Sciences.ch (théorie des ensembles)

Lors de notre étude des nombres, des opérateurs, et de la théorie des nombres (dans les chapitres du même nom), nous avons assez souvent utilisé les termes "groupes", "anneaux", "corps", "homomorphisme", etc. et continuerons par la suite à le faire encore de nombreuses fois. Outre le fait que ces concepts soient d'une extrême importance, permettant de faire des démonstrations ou de construire des concepts mathématiques indispensables à l'étude de la physique théorique contemporaine (physique quantique des champs, théories des cordes, modèle standard,...), ils permettent de comprendre les composants et les propriétés de base de la mathématique et de ses opérateurs en rangeant ceux-ci par catégories distinctes. Ainsi, choisir de mettre la théorie des ensembles en tant que cinquième chapitre de ce site est un choix tout à fait discutable puisque rigoureusement c'est par là que tout commence... Cependant, nous avions besoin d'exposer quand même la théorie de la démonstration ne serait-ce que pour les notations et les méthodes dont il sera fait usage ici.

Par ailleurs, lors de l'enseignement des mathématiques modernes dans le secondaire, voire primaire (années 1970), on introduisit le langage des ensembles et l'étude préalable des relations binaires pour une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions et d'applications (voir la définition plus loin) et de la mathématique en général.

Définition: Nous parlons de "diagramme sagittal" (ou de "schéma sagittal" du latin sagitta = flèche) pour tout schéma représentant une correspondance entre les composantes de deux ensembles reliés totalement ou partiellement par un ensemble de flèches.

La représentation graphique d'une fonction définie de l'ensemble E={-3,-2,-1,0,1,2,3} vers l'ensemble F={0,1,2,3,...9} conduirait au diagramme sagittal ci-dessous:

Figure: 5.1 - Fonction d'un ensemble de définition à un autre ensemble d'arrivée

Le bouclage de chaque élément montrant une "relation réflexive" et la présence systématique d'une flèche retour indiquant une "relation symétrique".

Définition: Si l'ensemble d'arrivée est identique à l'ensemble de départ, nous disons que nous avons une "relation binaire".

Cependant le choix d'introduire la théorie des ensembles dans les classes d'école a une raison aussi un peu autre. Au fait, dans un souci de rigueur interne (in extenso: non liée à la réalité), une très grande partie des mathématiques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé donc "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autres) est ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre: elle est considérée comme fondamentale. Ainsi, la rigueur d'un raisonnement effectué au sein de la théorie des ensembles est garantie par le fait que le cadre est "non-contradictoire" ou "consistant". Voyons les définitions qui construisent ce cadre.

D1. Nous appelons "ensemble" toute liste, collection ou rassemblement d'objets bien définis, explicitement ou implicitement.

Il faut noter que ce que les mathématiciens appellent "univers" n'est pas un ensemble! En fait il s'agit d'un modèle qui satisfait aux axiomes des ensembles.

Effectivement, nous verrons que nous ne pouvons pas parler de l'ensemble de tous les ensembles (ce n'est pas un ensemble), pour désigner l'objet qui est constitué de tous les ensembles ainsi, nous parlons d'univers.

D3. Nous appelons "éléments" ou "membres de l'ensemble" les objets appartenant à l'ensemble et nous notons:

Nous identifions également un ensemble soit en listant ses éléments (pas toujours forcément dénombrables par ailleurs!), soit en donnant la définition de ses éléments (nombres pairs, impairs, diviseurs entiers de..., etc.).

D4. Nous pouvons munir les ensembles d'un certain nombre de relations qui permettent de comparer leurs éléments (c'est utile parfois...) ou de comparer certaines de leurs propriétés. Ces relations sont appelées "relations de comparaisons" ou "relations d'ordre" (cf. chapitre sur les Opérateurs).

Remarques:

R1. La structure d'ensemble ordonné a été mise en place à la base dans le cadre de la théorie des Nombres par Cantor et Dedekind.

R2. Comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Opérateurs, sont totalement ordonnés par les relations usuelles . La relation , souvent dite "d'ordre strict", n'est pas une relation d'ordre car non réflexive et non antisymétrique (cf. chapitre sur les Opérateurs). Par exemple, dans , la relation "a divise b", souvent notée par le symbole " | ", est un ordre partiel.

