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Analyse

ANALYSE FONCTIONNELLE | ANALYSE COMPLEXE | TOPOLOGIE | THÉORIE DE LA MESURE

19. THÉORIE DE LA MESURE (ET DE L'INTÉGRATION)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:22:48 | {oUUID 1.698}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La mesure, au sens topologique, va nous permettre de généraliser la notion élémentaire de mesure d'un segment, ou d'une aire (au sens de Riemann, par exemple) et est indissociable de la nouvelle théorie de l'intégration que Lebesgue mettra en place de 1901 à 1902 et que nous allons aborder ici afin de construire des outils mathématiques beaucoup plus puissant que l'intégrale simple de Riemann (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). 

La théorie de la mesure va également nous permettre de définir avec rigueur le concept de mesure (peu importe la mesure de quoi) et ainsi de revenir sur des résultats importants de l'étude des probabilités (cf. chapitre de Probabilités). Effectivement, nous allons voir (nous définirons le vocabulaire qui suit plus loin) pourquoi (U, A, P) est un "espace de probabilités" où A est au fait une tribu sur U et P une mesure sur l'espace mesurable (U, A).

Avertissement: Le niveau d'abstraction et de volonté requis pour la lecture et la compréhension de ce chapitre est assez élevé. Il faut être à l'aise avec les notions vues en théorie des ensembles ainsi qu'en topologie.

ESPACES MESURABLES

Quand en mathématiques, nous dérivons, intégrons ou comptons, nous effectuons de manière implicite une mesure d'un objet ou ensemble d'objets. Rigoureusement, les mathématiciens souhaitent définir comment peut être structuré la chose mesurée, comment faire une mesure de celle-ci et les propriétés en découlant!

Définitions:

D1. Soit E un ensemble, une "tribu" (ou "σ-algèbre") sur E est une famille equation de parties de E vérifiant les axiomes suivants:

A1. equation(voir exemples plus bas - E étant considéré comme élément)

A2. Si A est un élément d'une tribu alors equation. Ce qui signifie que equation est "stable par passage au complémentaire". Cet axiome implique que l'ensemble vide equation est toujours un élément d'une tribu!

A3. Pour toute suite equation d'éléments de equation nous avons equation . Nous disons alors que equation est "stable par union dénombrable".

Par exemple, la graduation d'une simple règle de mesure... satisfait ces trois axiomes.

Remarques:

R1. Nous écrivons equation car nous considérons avec cette notation E non plus comme un sous-ensemble de equation mais comme un élément de equation!

R2. Les cas non dénombrables sont typiques de la topologie, de la statistique ou du calcul intégral!

D2. Le couple equation est appelé "espace mesurable" et nous disons que les éléments de equation sont des "ensembles mesurables".

D3. Si dans le troisième axiome nous imposons que equation soit stable par union finie (non dénombrable) nous imposons alors la notion plus générale "d'algèbre". Ainsi, une tribu est nécessairement contenue dans une algèbre (mais le contraire n'est pas vrai car justement l'axiome est plus fort).

Remarque: Dans le domaine des probabilités, E est assimilé à l'Univers des événements et equationà une famille d'événements et nous parlons "d'espace probabilisable" ou... "d'espace mesurable".

exempleExemples:

E1. Soit equation un ensemble de cardinal 2. Les deux seules tribus equation qui satisfont les trois axiomes sont:

equation   (19.1)

Il n'y a pas d'autres tribus pour l'ensemble E donné que ces deux (la grossière, et la maximale), car il ne faut pas oublier que l'union de chacun des éléments de la tribu doit aussi être dans la tribu (axiome A3), ainsi que le complémentaire d'un élément (axiome A2).

Nous voyons par ailleurs de cet exemple que si E est un ensemble equation est bien une tribu!

E2. L'ensemble des parties de E, noté equation est aussi une tribu (dixit l'exemple 1).

Une tribu equation est aussi "stable par union des complémentaires dénombrables". En effet si equation est une suite d'éléments de equation nous avons (trivial en prenant comme référence l'exemple E1):

equation et equation   (19.2)

Une tribu est aussi "stable par intersections dénombrables" (trivial en prenant comme référence l'exemple E1):

equation   (19.3)

ce qui amène à ce qu'une tribu est stable par unions et intersections dénombrables. En particulier, si nous prenons deux éléments d'une tribu equation alors equation. Avec pour rappel (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles):

equation   (19.4)

Remarque: Nous voyons aisément avec l'exemple E1 que si equation est une famille de tribus sur E alors equation est une tribu (la vérification des trois axiomes est immédiate)

Bon c'est bien joli de jouer avec des patates et sous-patates... et leurs complémentaires mais passons à la suite.

Définition: Soit E un ensemble et equation une famille de sous-ensembles de equation tel que equation. Soit equation la famille de toutes les tribus contenant (entre autres) equation. equation n'est évidemment pas vide car equation. Nous notons par définition:

equation   (19.5)

la "tribu engendrée" par equation. equationest donc par définition la plus petite tribu contenant equation(et par extension la plus petite tribu de E).

