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Algèbre

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9. ALGÉBRE (ET GÉOMÉTRIE) ENSEMBLISTE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:22:41 | {oUUID 1.690}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Nous allons aborder sur ce site l'étude des structures ensemblistes de manière très pragmatique (puisque rappelons que ce site est dédié aux ingénieurs). Ainsi, il sera fait usage du minimum de formalisme et seulement les démonstrations des éléments que nous considérons comme absolument essentiels à l'ingénieur seront présentées. Par ailleurs, de nombreuses démonstrations seront faites par l'exemple et nous nous focaliserons en grande partie sur la théorie algébrique des groupes car elle a une place presque prédominante en physique plus que pour les autres structures ensemblistes.

ALGÉBRE ET GÉOMéTRIE CORPORELLE

Les symétries des figures géométriques, des cristaux et de tous les autres objets de la physique macroscopique font l'objet depuis des siècles d'observations et d'études. En termes modernes, les symétries d'un objet donné forment un groupe.

Depuis le milieu du 19ème siècle, la théorie des groupes a pris une extension énorme, et ses applications à la mécanique quantique et à la théorie des particules élémentaires se sont développées tout au long du 20ème siècle.

Dans une lettre de 1877 au mathématicien Adolph Mayer, Sophus Lie écrit qu'il a créé la théorie des groupes en janvier 1873. Il s'agit bien sûr des groupes qu'il appelait "groupes continus" et qui sont appelés aujourd'hui "groupes de Lie". Lie cherchait à étendre l'usage des groupes du domaine des équations algébriques, où Galois les avait introduites, à celui des équations différentielles.

Dès 1871, la notion de générateur infinitésimal d'un groupe à un paramètre de transformations était apparue dans son oeuvre. C'est l'ensemble des générateurs infinitésimaux des sous-groupes à un paramètre d'un groupe continu qui forme ce que nous appelons aujourd'hui une algèbre de Lie.

Ce furent Wigner et Weyl qui montrèrent le rôle prééminent de la théorie des groupes, et de leurs représentations en particulier, dans la nouvelle mécanique quantique que développaient Heisenberg et Dirac. L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayer d'étudier un groupe en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire: nous essayons ainsi de voir le groupe comme un groupe de matrices (d'où le terme "représentation"). Nous pouvons ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie des Ensembles), arriver à déduire quelques propriétés du groupe qui nous intéresse.

Nous pouvons considérer la théorie des représentations de groupes comme une vaste généralisation de l'analyse de Fourier. Son développement est continu et elle a, depuis le milieu du 20ème siècle, des applications innombrables en géométrie différentielle, en théorie ergodique, en théorie des probabilités, en théorie des nombres, dans la théorie des formes automorphes, dans celle des systèmes dynamiques ainsi qu'en physique, chimie, biologie moléculaire et traitement du signal. À l'heure actuelle, des branches entières des mathématiques et de la physique en dépendent.

Avant de commencer, nous renvoyons le lecteur au chapitre traitant de la Théorie Des Ensembles pour qu'il se rappelle de la structure et des propriétés fondamentales qui constituent le groupe et également au chapitre d'Algèbre Linéaire (car nous en utiliserons quelques résultats).

GROUPES CYCLIQUES

Le groupe cyclique (dont la définition a déjà été vue dans le chapitre de Théorie des Ensembles) va nous servir de base dans le cadre de l'étude des groupes finis. Par ailleurs, plutôt que de faire des développements généralisés nous avons préféré prendre des exemples particuliers afin de présenter l'idée de groupe cyclique (approche plus adaptée à l'ingénieur).

Nous allons donc prendre l'exemple fort sympathique des heures de la montre... avec trois approches différentes qui successivement (!) permettront d'aborder un groupe cyclique simple.

- Première approche:

Imaginons donc une horloge avec une aiguille qui peut prendre 12 positions possibles (mais pas de positions intermédiaires).  Nous noterons de manière spéciale les 12 positions possibles: equation (le trait au-dessus des nombres n'est pas innocent!).

Rien ne nous empêche sur l'ensemble de ces positions de définir une addition, par exemple:

equation   (9.1)

ce qui est similaire aux résultats que nous obtenons lorsque dans notre quotidien nous faisons des calculs avec notre montre.

- Deuxième approche (première extension)

Si nous observons bien notre montre, nous remarquons qu'à chaque fois que nous rajoutons 12 (ou retirons...) à une valeur des heures de notre montre alors nous tombons sur un ensemble de nombres bien déterminé qui sont aussi dans equation. Ainsi (évidemment dans le cadre d'une montre seules les premières valeurs positives nous intéressent la plupart du temps mais ici nous faisons des maths alors nous généralisons un peu...):

equation   (9.2)

Nous retrouvons ici un concept que nous avions déjà vu dans le chapitre de Théorie Des Nombres. Il s'agit de classes de congruences et l'ensemble de ces classes forme l'ensemble quotient equation. Si nous munissons cet ensemble quotient d'une loi d'addition, il est normalement facile d'observer que celle-ci est une loi interne à l'ensemble quotient, qu'elle est associative, qu'il existe un élément neutre et que chaque élément possède un symétrique (inverse).