R3. Si R est un ordre sur E et F est une partie de E, la restriction à F de la relation R est un ordre sur F, dit "ordre induit par R dans F".

R4. Si R est un ordre sur E, la relation R' définie par:

(5.5)

est un ordre sur E, dit "ordre réciproque" de R. L'ordre réciproque de l'ordre usuel est l'ordre noté ainsi que l'ordre réciproque de l'ordre "a divise b" dans est l'ordre "b est multiple de a".

L'ensemble est l'entité mathématique de base, dont l'existence est posée: il n'est pas défini en tant que tel, mais par ses propriétés, données par les axiomes. Il fait appel à une procédure humaine: une sorte de fonction de catégorisation, qui permet à la pensée de distinguer plusieurs éléments qualifiés d'indépendants.

Nous pouvons démontrer à partir de ces concepts, que le nombre de sous-ensembles d'un ensemble de cardinal n est

Il y a d'abord l'ensemble vide

, soit 0 élément choisi parmi n, in extenso

(notation du coefficient binomial non conforme à la norme ISO 31-11!) conformément à ce que nous avons vu dans le chapitre de Probabilités:

Le nombre de sous-ensembles (cardinal) de E correspond donc à la sommation de tous les coefficients binomiaux:

Considérons l'ensemble

, nous avons l'ensemble des parties P(S) constitué par:

Remarque: L'ordre dans lequel sont différenciés les éléments ne rentre pas en compte lors du comptage des parties de l'ensemble de départ.

En mathématique appliquée, nous travaillerons presque exclusivement avec des ensembles de nombres. Nous nous restreindrons donc à l'étude des définitions et propriétés de ces derniers.

Maintenant, formalisons les concepts de base permettant de travailler avec les ensembles les plus courants que nous rencontrons dans les cursus scolaires de base.

AXIOMATIQUE DE ZERMELO-FRAENKEL

L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, abrégée "axiomatique ZF-C", présentée ci-dessous a été formulée par Ernst Zermelo puis précisée par Adolf Abraham Fraenkel au début du 20ème siècle et complétée par l'axiome du choix (d'où le C majuscule dans ZF-C). Elle est considérée comme la plus naturelle dans le cadre de la théorie des ensembles.

Remarque: Il existe bien d'autres axiomatiques, basées sur le concept plus général de "classe", comme celle développée par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le chapitre traitant de la Théorie De La Démonstration).

Strictement et techniquement parlant, les axiomes de ZF sont des énoncés du calcul des prédicats du premier ordre (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes.

Deux ensembles sont égaux si, et seulement si ils ont les mêmes éléments. C'est ce que nous notons:

Donc A et B sont égaux si tout élément x de A appartient aussi à B et tout élément x de B appartient aussi à A.

En réalité cet axiome peut être déduit à partir d'un autre axiome que nous verrons un peu plus loin mais il est pratique à introduire en tant que tel par commodité pédagogique dans les petites classes.

Si A et B sont deux ensembles, alors, il existe un ensemble C contenant A et B et eux seuls comme éléments. Cet ensemble C se note alors {A, B}.

Cet axiome montre aussi l'existence du "singleton" (single=seul) d'un ensemble noté:

qui est un ensemble dont le seul élément est X (donc de cardinal unitaire). Il suffit pour cela d'appliquer l'axiome en posant l'égalité entre A et B.

A4. Axiome de la somme (dit aussi "axiome de l'union" ou encore "axiome de la réunion"):

Cet axiome permet de construire la réunion d'un ensemble. Dit de façon plus commune: la réunion d'une famille quelconque d'un ensemble, est un ensemble.

Donc à tout ensemble A, nous pouvons associer un ensemble B qui contient exactement les parties (in extenso les sous-ensembles) C du premier:

Cet axiome exprime le fait qu'il existe un ensemble infini. Pour le formaliser, nous disons qu'il existe un ensemble, dit "ensemble autosuccesseur" K contenant

(l'ensemble vide) tel que si x appartient à K, alors

appartient également à K:

Cet axiome exprime donc que l'ensemble des entiers existe. Effectivement,

est ainsi le plus petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion

et par convention nous notons (où nous construisons l'ensemble des naturels):

Le but principal de cet axiome est d'éliminer la possibilité d'avoir A comme élément de lui-même.