Voici deux exemples qui permettent de vérifier si ce qui précède a été compris et qui permettent de mettre en évidence des résultats importants pour la suite.

exempleExemples:

E1. Soit E un ensemble, equation et equation alors (lorsque A est vu comme un sous-ensemble de E comme le précise l'énoncé et non comme une famille de sous-ensembles!):

equation   (19.6)

E2. Si equation est une tribu sur E alors:

equation   (19.7)

E3. Soit equation et equation nous avons dès lors (prenez bien garde car maintenant A est une famille de sous-ensemble et non simplement un unique sous-ensemble!) la tribu engendrée suivante:

equation   (19.8)

Plutôt que de déterminer cette tribu en cherchant la plus petite tribu de equation contenant A (ce qui serait laborieux) nous jouons avec les axiomes définissant une tribu pour facilement trouver celle-ci.

Ainsi, nous trouvons donc bien dans equation au moins l'ensemble vide obligatoire equation ainsi que:

equation   (19.9)

selon l'axiome A1 et:

equation   (19.10)

lui-même par définition deequation et les complémentaires de:

equation   (19.11)

selon l'axiome A2 ainsi que les unions:

equation   (19.12)

selon l'axiome A3.

Définition: Soit E un espace topologique (cf. chapitre de Topologie). Nous notons equation la tribu engendrée par les ouverts de E. equation est appelée la "tribu borélienne" sur E. Les éléments de equation sont appelés les "boréliens" de E.

Remarques:

R1. La notion de borélien est surtout intéressante car elle est nécessaire à la définition de la "tribu de Lebesgue" et par suite à "la mesure de Lebesgue" qui nous amènera à définir "l'intégrale de Lebesgue".

R2. La tribu equation étant stable par passage au complémentaire, elle contient aussi tous les fermés!

R3. Si E est un espace topologique à base dénombrable, equation est engendré par les ouverts de la base.

exempleExemple:

Si equation désigne l'espace des réels muni de la topologie euclidienne (cf. chapitre de Topologie), la famille des intervalles ouverts à extrémités rationnelles est une "base dénombrable" (étant données les extrémités...) de equation et donc engendre equation. Même remarque pour equation, equation, avec comme base dénombrable la famille des pavés ouverts à extrémités rationnelles.

Considérons maintenant equation un ensemble dense (cf. chapitre de Topologie) dans equation. Les familles suivantes engendrent equation:

equation;equation;equation;equation   (19.13)

Démonstration:

Soit (la famille des ouverts):

equation   (19.14)

Nous avons évidemment:

equation   (19.15)

De plus:

equation   (19.16)  

Donc les intervalles du type [a,b[ avec a et b dans equation appartiennent aussi à equation. Donc, si nous généralisons, avec  equation, il existe une suite equation d'éléments de equation décroissant vers x et une suite equation d'éléments de equation croissant vers y tel que:

equation   (19.17)

ce qui entraîne au même titre (que equation) que equation. Les autres cas se traitent de manière analogue.

equationC.Q.F.D.

Soit equation un espace mesurable et equation (et equation) (où A est donc considéré comme un sous-ensemble et non comme un élément !). La famille equationest une tribu sur A appelée "tribu trace" de equation sur A, nous la noterons equation. De plus, si equation, la tribu trace est formée par les ensembles mesurables contenus dans A.

Démonstration: Nous allons faire une démonstration par l'exemple (...). Nous vérifions les trois points de la définition d'une tribu:

1. equation

2. Soit equation et donc equation

exempleExemple:

Soit equation alors (une tribu parmi d'autres - ne pas oublier la stabilité par union !): 

equation   (19.18)  

Choisissons equation (il est évident que equation est une tribu sur A).

Dès lors:

equation   (19.19)

et nous avons bien equation ainsi que equation.

3. Soit equation une suite d'éléments de equation equation alors:

equation   (19.20)

La dernière assertion de la proposition sera supposée évidente.

equationC.Q.F.D.

Soit maintenant E un ensemble, equation une famille de parties de E et equation non vide. Nous notons equation la trace de equation sur A et equation la tribu engendrée par equation sur A. Alors:

 equation   (19.21)

exempleExemple:

Soit l'ensemble equation, equation, equation alors:

equation   (19.22)

Et vérifions equation:

equation   (19.23)

Donc l'égalité est vérifiée.

Un corollaire trivial de cette égalité est que si nous considérons un espace topologique E et equation muni de la topologie induite. Alors:

equation   (19.24)

Rappelons (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) que si nous avons E qui est un ensemble, alors pour tout equation nous définissons la différence symétrique equation entre A et B par:

equation   (19.25)

Les propriétés triviales sont les suivantes:

P1. Une algèbre est stable par différence symétrique (equation nous avons equation)

P2. equation

P3. equation

P3. equation

Si equation est une algèbre sur E, alors equation est un "anneau de Boole" (ou algèbre de Boole mais attention avec le terme "algèbre" qui peut prêter à confusion avec la théorie des ensembles) avec equation et E comme élément neutre "additif" (equation) respectivement "multiplicatif" (equation).