Ainsi, cet ensemble quotient muni uniquement de la loi d'addition (sinon en ajoutant la multiplication nous pouvons former un anneau) est un groupe commutatif.

- Troisième approche (deuxième et dernière extension):

Voyons une troisième et dernière approche qui explique pourquoi le groupe quotient est cyclique.

Si nous projetons la rotation des aiguilles de notre montre (toutes les rotations dans l'algèbre ensembliste se font traditionnellement dans le sens des aiguilles d'une montre!) dans equation et que nous définissons:

equation   (9.3)

Nous avons alors equation et:

equation   (9.4)

ce qui explique pourquoi le groupe quotient equation est appelé "groupe cyclique" (par isomorphisme de groupe selon ce qui a été vu en théorie des ensembles). Son isomorphe est noté equation.

Si nous représentons dans equation l'ensemble isomorphe equation nous obtenons alors sur le cercle unité un polygone ayant n sommets comme le montre la figure ci-dessous:

equation
Figure: 9.1 - Groupe cyclique d'ordre 12

Par ailleurs, le nombre d'éléments composants equation étant fini, equation est fini. Contrairement au groupe equation qui est lui un groupe discret infini.

Ce concept de finitude sera peut-être plus évident avec l'exemple que nous ferons de suite après avec equation où le lecteur observera que cet ensemble a le même nombre d'éléments que equation.

Remarque: Les mathématiciens appellent equation le "groupe des racines n-èmes de l'unité". Une racine n-ème de l'unité (parfois appelée "nombre de De Moivre") est donc un nombre complexe dont la puissance n-ème vaut 1. Par ailleurs, pour un entier n donné, toutes les racines n-èmes de l'unité sont situées sur le cercle unité et sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés ayant un sommet d'affixe 1.

Ce qui intéresse les physiciens particulièrement dans un premier temps ce sont les représentations des groupes finis (aussi les groupes continus que nous verrons plus loin). Ainsi, la représentative de equation nous est connue puisque la rotation dans le plan complexe est donnée comme nous l'a montrée notre étude des complexes dans le chapitre sur les Nombres:

equation   (9.5)

avec equation. Cette représentative est un sous-groupe du groupe des rotations O(2) sur lesquelles nous reviendrons plus loin. Le groupe des rotations du plan étant lui-même un sous-groupe du groupe linéaire GL(2) (nous en donnerons une définition précise et un exemple plus loin).

Au fait, les mathématiciens sont capables de démontrer que tous les groupes quotients equation sont cycliques à isomorphisme près avec equation et ils disent alors que equation est un quotient fini du groupe monogène equation...

Cette approche est par contre peut-être un peu abstraite. Alors, si le lecteur se rappelle du chapitre de Théorie Des Ensembles nous avons vu une définition bien précise de ce qu'était la cyclicité d'un groupe: Un groupe G est dit cyclique si G est engendré par la puissance d'au moins un de ses élémentsequation appelé générateur tel que:

equation  (9.6)

Vérifions que ce soit bien le cas pour le groupe:

equation   (9.7)

qui constitue un cas scolaire.

Nous noterons les éléments qui constituent ce groupe:

equation   (9.8)

Ceci étant fait, il convient de faire attention que dans la définition ensembliste du groupe cyclique nous parlons de "puissance" si la loi interne du groupe est la multiplication mais si la loi interne est l'addition, nous avons alors:

equation   (9.9)

Le premier élément générateur du groupe:

equation   (9.10)

est l'élément 1. Effectivement:

equation   (9.11)

Le deuxième élément générateur du même groupe est 3:

equation   (9.12)

Par contre, le lecteur pourra vérifier que 2 n'est pas générateur de ce groupe!

Au fait, en ce qui concerne les groupes equation les mathématiciens arrivent à démontrer que seuls les éléments du groupe qui sont premiers avec n sont générateurs (c'est-à-dire les éléments dont le plus grand commun diviseur est 1).

Voilà pour notre introduction aux groupes cycliques. Passons maintenant à une autre catégorie de groupes.

GROUPES DE TRANSFORMATIONS

Le groupe des rotations est celui qui intéresse le plus les physiciens surtout dans les domaines des matériaux, de la chimie, de la physique quantique et de l'art... Les mathématiciens apprécient eux l'étude des groupes de rotations dans le cadre de la géométrie bien évidemment (mais pas seulement) et les informaticiens tout autant les groupes linéaires. Nous avons d'ailleurs vu un exemple de groupe de rotations juste précédemment.