Ainsi, pour tout ensemble non vide A, il existe un ensemble B qui est élément de A tel qu'aucun élément de A ne soit élément de B (il faut bien différencier le niveau du langage utilisé, un ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut) ce que nous notons:

En effet, soit A un ensemble tel que

. Considérons le singleton {A}, ensemble dont le seul élément est A. D'après l'axiome de fondation, nous devons avoir un élément de ce singleton qui n'a aucun élément en commun avec lui. Mais le seul élément possible est A lui-même, c'est-à-dire que nous devons avoir:

Or par hypothèse,

et par construction

. Donc

, ce qui contredit l'assertion précédente. Dès lors:

Cet axiome exprime le fait que si une formule f est une fonctionnelle alors pour tout ensemble A, il existe un ensemble B constitué exactement des images des éléments A par cette fonction.

Soient, de manière un peu plus formelle, l'ensemble A d'éléments a et la relation binaire f (qui est donc en toute généralité une fonctionnelle), il existe un ensemble B constitué des éléments b tel que f(a,b) soit vraie. Si f est une fonction où b est non libre cela signifie alors que:

Donc pour tout ensemble A et tout élément qu'il contient, il existe un et un seul b défini par la fonctionnelle f tel qu'il existe un ensemble B où pour tout élément a appartenant à l'ensemble A il existe un b appartenant à l'ensemble B défini par la fonctionnelle f.

Voyons un exemple avec le prédicat binaire suivant qui pour la valeur de tout a de A détermine la valeur de tout b de B:

Donc de la connaissance que a vaut 1 nous en dérivons que b vaut 2 et de manière similaire (in extenso par remplacement) si a vaut 3, nous en dérivons que b vaut 4.

Nous voyons bien au travers de ce petit exemple la relation forte qu'il y a à considérer le prédicat P comme une fonction naïve! Par ailleurs, comme il y une infinité possible de fonctions f, le schéma de remplacement est considéré comme une infinité d'axiomes.

Cet axiome exprime simplement que pour tout ensemble A et toute propriété P exprimable dans le langage de la théorie des ensembles, l'ensemble des éléments de A qui satisfont la propriété P existe.

Donc de manière plus formelle, à tout ensemble A et toute condition ou proposition P(x), il correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour lesquels P(x) est vraie. C'est ce que nous notons:

De manière plus complète et rigoureuse nous avons en réalité pour toute fonctionnelle f ne comportant pas a comme variable libre:

C'est typiquement l'axiome qui nous sert à construire l'ensemble des nombres pairs:

ou à démontrer l'existence de l'ensemble vide (et qui rend caduc l'axiome de l'ensemble vide) car il suffit de poser qu'il existe un ensemble satisfaisant la propriété:

et ce quel que soit l'ensemble A. Et seulement l'ensemble vide satisfait cette propriété de par l'axiome de sélection.

Le respect des conditions très strictes de cet axiome permet d'éliminer les paradoxes de la "théorie naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel ou le paradoxe de Cantor qui ont invalidé la théorie naïve des ensembles.

Considérons par exemple l'ensemble R de Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent pas (notez bien que nous donnons une propriété de R sans expliciter quel est cet ensemble):

Le problème est de savoir si R se contient ou non. Si

, alors, R s'auto-contient, et, par définition

et inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.

Si maintenant nous désignons par C l'ensemble de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous avons en particulier:

ce qui est impossible (c.-à-d. par exemple avec la puissance du continu de l'ensemble de réels), d'après le théorème de Cantor (cf. chapitre Nombres).

Ces "paradoxes" (ou "antinomies syntaxiques") proviennent d'un non-respect des conditions d'application de l'axiome de sélection: pour définir E (dans l'exemple de Russel), il doit exister une proposition P qui porte sur l'ensemble R, qui doit être explicitée. La proposition définissant l'ensemble de Russell ou celui de Cantor n'indique pas quel est l'ensemble E. Elle est donc invalide!

