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Algèbre

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??. THÉORIE DES NOEUDS (chapitre non validé)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:22:45 | {oUUID 1.693}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

René Descartes avait imaginé un système du monde, où l'Univers était animé par des tourbillons. À la fin du siècle dernier, Tait et Kelvin ont ressuscité cette théorie, et interprété les liaisons chimiques en imaginant des molécules nouées qui s'enlaceraient.

Les développements ultérieurs de la physique et de la chimie ont amené une autre théorie de la liaison chimique, fondée sur le partage d'électrons entre les atomes (cf. chapitre de Chimie Quantique). Mais le sujet des noeuds était lancé! Dans certains domaines, les noeuds seront... le noeud du sujet.

Remarques:

R1. La dénomination "théorie des noeuds" qui c'est imposée dans la communauté scientifique est assez malheureuse. Certains mathématiciens (francophones) ont choisi à juste raison d'utiliser plutôt la dénomination "théorie des tresses et entrelacs" qui est plus correcte et générale (puisqu'un entrelac est un noeud à plusieurs composantes).

R2. Une grande partie des textes et figures ci-dessous est une reproduction, avec accord, des supports du Professeur Michael Eisermann de l'Université de Stuttgart (http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm)

La théorie mathématique des noeuds a été lancée par les travaux de Little et Kirkman, qui cherchaient donc à donner un fondement aux idées physiques de Tait et Kelvin. Les premières classifications des noeuds utilisaient une image filiforme des noeuds, sans épaisseur, et une projection plane, comme l'ombre portée sur un écran. Un des caractères immédiatement perceptibles concerne les croisements où nous distinguons le brin au-dessus et le brin au-dessous. Les cannages, ou les tressages de bandes, reposent ainsi sur la considération des croisements, et le nombre de tels croisements sera le premier élément de classification.

REPRÉSENTATION DES TRESSES

Voici un exemple de tresse (ensemble de brins) et la chaîne correspondante (une chaîne est une tresse que l'on a refermée):

equationequation
   Figure: ??.1 - Tresse et chaîne (diagramme de noeud) correspondante

Concentrons-nous sur la tresse à gauche de la figure ci-dessus pour commencer et demandons-nous quelle serait la meilleure manière de présenter les choses afin de pouvoir comparer des tresses? Faisons une première tentative avec la représentation suivante d'une tresse particulière:

equation
   Figure: ??.2 - Présentation particulière d'une tresse

Comme les brins d'une tresse sont flexibles et peuvent bouger, nous remarquons de suite que cette représentation a un problème: toutes les tresses sont égales. Effectivement:

equation
   Figure: ??.3 - Exemple de problème de la représentation choisie

Le bon modèle, consiste alors peut-être à fixer les extrémités des deux côtés:

equation
   Figure: ??.4 - Autre choix de représentation

Bien évidemment, avec ce modèle les brins du milieu peuvent encore bouger comme ci-dessous et la tresse reste invariante:

equation
Figure: ??.5 - Premier exemple de tresse invariante

ou encore comme ici:

equation
Figure: ??.6 - Deuxième exemple de tresse invariante

Nous pouvons également translater les croisements et la tresse reste toujours invariante:

equation
   Figure: ??.7 - Translation de croisement et préservation triviale de l'invariance

La longueur n'est par ailleurs pas une variables dans ce modèle:

equation Figure: ??.8 - Invariance par la longueur

GROUPE DE TRESSES

Si nous définissons la multiplication de deux tresses comme étant l'opération qui consiste schématiquement à faire:

equation
Figure: ??.9 - Exemple de multiplication de deux tresses

Nous pouvons nous poser la question si cette opération constitue un groupe du type commutatif?

Rappelons avant cela que nous avons défini la structure de groupe dans le chapitre de Théorie des ensembles de la manière suivante: Nous désignons un ensemble par le terme "groupe", si les composants le constituant satisfont aux trois conditions de ce que nous nommons la "loi interne de groupe", définie ci-dessous:

equation est un groupe si equation

Si de plus, la loi interne equation est également commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe abélien" ou simplement "groupe commutatif".

Commençons par le premier contrôle. Est-ce que cette représentation est associative?:

equation
Figure: ??.10 - Contrôle de l'associativité des tresses (par la multiplication)

La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de brins!

Est-ce que cette représentation est commutative?:

equation
Figure: ??.11 - Contrôle de la commutativité des tresses (par la multiplication)

La réponse est donc NON au-delà de 2 brins (car avec 2 brins elle est commutative)!

Admet-elle un élément neutre?:

equation
Figure: ??.12 - Contrôle de l'existence d'un élément neutre des tresses (par la multiplication)

La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de brins!

Existe-il des éléments inverses (symétriques)?:

equation
Figure: ??.13 - Contrôle de l'existence d'éléments symétriques pour les tresses (par la multiplication)

La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de brins!