Définition: Nous appelons "groupe linéaire d'ordre n" et nous notons GL(n) les matrices inversibles ou dites aussi "régulières" (donc le déterminant est non nul selon ce que nous avons vu dans le chapitre d'Algèbre Linéaire) dont les coefficients sont dans un corps quelconque:

equation   (9.13)

Nous considérerons comme évident que GL(n) est un groupe: la multiplication des matrices est associative et chaque matrice de GL(n) possède un inverse par définition. D'autre part, le produit de deux matrices régulières est encore une matrice régulière.

Un exemple simple et important de groupe linéaire est celui du sous-"groupe des transformations affines" du plan qui est traditionnellement noté (c'est intuitif):

equation   (9.14)

avec equation (nous verrons le pourquoi du comment de l'inégalité un peu plus loin).

Prenons un exemple pratique:

equation   (9.15)

ce qui appliqué à un cercle donnerait:

equation
Figure: 6.2 - Transformations affines sur un cercle

Cette transformation est une manière de définir les ellipses comme images d'un cercle par une transformation affine.

Les coefficients equation sont sans importance pour la forme de l'image. En fait, ils induisent bien évidemment des translations sur les figures. Nous pouvons donc nous en passer si nous cherchons seulement à la déformer.

Ainsi, il nous reste:

equation   (9.16)

ce qui peut s'écrire sous forme matricielle:

equation   (9.17)

La transformation se réduit donc à la matrice:

equation   (9.18)

et comme nous l'avons vu en algèbre linéaire, la multiplication matricielle est associative mais n'est pas commutative, donc la transformation linéaire ne l'est pas non plus.

L'élément neutre est la matrice:

equation   (9.19)

et l'inverse de F est:

equation   (9.20)

et comme nous avons imposé equation tout élément y possède donc un inverse. Ainsi, le groupe linéaire affine est non commutatif et... forme bien un groupe...

Comme noous allons le voir, tous les groupes de Lie "classiques" sont des sous-groupes de GL(n).

Définition: Nous appelons "groupe spécial linéaire d'ordre n" et nous notons SL(n) les matrices inversibles dont les coefficients sont dans un corps quelconque et dont le déterminant est égal à l'unité:

equation   (9.21)

Il s'agit évidemment d'un sous-groupe de GL(n).

En reprenant l'exemple précédant et en se rappelant que le déterminant d'une matrice carrée bidimensionnelle est (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

equation   (9.22)

nous remarquons bien géométriquement ce que signifie d'avoir un déterminant unitaire dans ce cas! Effectivement nous avons vu dans le chapitre d'Algèbre Linéaire lors de notre interprétation géométrique qu'avoir un déterminant équivaut à une surface. Ainsi, le fait d'avoir ad-bc unitaire permet donc que quel que soit l'ordre de la transformation, nous avons l'aire qui vaut toujours 1. Ainsi, le groupe spécial linéaire conserve les surfaces.

Définition: Nous appelons "groupe orthogonal réel d'ordre n" et notons O(n) les matrices orthogonales (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) equation données par:

equation   (9.23)

Il s'agit donc des matrices réelles orthogonales d'ordre n.

Par ailleurs, nous avons démontré dans le chapitre d'Algèbre Linéaire lors de notre étude des matrices de rotations que equation implique equation.

C'est le cas par exemple de la matrice de O(2) vue précédemment (elle appartient au groupe orthogonal mais aussi au groupe des rotations que nous verrons plus loin):

equation   (9.24)

qui est orthogonale comme il est facile de le vérifier.

Remarque: O(1) est constitué aussi de l'ensemble des matrices triviales.... [1],[-1]

Définition: Si equationet que nous avons equation alors nous obtenons un sous-groupe de O(n) appelé "groupe spécial orthogonal réel d'ordre n" et noté SO(n):

equation   (9.25)

La matrice de rotations donnée précédemment fait partie de ce groupe puisque son déterminant est égal à l'unité! Par ailleurs, ce groupe occupe une place très spéciale en physique et nous le retrouverons maintes fois.

Le sous-groupe SO(2), appelé aussi parfois "groupe cercle" et noté equation, que nous avions aussi étudié dans le chapitre de Géométrie Euclidienne a une représentative donnée par la matrice:

equation   (9.26)

et occupe une place à part dans la famille des groupes SO(n) avec n supérieur à l'unité. Effectivement il est le seul à être commutatif. Par ailleurs, il est isomorphe à equation soit à U(1) le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. C'est aussi le groupe de symétrie propre d'un cercle et l'équivalent continu equation.

Le sous-groupe SO(3) donné par la matrice (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

equation   (9.27)

pour la rotation autour de l'axe X dans l'espace tridimensionnel n'est pas commutatif (les matrices de rotation dans le plan étant elles pour rappel commutatives!). Par ailleurs les quaternions, dont la représentative est donc SO(3), forment un groupe non commutatif aussi (par rapport à la loi de multiplication) comme nous l'avons vu dans le chapitre sur les Nombres.