Un exemple fort sympathique et fort connu (c'est la raison pour laquelle nous le présentons) permet de mieux comprendre (il s'agit du paradoxe de Russel dont nous avons déjà parlé plus longuement dans le chapitre de Théorie De La Démonstration):

Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit: "Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."

En quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?

La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment où nous décidons de l'appliquer au cas du barbier: Se rase-t-il lui-même, Oui ou Non?

Supposons qu'il se rase lui-même: il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas.... Donc il ne rase pas lui-même........

Très bien! Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même: il entre alors dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous. Donc il se rase lui-même.

Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange: s'il se rase lui-même, il ne se rase pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire, rationnellement irrationnelle.

Vient alors l'axiome de sélection: Nous excluons le barbier de l'ensemble des personnes auxquelles s'applique la déclaration. Car en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un élément de l'ensemble de tous les hommes de la cité. Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes ne s'applique pas au cas individuel du barbier.

Étant donné un ensemble A d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble B (l'ensemble de choix pour A) contenant exactement un élément pour chaque membre de A.

Indiquons cependant que la question de l'axiomatisation et donc des fondements se trouva quand même ébranlée de deux questions à l'époque de leur construction: quels axiomes valides doivent être choisis et dans un système d'axiomes la mathématique est-elle cohérente (ne risque-t-on pas de voir apparaître une contradiction)?

La première question fut soulevée d'abord par l'hypothèse du continu: si nous pouvons mettre deux ensembles de nombres en correspondance terme à terme, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal). Nous pouvons mettre en correspondance les entiers avec les rationnels comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Nombres, ils ont donc même cardinal, nous ne pouvons par contre mettre en correspondance les entiers avec les réels. La question est alors de savoir s'il y a un ensemble dont le nombre d'éléments serait situé entre les deux ou pas? Cette question est importante pour construire la théorie classique de l'analyse et les mathématiciens choisissent en général de dire qu'il n'y en a pas, mais nous pouvons aussi dire le contraire.

En fait l'hypothèse du continu est liée de manière plus profonde à l'axiome du choix qui peut aussi être formulé de la manière suivante: si C est une collection d'ensembles non vides alors nous pouvons choisir un élément de chaque ensemble de la collection. Si C a un nombre fini d'éléments ou un nombre dénombrable d'éléments, l'axiome semble assez évident: nous pouvons ranger les ensembles de C en les numérotant, et le choix d'un élément dans chaque ensemble est simple. Là où ça se complique c'est lorsque l'ensemble C a la puissance du continu: comment choisir des éléments s'il n'y pas la possibilité de les numéroter?

Finalement en 1938 Kurt Gödel montre que la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu aussi bien qu'avec! Et pour clore tout ça Paul Cohen montre en 1963 que l'axiome du choix et l'hypothèse du continu ne sont pas liés.

CARDINAux

Définition: Des ensembles sont dits "équipotents" s'il existe une bijection (correspondance biunivoque) entre ces ensembles. Nous disons qu'ils ont alors même "cardinal" que la norme ISO 3111 préconise d'écrire card mais sur le présent site internet nous utiliserons tantôt card que Card.

Ainsi, plus rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble) est une classe d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) pour la relation d'équipotence.

Remarque: Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles, sous une forme que nous qualifions aujourd'hui de "théorie naïve des ensembles". Mais, à côté de considérations élémentaires, sa théorie comportait des niveaux d'abstraction élevés. La vraie nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle permet de parler de l'infini. Par exemple, une idée importante de Cantor a justement été de définir l'équipotence.

Si nous écrivons

en tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il existe deux ensembles équipotents A et B tels que:

Les cardinaux peuvent donc être comparés. L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total (cf. chapitre sur les Opérateurs) entre les cardinaux (la preuve que la relation d'ordre est totale utilise l'axiome du Choix et la preuve qu'elle soit antisymétrique est connue sous le nom de théorème de Cantor-Bernstein que nous démontrons d'ailleurs plus bas).

Dire que

signifie dans un vocabulaire simple que A est équipotent à une partie propre de B, mais B n'est équipotent à aucune partie propre de A. Les mathématiciens diraient que le Card(A) est plus petit ou égal au Card(B) s'il existe une injection de A dans B.