Donc les tresses à n brins forme un groupe non commutatif noté equationoù le B stylisé représente le mot "braids" (tresses: en anglais) !

Observons quelque chose d'intéressant en ce qui concerne les tresses à deux brins. Si nous indexons leurs vrilles par des nombres entiers relatifs comme ci-dessous (imaginez la tresse du milieu dont vous faites tourner les extrémités, cela donne toutes les autres vrilles de gauche et de droite):

equation
Figure: ??.14 - Indexation des vrilles de tresses

avec la convention de vrille v positive et vrille v négative:

equation
Figure: ??.15 - Convention d'indexation

Attention au piège! (essayez de le trouver... ce n'est pas toujours facile au premier coup d'oeil):

equation
Figure: ??.16 - Exemple de piège d'indexation

Effectivement, le croisement de droite la deuxième tresse ci-dessus n'est justement pas.... un croisement! Nous disons alors que le nombre de croisement n'est pas un invariant. C'est pour cette raison que ce qui compte est la "vrille" car elle ne change pas sous les mouvements de la tresse et non pas simplement un croisement!!!

equation
Figure: ??.17 - Différence entre vrille et croisement

Nous remarquons que nous avons alors en ce qui concerne la multiplication des tresses (cf. chapitre de Théorie des Ensembles) et leur indexation sous forme du nombre de vrilles les propriétés suivantes:

equation  (??.1)

Donc le groupe multiplicatifs des tresses à 2 brins est une homorphisme de groupe avec la loi d'addition du groupe des entiers relatifs. De plus, nous voyons trivialement que l'application f est bijective. Nous avons dès lors un isomorphisme de groupes! Au delà de 3 brins, nous avons vu que le groupe n'était plus commutatif!

REPRÉSENTATION DES NOEUDS

Revenons à la première figure présentée plus haut:

equationequation
   Figure: ??.18 - Tresse et chaîne (diagramme de noeud) correspondante

Une première difficulté apparaît alors pour l'image de droite (qui est un "diagramme de noeud"): un noeud (chaîne avec un seul brin) est un objet géométrique à trois dimensions, et nous utilisons une représentation plane obtenue en projetant le noeud sur un plan. Ceci pourrait donc compliquer les choses... nous verrons!

Remarque: Tout noeud ou toute chaîne peut donc être obtenue à partir d'une tresse.

Il existe alors de nombreux points de vue possibles, et diverses apparences d'un même noeud. Deux noeuds de projections différentes sont-ils distincts (non isotopes) ? Dans la première table publiée (celle de Tait et Little) le nombre minimal de croisements est utilisé comme principe de classification (jusqu'à dix croisements) et il fallut presque un siècle pour détecter une duplication: deux noeuds identiques avaient été pris pour différents.

En pratique un noeud ressemble plutôt à ceci:

equation
   Figure: ??.19 - Exemple d'un noeud dans la vie réelle

 

Mais les mathématiciens ont pris l'habitude de connecter les deux extrémités de la corde pour obtenir ceci:

equation
  Figure: ??.20 - Représentation par un matheux

donc un noeud est toujours une boucle qui se referme sur elle-même. En d'autres termes, un noeud ouvert est toujours équivalent à un noeud fermé:

equation
  Figure: ??.21 - Équivalence entre un noeud ouvert et un noeud fermé

Un noeud fermé peut paraître différent suivant l'angle sous lequel on le regarde. Ainsi, les deux noeuds ci-dessous sont deux représentations du même type de noeud appelé le "noeud de trèfle".

equationequation
Figure: ??.22 - 2 perspectives différentes du noeud de trèfle

Nous pouvons également nous poser la question si le noeud de trèfle à gauche et son miroir à droite son égaux?:

equation
Figure: ??.23 - Recherche d'égalité entre symétrie miroir du noeud de trèfle

ou la même question mais lorsque les deux noeuds sont fermés:

equation
Figure: ??.24 - Même situation mais en fermant le noeud

Plus difficile, Perko a montré que ces deux noeuds de la paire dite "paire de Perko", sont en fait le même noeud:

equation
Figure: ??.25 - Exemple d'une paire de Perko

Il n'est donc pas évident de savoir lorsque deux objets physiques représentent fondamentalement le même noeud. Mais, c'est cela qui intéresse les mathématiciens. Plus précisément, ils aimeraient classifier les noeuds, c'est-à-dire déterminer tous les types de noeuds qui sont fondamentalement différents et pas simplement en apparence (c'est la même idée qu'en topologie ou les mathématiciens ont réussie à démontrer que tout volume se réduisait à trois volumes primaires).

GROUPE DE NOEUDS

Au même titre que nous l'avons fait pour les tresses, regardons si les noeuds forment un groupe?