Par rapport à un vecteur unitaire on se rend facilement compte visuellement parlant que SO(3) est un sous-groupe fermé de GL(3), c'est-à-dire de l'ensemble des groupes linéaires de dimension 3.

Remarque: SO(1) est constitué de la matrice [1].

Définition: Nous appelons "groupe unitaire d'ordre n" et nous notons U(n) les matrices dont les composantes sont complexes (dans le cadre de ce site le plus souvent) ou réelles et qui sont orthogonales:

equation   (9.28)

Remarquons par ailleurs que toute matrice unitaire à coefficients complexes et à une dimension... (de U(n) donc...) est un nombre complexe de module unitaire, qui peut toujours s'écrire sous la forme equation.

Nous en avons déjà vu un exemple aussi sur le site lors de notre étude des spineurs dans le chapitre de Calcul Spinoriel. Il s'agit des matrices de Pauli (utilisées dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste) données par:

equation   (9.29)

Définition: Nous appelons "groupe spécial unitaire d'ordre n" et nous notons SU(n) les matrices dont les coefficients sont complexes et qui sont orthogonales et dont le déterminant est unitaire:

equation   (9.30)

Remarque:U(1) est égal à SU(1) et il s'agit donc du cercle unité complexe égal à equation . Par ailleurs, SO(2) est commutatif et isomorphe à U(1) car c'est l'ensemble des rotations du plan.

Un exemple connu est toujours celui des matrices de Pauli mais simplement écrites sous la forme utilisée en Physique Quantique Relativiste (voir chapitre du même nom):

equation   (9.31)

qui font partie de SU(2) et qui comme nous l'avons montré (implicitement) au début du chapitre de Calcul Spinoriel est isomorphe au groupe des quaternions SO(3) de module 1 sur la sphère de dimension 3 (notée equation). Relation que les mathématiciens appellent dans le cas présent un "homomorphisme de revêtement"....

Remarque:Le groupe spécial unitaire possède une importance particulière en physique des particules. Si le groupe unitaire U(1) est le groupe de jauge de l'électromagnétisme (pensez au nombre complexe apparaissant dans les solutions de l'équation d'onde!), SU(2) est le groupe associé à l'interaction faible, et SU(3) celui de l'interaction forte. C'est par exemple grâce à la structure des représentations de SU(3) que Gell-Mann a conjecturé l'existence des quarks.

Avec une approche différente de celle vue dans le chapitre de Calcul Spinoriel comment montrer que les matrices de Pauli sont les bases de SU(2)?

D'abord, rappelons que nous avons montré dans de Calcul Spinoriel que toute rotation dans l'espace de trois dimensions pouvait s'exprimer à l'aide de la relation:

equation   (9.32)

Et nous avons vu dans le chapitre d'Informatique Quantique qu'une formulation explicitée et décomposée de la relation précédente était:

equation   (9.33)

et donc que tout élément de SU(2) est produit de ces trois matrices qui font chacune décrire à l'extrémité d'un vecteur dans l'espace une courbe!

Maintenant, nous remarquons que ces trois matrices sont égales à:

equation   (9.34)

lorsque equation. Nous obtenons alors la matrice identité. Donc si nous cherchons la tangente en ce point conjoint, nous pouvons dès lors construire une base (3 vecteurs orthogonaux).

Regardons ceci:

equation   (9.35)

Ainsi, SU(2) admet pour base:

equation   (9.36)

et ce sont en d'autres termes les générateurs infinitésimaux du groupe SU(2). SU(2) a donc une base qui est une Algèbre de Lie selon le vocabulaire des mathématiciens.

Ce résultat est assez remarquable... Puisque SU(2) et SO(3) sont isomorphes, nous pouvons alors obtenir la base de l'Algèbre de Lie de SO(3) alors avec la même méthode!!!

Voyons ceci! Nous avons vu dans le chapitre de Géométrie Euclidienne que les matrices de rotations étaient données par (nous changeons le R par un U afin de ne pas confondre avec les matrices précédentes):

equation   (9.37)

Nous remarquons à nouveau qu'en equation la courbe que fait décrire à un vecteur les trois matrices de rotations passe par:

equation   (9.38)

Alors de la même manière que pour SU(2), nous calculons les dérivées en ces angles pour déterminer les matrices de base génératrices de SO(3):

equation   (9.39)

L'algèbre de Lie de SO(3) admet donc pour base:

equation   (9.40)

En physique, on préfère travailler avec des matrices complexes. Nous introduisons alors les matrices:

equation   (9.41)

Il faut alors remarquer que si nous définissons:

equation   (9.42)

nous avons trivialement pour la complexe conjuguée de la matrice transposée:

equation   (9.43)

et au fait... nous avons aussi les relations de non-commutation (ce que nous pouvons développer sur demande):

equation   (9.44)
(cycl.)

et aussi la relation de commutation:

equation   (9.45)
(cycl.)

ce que satisfont aussi les matrices de Pauli et... pour rappel (ou information pour ceux qui n'ont pas encore lu le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) les equation sont les opérateurs du moment cinétique total du système de couplage spin-orbite!!!