Nous avons vu lors de notre étude des nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un ensemble équipotent (ou en bijection) à

était dit "ensemble dénombrable".

Soit A un ensemble, s'il existe un entier n tel qu'il y ait au moins à chaque élément de A un correspondant dans l'ensemble {1,2,...n}(au fait rigoureusement il s'agit d'une bijection... concept que nous définirons plus tard) nous disons alors que le cardinal de A, noté Card(A) ou card(A), est un "cardinal fini" et vaut n.

Dans le cas contraire, nous disons que l'ensemble A est de "cardinal infini" et nous posons:

Un ensemble A est donc "dénombrable" s'il existe une bijection entre A et

. Un ensemble de nombre A est "au plus dénombrable" s'il existe une bijection entre A et une partie

. Un ensemble au plus dénombrable est donc soit de cardinal fini, soit dénombrable.

P2. Un ensemble contenant un ensemble non-dénombrable n'est lui aussi pas dénombrable.

Remarque: Nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport à l'élément nul et aux éléments négatifs ou positifs qu'il contient et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):

equation (5.36)

Ces notions étant analogues pour (l'ensemble des nombres complexes n'étant pas ordonné, la deuxième et troisième ligne ne s'y appliquent pas).

Donc tout sous-ensemble infini de

est équipotent à

lui-même, ce qui peut sembler contre-intuitif au premier abord...!

En particulier, il y a autant d'entiers naturels pairs que d'entiers naturels quelconques (utiliser la bijection

) de

vers P, où P désigne l'ensemble des entiers naturels pairs. Autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels, autant d'entiers relatifs que de nombres rationnels (voir le chapitre traitant des nombres pour les démonstrations).

Nous avons donc un résultat important: tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.

Puisque nous avons démontré dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels avait la "puissance du continu" et que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini

, Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini entre

et le cardinal de

? Autrement dit, nous avons donc une quantité infinie de nombres entiers, et une quantité encore plus grande de nombres réels. Alors, existe-t-il un infini qui soit à la fois plus grand que celui des entiers et plus petit que celui des nombres réels?

Le problème se posa en notant bien évidemment

le cardinal de

et (nouveauté)

le cardinal de

et en proposant de démontrer ou de contredire que:

selon la loi combinatoire qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir à partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous l'avons démontré précédemment).

Le reste de sa vie, Cantor essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la folie. En 1900, au congrès international des mathématiciens, Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs qui devraient être résolus au 20ème siècle.

Ce problème se résout d'une façon assez étonnante. D'abord, en 1938, un des plus grands logiciens du 20ème siècle, Kurt Gödel, démontra que l'hypothèse de Cantor n'était pas réfutable, c'est-à-dire qu'on ne pourrait jamais démontrer qu'elle était fausse. Puis en 1963, le mathématicien Paul Cohen boucla la boucle. Il démontra qu'on ne pourrait jamais non plus démontrer qu'elle était vraie!!! Nous pouvons conclure à juste raison que Cantor avait perdu la raison à chercher à démontrer un problème qui ne pouvait pas l'être.

pRODUIT CARTÉSIEN

Si E et F sont deux ensembles, nous appelons "produit cartésien de E par F" l'ensemble noté

(à ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples possibles

où e est un élément de E et f un élément de F.

Nous pouvons effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensembles

et ainsi obtenir l'ensemble des n-uplets

où

Dans le cas où tous les ensembles

sont identiques à E, le produit cartésien

se note bien évidemment

. Nous disons alors que

est "l'ensemble des n-uplets d'éléments de E".

De là, nous voyons que si les ensembles

sont finis alors le produit cartésien

est aussi fini et nous avons:

E1. Si

est l'ensemble des nombres réels, est alors l'ensemble des couples de réels. Dans le plan rapporté à un repère, tout point M admet des coordonnées qui sont un élément de

E2. Lorsque nous lançons deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être symbolisé par l'ensemble

. Le résultat d'un lancer est alors un élément de

. Le cardinal de

est alors 36. Il y a donc 36 résultats possibles quand nous lançons 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Remarque: La théorie des ensembles ainsi que le concept de cardinal constituent la base théorique des logiciels de bases de données relationnelles.