Donc nous définissons la multiplication de deux noeuds comme étant l'opération qui consiste schématiquement à faire:

equation
Figure: ??.26 - Rappel de la définition de la multiplication de deux noeuds

Nous pouvons nous poser la question si cette opération constitue un groupe du type commutatif?

Commençons par le premier contrôle. Est-ce que cette représentation est associative?:

equation
Figure: ??.27 - Vérification de la commutativité de noeuds (par la multiplication)

La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de noeuds!

Admet-elle un élément neutre?:

equation
Figure: ??.28 - Vérification de l'existence d'un élément neutre pour les noeuds (par la multiplication)

La réponse est donc OUI quel que soit le nombre de brins!

Est-elle commutative?:

equation
Figure: ??.29 - Vérification de la commutativité de noeuds (par la multiplication)

Donc contrairement aux tresses OUI!

Existe-il des éléments inverses (symétriques)?:

equation
Figure: ??.30 - Vérification de l'existence d'un élément neutre pour les noeuds (par la multiplication)

et ça c'est une des grandes questions!

Avec le temps et les efforts des mathématiciens, trois points de vue mathématiques essentiels pour l'étude des noeuds se sont dégagés afin de résoudre différents problèmes:

1. Topologique, où le noeud est conçu comme la réunion d'un nombre fini de courbes fermées, à déformations près.

2. Algébrique, où l'on dénombre des croisements par exemple, et où l'on associe les groupes aux noeuds.

3. Géométrique, où l'on tient compte de la forme du noeud, en mesurant longueurs ou angles. En particulier, l'idée du nombre de rotations apparaît sous la forme de vrillage et de nombre d'entrelacements, et ces notions sont fondamentales pour l'étude des ADN en biologie moléculaire.

L'articulation entre ces points de vue est délicate. Il y a des évidences difficiles à prouver rigoureusement – qu'on songe au théorème de Jordan qui affirme qu'une courbe fermée plane, sans croisement, délimite un intérieur et un extérieur ! Il a fallu presque deux siècles pour définir correctement la notion de courbe, et il y a des noeuds sauvages à écarter avant toute classification. Il faut du soin pour définir correctement les déformations des noeuds, que le mathématicien appelle "isotopies".

L'idée mathématique la plus efficace pour l'étude des noeuds est celle de "noeud invariant". Un invariant d'un noeud est une caractéristique (nombre entier, nombre réel, polynôme, groupe...) qui reste inchangée lors d'une déformation. Si nous disposons d'un invariant, nous pouvons affirmer que deux noeuds sont vraiment différents quand l'invariant ne prend pas la même valeur pour les deux noeuds. Mais si deux noeuds ont le même invariant, nous ne pouvons affirmer qu'ils sont du même type (déformable l'un en l'autre). Un exemple typique de deux noeuds ayant le même invariant et pour lesquels il n'est pas trivial de dire s'ils sont isotopes est le trèfle de droite et celui de gauche lorsque l'invariant choisi est le nombre de croisements c(D). Il faudrait pour cela disposer d'un système complet d'invariants.

Le mathématicien russe V. Vassiliev a introduit en 1990 une classe nouvelle d'invariants. Il reste à les rendre explicitement calculables et à prouver qu'ils forment un système complet, comme on le pense généralement.

Henri Poincaré a introduit vers 1900 la notion de groupe fondamental d'un espace, qui décrit les possibilités de parcours avec retour au point de départ. Appliqué à l'espace extérieur à un noeud, cela fournit le "groupe du noeud" et le "polynôme d'Alexander" qui lui est lié (voir plus loin dans la partie formalisation mathématique).

La même construction appliquée à ce qu'on appelle l'espace de configuration donne une définition efficace des groupes de tresses. Ces groupes ont été introduits, sous une forme intuitive, vers 1920, par le mathématicien viennois Emil Artin, un des pères de l'algèbre moderne. Dès 1937, le mathématicien russe Markov relie les noeuds et les tresses, et donne une méthode théorique pour définir, au moyen des tresses, des invariants des noeuds.

Il y a 15 ans, les groupes de tresses étaient une curiosité et leur complexité était rebutante. Puis, brusquement, ils sont devenus un thème central de la recherche scientifique. Donnons une idée de la diversité des points de vue qui mènent aux groupes de tresses:

1. En géométrie, le mathématicien russe Vladimir Arnold a classifié sous le nom de "catastrophes" des singularités de configurations géométriques, qui amènent aux espaces de configuration.

2. En algèbre, plus précisément dans la théorie des groupes, deux avatars des groupes de tresses (les groupes de Coxeter et les algèbres de Hecke) jouent un rôle central.