GROUPES DE SYMÉTRIES

Le groupe de symétries d'un objet noté X (image, signal etc. en 1D, 2D, 3D ou autre) est le groupe de toutes les isométries (une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs) sous lesquelles il est invariant avec la composition en tant qu'opération.

Tout groupe de symétries dont les éléments ont un point fixe commun, ce qui est vrai pour tous les groupes de symétries de figures limitées, peut être représenté comme un sous-groupe du groupe orthogonal O(n) en choisissant l'origine pour point fixe. Le groupe de symétries propre est alors un sous-groupe du groupe orthogonal spécial SO(n), et par conséquent, il est aussi appelé le groupe de rotations de la figure.

Dans ce qui suit, nous allons interpréter la composée de deux opérations de symétries ou de rotations comme une multiplication au même titre que pour les permutations.

Définitions:

D1. Le "groupe des symétries", appelé aussi "groupe des invariants", de X est l'ensemble des symétries de X, muni de la structure de multiplication donnée par composition qui laisse X invariant.

D2. "L'ordre" d'un groupe est le nombre total de toutes ses symétries uniquement (y compris l'identité!).

exempleExemples:

E1. Le coeur:

equation
Figure: 6.3 - Analyse du groupe de symétrie du coeur

a un groupe de symétries total à 2 éléments, à savoir l'application identité id et l'application equation qui est la réflexion dans l'axe vertical (sous-groupe de symétries à 1 élément). Cette forme possède donc un groupe de symétries d'ordre 2. Nous observons que le symétrique est donné aussi via la relation equation

E2. La lettre: 


Figure: 6.4 - Analyse du groupe de symétrie de phi

a un groupe de symétrie total à 4 éléments, à savoir l'application identité id, les deux réflexions equation et equation  et la rotation par l'angle equation que nous noterons equation (sous-groupe de rotations à 1 élément). Cette forme possède donc un groupe de symétries d'ordre 3.

Dans ce groupe nous avons equation (et c'est commutatif!), equation est la rotation par un angle equation, ce qui est la même application que l'application identité, donc equation.

Ainsi, le groupe de symétries de cette lettre est commutatif et la loi de composition est bien interne. C'est donc bien un groupe.

E3. Le pentagone régulier:


Figure: 6.5 - Analyse du groupe de symétrie du pentagone régulier

a un groupe de symétries total à 10 éléments à savoir les 5 rotations equation ainsi que les 5 réflexions dans les 5 axes de symétries. C'est donc un groupe de symétries d'ordre 5 correspondant au groupe cyclique equation.

Remarque: Plus généralement, le groupe de symétries d'un n-gone régulier (si n est impair) a exactement 2n éléments. Ce groupe s'appelle le "groupe diédral d'ordre n" et est noté le plus souvent equation (il faut faire attention car certains auteurs ne multiplient pas n par le facteur 2 ce qui fait que l'indice représente alors directement l'ordre et non le nombre d'éléments).

Le pentagone a donc equation pour groupe diédral et equation en est un "sous-groupe distingué" (nous reviendrons plus tard sur cette notion de sous-groupe distingué).

E4. Le groupe diédral equation d'ordre 3 des isométries d'un triangle équilatéral (polygone régulier) a 6 éléments que nous noterons (afin que l'écriture soit moins lourde):

equation   (9.46)

où  equation sont les symétries par rapport aux trois bissectrices (respectivement médiatrices). La table de compositions de ce groupe diédral montre aussi que ce groupe est non-commutatif:

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

Tableau: 9.1  - Symétries du groupe diédral d'ordre 3

Nous reviendrons sur cet exemple lorsque nous introduirons un peu plus loin le concept de groupe distingué lors de notre étude des groupes de permutations et la définition des groupes distingués.

E5. Regardons un dernier exemple appliqué à la chimie en énumérant les opérations de symétries qui laissent la molécule equation (tétraèdre) invariante.

Le groupe de transformations contient 6 éléments: l'identité id, equation qui est la rotation de equation, equation la rotation de equation (que nous noterons par la suite equation) toutes deux selon l'axe Z (perpendiculaire au plan XY donc...) et 3 axes equation de symétrie/réflexion passant chacun par le milieu d'une des arêtes de base au milieu de l'arête opposée comme le montre la figure ci-dessous (pyramide vue du dessus):

 equation
Figure: 6.6 - Opérations laissant invariant un tétraèdre

La combinaison des différents éléments de symétries montre que la table de compositions est (ce qui prouve que la loi est interne et que nous travaillons donc bien dans un groupe):

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

Tableau: 9.2  - Compositions de transformations du tétraèdre

Attention à l'ordre des opérations dans le tableau ci-dessus, nous appliquons d'abord l'élément de ligne puis l'élément de colonne!