BORNES

Soit M un ensemble de nombres quelconques de façon à ce que

(exemple particulier mais fréquent). Nous avons comme définitions:

D1.

est appelé "borne supérieure" ou "majorant" de l'ensemble M, si

pour

. Inversement, nous parlons de "borne inférieure" ou de "minorant" (il ne faut donc pas confondre le concept de borne avec le concept d'intervalle!).

de M si x est une borne supérieure de M et si pour toute borne supérieure

nous avons

. Inversement, nous parlons de "plus petite borne inférieure" que nous notons:

Les définitions sont équivalentes dans le cadre de l'analyse fonctionnelle (voir chapitre du même nom) puisque les fonctions sont définies sur des ensembles.

Effectivement, soit f une fonction dont le domaine de définition I balaie tout

. Ce que nous notons:

Dans chacun de ces deux cas, nous disons que f présente un "extremum global" en

(c'est un concept que nous retrouverons souvent dans le chapitre de Mécanique Analytique et Méthodes Numériques!).

D3. f est "majorée" s'il existe un réel M tel que

. Dans ce cas, la fonction possède une borne supérieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

et elle représente donc la plus petite borne supérieure (le plus petit majorant).

D4. f est "minorée" s'il existe un réel M tel que

. Dans ce cas, la fonction possède une borne inférieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

D4. Nous disons que f est "bornée" si elle est à la fois majorée et minorée (c'est le cas des fonctions trigonométriques).

OPÉRATIONS ENSEMBLISTES

Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles A,B,C, l'ensemble des opérations (dont nous devons les notations à Dedekind) existant dans la théorie des ensembles (très utiles dans l'étude des probabilités et statistiques).

Remarque: Certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront fréquemment dans des théorèmes complexes, il est donc nécessaire de bien comprendre de quoi il en retourne.

INCLUSION

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: A est "inclus" (ou "fait partie", ou encore est un "sous-ensemble") dans B alors pour tout x appartenant à A chacun de ces x appartient aussi à B:

où le U dans le coin inférieur droit de la figure représente l'univers (de Cantor).

INTERSECTION

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: "L'intersection" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B:

Plus généralement, si

est une famille d'ensembles indexés par

, l'intersection des

est notée:

C'est-à-dire que l'intersection de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x qui se trouvent dans chaque ensemble de tous les ensembles de la famille.

Soient deux ensembles A et B, nous disons qu'ils sont "disjoints" si et seulement si:

On plaisante parfois en disant que la connaissance se construit sur la disjonction... (ceux qui comprendront apprécieront...).

Définition: Une collection

d'ensembles non vides forment une "partition" d'un ensemble A si les propriétés suivantes sont vérifiées:

E1. L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de

E2. La loi d'intersection

est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

RÉUNION/UNION

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "réunion" ou "union" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A et en plus dans B:

Plus généralement, si

est une famille d'ensembles indexés par

, l'union des

est notée

. Cette réunion est définie par:

C'est-à-dire que la réunion de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x pour lesquels il existe un ensemble indexé par i tel que x soit inclus dans cet ensemble

La loi de réunion

est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

Nous appelons par ailleurs "lois d'idempotences" les relations (précisons cela pour la culture générale):

DIFFÉRENCE

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "différence" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A (et qui excluent donc les éléments de B):

Si nous nous rappelons du concept de "cardinal" (voir plus haut), nous avons avec les opérations précédemment définies, la relation suivante:

DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

Soit U un ensemble. Pour tout equation

nous définissons la différence symétrique

entre A et B par:

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "différence symétrique" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A et de ceux se trouvant uniquement dans B (nous laissons donc de côté les éléments qui sont communs):

PRODUIT

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: "l'ensemble produit" (à ne pas confondre avec la multiplication ou le produit vectoriel) de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples tels que:

L'ensemble produit des réels

par exemple forme le plan où chaque élément est défini par une abscisse et son ordonnée. Nous retrouvons souvent les ensembles produits en mathématiques et en physique lors que nous travaillons avec des fonctions. Par exemple, une fonction de deux variables réelles qui donne un réel en sortie sera noté:

mais cette notation n'est à ma connaissance pas normalisée et il en existe de nombreuses variantes.