3. En mécanique statistique, l'étude des modèles exactement résolubles se fait grâce à l'emploi des relations de Yang-Baxter et des groupes quantiques ; le lien avec les groupes de tresses est profond.

4. La physique à deux dimensions a pris récemment beaucoup d'importance, et on en attend un modèle de la supraconductivité à haute température. La classification usuelle des particules en fermions et bosons se complique à deux dimensions. La notion nouvelle est celle d'anyon, dont le modèle mathématique est lié aux groupes de tresses.

5. La théorie quantique des champs est le modèle mathématique des particules élémentaires. Edward Witten a fait le pont entre cette théorie et les groupes de tresses, via le polynôme de Jones.

La théorie des noeuds constitue ainsi une interface très active entre physique et mathématiques. Les noeuds et les tresses fournissent aujourd'hui un outil de modélisation efficace de la physique des polymères aux cristaux liquides, en passant par la biologie moléculaire. Dans la direction opposée, les idées importées de la physique ont déclenché une révolution en mathématiques: d'un sujet un peu marginal il y a encore 15 ans, la théorie des noeuds est devenue aujourd'hui l'un des grands chantiers mathématiques.

NOEUDS DE TAIT

L'objectif principal de la théorie des noeuds est de classifier tous les noeuds et trouve son origine dans la physique au début du 19ème siècle comme nous en avons déjà fait mention. Pourquoi ?

Rappelons qu'à cette époque, les atomes étaient un mystère: pourquoi ceux-ci semblaient-ils indestructibles et pourtant existant en tellement de variétés et capables de se combiner pour donner d'innombrables autres composants ?

A cette époque, les plus belles équations de la physique (qui sont souvent de bons candidats pour expliquer des choses que nous ne comprenons pas...) étaient les équations de Maxwell, il était alors naturel (ou tentant) pour les physiciens d'essayer d'expliquer la mécanique atomique en terme d'électromagnétisme, même si nous savons aujourd'hui que cette voie était destinée à l'échec. Plus tard au milieu du 19ème, les ondes électromagnétiques étaient largement conceptualisées comme des vibrations d'un milieu appelé à l'époque "éther luminophore". Le référentiel de cet éther était alors défini (ou du moins supposé) comme étant un référentiel absolu. Mais seulement... plus tard, les expérimentateurs Michelson et Morley, montrèrent que le mouvement relatif de notre planète dans cet éther était indétectable (et même pire... ils mesurèrent la constance absolue de la vitesse de lumière!). Leurs expériences amenèrent par ailleurs Einstein et Poincaré a développer leur fameuse théorie de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Il était alors à l'époque très gênant de travailler avec le concept suivant: il y a avait des ondes sans rien qui ondulaient ! Ceci du au fait, qu'à l'époque, les physiciens avaient fortement tendance à comprendre l'électrodynamique avec des analogies mécaniques. Maxwell, par exemple, a passé pas mal de temps à conceptualiser les champs électriques et magnétiques en terme de "tubes fins, de section variable, transportant un fluide incompressible". Une raison pour cela était la forme des équations de Maxwell dans le vide (voir le chapitre d'électrodynamique):

equation   (??.2)

ce qui est, il est vrai, similaire à la mécanique des fluides (voir chapitre du même nom) où nous avons pour un fluide incompressible sans viscosité et sans tourbillons:

equation   (??.3)

Plus généralement, dans le cas où la rotationnel equation est non nul, Helmoltz montra en 1858 que les lignes de champ du vortex – définies par les lignes de equation - se déplacent dans la direction de equation comme si elles avaient une existence propre (alors là c'est la brèche ouverte bien évidemment...!). Ces lignes ne pouvaient avoir de fin mais pouvaient former des boucles.

En 1867 le mathématicien P. G. Tait (assistant de Hamilton et un champion des quaternions) trouva une méthode ingénieuse pour démontrer cet effet en coupant un trou circulaire dans une boîte, en remplissant celle-ci avec de la fumée, et en expulsant ensuite la fumée par compression de l'air dans la boîte formant ainsi des cercles de fumée. Il montra par ailleurs ceci à son ami Kelvin qui nota l'analogie avec l'électromagnétisme et proposa une théorie dans laquelle les atomes étaient des vortex (noeuds) dans l'éther ! Il émit l'hypothèse que les différentes types d'atomes correspondaient a différents types de vortex noués (oui c'est un peu tiré par les cheveux mais bon...) !

Tait essaya par la suite de classifier (voir tableau plus bas) les lignes nouées en accord avec:

1. Le nombre d'entrelacements quand celles-ci sont projetées sur un plan

2. En ne représentant que les "noeuds premiers"

Définition: Un noeud peut être compliqué parce qu'il est la succession de noeuds simples:

equation
Figure: ??.31 - Exemple d'une succession de noeuds sur un noeud ouvert

Ces noeuds simples (à un brin) peuvent être séparés en coupant la corde:

equation
Figure: ??.32 - Séparation du noeud

Un noeud premier est donc un noeud qui ne peut être séparé en noeuds plus simples: couper la corde dénoue le noeud.