Pour des rappels sur les éléments cités dans le paragraphe précédent, le lecteur pourra se reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles et le chapitre d'Algèbre De Boole (cf. chapitre de Systèmes Logiques Formels)

Démonstration: equation ("addition") est associative car en développant nous obtenons (cela se vérifie en faisant un diagramme sagittal au besoin - les "patates"):

equation   (19.26)

et cette dernière expression est stable par permutation (commutation) de A et C (même méthode de vérification). Donc:

equation   (19.27)

Nous vérifions que equation est bien neutre par rapport à la différence symétrique (la démonstration que E est neutre par rapport à l'inclusion est évidente). Il est trivial que:

equation et que equation   (19.28)

equation est donc bien un groupe abélien par rapport à la loi equation (différence symétrique).

equationC.Q.F.D.

Pour finir equation est distributif par rapport à equation. En effet:

equation   (19.29)

Ce qui fait bien de equation un anneau (qui de plus est un anneau commutatif).

THÉORÈME DE LA CLASSE MONOTONE

Définition: Soit E un ensemble. Une "classe monotone" sur E est une famille equation de parties de E vérifiant:

A1. equation

A2. equation et equation

A3. Si equation est une suite croissante (attention au terme "croissant") d'éléments de equation alors equation (stable par union dénombrable croissant)

Remarques:

R1. Une suite croissante d'ensembles c'est: equation

R2. Les deux premiers points impliquent que equation est stable par passage au complémentaire.

R3. Les axiomes (2) et (3) (plus le (1)) amènent que la classe monotone est stable par intersection décroissante. Une manière de vérifier c'est de prendre le complémentaire de chaque élément de la suite croissante pour tomber sur la suite décroissante et inversement.

R4. L'axiome 3 des classes monotones étant un peu plus restrictif (plus "fort") que l'axiome 3 des tribus (puisque nous y imposons une suite croissante). Cela implique que toute tribu est une classe monotone (toute union dénombrable de la tribu étant dans la tribu ce qui est une condition plus forte que la suite croissante) !

De la même manière que pour les tribus, si nous considérons une famille equation de classes monotones sur E. Alors equation est une classe monotone (la démonstration se vérifie immédiatement par les trois axiomes précédemment cités).

exempleExemple:

Si E est un ensemble, equation est une classe monotone sur E. Plus généralement, une tribu est une classe monotone.

De manière équivalente aux tribus, considérons un ensemble E et equation. Soit equation la famille de toutes les classes monotones contenant equation. equation n'est pas vide car equation. Nous notons:

equation   (19.30)

la classe monotone engendrée par equation. equationest la plus petite classe monotone contenant equation (et satisfaisant bien évidemment aux axiomes).

Remarque: Si E est un ensemble et equationalors equation, car equation est une classe monotone (et aussi une tribu) contenant equation et donc elle contient aussi equation (voir les exemples avec les tribus).

Le théorème (de la classe monotone) s'énonce ainsi: soit E un ensemble. Si equation est une famille de parties de E que nous imposons stable par intersections finies alors equation(nous devons donc prouver que la tribu minimale de equation est égale à la classe monotone minimale de equation). Si nous n'imposons pas que equation soit stable par intersections finies nous n'aurions pas nécessairement l'égalité.

Démonstration:

equationcomme déjà dit  (c'est quasiment trivial). Nous allons montrer dans un premier temps que equation est donc aussi une tribu sur E. Pour ceci il suffit de montrer que equation est (aussi) stable par union dénombrable (et non nécessairement par une suite croissante d'éléments!).

Considérons les familles suivantes pour la démonstration:

equation   (19.31)

equation   (19.32)

Par les définitions précédentes equation mais equation étant (imposé) stable par intersections finies entraîne equation et donc (c'est le même raisonnement que pour les tribus):

equation   (19.33)

equation est une classe monotone en effet equation, si equation et que equation (axiome 2) alors:

equation   (19.34)

et donc (ce qui appuie le fait que les autre éléments equation satisfont la relation précédente):

equation

Si equation est une suite croissante d'éléments de equation alors:

equation   (19.35)

car equation est une suite croissante.

Ainsi equation est bien une classe monotone et par equation, nous avons donc:

equation   (19.36)

Cette dernière égalité implique equation. Comme pour equation, nous montrons que equation est une classe monotone et donc equation, ce qui veut dire par extension que equation est donc stable par intersections finies.

equation étant stable par passage au complémentaire ceci entraîne que equation est, nous venons de le montrer, stable par unions finies (alors que nous voulons démontrer que c'est stable par union dénombrable).

Soit à présent une suite equation d'éléments de equation. Nous considérons la suite:

equation   (19.37)

equation est une suite croissante d'éléments de equation, donc:

equation mais equation   (19.38)

Donc:

equation   (19.39)

Ainsi equation est stable par union dénombrable et enfin equation est une tribu. Or comme equation cela nous amène donc à equation.

equationC.Q.F.D.

Nous verrons plus tard quelques applications importantes de ce théorème.


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TOPOLOGIETRIGONOMÉTRIE


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