COMPLÉMENTARITÉ

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: Le "complémentaire" est défini comme en prenant B un ensemble et A un sous-ensemble de B alors le complémentaire de A dans B est l'ensemble des éléments qui sont dans B mais pas dans A.

Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons le complémentaire de A par rapport à U qui est indiqué en gris (s'il est seul il s'agit donc de l'univers seul qui l'entoure):

Une autre notation très importante de la complémentarité qu'on retrouve parfois dans la littérature est la suivante:

où dans le cas particulier à droite ci-dessus, nous pourrions aussi écrire B/A (la notation

serait rarement utilisée car elle peut prêter à confusion dans certaines situations).

Il existe d'autres lois très importantes en logique booléenne. Si nous considérons trois ensembles A, B, C comme représentés ci-dessous:

et les fameuses "lois de De Morgan" sous forme ensembliste (cf. chapitre de Systèmes Logiques Formels) et qui sont données par les relations:

Indiquons avant de passer à un autre sujet, qu'un nombre significatif d'adultes en emploi (souvent des cadres) en entreprise ayant oublié ces notions après leur sortie de l'école obligtoire doivent les étudier à nouveau lorsqu'ils apprennent le language SQL qui est le plus répandu à travers le monde pour interroger les serveurs de bases de données des entreprises. Ils apprennent alors très en formation continue professionnelle le schéma suivant pour construire leurs requêtes avec des jointures:

Figure: 5.10 - Jointures courantes du langage SQL basé sur la théorie des ensembles

FONCTIONS ET APPLICATIONS

Définition: En mathématiques, une "application" (ou "fonction") notée f ou A est la donnée de deux ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F (ou d'image de E), et d'une relation associant à chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que nous appelons "image de x par f " et que nous notons f(x).

Nous appelons "images" les éléments de f(E) et les éléments de E sont appelés les antécédents.

(se rappeler du premier diagramme sagittal présenté au début de ce chapitre), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.

Remarque: Le terme "fonction" est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est

. Nous parlons alors de "fonction réelle", ou de "fonction complexe".

D1. Le "graphe" (ou encore "graphique" ou "représentative") d'une application

est le sous-ensemble du produit cartésien

constitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première composante souvent notée x) et son image (par projection sur la seconde composante souvent notée y).

D2. Si le triplet

est une fonction où E et F sont deux ensembles et

est un graphe, E et F sont respectivement la source et le but de f. Le "domaine de définition" ou "ensemble de départ" de f est:

D3. Etant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute fonction de

vers G est appelée "loi de composition" de

à valeurs dans G.

D4. Une "loi de composition interne" (ou simplement "loi interne") dans E est une loi de composition de

à valeurs dans E (cas E=F=G).

Remarque: La soustraction dans

n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie des quatre opérations élémentaires apprises à l'école. Par contre l'addition sur

en est bien une.

D5. Une "loi composition externe" (ou simplement "loi externe") dans E est une loi de composition de

à valeurs dans E, où F est un ensemble distinct de E. En général, F est un corps, dit "corps de scalaires".

Dans le cas d'un espace vectoriel (voir définition beaucoup plus bas) la multiplication d'un vecteur (dont les composantes se basent sur un ensemble donné) par un réel est une loi de composition externe.

Remarque: Une loi de composition externe à valeurs dans E est aussi appelée "action de F sur E". L'ensemble F est alors le domaine d'opérateurs. On dit aussi que F opère sur E (ayez en tête l'exemple des vecteurs précédemment cité).

D6. Nous appelons "image de f", et nous notons Im(f), le sous-ensemble défini par:

Ainsi, "L'image" d'une application

est la collection des f(x) pour x parcourant E , c'est un sous-ensemble de F.

Et nous appelons "noyau de f", et nous notons Ker(f), le sous-ensemble très important en mathématiques défini par:

Selon la figure (il faut bien comprendre ce concept de noyau car nous le réutiliserons de nombreuses fois pour démontrer des théorèmes ayant des applications pratiques importantes):

Remarques:

R1. Ker(f) provient de l'allemand "Kern", signifiant tout simplement "noyau". En anglais, le noyau se dit aussi "kernel", signifiant "amande" dans le civil.