Classifier les noeuds c'est donc chercher à déterminer les briques élémentaires: tous les noeuds premiers. La liste que Tait obtint dans un premier temps fut les noeuds suivants (dans l'espoir d'obtenir le tableau périodique des éléments version "éther"...) et si nous vous conseillons au besoin de vous munir d'une ficelle pour vous assurer qu'ils sont bien premiers (des fois cela est difficile mentalement):

equation
Figure: ??.33 - Classification des noeuds de Tait

Remarque:

R1. Ce tableau est très important nous y ferons très souvent référence lors d'exemples applicatifs en utilisant la nomenclature qui y est proposée.

R2. Les valeurs correspondantes dans le tableau ci-dessus, appelées "mesures de complexité du noeud", sont notées equation en toute généralité où c(D) est le nombre de croisements, c(B) le nombre de brins, et Id le numéro d'identifiant du noeud dans la classe c(D).

La beauté de cette théorie des "atomes vortex" résidait dans le fait qu'il était en accord avec l'aspect continu du monde merveilleux des fluides, ou aux équations de Maxwell par extension, pour discrétiser les différentes types d'atomes. Une difficulté cependant avec cette théorie était la remarquable stabilité des atomes. En 1905 Kelvin admit qu'après de nombreuses années d'échecs à tenter de prouver que le mouvement des cercles de Helmholtz était stable, que la conclusion était que ces cercles étaient essentiellement instables et devaient donc se dissiper. Curieusement c'est cette stabilité extrême des atomes qui fut une des pièces du puzzle pour construire la physique quantique corpusculaire.

De plus, avec la théorie de la relativité, le concept d'éther cher à Maxwell et ses contemporains, en particulier en ce qui concerne la théorie des noeuds, devint synonyme d'un concept inutile et avec en plus la théorique quantique la théorie des atomes vortex fut complètement oubliée. La théorie des noeuds ressurgit à cause de quelques conjectures que Tait ne fut pas capable de démontrer (nous y reviendrons) qui le furent seulement dans les années 1980 dans un tournant hasardeux de la physique théorique.

Ce que les physiciens abandonnèrent intrigua et continue d'intriguer les mathématiciens. La question de base restant la même: comment pouvons nous dire que deux noeuds sont "isotopes" (nous définirons plus loin de quoi il s'agit). Cette question est intimement reliées aux fameuses conjectures de Tait. Pour attaquer ces conjectures et les questions basiques de ressemblance des noeuds, les topologistes ont développé les noeuds invariants. Un exemple d'un noeud invariant connu et ayant eu beaucoup de succès sont les polynômes d'Alexander découverts par J. W. Alexander en 1927 (voir plus loin). Ainsi, si les polynômes de deux noeuds sont différents, ceux-ci ne sont alors pas isotopes. Malheureusement, il existe quelques noeuds ayant des polynômes d'Alexander équivalents et qui sont pourtant non isotopes...

La théorie mathématique des noeuds se développe alors pendant une cinquantaine d'années et était un peu tombée en désuétude lors du coup de tonnerre de la découverte par Jones en 1984 d'un nouvel invariant des noeuds (le polynôme de Jones). La découverte de Jones est assez exemplaire du point de vue scientifique et peut donner lieu à méditation sur l'organisation actuelle de la science. Jones n'était pas du tout un spécialiste des noeuds. Il s'intéressait à la classification des facteurs dans les algèbres de Von Neumann (analyse fonctionnelle). Il a obtenu des algèbres de matrices dont les relations de commutation (équations de Yang-Baxter) étaient proches des relations du groupe de tresses. Des tresses aux noeuds, il n'y a qu'un pas qu'il a franchi avec l'aide de Joan Birman qui est une spécialiste des noeuds.

Nous assistons ensuite à une explosion de découvertes: version purement combinatoire, nouveaux polynôme, etc. En 1989, Witten montre que le polynôme de Jones peut être obtenu à partir de la théorie quantique des champs au moyen d'une intégrale de Feynman, donnant ainsi la première définition n'utilisant pas les projections planes du noeud. D'une certaine façon la théorie de Jones-Witten est une extension non commutative du travail de Gauss. Le groupe de Lie (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste) qui intervient en magnétisme est U(1), alors que l'invariant de Witten est une intégrale de Feynman sur un espace de SU(2)-connections.

FORMALISATION MATHÉMATIQUE

Un noeud est modélisé mathématiquement par une application injective, différentiable et dont la dérivée ne s'annule pas, du cercle dans l'espace orienté de dimension 3 (noeud trivial).