Nous constatons que le groupe n'est donc pas commutatif.

ORBITE ET STABILISATEUR

Nous allons voir maintenant deux définitions que nous retrouverons en cristallographie (leur nom n'est pas innocent!).

Définition: L'orbite d'un élément x de E est donnée par:

equation   (9.47)

L'orbite de x est l'ensemble des positions (dans E) susceptibles d'être occupées par l'image de x sous l'action de G. Les orbites forment évidemment une partition de E.

exempleExemple:

Considérons un ensemble E sur lequel agit un groupe G, par:

equation   (9.48)

l'ensemble des 6 sommets d'un hexagone sur lequel nous faisons agir le groupe equation. Nous observons déjà trivialement que G  est bien un groupe!

Maintenant, prenons un élément de E, par exemple equation.

Son orbite va donc être par définition:

equation   (9.49)

Définition: Le stabilisateur x d'un élément de E est l'ensemble:

equation   (9.50)

des éléments qui laissent x invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de G.

Pour reprendre notre exemple précédent. Son stabilisateur va être réduit à:

equation   (9.51)

GROUPES DES PERMUTATIONS

Les groupes symétriques ont une importance non négligeable dans certains domaines de la physique quantique mais aussi en mathématiques dans le cadre de la théorie de Galois. Il convient donc d'y porter aussi une attention toute particulière.

Rappelons d'abord (cf. chapitre de Probabilités) que dans un ensemble equation il y a n! permutations possibles. Les mathématiciens disent, à juste titre, qu'il y a n! bijections et appellent ce nombre "ordre du groupe de permutations".

Prenons par exemple l'ensemble {1,2,3}. Cet ensemble à 3! permutations possibles qui sont notées dans le cadre des groupes de permutation de la manière suivante:

{(1), (1  2),(1  3),(2  3),(1  2  3),(1  3  2)}  (9.52)

Ce qui se lit dans l'ordre: application identité id, 1 amène sur 2 ou 2 sur un 1 (en termes de position!), 1 amène sur 3 ou 3 sur 1, 2 amène sur 3 ou 3 sur 2, 1 amène sur 2 qui amène sur 3 qui amène sur 1, 1 amène sur 3 qui amène sur 2 qui amène sur 1.

Soit de manière plus explicite:

equation   (9.53)

Nous pouvons observer facilement que la composition de deux permutations n'est pas commutative:

equation   (9.54)

et que la composition de deux permutations est une loi interne:

equation   (9.55)

avec un élément neutre qui est bien l'identité id. Nous avons donc bien un groupe non commutatif. Rappelons également au lecteur que certains éléments du groupe, s'ils sont bien choisis, peuvent former un sous-groupe. C'est l'exemple de:

{(1), (1  2)}  (9.56)

qui est un sous-groupe de equation (il est facile de vérifier qu'il possède toutes les propriétés d'un groupe).

Définition: Un sous-groupe H d'un groupe G est appelé "groupe distingué" si, pour tout g de G et tout h de H, nous avons que equation est élément de H. Les mathématiciens appellent cela un "automorphisme intérieur"...

Voyons d'abord un exemple géométrique parlant après quoi nous reviendrons à cette définition avec equation.

exempleExemple:

Nous avons vu plus haut les éléments du groupe de symétrie diédral d'ordre 3 du triangle équilatéral. Géométriquement ils correspondent tous à des déplacements dans le plan dans lequel se trouve le triangle. Nous avions obtenu pour rappel le tableau de compositions suivant:

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

Tableau: 9.3  - Symétries du groupe diédral d'ordre 3

D'abord, nous constatons facilement à l'aide de ce tableau que nous avons:

- Le sous-groupe formé de {id} d'ordre 1

- Le sous-groupe formé de equation d'ordre 3

- Le sous-groupe formé de  equation d'ordre 2

- Le sous-groupe formé de  equation d'ordre 2

- Le sous-groupe formé de  equation d'ordre 2

Parmi ces 5 sous-groupes, voyons lesquels sont distingués (cela est relativement facile à visualiser à l'aide du tableau de compositions):

- Le sous-groupe formé de {id}

- Le sous-groupe formé de equation

Nous allons voir maintenant une chose remarquable! En numérotant par 1, 2 et 3 les sommets du triangle équilatéral et en prenant les rotations dans le sens des aiguilles d'une montre, nous pouvons identifier les éléments de equation aux éléments suivants de equation:

equation   (9.57)

et reconstruire la même table de compositions (copie de la précédente mais juste avec le changement d'écriture... hé hé!):

equation

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(2 3)

(1 3)

(1 2)

(1)

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(2 3)

(1 3)

(1 2)

(1 2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)

(1 3)

(1 2)

(2 3)

(1 3 2)

(1 3 2)

(1)

(1 2 3)

(1 2)

(2 3)

(1 3)

(2 3)

(2 3)

(1 2)

(1 3)

(1)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1 3)

(1 3)

(2 3)

(1 2)

(1 2 3)

(1)

(1 3 2)

(1 2)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1)

Tableau: 9.4 - Composition du groupe distingué

Bon... ce petit interlude fermé, revenons au groupe distingué de equation (car il va être important pour notre introduction aux groupes de Galois) et rappelons d'abord que:

equation   (9.58)

et nous voyons que le sous-groupe distingué est formé de:

equation   (9.59)

Définition: Pour tout sous-groupe H stable par les automorphismes intérieurs d'un groupe G, nous appelons "indice de H dans G" le quotient de l'ordre du groupe G par l'ordre du sous-groupe H et nous l'écrivons [G/H].

