Et Séries
comment utiliser ces polynômes dans le cadre de l'étude
des séries de Fourier.
POLYNÔMES
CYCLOTOMIQUES
Si n est un entier
naturel et x un nombre complexe, nous appelons "polynôme
cyclotomique"
ce que nous notons traditionnellement et
que nous définissons comme étant le produit de tous
les monômes:
(8.139)
où
est
une racine primitive n-ème de l'unité de .
En d'autres termes:
(8.140)
Pour rappel une racine n-ème de l'unité (parfois appelée "nombre
de De Moivre") est un nombre complexe dont
la puissance n-ème vaut 1.
Ainsi, l'ensemble des racines
n-èmes de l'unité est l'ensemble:
(8.141)
qui est un groupe cyclique
(voir la Théorie Des Ensembles dans la section d'arithmétique
du site et le chapitre d'Algèbre Ensembliste dans la présente
section).
Nous appelons alors "racine
primitive n-ème de l'unité" ou "R.P.N."
tout élément de ce groupe l'engendrant.
Les éléments de sont
donc du type:
(8.142)
avec .
Nous écrivons alors l'ensemble des sous
la forme:
(8.143) Un petit exemple de polynôme
cyclotomique:
(8.144)
avec:
(8.145)
qui sont donc les racines quatrièmes de
l'unité (autrement dit chacun
de ces nombres mis à la puissance 4 donne
1). Elles forment le groupe et
celui-ci ne peut-être engendré que par i et -i (générateur
du groupe selon ce qui a été vu dans le chapitre
de Théorie des
Ensembles).
Donc un polynôme cyclotomique
est le produit de facteurs qui s'écrit:
(8.146)
avec et
k
étant premier par rapport à n.
Les
polynômes ont un grand nombre de propriétés que nous
n'aborderons pas ici puisque ce site ne se veut pas être un ouvrage
de mathématiques
supérieures.
POLYNÔMES
DE LEGENDRE
Définition: Les polynômes
de Legendre sont définis par (lire de préférence
les chapitres de Calcul Différentiel Et Intégral
ainsi que d'Analyse Fonctionnelle avant de poursuivre):
(8.147)
où
est donc un polynôme de degré n. Nous retrouverons
ces polynômes dans la résolution d'équations
différentielles en physique (propagation de la chaleur,
physique quantique, chimie quantique, etc.). Nous retrouvons
plus souvent l'écriture équivalente triviale:
(8.148)
Démontrons que selon la définition du produit scalaire
fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle
et de Calcul Vectoriel) les polynômes de Legendre
sont orthogonaux.
Démonstration:
Soit P un polynôme de degré
.
Il suffit de montrer que ,
c'est-à-dire que est
orthogonal à l'espace des polynômes de degré
inférieur à n. Nous avons en effet:
(8.149)
en intégrant par parties nous
obtenons:
(8.150)
Attention pour le terme nul ci-dessus, seulement le terme y
est dérivé. Donc puisque x est au carré, quelque soit la
dérivée la valeur sera toujours la même. Ce qui justifie que
le terme soit nul.
En continuant de la sorte nous obtenons après n intégrations
par parties:
(8.151)
C.Q.F.D.
Remarque: Le terme dérivé est nul puisque
le polynôme
dérivé est de degré n-1
Voici quelques propriétés utiles pour le chapitre
de Chimie Quantique des polynômes de Legendre:
P1. 
Démonstration:
(8.152)
et par la formule de Leibniz (cf. chapitre
de Calcul Différentiel Et Intégral) nous
avons:
(8.153)
d'où:
(8.154)
C.Q.F.D.
P2.
si n est pair:
Démonstration:
Si
n est pair, est une fonction paire et donc:
(8.155)
est paire.
C.Q.F.D.
P3. si n est impair.
Démonstration:
Si
n est impair, est impaire et donc:
(8.156)
est impaire.
C.Q.F.D.
Nous allons à présent
démontrer la validité de la relation de récurrence
suivante pour les
(relations que nous utiliserons en physique):
(8.157)
pour .
Démonstration:
est un polynôme de degré ,
il existe dès lors des tel
que ce polynôme peut s'exprimer comme combinaison linéaire
de la famille de polynômes constituant la base orthonormale
(base qui permet donc d'engendrer ):
(8.158)
nous pouvons dès lors écrire:
(8.159)
mais nous choisissons
(parce que
est dès lors de degré ):
(8.160)
Donc
c'est-à-dire que nous devons avoir .
Par suite:
(8.161)
Par les propriétés des polynômes de Legendre
vues précédemment, nous pouvons écrire les
égalités:
:
(8.162)
et:
:
(8.163)
d'où:
et
(8.164)
Le coefficient dominant de
est défini (rappelons-le) par le coefficient du monôme
du plus grand degré. Ainsi, il est donné par:
(8.165)
Donc:
(8.166)
Remarque: Le lecteur vérifiera au besoin pour un n
donné que:
(8.167)
La relation:
(8.168)
que nous avons obtenu ci-dessus nous impose que le coefficient
dominant du polynôme de la combinaison linéaire soit
égal au coefficient dominant du polynôme
(nous avons éliminé le
qui se simplifie):
(8.169)
après simplification,
nous obtenons:
(8.170)
et ce qui donne finalement facilement:
(8.171)
La relation:
(8.172)
devient dès lors:
(8.173)
C.Q.F.D.
Voici les six premiers polynômes
de Legendre:
(8.174)

Figure: 8.9 - Quelques polynômes de Legendre
|