Les deux problèmes centraux de la théorie des noeuds est de pouvoir décider de façon calculable si le noeud est trivial (peut se défaire sans couper la ficelle...) ou non (ce problème n'est pas résolu) et si deux noeuds sont vraiment équivalents.

Le premier type de problème peut être bien représenté quant au fait de déterminer si le noeud suivant est noué ou non...?:

equation
Figure: ??.34 - Noeud noué?

La réponse est non comme le montre la figure ci-dessous (lire de gauche à droite et de haut en bas):

equation
equation
equation
equation
equation
Figure: ??.35 - Eh ben non....

Le but pour le deuxième problème est d'associer aux noeuds des objets mathématiques calculables (polynômes, nombres) appelés "invariants du noeud" et qui sont insensibles à une déformation du noeud. Si l'invariant n'est pas égal à celui du noeud trivial qui est:

equation
Figure: ??.36 - Noeud trivial

nous sommes sûr que le noeud n'est pas trivial. Et par exemple, le noeud non trivial le plus simple est le noeud de trèfle:

equation
Figure: ??.37 - Noeud de trèfle

Le problème est donc de trouver des invariants assez fins. Nous en décrirons deux:

1. Le nombre d'entrelacement (de 2 noeuds) du à Gauss et qui intervient en électromagnétisme

2. Le polynôme de Jones (introduit dans les années 1985 par Vaughan Jones médaille Fields 1990), qui est assez subtil pour distinguer par exemple le noeud de trèfle droite du gauche.

Nous décrirons aussi une classe générale d'invariants: les invariants de type fini ou de Vassiliev. Ces invariants définis de façon assez peu constructive sont peut-être des invariants complets, mais nous ne le savons pas à ce jour. Nous décrirons le nombre d'entrelacement de 2 noeuds comme un invariant combinatoire calculable à partir d'un diagramme des noeuds. Nous écrirons ensuite la formule intégrale classique liée au magnétisme (Gauss) pour le calculer. Nous ferons alors un petit détour par la géométrie différentielle globale des courbes de l'espace tridimensionnel pour montrer la formule de White qui relie 3 invariants géométriques associés à un ruban. Nous décrirons ensuite les nouveaux invariants polynomiaux d'un point de vue combinatoire. Le point de vue intégrales de Feynman sera évoqué.

Vassiliev a introduit une famille générale d'invariants qui contient la plupart des invariants connus et dont nous pouvons dire qu'ils sont de type fini. Nous en décrirons le principe.

Remarque: Nous avons délibérément choisi de ne pas énumérer un certain nombre de définitions (aussi nombreuses qu'en théorie des graphes) que le lecteur pourra trouver facilement dans littérature ou sur Internet. Nous nous permettons de le omettre dans le sens qu'elles ne nous seront pas utiles dans l'application de la théorie des noeuds en physique quantique des champs (et que mis à part pour ceux qui aiment faire de petits dessins elles sont inutiles).

Définitions:

D1. Un noeud peut-être défini (car il existe plusieurs définitions possibles et certaines ont de petits aléas assez embêtants...) par l'image du cercle noté equation par une application continue (la ficelle étant supposée telle quelle), injective (ceci évitant que la ficelle rentre dans elle-même):

equation   (??.4)

autrement dit, c'est une courbe sans point double, tracée dans l'espace euclidien de dimension trois.

Un noeud est donc représenté par une application injective equation (imposer des noeuds de classe equation permet d'éviter d'avoir des courbes trop... sauvages) vérifiant que equation (noeud fermé). L'image de f est parfois appelée "support du noeud f": c'est la réalisation "physique" du noeud dans l'espace.

Remarque: L'ensemble des noeuds sera par la suite noté par la lettre N

D2. Nous disons qu'un noeud est un "noeud trivial" si l'application f qui le définit se prolonge en une application du disque equation continue et toujours injective: un noeud trivial est donc un noeud qui bord un disque plongé de equation.

D3. Deux noeuds equation sont équivalents s'il existe une application continue:

equation   (??.5)

telle que equation et equation. Reste donc à trouver F qui est une courbe dans l'espace des courbes.

Pour résumer grossièrement..., un noeud est une ficelle dont nous avons soudé les deux extrémités.

D3. Le c(K) d'un noeud K est le nombre entier naturel représentant le nombre minimum de croisements pour tout diagramme d'un type de noeud (c'est une mesure naturelle de complexité).

exemple Exemple:

Le noeud equation à un equation nul. Il n'existerait pas de noeuds avec un c(K) est à un ou à l'unité. Une preuve consiste à énumérer tous les diagrammes possibles avec un ou deux croisement et de voir que ceux sont au fait sont des noeuds équivalents de type equation ou des entrelacs. Le trèfle (noeud equation) a un equation.