Par exemple, l'indice du sous-groupe {(1), (1  2)}dans le groupe equation est 6/2 c'est-à-dire 3. Ce concept nous sera très utile lors de notre introduction aux corps de Galois plus loin.

Considérons maintenant, la permutation particulière equation pour aborder le sujet sous un angle différent mais équivalent:

equation   (9.60)

Les mathématiciens ont pour habitude de noter cela, dans un premier temps, sous la forme:

equation   (9.61)

avec:

equation   (9.62)

Etant donné equation et equation, deux permutations, il est naturel de regarder leur composition equation (rappelons que cela signifie d'abord equation, puis equation comme pour la composition de fonctions).

Ainsi, si:

equation et equation   (9.63)

Alors:

equation   (9.64)

et:

equation   (9.65)

Maintenant, l'idée est d'interpréter la composition comme une multiplication de permutations. Cette multiplication est alors non-commutative comme nous venons de le constater dans l'exemple précédent. Nous avons en général equation.

Chaque bijection a un inverse (une fonction réciproque). Dans notre exemple il s'agit de évidemment de:

equation   (9.66)

Géométriquement, pour calculer l'inverse equation d'un élément equation, il suffit de prendre la réflexion du dessin deequation dans un axe horizontal comme le montre la partie gauche de la figure ci-dessous:

equation
Figure: 6.7 - Exemples de composées et d'inverses de permutations

Définitions:

D1. L'ensemble des permutations d'un ensemble avec n éléments, muni de cette structure de multiplication, s'appelle le "groupe des permutations d'ordre n" ou "groupe des substitutions d'ordre n", et se note equation ou encore S(n).

D2. Nous disons qu'un élément equation de equation est un "cycle d'ordre k", ou un "k-cycle", s'il existe equation tel que:

- equation envoie equation sur equation, equation sur equation,...,equation sur equation, et equation sur equation

- equation fixe tous les autres éléments de equation

et nous notons le cycle ainsi:

equation   (9.67)

Pour mieux comprendre reprenons notre exemple de equation:

equation   (9.68)

Ce groupe symétrique est un 3-cycle noté equation car dans l'ordre: 1 envoie sur 3, 3 envoie sur 4 et 4 envoie sur 1 (et le 2 n'étant pas mentionné il reste fixe). Nous pouvons noter cela aussi des façons suivantes équivalentes: equation ou encore equation.

Définition: L'ordre d'un k-cycle est k (d'où le nom!).

Effectivement si nous reprenons equation, nous avons alors:

equation et  equation   (9.69)

Définition: Nous disons qu'une permutation equation est un "cycle" s'il existe equation tel que equation est un k-cycle.

Attention! Toute permutation doit s'écrire comme un produit de cycles disjoints (c'est-à-dire qu'un nombre qui apparaît dans un cycle ne doit pas apparaître dans un autre cycle). Par exemple, dans equation, nous avons:

equation   (9.70)

Donc cette permutation est un produit d'un 4-cycle et d'un 3-cycle disjoint.

Nous laisserons d'ailleurs le lecteur vérifier par lui-même que le groupe cyclique engendré par equation (qui dans le cas présent est sous-groupe de equation) est d'ordre 12 (12-cycle)...

Remarque:Les mathématiciens peuvent démontrer que si equation est un élément qui a une décomposition en c cycles disjoints de longueur equation alors l'ordre de equation est le plus petit commun multiple des ordres de tous les cycles disjoints qui le composent.

Nous supposerons également intuitif que dans le vocabulaire commun, un 2-cycle dans equation s'appelle aussi une "transposition".

Allons un petit peu plus loin. Nous nous proposons de montrer par l'exemple que l'ensemble des transpositions engendre equation. Autrement, dit, toute permutation s'écrit comme un produit de transpositions.

Reprenons notre exemple (il s'agit d'une permutation paire):

equation   (9.71)

En général, un k-cycle s'écrit donc comme produit de k-1 transpositions.

Comme les permutations d'un ensemble fini constituent un groupe. Cela signifie (entre autres choses) qu'il existe donc toujours un entier k, tel que p opéré k fois est la transformation identité (c'est-à-dire l'opération qui ne change rien).

