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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Lors de notre étude
des nombres, des opérateurs, et de la théorie des
nombres (dans les chapitres du même nom), nous avons assez
souvent utilisé
les termes "groupes", "anneaux", "corps",
"homomorphisme", etc. et continuerons par la suite à
le faire encore de nombreuses fois. Outre le fait que ces concepts
soient d'une extrême importance, permettant de faire des
démonstrations
ou de construire des concepts mathématiques indispensables
à l'étude de la physique théorique contemporaine
(physique quantique des champs, théories des cordes, modèle
standard,...), ils permettent de comprendre les composants et
les
propriétés de base de la mathématique et de
ses opérateurs en rangeant ceux-ci par catégories
distinctes. Ainsi, choisir de mettre la théorie des ensembles
en tant que cinquième chapitre de ce site est un choix
tout
à fait discutable puisque rigoureusement c'est par là
que tout commence... Cependant, nous avions besoin d'exposer quand
même la théorie de la démonstration ne serait-ce
que pour les notations et les méthodes dont il sera fait
usage ici.
Par ailleurs, lors de l'enseignement
des mathématiques modernes dans le secondaire, voire
primaire (années 1970), on introduisit le langage des ensembles
et l'étude préalable des relations binaires pour
une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions et d'applications
(voir
la définition
plus loin) et de la mathématique en général.
Définition: Nous parlons
de "diagramme
sagittal" (ou de "schéma
sagittal" du latin sagitta
= flèche) pour tout schéma représentant une correspondance
entre les composantes de deux ensembles reliés totalement ou
partiellement par un ensemble de flèches.
Exemple:
La représentation graphique d'une fonction définie de l'ensemble E={-3,-2,-1,0,1,2,3} vers
l'ensemble F={0,1,2,3,...9} conduirait
au diagramme sagittal ci-dessous:

Figure: 5.1 - Fonction d'un ensemble de définition à un autre ensemble d'arrivée
Une relation de E
dans E
fournirait un diagramme sagittal du type:

Figure: 5.2 - Fonction renvoyant dans son propre ensemble
de définition
Le bouclage de chaque élément
montrant une "relation réflexive" et
la présence systématique
d'une flèche retour indiquant une "relation
symétrique".
Définition: Si l'ensemble d'arrivée
est identique à l'ensemble
de départ, nous disons que nous avons une "relation
binaire".
Cependant le choix d'introduire
la théorie des ensembles dans les classes d'école
a une raison aussi un peu autre. Au fait, dans un souci de rigueur
interne
(in
extenso: non liée à la réalité), une très
grande partie des mathématiques
a été reconstruite à l'intérieur d'un seul
cadre axiomatique, dénommé
donc "théorie des ensembles",
dans le sens où chaque concept
mathématique (autrefois indépendant des autres) est
ramené à une
définition dont tous les constituants logiques proviennent
de ce même cadre: elle est considérée comme fondamentale.
Ainsi, la rigueur d'un raisonnement effectué au sein de
la théorie des
ensembles est garantie par le fait que le cadre est "non-contradictoire"
ou "consistant". Voyons les définitions qui
construisent ce cadre.
Définitions:
D1. Nous appelons "ensemble" toute
liste, collection ou rassemblement d'objets bien définis,
explicitement ou implicitement.
D2. Un "Univers" U est
un objet dont les constituants sont des ensembles.
Il faut noter que ce que les mathématiciens appellent "univers"
n'est pas un ensemble!
En
fait
il
s'agit d'un modèle qui
satisfait aux axiomes des ensembles.
Effectivement, nous verrons que nous ne pouvons pas parler
de l'ensemble de tous les ensembles (ce n'est
pas un ensemble), pour désigner
l'objet qui est constitué de tous les ensembles ainsi, nous
parlons d'univers.
D3. Nous appelons
"éléments" ou "membres
de l'ensemble" les objets
appartenant à l'ensemble et nous notons:
(5.1)
si p
est un élément de l'ensemble A et
dans le cas contraire:
(5.2)
Si B
est une "partie" de A,
ou "sous-ensemble" de A,
nous notons cela:
ou
(5.3)
dès lors:
(5.4)
Nous identifions
également un ensemble soit en listant ses éléments
(pas toujours forcément dénombrables par ailleurs!),
soit en donnant la définition
de ses éléments (nombres pairs, impairs, diviseurs
entiers de..., etc.).
Exemples:
E1.
E2.
D4.
Nous pouvons munir les ensembles d'un certain nombre de
relations qui permettent de comparer leurs éléments
(c'est utile parfois...) ou de comparer certaines de leurs propriétés.
Ces relations
sont appelées "relations de
comparaisons" ou "relations
d'ordre" (cf.
chapitre sur les Opérateurs).
Remarques:
R1. La structure d'ensemble
ordonné
a été mise en place à la base dans le cadre
de la théorie
des Nombres par Cantor et Dedekind.
R2. Comme nous l'avons démontré dans le chapitre
sur les Opérateurs, sont
totalement ordonnés par les relations usuelles .
La relation ,
souvent dite "d'ordre strict",
n'est pas une relation d'ordre car non réflexive et
non antisymétrique
(cf. chapitre sur les Opérateurs).
Par exemple, dans ,
la relation "a
divise b",
souvent notée par le symbole " | ", est un ordre
partiel.
R3.
Si R est
un ordre sur E et
F est une
partie de E, la
restriction à F de
la relation R
est un ordre sur F,
dit "ordre induit par R dans
F".
R4.
Si R est
un ordre sur E,
la relation R' définie
par:
(5.5)
est un ordre sur E, dit "ordre
réciproque" de R. L'ordre réciproque de l'ordre
usuel est
l'ordre noté ainsi
que l'ordre réciproque de l'ordre "a divise b" dans est
l'ordre "b est multiple de a".
L'ensemble
est l'entité mathématique de base, dont l'existence
est posée:
il n'est pas défini en tant que tel, mais par ses propriétés,
données
par les axiomes. Il fait appel à une procédure humaine:
une sorte de fonction de catégorisation, qui permet à la
pensée
de distinguer plusieurs éléments qualifiés
d'indépendants.
Nous pouvons
démontrer à partir de ces concepts, que le nombre de sous-ensembles
d'un ensemble de cardinal n
est .
Démonstration:
Il y a
d'abord l'ensemble vide ,
soit 0 élément choisi parmi n, in extenso
(notation du coefficient binomial non
conforme à la norme ISO 31-11!) conformément à ce
que nous avons vu dans le chapitre de Probabilités:
(5.6)
et ainsi
de suite...
Le nombre de sous-ensembles (cardinal) de E correspond
donc à la
sommation de tous les coefficients binomiaux:
(5.7)
Or, nous avons (cf. chapitre de Calcul
Algébrique):
(5.8)
Donc:
(5.9)
C.Q.F.D.
Exemple:
Considérons
l'ensemble
,
nous avons l'ensemble
des parties P(S) constitué
par:
- "L'ensemble
vide":  - Les
"singletons": 
- Les "duets": 
- Lui-même: 
Tel que:
(5.10) Ce qui fait bien 8 éléments!
Remarque: L'ordre dans lequel sont différenciés les éléments
ne rentre pas en compte lors du comptage des parties de l'ensemble
de départ.
En
mathématique appliquée, nous travaillerons presque
exclusivement avec des ensembles de nombres. Nous nous restreindrons
donc à
l'étude des définitions et propriétés de ces derniers.
Maintenant, formalisons les concepts de base permettant de travailler
avec les ensembles les plus courants que nous rencontrons dans
les cursus scolaires de base.
AXIOMATIQUE DE ZERMELO-FRAENKEL
L'axiomatique
de Zermelo-Fraenkel, abrégée "axiomatique
ZF-C",
présentée ci-dessous a été formulée
par Ernst Zermelo puis précisée par Adolf
Abraham Fraenkel au début du 20ème siècle
et complétée
par l'axiome du choix (d'où le C majuscule
dans ZF-C). Elle est considérée
comme la plus naturelle dans le cadre de la théorie
des ensembles.
Remarque: Il existe bien d'autres axiomatiques,
basées
sur le concept plus général de "classe", comme celle
développée
par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le
chapitre traitant de la Théorie De La Démonstration).
Strictement et techniquement parlant, les axiomes de ZF sont
des énoncés
du calcul des prédicats du premier ordre (cf.
chapitre de Théorie De La Démonstration) égalitaire
dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance
(relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être
perçu comme une tentative d'exprimer en français
la signification attendue de ces axiomes.
A1. Axiome d'extensionnalité:
Deux ensembles sont égaux
si, et seulement si ils ont les mêmes éléments. C'est ce que nous
notons:
(5.11)
Donc A et B sont égaux si
tout
élément x de A appartient aussi
à B et tout
élément x de B appartient aussi à A.
A2. Axiome de l'ensemble vide:
L'ensemble
vide existe, nous le notons:
(5.12) et il n'a aucun élément,
son cardinal vaut donc 0.
En réalité cet axiome peut être déduit à partir d'un autre axiome
que nous verrons un peu plus loin mais il est pratique à introduire
en tant que tel par commodité pédagogique dans les petites classes.
A3. Axiome de la paire:
Si A et B sont deux ensembles, alors, il existe
un ensemble C contenant A et B et eux
seuls comme éléments.
Cet ensemble C se note alors {A, B}.
Du point de vue des
ensembles considérés comme des éléments cela donne:
(5.13)
Cet axiome montre aussi l'existence du "singleton"
(single=seul) d'un ensemble noté:
{X}
(5.14)
qui est un ensemble dont le seul élément est X
(donc de cardinal unitaire).
Il suffit pour cela d'appliquer l'axiome en posant l'égalité entre
A et B.
A4. Axiome de la somme (dit aussi "axiome de
l'union"
ou encore "axiome de la réunion"):
Cet axiome permet de construire la réunion d'un ensemble.
Dit de façon
plus commune: la réunion d'une famille quelconque d'un ensemble,
est un ensemble.
La réunion d'une famille quelconque d'un ensemble est souvent
noté:
(5.15)
ou si nous prenons certain de ses éléments:
(5.16)
A5. Axiome des parties (dit aussi "axiome de l'ensemble
des parties"):
Il exprime que pour tout ensemble A, l'ensemble de
ses parties P(A) existe.
Donc à tout ensemble A,
nous pouvons associer un ensemble B qui
contient exactement les parties (in extenso les sous-ensembles) C du
premier:
(5.17)
Nous avons déjà vu un tel exemple plus haut avec :
(5.18)
A6. Axiome de l'infini:
Cet axiome exprime le fait qu'il existe un ensemble infini. Pour
le formaliser, nous disons qu'il existe un ensemble, dit "ensemble autosuccesseur"
K contenant (l'ensemble
vide) tel que si x appartient à K,
alors appartient
également à K:
K est autosuccesseur:
(5.19)
Cet axiome exprime donc que l'ensemble des entiers existe. Effectivement, est
ainsi le plus petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion
et
par convention nous notons (où nous construisons l'ensemble
des
naturels):
(5.20)
A7. Axiome de régularité
(dit aussi "axiome de fondation"):
Le but principal de cet axiome est d'éliminer la possibilité d'avoir A comme élément
de lui-même.
Ainsi, pour tout ensemble non
vide A,
il existe un ensemble B qui est élément
de A tel qu'aucun élément de A ne
soit élément de B (il
faut bien différencier le niveau du langage utilisé,
un ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut)
ce que nous notons:
(5.21)
et en conséquence nous obtenons ce que nous voulons. c'est-à-dire:
(5.22)
Démonstration:
En effet, soit A un ensemble tel que .
Considérons le singleton {A}, ensemble dont le seul élément
est A. D'après l'axiome de fondation, nous devons
avoir un élément de ce singleton qui n'a aucun élément
en commun avec lui. Mais le seul élément possible
est A lui-même, c'est-à-dire
que nous devons avoir:
(5.23)
Or par hypothèse, et
par construction .
Donc ,
ce qui contredit l'assertion précédente. Dès lors:
(5.24)
C.Q.F.D.
A8. Axiome de remplacement
(dit aussi "schéma de remplacement"):
Cet axiome exprime le fait que si une formule f est une
fonctionnelle alors pour tout ensemble A, il existe un
ensemble B constitué exactement des images des éléments A par
cette fonction.
Soient, de manière un peu plus formelle, l'ensemble
A d'éléments a
et la relation binaire f (qui est donc en toute généralité
une fonctionnelle), il existe un ensemble B constitué des éléments b
tel que f(a,b) soit
vraie. Si f est
une fonction où b est non libre cela signifie alors
que:
et
(5.25)
De manière technique nous écrivons cet axiome
sous la forme:
(5.26)
Donc pour tout ensemble A et tout élément
qu'il contient, il existe un et un seul b défini
par la fonctionnelle f tel
qu'il existe un ensemble B où pour tout élément a appartenant
à l'ensemble A il existe un b appartenant
à l'ensemble B défini par la fonctionnelle f.
Voyons un exemple avec le prédicat binaire suivant qui
pour la valeur de tout a de A détermine
la valeur de tout b de B:
(5.27)
Donc de la connaissance que a vaut 1 nous en dérivons
que b vaut 2 et de manière similaire (in extenso
par remplacement) si a vaut 3, nous en dérivons
que b
vaut 4.
Nous voyons bien au travers de ce petit exemple la relation
forte qu'il y a à considérer
le prédicat P comme une fonction naïve!
Par ailleurs, comme il y une infinité possible de fonctions f,
le schéma de remplacement est considéré comme
une infinité
d'axiomes.
A9. Axiome de sélection
(dit aussi "schéma de compréhension"):
Cet axiome exprime simplement que pour tout ensemble A et
toute propriété P exprimable dans le langage
de la théorie des ensembles, l'ensemble des éléments
de A qui
satisfont la propriété P existe.
Donc de manière plus formelle, à tout ensemble A
et toute condition ou proposition P(x),
il correspond un ensemble B
dont les éléments sont exactement les éléments x
de A pour
lesquels P(x) est vraie. C'est ce
que nous notons:
(5.28)
De manière plus complète et rigoureuse nous avons
en réalité pour toute fonctionnelle f ne
comportant pas a comme variable libre:
(5.29)
C'est typiquement l'axiome qui nous sert à construire l'ensemble
des nombres pairs:
(5.30)
ou à démontrer l'existence de l'ensemble vide (et
qui rend caduc l'axiome de l'ensemble vide) car il suffit de poser
qu'il existe un ensemble satisfaisant la propriété:
(5.31)
et ce quel que soit l'ensemble A. Et seulement l'ensemble vide
satisfait cette propriété de par l'axiome de sélection.
Le respect des conditions très strictes
de cet axiome permet d'éliminer les paradoxes
de la "théorie
naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel
ou le paradoxe de Cantor qui ont invalidé la théorie
naïve des ensembles.
Considérons par exemple l'ensemble
R de
Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent pas (notez
bien que nous donnons une propriété de R sans
expliciter quel est cet ensemble):
(5.32)
Le
problème est de savoir si R se
contient ou non. Si ,
alors, R s'auto-contient,
et, par définition et
inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.
Si maintenant nous désignons par C l'ensemble
de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous avons en particulier:
(5.33)
ce
qui est impossible (c.-à-d. par exemple avec la puissance
du continu de l'ensemble de réels), d'après le théorème
de Cantor (cf. chapitre Nombres).
Ces "paradoxes" (ou "antinomies syntaxiques") proviennent
d'un non-respect des conditions d'application de l'axiome de sélection:
pour définir E (dans
l'exemple de Russel), il doit exister une proposition P qui
porte sur l'ensemble R,
qui doit être explicitée. La proposition définissant
l'ensemble de Russell ou celui de Cantor n'indique pas quel est
l'ensemble E.
Elle est donc invalide!
Un
exemple fort sympathique et fort connu (c'est la raison pour laquelle
nous le présentons) permet de mieux comprendre (il s'agit
du paradoxe de Russel dont nous avons déjà parlé plus longuement
dans le chapitre de Théorie De La Démonstration):
Un
jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea
la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents
dans
sa jolie cité. De manière apparemment innocente,
le barbier lui répondit: "Je n'ai aucune concurrence.
En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment
pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser
tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."
En
quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut
la logique de notre jeune étudiant si malin ?
La réponse est en effet innocente,
jusqu'au moment où nous décidons de l'appliquer au
cas du barbier: Se
rase-t-il lui-même, Oui ou Non?
Supposons
qu'il se rase lui-même: il entre dans la catégorie de ceux
qui se rasent eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il
ne les rasait
évidemment pas.... Donc il ne rase pas lui-même........
Très bien! Supposons alors qu'il ne
se rase pas lui-même: il entre alors dans la catégorie de
ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il
les rasait tous. Donc il se rase lui-même.
Finalement, ce malheureux barbier est
dans une position étrange: s'il se rase lui-même, il ne se rase
pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique
est autodestructrice, stupidement contradictoire, rationnellement
irrationnelle.
Vient alors l'axiome de sélection: Nous excluons le barbier
de l'ensemble des personnes auxquelles s'applique la déclaration. Car
en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un élément
de l'ensemble de tous les hommes de la cité.
Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes ne s'applique pas au
cas individuel du barbier.
A10.
Axiome du choix:
Étant donné un ensemble A d'ensembles non
vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble B (l'ensemble
de
choix pour A) contenant exactement un élément
pour chaque membre de A.
Indiquons cependant que la question de l'axiomatisation et donc
des fondements se trouva quand même ébranlée
de deux questions à l'époque de leur construction:
quels axiomes valides doivent être
choisis et dans un système
d'axiomes la mathématique est-elle cohérente
(ne risque-t-on pas de voir apparaître une contradiction)?
La première question fut soulevée d'abord par l'hypothèse
du continu: si nous pouvons mettre deux ensembles de nombres en
correspondance terme à terme, ils ont le même nombre
d'éléments (cardinal). Nous pouvons mettre en correspondance
les entiers avec les rationnels comme nous l'avons démontré dans
le chapitre sur les Nombres, ils ont donc même cardinal,
nous ne pouvons par contre mettre en correspondance les entiers
avec les réels. La question est alors de savoir s'il y a
un ensemble dont le nombre d'éléments serait situé entre
les deux ou pas? Cette question est importante pour construire
la théorie classique de l'analyse et les mathématiciens
choisissent en général de dire qu'il n'y en a pas,
mais nous pouvons aussi dire le contraire.
En fait l'hypothèse du continu est liée de manière
plus profonde à l'axiome du choix qui peut aussi être
formulé de la manière suivante: si C est
une collection d'ensembles non vides alors nous pouvons choisir
un élément
de chaque ensemble de la collection. Si C a un nombre
fini d'éléments
ou un nombre dénombrable d'éléments, l'axiome
semble assez évident: nous pouvons ranger les ensembles
de C en les numérotant, et le choix d'un élément
dans chaque ensemble est simple. Là où ça
se complique c'est lorsque l'ensemble C a la puissance
du continu: comment choisir des éléments s'il n'y
pas la possibilité de
les numéroter?
Finalement en 1938 Kurt Gödel montre que la théorie
des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans
l'hypothèse du continu aussi bien qu'avec! Et pour clore
tout ça Paul Cohen montre en 1963 que l'axiome du choix
et l'hypothèse du continu ne sont pas liés.
CARDINAux
Définition: Des ensembles
sont dits "équipotents" s'il
existe une bijection (correspondance biunivoque) entre ces ensembles.
Nous
disons qu'ils ont alors même "cardinal" que
la norme ISO 3111 préconise d'écrire card mais
sur le présent site internet nous utiliserons
tantôt card que Card.
Ainsi, plus
rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments
contenus dans l'ensemble) est une classe d'équivalence (cf.
chapitre sur les Opérateurs) pour la relation d'équipotence.
Remarque: Cantor
est le principal créateur de la théorie
des ensembles, sous une forme que nous qualifions aujourd'hui
de "théorie naïve des ensembles".
Mais, à côté de
considérations élémentaires, sa théorie
comportait des niveaux d'abstraction élevés. La vraie
nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle
permet de parler de l'infini. Par exemple, une idée importante
de Cantor a justement été de définir l'équipotence.
Si nous écrivons
en
tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il
existe deux ensembles équipotents A
et B
tels que:
et
(5.34)
Les cardinaux peuvent donc être comparés.
L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total (cf.
chapitre sur les Opérateurs) entre les cardinaux
(la preuve que la relation d'ordre est totale utilise l'axiome
du Choix et la preuve qu'elle soit antisymétrique
est connue sous le nom de théorème de Cantor-Bernstein
que nous démontrons d'ailleurs plus bas).
Dire que signifie
dans un vocabulaire simple que A est équipotent à une
partie propre de B,
mais B n'est équipotent à aucune partie propre
de A.
Les mathématiciens diraient que
le Card(A) est plus petit ou égal au Card(B)
s'il existe une injection de A dans B.
Nous avons
vu lors de notre étude des
nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un ensemble équipotent
(ou en bijection) à était
dit "ensemble dénombrable".
Voyons cette notion un petit peu plus
dans les détails:
Soit A
un ensemble, s'il existe un entier n
tel qu'il y ait au moins à chaque élément de A
un correspondant dans l'ensemble {1,2,...n}(au
fait rigoureusement il s'agit d'une bijection... concept que
nous définirons plus tard) nous disons
alors que le cardinal
de A,
noté Card(A) ou card(A),
est un "cardinal fini" et
vaut n.
Dans le cas contraire,
nous disons que l'ensemble A
est de "cardinal infini" et nous posons:
(5.35) Un ensemble A
est donc "dénombrable" s'il existe une bijection entre
A
et .
Un ensemble de nombre A
est "au plus dénombrable" s'il existe une bijection
entre A
et une partie .
Un ensemble au plus dénombrable est donc soit de cardinal fini,
soit dénombrable.
Nous vérifions dès lors
les propositions suivantes:
P1. Une partie d'un
ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
P2. Un ensemble contenant
un ensemble non-dénombrable n'est lui aussi pas dénombrable.
P3. Le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable.
Remarque: Nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport
à l'élément nul et aux éléments négatifs ou positifs qu'il contient
et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):
(5.36)
Ces notions étant analogues
pour (l'ensemble
des nombres complexes n'étant pas ordonné, la deuxième
et troisième
ligne ne s'y appliquent pas).
Donc tout sous-ensemble
infini de est
équipotent à lui-même,
ce qui peut sembler contre-intuitif au premier abord...!
En particulier,
il y a autant d'entiers naturels pairs que d'entiers
naturels quelconques (utiliser la bijection )
de vers
P,
où P désigne l'ensemble des entiers
naturels pairs. Autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels,
autant d'entiers relatifs que de
nombres rationnels (voir le chapitre traitant des nombres pour
les démonstrations).
Nous pouvons donc écrire:
(5.37)
et plus généralement,
toute partie infinie de est
dénombrable.
Nous avons donc un résultat important:
tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.
Puisque nous avons démontré
dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels
avait la "puissance du continu" et
que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini ,
Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini
entre
et
le cardinal de ?
Autrement dit, nous avons donc une quantité infinie de
nombres entiers, et une quantité encore plus grande de
nombres réels.
Alors, existe-t-il un infini qui soit à la fois plus grand
que celui des entiers et plus petit que celui des nombres réels?
Le problème se posa en notant
bien évidemment le
cardinal de et
(nouveauté) le
cardinal de et
en proposant de démontrer ou de contredire que:
(5.38)
selon la loi combinatoire
qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir
à partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous
l'avons démontré précédemment).
Le reste de sa vie, Cantor
essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse
du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la
folie. En 1900, au congrès international des mathématiciens,
Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs
qui devraient
être résolus au 20ème siècle.
Ce problème se résout d'une
façon assez étonnante. D'abord, en 1938, un des plus grands
logiciens du 20ème siècle, Kurt Gödel,
démontra que l'hypothèse
de Cantor n'était pas réfutable, c'est-à-dire qu'on
ne pourrait jamais démontrer qu'elle était fausse.
Puis en 1963, le mathématicien
Paul Cohen boucla la boucle. Il démontra qu'on ne pourrait
jamais non plus démontrer qu'elle était vraie!!!
Nous pouvons conclure à juste
raison que Cantor avait perdu la raison à chercher à démontrer
un problème qui ne pouvait pas l'être.
pRODUIT CARTÉSIEN
Si
E
et F
sont deux ensembles, nous appelons "produit
cartésien de E
par F"
l'ensemble noté (à
ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples
possibles où
e
est un élément de E
et f
un élément de F.
Autrement
écrit:
(5.39)
Nous notons le produit cartésien
de E
par lui-même:
(5.40)
et nous disons alors
est "l'ensemble des couples d'éléments
de E".
Nous pouvons effectuer le
produit cartésien
d'une suite d'ensembles et
ainsi obtenir l'ensemble des n-uplets où
.
Dans le cas où tous les ensembles
sont
identiques à E,
le produit cartésien se
note bien évidemment .
Nous disons alors que est
"l'ensemble des n-uplets d'éléments
de E".
Si E
et F
sont finis alors le produit cartésien est
fini. De plus:
(5.41)
De là, nous voyons que si les ensembles
sont
finis alors le produit cartésien est
aussi fini et nous avons:
(5.42)
En particulier:
(5.43)
si E est un ensemble fini.
Exemples:
E1. Si est
l'ensemble des nombres réels, est
alors l'ensemble des couples de réels. Dans le plan rapporté à un
repère, tout point M
admet des coordonnées qui sont un élément de .
E2. Lorsque nous lançons deux dés dont les
faces sont numérotées
de 1 à 6, chaque dé peut être symbolisé par l'ensemble .
Le résultat d'un lancer est alors un élément de .
Le cardinal de est
alors 36. Il y a donc 36 résultats possibles quand nous
lançons
2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Remarque: La théorie des ensembles ainsi
que le concept de cardinal constituent la base théorique
des logiciels de bases de données relationnelles.
BORNES
Soit M un ensemble de nombres quelconques
de façon à ce que (exemple
particulier mais fréquent). Nous avons comme définitions:
D1. est
appelé "borne supérieure" ou
"majorant" de l'ensemble M,
si pour
.
Inversement, nous parlons de "borne
inférieure" ou de "minorant" (il
ne faut donc pas confondre le concept de borne avec le concept
d'intervalle!).
D2. Soit .
est
appelé "plus petite borne supérieure" noté:
(5.44)
de M si x est une borne
supérieure de M et si pour toute borne supérieure nous
avons . Inversement,
nous parlons de "plus petite borne inférieure" que
nous notons:
(5.45)
Les définitions sont équivalentes dans le cadre de l'analyse
fonctionnelle (voir chapitre du même nom) puisque les fonctions
sont définies sur des ensembles.
Effectivement, soit f une fonction dont le domaine
de définition I
balaie tout .
Ce que nous notons:
(5.46)
et
soit .
Définitions:
D1. Nous disons que f présente un "maximum
global" en si:
(5.47)
D2. Nous disons que f présente un "minimum
global" en si:
(5.48)
Dans chacun de ces deux cas, nous disons que f présente
un "extremum global" en (c'est
un concept que nous retrouverons souvent dans le chapitre de Mécanique
Analytique et Méthodes Numériques!).
D3. f est "majorée"
s'il existe un réel M tel
que .
Dans ce cas, la fonction possède une borne supérieure
de f sur
son domaine de définition I notée traditionnellement:
(5.49)
et elle représente donc la plus petite borne supérieure (le plus
petit majorant).
D4. f est "minorée" s'il
existe un réel M tel
que .
Dans ce cas, la fonction possède une borne inférieure
de f sur
son domaine de définition I notée traditionnellement:
(5.50)
et elle représente la plus grande borne inférieure (le plus grand
minorant).
D4. Nous disons que f est "bornée" si
elle est à la fois majorée et minorée (c'est
le cas des fonctions trigonométriques).
OPÉRATIONS
ENSEMBLISTES
Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles A,B,C,
l'ensemble des opérations
(dont nous devons les notations à Dedekind) existant dans la théorie
des ensembles (très utiles dans l'étude des probabilités
et statistiques).
Remarque: Certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront
fréquemment dans des théorèmes complexes, il est donc nécessaire
de bien comprendre de quoi il en retourne.
Ainsi, nous pouvons construire les opérations ensemblistes suivantes:
INCLUSION
Dans le cas
le plus simple, nous définissons "l'inclusion" par:
(5.51)
En langage non spécialisé
voici ce qu'il faut lire: A est "inclus" (ou "fait
partie", ou encore
est un "sous-ensemble") dans B
alors pour tout x appartenant à A
chacun de ces x appartient aussi à B:

Figure: 5.3 - Exemple visuel de l'inclusion
où le U dans le coin inférieur droit
de la figure représente l'univers (de Cantor).
De ceci il en découle
les propriétés suivantes:
P1. Si et
alors
cela implique =
et réciproquement.
P2. Si et
alors
cela implique .
INTERSECTION
Dans le cas le plus simple,
nous avons:
(5.52)
En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: "L'intersection" des
ensembles A
et B consiste en l'ensemble des éléments
qui se trouvent à la
fois dans A
et dans B:

Figure: 5.4 - Exemple visuel de l'intersection
Plus généralement, si
est
une famille d'ensembles indexés par ,
l'intersection des est
notée:
(5.53)
Cette intersection
est donc définie explicitement par:
(5.54)
C'est-à-dire que l'intersection
de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x
qui se trouvent dans chaque ensemble de tous les ensembles de
la famille.
Soient deux ensembles
A
et B,
nous disons qu'ils sont "disjoints" si
et seulement si:
(5.55)
Par ailleurs, si:
(5.56) Les mathématiciens notent cela:
(5.57)
et l'appellent "union
disjointe".
On plaisante parfois en disant que la connaissance se construit
sur la disjonction... (ceux qui comprendront apprécieront...).
Définition: Une collection d'ensembles
non vides forment une "partition" d'un
ensemble A
si les propriétés suivantes sont vérifiées:
P1. et

P2. Exemples:
E1. L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs
forment une partition de .
E2. La loi d'intersection est
une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi")
telle que:
(5.58)
RÉUNION/UNION
Dans le cas le plus
simple, nous avons:
(5.59)
En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire:
La "réunion" ou "union"
des ensembles A
et B consiste
en l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A
et en plus dans B:

Figure: 5.5 - Exemple visuel de la réunion
Plus généralement, si
est
une famille d'ensembles indexés par ,
l'union des est
notée .
Cette réunion est définie par:
(5.60)
C'est-à-dire que la
réunion de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x
pour lesquels il existe un ensemble indexé par i
tel que x soit inclus dans cet ensemble .
Nous avons les propriétés
de distributivité suivantes:
(5.61)
(5.62)
La loi de réunion
est
une loi commutative (voir plus loin la définition du concept
de
"loi") telle que:
(5.63)
Nous
appelons par ailleurs "lois d'idempotences" les
relations (précisons cela pour la culture générale):
(5.64)
et
"lois d'absorptions" les lois:
(5.65)
Les
lois de réunion et d'intersection sont associatives telles que:
(5.66)
et
distributives telles que:
(5.67)
DIFFÉRENCE Dans le cas le plus
simple, nous avons:
(5.68)
En langage non spécialisé voici ce qu'il faut
lire: La "différence" des
ensembles A
et B consiste en l'ensemble des éléments
qui se trouvent uniquement dans A (et qui excluent donc
les éléments
de B):
Figure: 5.6 - Exemple visuel de la différence
Si nous nous rappelons
du concept de "cardinal" (voir plus haut), nous avons
avec les opérations précédemment définies, la relation suivante:
(5.69)
d'où si :
(5.70)
DIFFÉRENCE
SYMÉTRIQUE
Soit U un ensemble. Pour tout nous
définissons la différence symétrique
entre A et B par:
(5.71)
En langage non spécialisé voici ce qu'il faut
lire: La "différence
symétrique" des
ensembles A et B consiste en
l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement
dans A et
de ceux se trouvant uniquement dans B (nous
laissons donc de côté les éléments qui sont
communs):

Figure: 5.7 - Exemple visuel de la différence symétrique
Les propriétés
triviales sont les suivantes:
P1. 
P2. (pour
la notion de complémentarité voir plus loin)
P3.  PRODUIT Dans le cas le plus
simple, nous avons:
(5.72)
En langage non spécialisé
voici ce qu'il faut lire: "l'ensemble
produit" (à ne
pas confondre avec la multiplication ou le produit vectoriel)
de
deux ensembles A
et B est l'ensemble des couples tels que:
(5.73)
L'ensemble produit des réels par
exemple forme le plan où chaque élément
est défini par une abscisse
et son
ordonnée. Nous retrouvons souvent les ensembles produits
en mathématiques et en physique lors que nous travaillons avec
des fonctions. Par exemple, une fonction de deux variables réelles
qui donne un réel en sortie sera noté:
(5.74)
mais cette notation n'est à ma connaissance pas
normalisée et il en existe de nombreuses variantes.
COMPLÉMENTARITÉ Dans le cas le plus
simple, nous avons:
(5.75)
En langage non spécialisé voici ce
qu'il faut lire: Le "complémentaire" est
défini comme
en prenant B un ensemble et A un sous-ensemble
de B alors
le complémentaire de A dans B est l'ensemble
des éléments
qui sont dans B mais pas dans A.
Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons
le complémentaire de A par rapport à U qui
est indiqué en gris (s'il est seul il s'agit donc de l'univers
seul qui l'entoure):