D4. L'image miroir equation d'un noeud K est obtenue par réflexion sur un plan dans R3. Le noeud K peut-être construit par inversion des croisements du diagramme du noeud:

equation
Figure: ??.38 - Image miroir par inversion de croisements

Nous pouvons facilement nous en convaincre en prenant une réflexion en pliant la page de lecture ou encore mieux... en s'équipant du matériel adéquat et d'un miroir (...).

exempleExemple:

Avec le noeud equation ("trèfle gauche" et "trèfle droite"):

equation
Figure: ??.39 - Miroir du noeud de trèfle

Nous remarquons par ailleurs que dans la table de Tait, les noeuds miroirs distincts ne sont pas représentés!

D5. Deux noeuds sont dits "noeuds isotopes" si nous pouvons passer de l'un à l'autre par des manipulations continues (le trèfle gauche et le trèfle droit ne sont par exemple pas isotopes!) et il s'agit du problème numéro 1 de la théorie des noeuds: détecter les noeuds isotopes.

D6 Deux noeuds sont dits "noeuds équivalents" s'ils sont isotopes ou si l'un est isotope à l'image de l'autre dans un miroir. D'après ce qui précède, chaque noeud est donc forcément équivalent à sa propre image-miroir mais seuls les noeuds réflexifs sont isotopes à leur image dans un miroir. Le noeud en huit equation est un bon exemple de ce genre de noeuds, qui sont par ailleurs assez rares:

equation
Figure: ??.40 - Isotopie de noeuds

D7. Un "entrelac" est une sous-variété (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) compacte (cf. chapitre de Topologie), de classe equation et de dimension 1.

D8. Le "nombre de composantes connexes" est noté equation. Si equation nous disons que E est un noeud.

La plupart du temps les entrelacs seront orientés (cf. chapitre de Théorie Des Graphes), et nous identifierons les entrelacs isotopes. Nous représentons donc les entrelacs dans le plan en les projetant et en spécifiant le type de points de croisement.

exempleExemple:

Entrelacs à trois composantes connexes (à gauche) et noeud de trèfle (à droite).

equation
Figure: ??.41 - Entrelacs à trois composantes connexes

Les isotopies permettent de démêler les entrelacs.

Définition: Une "isotopie" est une opération qui laisse un noeud invariant. En d'autres termes, c'est un mouvement du noeud qui ne le déforme/change pas.

Elles donnent dans le plan trois types de mouvements particuliers appelés "mouvements de Reidemeister":

equation
Figure: ??.42 - Représentation des mouvements de Reidemeister

Il s'agit donc bien de trois opérations simples permettant de changer une partie d'un noeud sans changer la nature du noeud lui-même.

Donc deux diagrammes représentent les mêmes noeuds, si nous pouvons passez de l'un à l'autre par une suite finie de mouvements de Reidemeister. Ainsi, avec l'exemple ci-dessous, nous montrons que le noeud initial, est équivalent au noeud trivial:

equation
Figure: ??.43 - Exemple simpliste d'application des mouvements de Reidemeister

En biologie les brins d'ARN et ADN ainsi que les filaments d'acides aminés s'enroulent selon des formes tridimensionnelles complexes (ce sont des tresses fermées: un cas plus général des noeuds). Or, souvent, au travers des microscopes, nous ne voyons qu'une projection bidimensionnelle. Les invariants permettent de remonter à des informations tridimensionnelles à partir des vues 2D que nous avons:

equation
Figure: ??.44 - Exemple de brin d'ARN ou d'ADN

D'autre part, les biologistes ont observé des molécules d'ADN nouées et ont constaté que la nature topologique de la molécule d'ADN, c'est-à-dire le type de noeud formé par la molécule, influe sur son fonctionnement dans les cellules en conditionnant certaines de ses propriétés chimiques. Les virus attaquent les cellules pour en changer les longues molécules d'ADN en les nouant de différentes façons. En effet, par le biais d'enzymes appelées les topoisamérases, les virus coupent et recollent différemment les brins de la molécule d'ADN de telle sorte qu'elles prennent la forme d'un noeud qui peut être très complexe. Il s'avère que le type de noeud obtenu est en quelque sorte la carte de visite du virus. Pour lutter efficacement contre les virus, il est impératif de reconnaître leur signature par leur action sur l'ADN. Par conséquent pour identifier les différents virus il faut pouvoir reconnaître les différents types de noeuds et c'est en cela que la théorie des noeuds peut aider le biologiste.

Remarque: L'identification du type de noeud en biologie moléculaire a été transformée par des centres de recherche en des jeux en ligne dont le but est de mettre la population à contribution de manière ludique pour trouver une solution au problème. Cela semble bien marcher puisqu'en fin 2011, des joueurs auraient fait une découverte pertinente concernant l'analyse de protéines.