Démonstration:

Si G est un groupe fini et que equation, nous considérons la suite d'éléments (se ra,ppeler que dans un groupe il ,n'y a, qu'une opération et donc le carré, le cube, etc. signifie que nous composons cette opération!):

equation   (9.72)

Par exemple, dans les groupes de permutations, l'opération est la composition des permutations.

Étant donné que G est fini et que cette suite est infinie, il existe forcément deux éléments égaux dans  la suite... Il existe donc deux indices différents n et m tels que:

equation   (9.73)

En supposant que equation, l'égalité précédente se simplifie et nous obtenons:

equation   (9.74)

e est l'élément neutre du groupe.

equationC.Q.F.D.

Nous allons voir que les permutations étant bijectives, nous pouvons créer sur des groupes finies des compositions d'opération de permutation qui finissent toujours par ramener à l'état initial (application identité).

Exemples:

E1. Dans une liste de 5 objets, nous échangeons le premier et le troisième, et, en même temps, nous faisons passer le deuxième en position 4, celui qui est en position 4 est mis en position 5 et celui qui est en position 5 est mis en position 2. En nous réitérons. Cela donne:

equation   (9.75)

Nous sommes revenus au point de départ après 6 étapes.

E2. Considérons la "transformation du Photomaton" d'une image de Mona Lisa de dimension de 256 par 256 pixels:

equation
Figure: 6.8 - Transformation du Photomaton

Nous pouvons avoir l'impression que chaque image a été obtenue à partir de la précédente en réduisant la taille de l'image de moitié, ce qui a donné quatre morceaux analogues que nous avons placés en carré pour obtenir une image ayant la même taille que l'image d'origine. Mais en fait il n'est est rien! Le nombre de pixels a été conservé (aucun pixel n'est dupliqué!!!) et en fait nous avons seulement déplacé les pixels par permutation pour avoir quatre images qui ne contiennent pas réellement toute l'information de l'image d'origine mais seulement une partie.

En réitérant la procédure 8 fois, nous retombons toujours sur l'image d'origine quelle que soit l'image de départ. La question est de comprendre alors pourquoi?

Considérons que l'image d'origine est un carré d'une taille de 16 pixels de large par 16 pixels de haut (mais vous pouvez appliquer ce qui va suivre avec une image rectangulaire de n'importe quelle taille et vous verrez que cela marche aussi!). Chaque pixel d'une ligne (la démarche est exactement la même pour les colonnes!) est identifié par une coordonnée selon l'axe X allant de 0 à 15.

Nous avons ainsi une suite de nombres au début où les coordonnées de pixels correspondant à la leur coordonnée x:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15   (9.76)

Nous faisons alors la permutation qui consiste à noter k la position d'un pixel et de faire:

equation   (9.77)

Cela donne alors à la première permutation:

equation   (9.78)

Ainsi, pour une image de 16 par 16 pixels, il faut quatre permutations, ce qui correspond à equation. Donc, pour une image de 256 pixels, nous avons equation, dhuitoù le fait qsu'il faille 8 permutation pour retrouver la Mona Lisa d'origine avec:

equation   (9.79)

Ainsi, dans le cas général d'une image de largeur L en nombre de pixels en comptant à partir de 1, la transformation est:

equation   (9.80)

equation est la valeur entière supérieur la plus proche au cas où L serait impair.

Le lecteur aura remarqué aussi peut-être remarqué quelque chose d'intéressant si nous reprenons notre exemple avec l'image de 16 pixels... Effectivement, prenons le troisième pixel depuis la gauche de coordonnée x égale à 2. En binaire, sa position initiale est alors 0010. Après la première permutation, sa coordonnée x est égale à 1, soit en binaire: 0001. Après la deuxième permutation, sa coordonnée x est égale 8, soit en binaire: 1000, etc. Au fait nous voyons que chaque permutation se résume en binaire à décaler les bits vers la droite.

Définition: Soit equation une permutation. Nous disons que equation est "permutation paire" si, dans une écriture de equation comme produit de transpositions, il y a un nombre pair de transpositions. Nous disons que equation est "permutation impaire" si, dans une écriture de equation comme produit de transpositions, il y a un nombre impair de transpositions.

Finissons par un petit complément... Nous avons que equation est un groupe des permutations d'ordre 3 avec donc 3!=6 permutations possibles.

Si nous énumérons les 6 permutations nous avons vu que nous obtenons:

{(1), (1  2),(1  3),(2  3),(1  2  3),(1  3  2)}   (9.81)

Parmi celles-ci certaines seulement peuvent être écrites comme un produit pair de transpositions:

(1  2  3)=(1  2)(3  1) et (1  3  2)=(1  3)(2  1)   (9.82)

Les permutations paires forment avec la permutation identité id, un sous-groupe (non commutatif) que nous appelons le "groupe alterné d'ordre n" et que nous notons equation. C'est facile de le vérifier avec l'exemple précédent.


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CALCUL ALGÈBRIQUECALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL


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