Figure: 5.8 - Exemple visuel de la complémentarité
Une autre notation très
importante de la complémentarité qu'on retrouve parfois dans la
littérature est la suivante:
ou
(5.76)
où dans le cas particulier à droite ci-dessus,
nous pourrions aussi écrire B/A (la
notation serait
rarement utilisée car elle peut prêter à confusion
dans certaines situations).
Nous avons comme propriétés pour tout inclus
dans B:
(5.77)
(5.78)
Voici
quelques lois triviales relatives aux compléments:
(5.79)
Il
existe d'autres lois très importantes en logique booléenne.
Si nous considérons trois ensembles A, B, C comme
représentés ci-dessous:

Figure: 5.9 - Exemple de trois ensembles particuliers
nous avons donc:
(5.80)
et les fameuses "lois de De Morgan" sous
forme ensembliste (cf. chapitre de Systèmes
Logiques Formels) et
qui sont données
par les relations:
(5.81)
Indiquons avant de passer à un autre sujet,
qu'un nombre significatif d'adultes en emploi (souvent des cadres)
en entreprise ayant oublié
ces notions après leur sortie de l'école obligtoire
doivent les étudier à nouveau
lorsqu'ils apprennent le
language
SQL qui est le plus répandu à travers le monde pour
interroger les serveurs de bases de données des entreprises.
Ils apprennent alors très en formation continue professionnelle
le schéma
suivant pour construire leurs requêtes avec des jointures:

Figure: 5.10 - Jointures courantes du langage SQL basé sur la théorie des ensembles
FONCTIONS ET APPLICATIONS
Définition: En mathématiques, une "application" (ou "fonction")
notée f ou A est la donnée de deux ensembles, l'ensemble
de départ E et l'ensemble d'arrivée F (ou d'image de E),
et d'une relation associant à chaque élément x de
l'ensemble de départ
un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que nous appelons
"image de x par f " et que nous notons f(x).
Nous appelons "images" les éléments de f(E)
et les éléments de E sont appelés les antécédents.
Nous disons alors que f est une application de E dans F notée:
(5.82)
(se rappeler du premier diagramme sagittal présenté au début
de ce chapitre), ou encore une application à arguments dans E et
valeurs dans F.
Remarque: Le terme "fonction" est souvent utilisé pour
les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire
lorsque l'ensemble d'arrivée est  ou  .
Nous parlons alors de "fonction réelle", ou de "fonction
complexe".
Définitions:
D1. Le "graphe" (ou encore "graphique" ou "représentative")
d'une application est
le sous-ensemble du produit cartésien constitué des
couples (x,f(x)) pour x variant dans E.
La donnée du graphe de f détermine son ensemble
de départ
(par projection sur la première composante souvent notée x)
et son image (par projection sur la seconde composante souvent
notée y).
D2. Si le triplet est
une fonction où E et F sont
deux ensembles et est
un graphe, E et F sont respectivement
la source et le but de f. Le "domaine
de définition" ou "ensemble
de départ" de f est:
(5.83)
D3.
Etant donnés trois ensembles E, F et G (non
vides), toute fonction de vers G est
appelée "loi
de composition" de à valeurs
dans G.
D4.
Une "loi de composition interne" (ou
simplement "loi
interne") dans E
est une loi de composition de
à valeurs dans E
(cas E=F=G).
Remarque: La soustraction dans 
n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie
des quatre opérations élémentaires apprises
à l'école. Par contre l'addition sur 
en est bien une.
D5.
Une "loi composition
externe" (ou simplement "loi
externe")
dans E
est une loi de composition de
à valeurs dans E,
où F
est un ensemble distinct de E.
En général, F
est un corps,
dit "corps de scalaires".
Exemple:
Dans le cas d'un espace vectoriel (voir
définition
beaucoup plus bas) la multiplication d'un vecteur (dont les composantes
se basent sur un ensemble donné) par un réel est
une loi de composition externe.
Remarque: Une loi de composition externe à valeurs
dans
E est aussi appelée "action
de F sur E". L'ensemble F
est alors le domaine d'opérateurs. On dit aussi que F
opère sur E (ayez en tête l'exemple des vecteurs
précédemment cité).
D6. Nous appelons "image de f",
et nous notons Im(f), le
sous-ensemble défini par:
(5.84)
Ainsi, "L'image" d'une
application est
la collection des f(x) pour x parcourant E ,
c'est un sous-ensemble de F.
Et nous appelons "noyau de f",
et nous notons Ker(f),
le sous-ensemble très important en mathématiques
défini
par:
(5.85)
Selon la figure (il faut bien comprendre ce concept de noyau
car nous le réutiliserons de nombreuses fois pour démontrer des
théorèmes ayant des applications pratiques importantes):

Figure: 5.11 - Représentation du concept de noyau d'une fonction
Remarques:
R1. Ker(f) provient
de l'allemand "Kern", signifiant
tout simplement "noyau". En anglais, le noyau se dit
aussi
"kernel", signifiant "amande" dans le civil.
R2. Normalement les notations Im et Ker sont réservées
aux homomorphismes de groupes, d'anneaux, de corps et aux applications
linéaires entre espaces vectoriels ou modules etc.... (voir
plus loin). Nous n'avons normalement pas l'habitude de les utiliser
pour des applications quelconques entre ensembles quelconques.
Mais bon...ça ne fait rien.
Exemple:
La fonction sinus a de son argument un noyau
qui est 2π
Les applications
peuvent avoir une quantité phénoménale de
propriétés
dont voici celles qui font partie des connaissances générales
du physicien (pour plus de renseignements sur ce qu'est une
fonction,
voir le chapitre traitant de l'Analyse Fonctionnelle).
Soit
f une
application d'un ensemble E
à un ensemble F
alors nous avons les propriétés suivantes:
P1. Une application
est dite
"surjective" si:
Tout
élément y
de F
est l'image par f d'au
moins (nous insistons sur le "au moins") un élément
de
E. Nous
disons encore que c'est une "surjection" de E
dans F.
Il
découle de cette définition, qu'une application est
surjective si et seulement si .
En d'autres termes, nous écrivons aussi cette définition
ainsi:
(5.86)
ce qui s'illustre par:

Figure: 5.12 - Représentation d'une fonction surjective
P2.
Une application est dite "injective" si:
Tout
élément y de
F
est l'image par f d'au
plus (nous insistons sur le "au plus") un seul élément
de E. Nous disons encore que f est
une injection de E
dans F.
Il résulte de cette définition, qu'une
application est
injective si et seulement si les relations et
impliquent
autrement dit: une application pour laquelle deux éléments
distincts ont des images distinctes est dite injective. Ou
encore, une application est injective si
l'une aux moins des propriétés équivalentes
suivantes est vérifiée:
P2.1 
P2.2 
P2.3 l'équation en x,
a au plus une solution dans E
Tout cela s'illustrant par:

Figure: 5.13 - Représentation d'une fonction injective
P3.
Une application est dite "bijective" si:
Une
application f de E
dans F
est à la fois surjective et injective.
Dans ce cas, nous avons que pour tout élément y
de F
, l'équation admet
dans E
une unique (ni "au plus", ni "au moins") pré-image
x.
Ce que nous écrivons aussi:
(5.87)
ce qui s'illustre par:

Figure: 5.14 - Représentation d'une fonction bijective
Nous
sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle
application de F
dans E,
appelée "fonction réciproque" de f et
notée ,
qui a tout élément y
de F,
fait correspondre l'élément x
de E pré-image (ou solution) unique de l'équation .
Autrement dit:
(5.88)
L'existence
d'une application réciproque implique que le graphique d'une application
bijective (dans l'ensemble des réels...) et celui de son
application réciproque
sont symétriques
par rapport à la droite d'équation .
Effectivement,
nous remarquons que si est
équivalent à ,
alors ces équations
impliquent que le point (x, y)
est sur le graphique de f si
et seulement si le point (y, x) est
sur le graphique de .
Exemple:
Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de
touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque
façon de répartir ces touristes dans les chambres
de l'hôtel peut être représentée par
une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des
chambres (à chaque touriste est associée une chambre).
- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire
que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est
possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le
nombre de chambres.
- L'hôtelier souhaite que l'application
soit surjective, c'est-à-dire
que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que
s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
- S'il est possible de répartir
les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre,
et que toutes les chambres soient occupées: l'application sera alors à la fois injective et surjective
nous dirons qu'elle est bijective.
Remarques:
R1. Il vient des définitions ci-dessus
qu'une application f
est bijective (ou "biunivoque") dans l'ensemble des
réels si et seulement si toute droite horizontale coupe
la représentation
graphique de la fonction en un seul point. Nous sommes donc
amenés à faire
la seconde remarque suivante:
R2. Une application qui vérifie le test de la droite horizontale
est continument croissante ou décroissante en tout point de son
domaine de définition.
P4.
Une application est dite "fonction
composée" si:
Soit une
application de E
dans F
et une
fonction de F
dans G.
L'application qui associe à chaque élément x
de l'élément de E,
de
G
s'appelle "application composée" de et
de et
se note:
(5.89)
où symbole "
"
est appelé "rond".
Ainsi, la relation précédente s'écrit "psi
rond phi" mais se lit "phi rond psi"...
Ainsi:
(5.90)
Soit, de plus, une
application de G
dans H.
Nous vérifions aussitôt que l'opération de composition est associative:
(5.91)
Cela nous permet
d'omettre les parenthèses et d'écrire plus simplement: 
Dans le cas particulier où serait
une application de E
dans E,
nous notons l'application
composée (k
fois).
Ce
qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre,
c'est que toutes les propriétés définies et énoncées ci-dessus sont
applicables aux ensembles de nombres.
Voyons en un exemple très
concret et très puissant:
THÉORÈME
DE CANTOR-BERNSTEIN
Attention. Ce théorème, dont le résultat
peut sembler évident, n'est pas forcément
simple à aborder (son formalisme mathématique n'est pas
très
esthétique...).
Nous vous conseillons de lire très lentement et de vous
imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête lors de la démonstration.
Voici l'hypothèse à démontrer: Soient X et
Y deux
ensembles. S'il existe une injection (voir la définition
d'une fonction injective ci-dessus) de X vers
Y et
une autre de Y vers
X,
alors les deux ensembles sont en bijection (voir la définition
d'une fonction bijective ci-dessus). Il s'agit donc aussi d'une
relation antisymétrique.
Ce qui s'illustre par:

Figure: 5.15 - Représentation d'une relation antisymétrique
Pour la démonstration, nous avons besoin en toute rigueur
de démontrer au préalable un lemme (évident
intuitivement mais pas formellement...) dont l'énoncé est
le suivant:
Soient X, Y, Z trois
ensembles tels que .
Si X et Y sont
en bijection, alors X et Z sont
en bijection.
Un exemple d'application de ce lemme est l'ensemble des nombres
naturels et des nombres rationnels qui sont en bijection. Dès
lors, l'ensemble des entiers relatifs est en bijection avec l'ensemble
des nombres naturels puisque:
(5.92)
Démonstration:
D'abord, au niveau formel, créons une fonction
f de Y à X telle quelle
soit bijective:
(5.93)
Nous avons besoin pour la suite
d'un ensemble A qui sera défini par
l'union des images des fonctions des fonctions f (du
genre f(f(f...)))
) des pré-images de l'ensemble Z
dont nous excluons
les éléments de X (ce
que nous notons: Z-X
). En d'autres termes (si la première forme n'est pas claire...)
nous définissons l'ensemble A comme étant
l'union des images de (Z-X) par les applications Ce
que nous noterons :
(5.94)
Nous avons donc par construction . Rremarquons
que nous avons aussi:
(5.95) et en réindexant:
(5.96)
Nous avons alors (faire
un schéma de tête des diagrammes sagittaux peut aider à ce
niveau-là...):
(5.97)
Nous pouvons démontrer élégamment cette
dernière relation:
(5.98)
Comme Z peut
être partitionné (rien nous en empêche!) en les deux
sous-ensembles disjoints et
sans
oublier que et ,
nous posons comme une définition l'application g telle
que:
(5.99)
tel que pour toute pré-image a nous
ayons:
(5.100)
(rappelez-vous de la définition
des applications notées "f")
et:
(5.101)
L'application g est
alors bijective car ses restrictions à et
,
(qui forment une partition) sont f et
l'identité qui sont par définition bijectives.
Finalement il existe bien, par construction,
une bijection entre X et
Z.
C.Q.F.D.
Reprenons les hypothèses du théorème
de Cantor-Bernstein:
Soit une
injection de X vers
Y et
une
injection de Y vers
X
Nous avons alors:
et
(5.102)
donc:
(5.103)
Comme est
injective, X et
sont
par définition en bijection et de même, comme est
injective, et
sont
en bijection (là il est bon de relire...).
Donc: X et
sont
eux aussi en bijection.
En utilisant le lemme sur et
X ,
il vient donc que est
en bijection ce
qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment,
que puisque aussi et
sont en bijection, alors que est
en bijection avec ,
alors X et Y sont en injection (ouf!
c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).
C.Q.F.D.
Ce théorème s'interprète de la manière suivante: Si nous pouvons compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments
d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le
même nombre d'éléments. Ce qui est évident
pour des ensembles finis. Ce théorème généralise
alors cette notion pour des ensembles infinis et c'est là sa force!
À
partir de là, ce théorème représente
l'une des briques de base pour généraliser la notion
de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.
STRUCTURES
L'algèbre dite "algèbre
moderne"
commence avec la théorie des structures algébriques
due en partie
à Carl F. Gauss et surtout à Évariste Galois. Ces structures
existent en un très grand nombre mais seulement les fondamentales
nous intéresseront ici. Avant de les détailler,
voici un diagramme synoptique de ces principales structures
et de leur
hiérarchie:

Figure: 5.16 - Diagramme synoptique des structures algébriques courantes
Remarques: Tout en haut du diagramme, la structure au
nombre minimal de contraintes, en bas, un maximum. Soit, plus nous
descendons,
plus la structure est en quelque sorte spécialisée.
Soit pour simplifier les écritures, une
loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la multiplication
ou encore la division,...)...
Remarque: Cette notation généralisée est parfois
appelée "notation stellaire".
Définitions: Soit et
des
symboles de lois internes à un ensemble E (cela
pourrait être
l'addition et la multiplication pour prendre le cas le plus connu)
alors:
D1. est
une "loi commutative" si:
(5.104)
D2. est
une "loi associative" si:
(5.105)
D3. n
est "élément neutre" pour
si:
(5.106)
Nous admettrons par ailleurs sans démonstration (c'est intuitif)
que s'il existe un élément
neutre, il est unique.
D4. a' est "l'élément
symétrique" (dans
le sens général de l'opposé par
exemple pour l'addition et l'inverse pour la multiplication)
de a pour
si:
(5.107)
Nous admettrons également et sans démonstration que le symétrique
de tout élément
est unique.
D5.
est
une "loi distributive" par
rapport à si:
(5.108)
D6. b est "l'élément absorbant" si pour tout a et
une loi nous
avons:
(5.109)
Remarques:
R1.
Si a
est son propre symétrique par rapport à la loi ,
les mathématiciens disent que
a
est "involutif".
R2.
Si
un élément b
de E vérifie ,
alors b est
dit "élément absorbant" pour
la loi .
R3. Il faut toujours vérifier que les neutres et les symétriques
le soient "à gauche" et "à droite". Ainsi, par exemple,
dans ,
l'élément 0 n'est un neutre qu'à droite car
mais .
MAGMA
Définition: Nous désignons un ensemble
par le terme "magma"
M , si les composants le constituant sont opérables
par rapport à une loi interne :
est un magma si 
Remarques:
R1. Si de plus la loi interne
est commutative, nous parlons de "magma
commutatif".
R2. Si de plus la loi interne
est associative, nous parlons de "magma
associatif".
R3. Si de plus la loi interne
possède un élément neutre, nous parlons de
"magma unitaire".
Il est donc important de
se rappeler que si nous désignons une structure algébrique
par le terme "magma" tout court, cela ne signifie en
aucun cas que la loi interne est commutative, associative ou même
qu'elle possède un élément neutre !
Définition: Dans
un magma ,
un élément x est dit "élément
régulier" (ou
"élément simplifiable") à gauche
si pour tout couple
nous avons:
(5.110)
Remarque: Nous définissons de même un élément
régulier à droite.
Ainsi, un élément
est dit "régulier" s'il est régulier à droite
et à gauche. Si * est commutative (ce qui est le cas
pour un magma commutatif), les notions d'élément
régulier
à gauche ou à droite coïncident.
Exemple:
Dans tout élément est régulier et dans
tout élément non nul est régulier.
Un magma
est donc une structure algébrique élémentaire.
Il existe des structures plus subtiles (monoïdes, groupes,
anneaux, corps, espace vectoriels, etc.) dans lesquelles un ensemble
est muni de plusieurs lois et de différentes propriétés.
Nous allons les voir de suite et les utiliser tout au long de
ce
site.
MONOÏDE
Définition: Si la loi
est associative et
possède un élément neutre nous disons alors
que le "magma associatif unitaire" est
un "monoïde":
est un monoïde si 
Remarques:
R1.
Si de plus
la loi interne est
commutative alors nous disons alors que la structure forme
un "monoïde
abélien" (ou simplement
"monoïde commutatif").
R2. Dans certains ouvrages nous trouvons aussi comme définition
que le monoïde est un "demi-groupe"
(avec une loi associative) muni d'un élément neutre.
Montrons tout de suite
que l'ensemble des entiers naturels est
un monoïde abélien totalement ordonné (comme nous l'avons partiellement
vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition
et de multiplication:
La
loi d'addition ( + ) est-elle une opération interne telle que nous
ayons:
(5.111)
Nous
pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient
à tel
que:
(5.112)
Donc
et
l'addition est bien une loi interne (nous disons également que
l'ensemble
est
"stable" par rapport à l'addition)
et en même temps associative puisque 1 peut être additionné à lui-même
par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat
en soit altéré. Si vous vous rappelez que la multiplication est
une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de multiplication
( x ) est aussi une loi interne et associative !
Nous
admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition
est également commutative et que le zéro "0" en est l'élément
neutre (n).
Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative et il
est trivial que "1" en est l'élément neutre (n).
Par ailleurs, pour parler déjà de quelque chose
qui n'est pas directement en relation avec le monoïde... mais
qui nous sera utile un peu plus loin, existe-t-il en restant dans
la lignée
de l'exemple précédent
pour la loi d'addition ( + ) un symétrique tel
que nous
ayons:
(5.113)
avec
?
Il
est assez trivial que pour que cette égalité soit satisfaite nous
ayons:
(5.114)
soit:
a + b = -c
(5.115)
or
les nombres négatifs n'existent pas dans .
Ce qui nous amène aussi à la conclusion
que la loi d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi
de soustraction ( - ) n'existe pas dans (la
soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).
De même, car cela va aussi nous être utile un peu plus loin,
existe-t-il pour
la loi de multiplication (
x ) un symétrique a' tel
que nous
ayons:
(5.116)
avec
?
D'abord
il est évident que:
(5.117)
Mais
excepté pour ,
le quotient 1/a n'existe
pas dans .
Donc nous devons conclure qu'il n'existe pas pour tout élément
de
de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que
la loi de division n'existe pas dans et
que la loi de multiplication ne forme pas un monoïde dans cet ensemble.
Synthèse:

(lois) |
(+) |
(-) |
(x) |
(/) |
Opération interne |
oui |
non
|
oui |
non |
Commutative |
oui |
oui |
Élément neutre |
oui
(zéro "0") |
oui
(un "1") |
Élément absorbant |
non |
oui
(zéro "0") |
Symétrique |
non |
non |
Tableau: 5.1
- Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers naturels
Nous avons par exemple les propriétés suivantes
relativement à l'ensemble des entiers naturels et au concept de
monoïde:
P1. est
totalement ordonné (attention cette notation est un peu abusive!
il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour
que l'ensemble soit totalement ordonné).
P2.
et
sont des monoïdes abéliens.
P3.
L'élément zéro "0" est l'élément
absorbant pour le monoïde
.
P4.
Les lois de soustraction et division n'existent pas dans l'ensemble
.
P5.
est un monoïde abélien totalement ordonné par rapport
aux lois d'addition et de multiplication (attention la notation
suivante
est abusive car le monoïde n'est composé que d'une
seule loi interne et d'une relation d'ordre R ce qui donnerait
au total 4 monoïdes):
(5.118)
Remarques: R1. Il est rare d'utiliser les
monoïdes; car souvent, lorsque nous nous trouvons face à une structure
trop pauvre pour pouvoir vraiment discuter, nous la prolongeons
vers quelque chose de plus riche, comme un groupe, ou un anneau
(voir plus loin) tel que l'ensemble des entiers relatifs.
R2. Dire qu'une structure algébrique est totalement ordonnée par
rapport à certaines lois signifie que soit une
loi, et R une relation d'ordre et a, b, c, d quatre
éléments de la structure intéressée, alors si aRb et
cRd implique .
Nous notons alors cette structure ou
simplement (S,R)
et en indiquant la (ou les) loi concernée.
GROUPES
Définition: Nous
désignons un ensemble par le
terme "groupe",
si les composants le constituant satisfont aux trois conditions
de ce que nous nommons la "loi
interne de groupe",
définie
ci-dessous:
est
un groupe si 
Dans ce cas,
la loi de compositions interne sera
souvent (mais pas exclusivement!) notée "+" et
appelée "l'addition",
le neutre e noté
"0" et le symétrique de x noté "-x".
Insistons sur le fait que la structure de groupe est probablement
une des plus importantes dans la pratique de l'ingénieur
et de la physique moderne en général. Raison pour
laquelle il convient d'y porter une attention toute particulière
(cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)!
Si de plus, la loi interne est
également commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe
abélien" ou simplement "groupe commutatif".
S'il existe dans G au moins un élément a tel
que tout élément de G est une puissance de a ou
du symétrique a' de a, nous disons que est
un "groupe cyclique de générateur
a" s'il
est fini, sinon nous disons qu'il est "monogène" (nous
reviendrons sur les groupes cycliques dans le chapitre d'Algèbre
Ensembliste).
Plus généralement un groupe d'élément
neutre e, non réduit uniquement à {e}
sera monogène, s'il existe un élément a de G distinct
de e tel que .
Un tel groupe sera cyclique, s'il existe un entier n non
nul pour lequel .
Le plus petit entier non nul vérifiant cette égalité est alors
"l'ordre du groupe".
Exemple:
Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers
relatifs
est un groupe abélien totalement ordonné (comme nous
l'avons vu dans le chapitre des Opérateurs) par rapport
aux lois d'addition et de multiplication.
D'abord pour raccourcir
les développements, il est
utile de rappeler que
l'ensemble est
un "prolongement" de par
le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétriques
de signe négatif ( ).
Ainsi, en abusant toujours des notations (car normalement un groupe
n'a qu'une seule loi et une seule relation d'ordre R suffit à l'ordonner):
(5.119)
forme
un groupe abélien totalement ordonné (4 groupes au
fait!) et:
(5.120)
un
monoïde abélien (deux monoïdes au fait!) totalement
ordonné.
Remarquons aussi que la loi de division n'existe pas pour tout élément
de l'ensemble !
Donc en toute généralité nous disons qu'elle n'y existe pas.
Synthèse:

(lois) |
(+) |
(-) |
(x) |
(/) |
Opération interne |
oui |
oui
|
oui |
non
|
Associative |
oui |
non |
oui |
Commutative |
oui |
non |
oui |
Élément neutre |
oui
(zéro "0") |
non
(0 pas neutre à gauche) |
oui
(un "1") |
Élément absorbant |
non |
non |
oui
(zéro "0") |
Symétrique |
oui
(signe opposé) |
oui |
non |
Tableau: 5.2
- Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des entiers relatifs
Nous avons donc les propriétés suivantes:
P1. est
totalement ordonné (attention à nouveau cette notation est un
peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations
d'ordre R pour
que l'ensemble soit totalement ordonné).
P2. est
un groupe commutatif dont zéro "0" est l'élément
neutre.
P3. La loi de division n'existe
pas dans l'ensemble .
P4. L'ensemble est
un groupe abélien totalement ordonné par rapport
à la loi d'addition (attention la notation
suivante est encore une fois abusive car le groupe est
composé que d'une relation d'ordre R ce
qui donnerait au total 2 groupes):
(5.121)
L'ensemble n'est
pas un groupe commutatif totalement ordonné par rapport à la
loi de multiplication:
(5.122)
Nous voyons de suite alors que
a
des propriétés trop restreintes, c'est la raison
pour laquelle il est intéressant de le prolonger par
l'ensemble des rationnels défini
de manière très simpliste... par (cf.
chapitre sur les Nombres):
(5.123)
Ce qui signifie pour rappel que l'ensemble des rationnels est
défini
par l'ensemble des quotients p et q appartenant
chacun à dont
nous excluons à q de prendre la valeur nulle (la
notation /q signifiant
l'exclusion).
Et
nous avons évidemment:
(5.124)
Il
est dès lors évident (sans démonstration
et toujours en utilisant la notation abusive déjà commentée
maintes fois plus haut...) que
est
aussi totalement ordonné et aussi que est
un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la
loi d'addition seulement:
(5.125)
Ce qui devient intéressant
avec ,
c'est que la loi de multiplication devient une loi interne et
forme un groupe abélien commutatif dit "groupe
multiplicatif" par rapport à .
Démonstration:
Démontrons donc que le symétrique existe pour la loi de
multiplication (.) tel que:
(5.126) Puisque dans tout
nombre peut se mettre sous la forme:
(5.127)
avec .
Alors puisque:
(5.128)
Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans pour
la loi de multiplication.
C.Q.F.D.
Par définition, ou par construction, la division
existe dans et
est une opération interne. Mais est-elle associative telle que
pour nous
ayons:
(5.129)
Démonstration:
Au fait, la démonstration
est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit
à partir de la loi de multiplication par l'inverse et que cette
dernière loi est (elle!) associative. Ainsi, il vient:
(5.130)
Donc la loi de division n'est pas associative dans .
C.Q.F.D.
Nous pouvons aussi nous demander si la loi de division
( / ) est cependant commutative tel que la relation:
(5.131)
pour ?
Nous voyons très bien que cela n'est
pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière relation sous
la forme:
(5.132)
Synthèse:

(lois) |
(+) |
(-) |
(x) |
(/) |
Opération interne |
oui |
oui
|
oui |
oui |
Associative |
oui |
non |
oui |
non |
Commutative |
oui |
non |
oui |
non |
Élément neutre |
oui
(zéro "0") |
non
(0 pas neutre à gauche) |
|
oui
("1" neutre à droite)
|
Élément abs. |
non |
non |
oui
(zéro "0") |
oui
("0"
au numérateur) |
Symétrique |
oui
(signe opposé) |
oui
(signe opposé) |
non
(excepté dans  ) |
non |
Tableau: 5.3
- Lois et leurs propriétés dans l'ensemble des rationnels
Nous avons donc les propriétés suivantes:
P1. est
totalement ordonné
P2. sont
indépendamment des groupes abéliens totalement ordonnés
P3. Zéro "0" est l'élément
absorbant par rapport au groupe 
P4. L'ensemble est
un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition
et de multiplication que nous notons:
et
(5.133)
Les mêmes propriétés sont applicables
à et
à mais
à la différence que ce dernier n'est pas ordonnable.
Cependant, il peut être compréhensible
que pour vous
soyez sceptiques. Développons donc tout cela:
Nous devons nous assurer que la somme,
la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme
donne
quelque chose d'encore de cette forme.
Additionnons
les nombres et
où
a,
b,
c
et d
sont des réels:
(5.134)
Donc
l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour
laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble
des complexes.
Soustrayons
les nombres et
où
a, b,
c
et d
sont ici encore, des réels:
(5.135)
Donc
la soustraction est une opération interne; elle n'est ni
commutative, ni associative elle n'a pas d'élément
neutre à gauche et pas de
symétrique.
Multiplions
maintenant les nombres
et où
a, b, c et d
là toujours, des réels. Pour parvenir à nos fins, nous emploierons
la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
(5.136)
Donc la loi de multiplication est bien
une opération interne commutative, associative et distributive
(!) pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans
(voir
ci-après)
dans l'ensemble des complexes.
Une division est avant tout une multiplication
par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est prouver qu'il
existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le
nombre
où x
et y sont des réels (différents de zéro):
(5.137)
Donc l'inverse d'un nombre complexe est bien une opération
interne non associative et non commutative pour laquelle il existe
un élément neutre, et elle est symétrique.
Il en est de même pour la division, qui correspond au produit
par l'inverse d'un nombre complexe.
Voyons un exemple de groupe
cyclique: Dans
,
considérons G={1,i,-1,-i} muni
de la multiplication usuelle des nombres complexes. Alors est
évidemment un groupe abélien. Un tel groupe est aussi monogène
car engendré par les puissances d'un de ses éléments: i
(ou bien -i).
Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.
ANNEAUX
L'anneau est le coeur de l'algèbre commutative qui est la structure
algébrique correspondant aux concepts collégiens d'addition, de
soustraction, et de multiplication.
Définition: Un groupe
commutatif (ou "groupe abélien") A est
un "anneau"
s'il est muni d'une seconde loi de composition interne vérifiant
les propriétés suivante:
est
un anneau si 
Comme
nous le savons déjà, l'élément
neutre de la première loi de composition interne + est
noté "0" et
appelé "zéro" de
l'anneau. La deuxième loi interne est souvent
notée par un point à mi-hauteur et appelée
la "multiplication".
Remarques:
R1. Si de plus, la deuxième
loi interne de composition est également
commutative, l'anneau est dit "anneau
commutatif". Nous rencontrons aussi des anneaux non-commutatifs
dans lesquels la relation de commutativité n'est pas imposée
ou ne s'impose pas et alors nous devons parfois l'imposer,
il faut alors renforcer la propriété de
l'élément
neutre de cette deuxième loi en imposant à "1" d'être
un élément
neutre à la fois à droite et à gauche tel
que: (un
exemple d'anneau non-commutatif est fourni par l'ensemble des
matrices à coefficients
dans un anneau A, par exemple -
voir chapitre d'Algèbre Linéaire).
R2. Si de plus, il existe
dans A
un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne ,
et que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons
alors que l'anneau est un "anneau
unitaire" et 1 est
appelé "unité"
de l'anneau. Si l'anneau est commutatif et possède un élément neutre
pour la deuxième loi de composition interne alors nous parlons "d'anneau
commutatif unitaire"
R3. Si ,
quels que soient les éléments a,b de
A,
l'anneau est dit "anneau intègre" ou "anneau
sans diviseurs de zéro" (dans le cas contraire il
est bien évidemment
"non intègre").
R4. Un "anneau factoriel" est
un anneau commutatif unitaire et intègre
dans lequel le théorème fondamental de l'arithmétique
(cf. chapitre de Théorie des Nombres) est vérifié.
Définitions:
D1. Un élément
a d'un anneau A est un "élément
unité" s'il
existe
tel que .
Si un tel b existe il est unique (nous en avons vu un exemple
lors de notre étude des classes de congruence en théorie
des nombres).
D2. Soit A un anneau.
Nous disons que A possède des diviseurs de zéro
s'il existe
avec
et .
Les éléments a et b sont appelés
des "diviseurs de zéro".
Remarques:
R1. Il est clair qu'un anneau
est intègre si et seulement si il ne possède aucun
diviseur de zéro.
R2. Les notions d'unité et de diviseurs de zéro
sont incompatibles mais un élément d'un anneau peut être
ni l'un ni l'autre. C'est le cas, par exemple, de tous les entiers
dans .
Ce ne sont ni des unités, ni des diviseurs de zéro.
Nous verrons un exemple
important d'anneau dans le cadre de notre étude des
polynômes
(cf. chapitre de Calcul Algébrique)
mais nous en avons déjà vu
de très importants lors de notre étude des classes
de congruence dans le chapitre de théorie des nombres.
Voyons quelques exemples
d'anneaux: Lors de notre
étude des groupes nous avons trouvé que les structures:
(5.138)
sont
tous les quatre des groupes abéliens et les trois premiers sont
en plus totalement ordonnés.
La
loi de division n'étant en aucun cas associative, nous pouvons
nous restreindre à étudier pour chacun des groupes précités, le
couple de lois: (+) et ( x ).
Ainsi,
il vient très vite que:
(5.139)
constituent
des anneaux commutatifs unitaires et intègres.
Remarque: Nous considérerons comme évident, à
ce niveau du discours, que le lecteur aura remarqué que
est