Il existe également un théorème comme quoi deux entrelacs sont isotopes si et seulement si nous pouvons passer de l'un à l'autre par une suite finie de mouvements de Reidemeister.

Démonstration: À faire avec un lacet....

equationC.Q.F.D.

D8. Trois entrelacs equation sont dits "entrelacs associés" (ou "entrelacs en association") s'ils ne diffèrent qu'en un point de croisement et qu'en ce point ils sont dans une des configurations suivantes:

equation
Figure: ??.45 - Exemples d'entrelacs associés

Nous notons equation l'ensemble des classes d'entrelacs et nous nous intéressons désormais à des fonctions equationA sera un anneau commutatif (le lecteur n'oubliera pas que nous avons vu que les coefficients de polynômes sont des éléments d'un anneau).

Remarque: Il faut aussi se rappeler qu'un noeud est une courbe et que toute courbe peut être représentée par un polynôme d'où l'idée!

D9. P est dit "invariant par association" (par association des entrelacs...) si:

equation   (??.6)

et s'il existe equation inversibles (!) tel que pour tout triplet d'entrelacs associées equation nous ayons:

equation   (??.7)

Nous pouvons déjà démontrer de façon assez élémentaire que si un tel polynôme existe, alors il est uniquement déterminé par les coefficients de la relation précédente. Nous résumons cela dans le théorème suivant: Si P est invariant par association, alors il est uniquement déterminé par les coefficients equation.

Démonstration:

Remarquons d'abord que:

equation   (??.8)

equation désigne le noeud composé de r cercle démêlés. En effet, la relation equation et la propriété d'invariance de P appliquée aux entrelacs suivants:

equation
Figure: ??.46 - Exemple de notation des démêlés

donne:

equation   (??.9)

Nous obtenons alors:

equation   (??.10)

Ainsi, par récurrence sur r nous obtenons:

equation   (??.11)

equationC.Q.F.D.

En d'autres termes, la fonction P peut s'exprimer uniquement par ses coefficients !!! Donc nous pourrions maintenant essayer de voir si un noeud plein d'entrelacs peut être toujours se ramener à desequation de manière récursive.

Remarque: Il fallait y penser cependant....

REPRÉSENTATION PLANAIRE

Nous supposons que le noeud est dans l'espace euclidien de dimension trois orienté. Nous nous intéressons aux projections de ce noeud sur le plan equation. Il est claire intuitivement que nous pouvons supposer que noeud n'a aucune tangente verticale et que les points de croisement sont seulement doubles et transversaux. Une telle projection sera appelée "bonne projection".

Nous indiquons ensuite à chaque point de croisement quel est le brin qui passe au-dessus de l'autre. Un tel dessin représente un noeud de façon non ambiguë: nous disons que nous avons un "diagramme de noeud". Bien sûr, deux noeuds équivalents ont des bonnes projections qui donnes des diagrammes de noeuds différents en général (c'est là que réside une des difficultés aussi) Il est donc important de pouvoir lire l'équivalence de deux noeuds directement sur leurs diagrammes. Un diagramme du noeud du trèfle droit equation:

equation
Figure: ??.47 - Représentation d'un diagramme de noeud

Remarque: Le noeud de trèfle est le noeud ayant le nombre minimal de croisements, à savoir 3 ; il en existe en fait deux, énantiomorphes (images l'un de l'autre par réflexion). Il s'agit au fait d'un simple noeud dont on a soudé les extrémités. Le noeud de trèfle est enfin le bord d'un ruban de Möbius à 3 demi-torsions ainsi que le noeud torique d'ordre (3,2) (3 enroulements autour du tore, sur deux tours), ainsi que celui d'ordre (2,3).

Comme un dessin n'est pas forcément facile à transmettre, ni à mettre dans un ordinateur, nous pouvons aussi donner un codage du diagramme du noeud par une matrice à coefficients entiers à trois lignes et dont les nombre de colonnes est égal au nombre de points doubles.

Nous numérotons les 2n points de croisement sur la courbe fermée (cercle) dans l'ordre où ils arrivent. Nous remarquons que les paries sont toutes formées d'un nombre pair et d'un nombre impair. Nous fabriquons alors les deux premières lignes de la matrice en mettant dans chaque colonne les deux numéros donnant la même projection: les impaires sur la première ligne, les pairs sur la seconde. Nous ajoutons alors à chaque colonne, un equation qui indique l'orientation des 2 brins (orienté) (+1 si celui de dessous traverse de droite à gauche quand nous parcourons celui de dessus, -1 sinon). Par exemple, la matrice associée au noeud de trèfle de la figure précédente est:

equation   (??.12)


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CALCUL TENSORIELANALYSE FONCTIONNELLE


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