un " sous-anneau" de 
dans le sens où les opérations définies sont
internes à chacun des ensembles et que les éléments
neutres et identité sont identiques et qu'il existe pour
chaque élément de ces ensembles un opposé qui
est dans le même ensemble. Nous allons approfondir le
concept de sous-anneau un peu plus loin.
Soit A un anneau.
Nous avons les propriétés suivantes:
P1.
P2. 
P3. 
Démonstrations:
DM1. La propriété P1 découle de la définition
D4 vu tout au début de la partie concernant les structures
algébriques
(tout élément
possède un opposé/symétrique). En effet,
nous pouvons additionner à l'égalité l'élément
-a.
Nous obtenons alors par
l'existence de l'opposé cela donne
d'où .
DM2. La propriété P2 découle des définitions
D3 (existence de l'élément neutre), D4 (existence
de l'opposé/symétrique), D5 (distributivité
par rapport à l'autre loi) ainsi que de la propriété
P1 ci-dessus. En effet, nous avons:
(5.140)
Nous avons donc .
La propriété P1 ci-dessus permet de conclure
que
(nous pourrions discuter de la pertinence de ce genre de démonstration...).
DM3. La propriété P3. se montre à l'aide de
P2. Nous avons:
(5.141)
en ajoutant -a à cette dernière égalité,
nous avons:
(5.142)
C.Q.F.D.
SOUS-ANNEAU
Définition: Soit
A un anneau et
un sous-ensemble de A. Nous disons que S est un "sous-anneau"
de A si:
P1.
(élément neutre de A est aussi celui deS)
P2. 
P3. 
P4. 
Exemple:
L'anneau
est un sous-anneau de 
CORPS
Définition: Nous
désignons un ensemble de nombres par le terme "corps"
si:
est un corps si 
Donc
un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul
est inversible ou en d'autres termes: un anneau dont tous les éléments non
nuls sont des unités est un corps.
Remarques:
R1. Si la loi interne est également
commutative, le corps est dit "corps
commutatif".
R2. Les quaternions (cf. chapitre sur les
Nombres) forment par
exemple un corps non commutatif pour l'addition et la multiplication.
Voyons
des exemples de corps parmi les anneaux unitaires suivant:
(5.143)
Il
nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes
par rapport à la loi interne de multiplication ( ).
Comme
nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment,
il est évident qu'il nous faut éliminer
à
cause de l'existence des inverses qui n'est pas assurée dans cet
ensemble.
Ainsi,
les corps fondamentaux de l'arithmétique sont:
(5.144)
et
puisque la loi de multiplication ( ) est commutative dans ces
ensembles, nous pouvons affirmer que ces corps sont également
des corps commutatifs.
Nous avons souvent dans les petites classes le schéma suivant
pour le corps le plus important:
Figure: 5.17 - Propriétés classique de l'ensemble des réels
Ainsi, nous appellerons "corps" un système C de
nombres réels ou complexes a tels que la somme, la différence,
le produit et le
quotient de deux quelconques de ces nombres a appartiennent au même
système C.
Nous énonçons également cette propriété de la manière suivante: les nombres d'un corps se reproduisent par les opérations rationnelles (addition,
soustraction, multiplication, division). Ainsi, il est évident que le nombre
zéro ne pourra jamais former le dénominateur d'un quotient et l'ensemble des
entiers ne peut former un corps car la division dans l'ensemble des nombres
entiers ne donne pas nécessairement un résultat dans ce même ensemble.
ESPACES
VECTORIELS
Lorsque nous
définissons un "vecteur" (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel), nous faisons habituellement
référence
à un "espace euclidien" (cf.
aussi chapitre de Calcul Vectoriel) de n dimensions
de .
Cependant, la notion d'espace vectoriel est beaucoup beaucoup
plus
vaste que ce dernier qui ne représente qu'un cas particulier.
Définition: Un "espace
vectoriel (EV)" ou
"K-espace
vectoriel" (abrégé: K-ev) sur le corps K
(nous prendrons fréquemment pour ce corps
ou )
est un ensemble
possédant les propriétés:
(5.145)
Nous avons donc deux lois de composition (en prenant les notations
traditionnelles des vecteurs qui sera peut-être plus parlante et
utile pour la suite...):
1. Une loi de composition interne: l'addition notée + qui vérifie:
1.1. Associativité: 
1.2. Commutativité: 
1.3. Élément neutre: 
1.4. Élément opposé: 
2. Une loi de composition externe: la multiplication par un scalaire,
notée ,
qui vérifie:
2.1. Associativité: 
2.2. Distributivité à droite par rapport au corps K: 
2.3. Distributivité à gauche par rapport à E: 
2.4. Élément neutre (de K sur E): 
Remarques:
R1. Nous disons
alors que l'espace vectoriel a une "structure
algébrique vectorielle"
et que ces éléments sont des "vecteurs",
les éléments
de K
des "scalaires".
R2.
Les opérations respectives s'utilisent fréquemment
comme l'addition et la multiplication que nous connaissons déjà
très bien sur ,
ce qui est bien commode pour nos habitudes….
R3.
Dorénavant, pour distinguer les éléments du corps K et
de l'ensemble E,
nous noterons ceux de K par
des lettres grecques et ceux de E par
des lettres latines majuscules.
R4. Outre les cinq propriétés énumérées
ci-dessus, il ne faut pas oublier d'ajouter les cinq autres propriétés
du groupe abélien (opération interne, commutativité,
associativité, élément neutre, élément
inverse). Ce qui nous fait donc au total dix propriétés
à respecter.
Il est inutile de démontrer
que ces propriétés sont respectées pour
et, par conséquent pour .
Nous pouvons cependant nous poser la question à propos de
certains sous-ensembles de .
Exemples:
E1. Considérons
la région rectangulaire illustrée
dans la figure (a) et en perspective dans la figure (c) ci-dessous:

Figure: 5.18 - Exemple du concept d'espace vectoriel
Ce sous-ensemble de
n'est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propriété
d'opération interne du groupe abélien n'est pas satisfaite.
En effet, si nous prenons deux vecteurs à l'intérieur
du rectangle et que nous les additionnons, il se peut que le
résultat
sorte du rectangle. Par contre, il est facile de voir que la droite
(infinie) illustrée dans la figure (b) respecte toutes
les propriétés énumérées
précédemment
et, par conséquent, défini un espace vectoriel. Notons
bien, cependant, que cette droite se doit de passer par l'origine,
sinon la propriété d'élément neutre
du groupe abélien ne serait pas respectée (l'élément
neutre n'existant plus).
E2. Un autre exemple d'un
espace vectoriel est l'ensemble
des polynômes de degré deux ou moins (cf.
chapitre de Calcul Algébrique). Par
exemple, deux éléments de cet espace sont:
(5.146)
Cet ensemble respecte les
10 propriétés d'un espace vectoriel. En effet, si
nous additionnons deux polynômes de degré deux ou moins,
nous obtenons un autre polynôme de degré deux ou moins.
Nous pouvons aussi multiplier un polynôme par un scalaire
sans changer l'ordre (ou degré) de celui-ci, etc. Nous pouvons
donc représenter un polynôme par des vecteurs dont
les termes sont les coefficients du polynôme.
Mentionnons que nous pouvons
aussi former des espaces vectoriels avec des ensembles de fonctions
plus générales que des polynômes. Il importe
seulement de respecter les dix propriétés fondamentales
d'un espace vectoriel !
Ainsi
défini, un espace vectoriel E
sur K
est une action de
sur
qui est compatible avec la loi de groupe (par extension un "automorphisme"
- voir la définition plus loin - sur ).
Définition: Soit
E
un espace vectoriel, nous appelons "sous-espace
vectoriel" (SEV) F de E
un sous-ensemble de E
si et seulement si (notation des matheux):
(5.147)
ou en utilisant une autre notation (celle utilisée
plutôt par les physiciens):
(5.148)
ALGÈBRES
Une "C-algèbre A" où C est
un corps commutatif (appelée aussi souvent "K-alègbre A" pour
"Körper" en allemand)), est un ensemble A muni
de deux lois de composition internes + (addition) et (produit)
et d'une loi externe (multiplication) à domaine
d'opérateurs C (produit par un scalaire) si et seulement
si:
(5.149)
Exemples:
E1. Pour
reprendre un exemple dans la lignée de celui sur les exemples
vectoriels, l'espace euclidien muni
de l'addition (+), de la multiplication et
du produit vectoriel est
une -algèbre
non associative et non commutative notée .
E2.
est une -algèbre
(un nombre complexe pouvant être vu comme un vecteur à
deux composantes selon ce que nous avons vu dans le chapitre des
Nombres).
HOMOMORPHISMES
Le
concept d'homomorphismes (du
grec homoios = semblable et morphê = forme) a
été défini par les mathématiciens car
permettant de mettre en évidence des propriétés
remarquables des fonctions en particulier avec leurs structures,
leur noyau, et de ce que nous appelons les "idéaux"
(voir plus loin). Ils nous permettront ainsi d'identifier
une structure algébrique d'une autre.
Définitions:
D1. Si
et
sont deux magmas (peu importe la notation utilisée pour
les lois internes), une application f de A dans B
est un "homomorphisme de magma" ou "morphisme
de magma" (par
abus de langage nous écrivons parfois juste "homomorphisme")
si:
(5.150)
en
d'autres termes, si l'image d'un composé dans A est
le composé des images dans B.
D2. Si
et
sont deux monoïdes, une application f de A dans
B est un "homomorphisme de monoïde" si:
(5.151)
où
sont les éléments neutres respectifs des monoïdes
A,B.
D3. Si A, B sont deux anneaux,
un "homomorphisme d'anneaux" (très
important pour le chapitre de Cryptographie!) de A dans
B est une application
telle que nous ayons pour tout :
(5.152)
où
sont les éléments neutres des anneaux A, B par
rapport à la multiplication.
Soit
un homomorphisme d'anneaux. Alors:
P1. 
P2. 
P3. Si a est une unité
de A, alors f(a)
est une unité de B et 
Démonstrations:
DM1. Par ,
nous avons .
En ajoutant
des deux côtés de l'égalité, nous obtenons

DM2. La propriété
P2 découle aussi de
et de la propriété P1. En effet, nous avons .
En additionnant
aux deux côtés de la dernière égalité,
nous obtenons .
DM3. Soient tels
que .
Alors par
et ,
nous avons
et de même ce
qui montre que f(b) est l'inverse de f(a)
si b est l'inverse de a.
C.Q.F.D.
Montrons maintenant qu'un homomorphisme d'anneaux
est injectif si et seulement si l'élément 0 est la
seule pré-image de 0 (et donc réciproquement), ce qui se
note techniquement:
(5.153)
c'est-à-dire que le noyau est trivial.
Démonstration:
La condition est clairement nécessaire.
Montrons qu'elle est suffisante:
Nous supposons donc que .
Soit
tel que .
Alors comme nous avons un homomorphisme d'anneaux nous pouvons écrire:
(5.154)
qui
implique que donc
que .
Ce qui montre que f est injectif si c'est un homomorphisme
et que et que en
est effectivement une condition suffisante.
C.Q.F.D.
D4.
Soient
et ,
deux groupes et f une
application .
Nous disons que f est
un "homomorphisme de groupe" si
(nous
pourrions tout aussi bien mettre * au lieu de + dans le premier
groupe et + au lieu de * dans le deuxième groupe, la définition
resterait la même en remplaçant simplement les opérateurs
respectifs!):
(5.155)
où
sont les éléments neutres respectifs des groupes A,B
. Nous remarquons que la seule différence entre un homomorphisme
d'anneau et un homomorphisme de groupe est que ce dernier à deux
lois au lieu d'une et que nous y rajoutons le concept d'inverse.
Ceci dit, la troisième proposition ci-dessus est en fait
une conséquence
de la définition composée uniquement des deux premières
lignes. Effectivement, considérons un homomorphisme f entre
les groupes et avec et respectivement
les éléments neutres de A et B.
Nous avons alors:
(5.156)
d'où:
(5.157)
et donc:
(5.158)
Exemple:
La fonctione exponentielle e est un mrophisme
du groupe ( +,+)
sur le groupe ( +,*).
D5. Soit f une
application d'un
corps vers un autre. Nous disons que f est un "homomorphisme
de corps" si f est un homomorphisme d'anneaux...
Effectivement, le fait que l'homomorphisme de
corps soit le même
que celui d'un anneau tient juste au fait que la différence
entre les deux structures est que les éléments du
corps sont tous inversibles (aucune loi ou propriété de
loi ne diffère
entre les deux selon leur définition).
Montrons maintenant que tout homomorphisme de corps est injectif
("homomorphisme
injectif") en se rappelant que plus haut nous avons
démontré que tout homomorphisme d'anneaux l'était!
Démonstration:
Si a est différent de 0 et (nous
utilisons ici la propriété que les éléments
d'un corps sont inversibles!) alors:
(5.159)
Donc lorsque a est différent de zéro f(a)
est différent
de 0 ce qui prouve que et
donc que f est injective.
C.Q.F.D.
D6. Soient A et B
deux K-ev et
une application de A dans B. Nous disons que f
est une "application linéaire" ou "homomorphisme
d'espaces vectoriels" (il est sous-entendu que c'est relativement
aux lois indiquées et pour l'application choisie) si:
(5.160)
et nous notons L(A,B) l'ensemble des applications
linéaires.
Remarques:
R1. Nous avions déjà
défini plus haut le concept d'application linéaire
mais n'avions pas précisé que les deux ensembles A et B étaient
des K-ev.
R2. L'application linéaire est appelée "forme
linéaire" si et seulement si 
D7. Si
l'homomorphisme est bijectif nous dirons alors que f est
un "isomorphisme". S'il existe un isomorphisme
entre A et B, nous disons que A et B
sont "isomorphes" et nous noterons cela .
Remarque: L'isomorphisme permet au fait d'identifier
deux ensembles munis d'une structure algébrique identique
(que ce soit groupe, anneau, etc.) mais dont les éléments
sont nommés
d'une façon différente.
D8. Si
l'homomorphisme f est une application uniquement interne,
nous dirons alors que f est un "endomorphisme"
(en d'autres termes, nous avons un endomorphisme si dans la définition
de l'homomorphisme nous avons A=B).
Remarque: Si nous avons un endomorphisme f de E,
f est donc restreint à Im( f).
Donc le terme "endomorphisme" veut juste dire que l'application
f arrive dans E et pas qu'elle touche tous les éléments
de E. Nous avons 
et pas forcément 
car dans ce dernier cas nous disons que f est surjective
comme nous l'avons déjà vu.
D9. Si
l'endomorphisme f est en plus bijectif (donc en d'autres
termes si l'homomorphisme est un endomorphisme et un isomorphisme),
nous dirons alors que f est un "automorphisme".
IDÉAL
Définition: Soit
A un anneau commutatif. Un sous-ensemble
est un "idéal" si:
P1. pour tout 
P2. pour
tout et
tout 
En d'autres termes, un idéal
est un sous-ensemble fermé pour l'addition et stable pour
la multiplication par un élément quelconque de A.
Exemple:
L'ensemble des nombres pairs est par un exemple d'idéal
de l'ensemble des nombres naturels.
Remarque: Les idéaux  et  sont
appelés les " idéaux
triviaux".
Pour savoir si un idéal
est égal à tout l'anneau, il est utile d'utiliser
la propriété suivante qui spécifie que si A est
un anneau et I un idéal de A, alors si
nous avons .
Démonstration:
Ceci résulte de la propriété
P2 de la définition d'un idéal:
Pour tout ,
nous avons car .
C.Q.F.D.
Un premier exemple d'idéal
est donné par le noyau d'un homomorphisme d'anneaux. Effectivement,
démontrons que le noyau d'un homomorphisme est
un idéal de R.
Démonstration:
Soient .
Alors:
(5.161)
ce qui montre que .
Soit ,
alors:
(5.162)
ce qui montre que .
C.Q.F.D.
Proposition: Soit A
un anneau et soit .
Le sous-ensemble:
(5.163)
noté
ou aA, est un idéal (nous allons voir un exemple concret
après la prochaine définition).
Définitions:
D1. Un
idéal
d'un
anneau A est dit "idéal
principal" s'il existe tel
que .
D2. Un anneau dont tous
les idéaux sont principaux est dit "anneau
principal".
Montrons maintenant que l'anneau
est principal (car tous ses idéaux sont principaux).
Démonstration:
Soit I un idéal de (il
est facile d'en choisir un: par exemples tous les multiples de
2 ou de 3, etc.). Soit le
plus petit entier positif non nul de I. Nous allons montrer
que :
Soit a un élément quelconque de I.
La division euclidienne nous permet d'écrire:
(5.164)
avec
(nous l'avons déjà démontré).
Mais comme et
que ,
par la définition d'un idéal, nous avons (la
somme ou différence des éléments d'un idéal
appartenant à l'idéal).
Par choix de r (r' étant inférieur à r)
ceci implique que et
donc que .
Ainsi tout élément
de I est
un multiple de r et donc:
(5.165)
C.Q.F.D.
La démonstration
ci-dessus n'utilise que la division euclidienne sur .
Nous pouvons alors généraliser ce résultat
aux anneaux qui possèdent une division euclidienne.
Ainsi, par exemple, l'anneau k[X]
des polynômes (cf. chapitre de Calcul
Algébrique) à coefficients
dans un corps k
est un anneau principal
car il possède une division euclidienne.
Démonstration:
Soit I un idéal de k[X].
Notons d le plus petit degré que puisse avoir un
polynôme
non nul de I. Si alors
et
donc .
Autrement, soit a(X) un
polynôme de degré d. Si alors
on peut diviser u(X) par
a(X).
Il existe tels
que et
.
Donc ce
qui entraîne (autrement
contradiction avec la minimalité de d). Par suite, .
Nous venons de montrer que 
C.Q.F.D.
Ainsi, les seuls idéaux de sont
ceux de la forme . De plus si nous avons d et
m qui sont des entiers > 1. Alors si et seulement si d | m.
Démonstration:
Si d | m alors
il existe n avec .
Soit un élément
de .
Alors:
(5.166)
ce
qui montre que .
Réciproquement, si
ceci implique que m est de la forme et ceci prouve que d divise m.
C.Q.F.D.
Démontrons aussi qu'un anneau R est un corps si
et seulement s'il ne possède
que les idéaux triviaux {0},R.
Démonstration:
Montrons que la condition est nécessaire: Soit I un idéal non nul de R et un élément non nul. Par hypothèse (qu'il s'agit
d'un corps), il est inversible, c'est-à-dire qu'il existe
tel que .
Ceci implique que et
donc, par un résultat obtenu plus haut .
Réciproquement, supposons que tout idéal
soit l'idéal nul. Alors si
est un élément non nul de R, l'idéal
principal (r)
doit être égal à R. Mais ceci implique
que
et donc qu'il existe
avec
ce qui montre que r est inversible. L'anneau R est
donc un corps.
C.Q.F.D.
Cette caractérisation
va nous permettre de démontrer facilement que tout homomorphisme
partant d'un corps est injectif.
Soit que si est
un homomorphisme où R est un corps, alors f
est injectif.
Démonstration:
Nous mettons ensemble ce qui a été
vu jusque-là. Nous avons démontré plus haut
que le noyau Ker(f) d'un
homomorphisme est un idéal. Mais nous avons également
démontré plus haut que nous avons soit
soit
(car l'anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède
que les idéaux triviaux).
Mais vu que (de
par la définition d'un homomorphisme) il s'ensuit qu'il
reste
(puisque nous avons démontré que si A est
un anneau et I un idéal de A alors si
alors ).
Ceci implique par un théorème précédent
(où nous avons démontré que si
l'homomorphisme est injectif) que... f est injective.
C.Q.F.D.
Etudions maintenant les homomorphismes
dont l'anneau de départ est .
Soit A un anneau et
un homomorphisme. Par définition d'un homomorphisme et par
ses propriétés, il faut que et .
Mail il faut encore que:
(5.167)
pour tout .
Ainsi f est complètement déterminé par
la donnée de f(1)
et est donc unique. Réciproquement, nous montrons que l'application
définie par:
(5.168)
est un homomorphisme d'anneaux.
En résumé, il existe un et un seul homomorphisme
de
dans un anneau quelconque A.
Définition: Soient
A un anneau et
l'unique homomorphisme défini précédemment.
Si f est injectif, nous dirons que A est de "caractéristique
nulle". Sinon, Ker(f) est
un idéal non trivial de et
comme est
dès lors principal (comme nous l'avons démontré
plus haut) il est de la forme avec .
L'entier m est appelé la "caractéristique
de A".
Remarque: Moins formellement, la caractéristique
d'un anneau est le plus petit entier positif m tel que
 . S'il n'y en a pas, alors la caractéristique est nulle.
Exemple:
L'anneau est
de caractéristique nulle car l'unique homomorphisme
est l'identité. Il est donc injectif. Les injections montrent
que
(et également)
sont des corps de caractéristique nulle.
Nous nous proposons maintenant de démontrer que la caractéristique
d'un anneau intègre (et en particulier d'un corps) est égale
0 ou à un premier p.
Démonstration:
Nous montrons la contraposée. Soit A un anneau de
caractéristique
avec m non premier. Il existe alors des entiers naturels
tels que .
Soit l'unique
homomorphisme (défini précédemment).
Par définition (de l'idéal) de m, nous avons mais
.
Mais alors
ce qui montre que A n'est pas intègre.
C.Q.F.D.
Remarque:La réciproque du théorème
n'est pas vraie comme le montre l'exemple de l'anneau 
où l'addition et la multiplication se font composante par
composante. C'est un anneau de caractéristique nulle mais
avec des diviseurs de zéro:
(5.169)

- Introduction à la théorie
des ensembles, P.R. Halmos, Éditions Jacques
Gabay, ISBN10: 876471264 (127 pages)
- Réimprimé en
1997
- Applied Mathematics for Database
Professionals, L. De Hann + T. Koppelaars, Éditions
APress , ISBN13: 9781590597453 (376 pages) - Imprimé en
2007
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