R2. Normalement les notations Im et Ker sont réservées aux homomorphismes de groupes, d'anneaux, de corps et aux applications linéaires entre espaces vectoriels ou modules etc.... (voir plus loin). Nous n'avons normalement pas l'habitude de les utiliser pour des applications quelconques entre ensembles quelconques. Mais bon...ça ne fait rien.

Les applications peuvent avoir une quantité phénoménale de propriétés dont voici celles qui font partie des connaissances générales du physicien (pour plus de renseignements sur ce qu'est une fonction, voir le chapitre traitant de l'Analyse Fonctionnelle).

Soit f une application d'un ensemble E à un ensemble F alors nous avons les propriétés suivantes:

Tout élément y de F est l'image par f d'au moins (nous insistons sur le "au moins") un élément de E. Nous disons encore que c'est une "surjection" de E dans F. Il découle de cette définition, qu'une application

est surjective si et seulement si

. En d'autres termes, nous écrivons aussi cette définition ainsi:

Tout élément y de F est l'image par f d'au plus (nous insistons sur le "au plus") un seul élément de E. Nous disons encore que f est une injection de E dans F. Il résulte de cette définition, qu'une application

est injective si et seulement si les relations

impliquent

autrement dit: une application pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Ou encore, une application est injective si l'une aux moins des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:

Une application f de E dans F est à la fois surjective et injective. Dans ce cas, nous avons que pour tout élément y de F , l'équation

admet dans E une unique (ni "au plus", ni "au moins") pré-image x. Ce que nous écrivons aussi:

Nous sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle application de F dans E, appelée "fonction réciproque" de f et notée

, qui a tout élément y de F, fait correspondre l'élément x de E pré-image (ou solution) unique de l'équation

. Autrement dit:

L'existence d'une application réciproque implique que le graphique d'une application bijective (dans l'ensemble des réels...) et celui de son application réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation

Effectivement, nous remarquons que si

est équivalent à

, alors ces équations impliquent que le point (x, y) est sur le graphique de f si et seulement si le point (y, x) est sur le graphique de

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.

- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.

- S'il est possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées: l'application sera alors à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective.

Remarques:

R1. Il vient des définitions ci-dessus qu'une application f est bijective (ou "biunivoque") dans l'ensemble des réels si et seulement si toute droite horizontale coupe la représentation graphique de la fonction en un seul point. Nous sommes donc amenés à faire la seconde remarque suivante:

R2. Une application qui vérifie le test de la droite horizontale est continument croissante ou décroissante en tout point de son domaine de définition.

Soit

une application de E dans F et

une fonction de F dans G. L'application qui associe à chaque élément x de l'élément de E,

de G s'appelle "application composée" de

et de

et se note:

où symbole "

" est appelé "rond". Ainsi, la relation précédente s'écrit "psi rond phi" mais se lit "phi rond psi"... Ainsi:

Soit, de plus,

une application de G dans H. Nous vérifions aussitôt que l'opération de composition est associative:

Ce qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre, c'est que toutes les propriétés définies et énoncées ci-dessus sont applicables aux ensembles de nombres.

THÉORÈME DE CANTOR-BERNSTEIN

Attention. Ce théorème, dont le résultat peut sembler évident, n'est pas forcément simple à aborder (son formalisme mathématique n'est pas très esthétique...). Nous vous conseillons de lire très lentement et de vous imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête lors de la démonstration.

Voici l'hypothèse à démontrer: Soient X et Y deux ensembles. S'il existe une injection (voir la définition d'une fonction injective ci-dessus) de X vers Y et une autre de Y vers X, alors les deux ensembles sont en bijection (voir la définition d'une fonction bijective ci-dessus). Il s'agit donc aussi d'une relation antisymétrique.

Pour la démonstration, nous avons besoin en toute rigueur de démontrer au préalable un lemme (évident intuitivement mais pas formellement...) dont l'énoncé est le suivant:

Soient X, Y, Z trois ensembles tels que

. Si X et Y sont en bijection, alors X et Z sont en bijection.

Un exemple d'application de ce lemme est l'ensemble des nombres naturels et des nombres rationnels qui sont en bijection. Dès lors, l'ensemble des entiers relatifs est en bijection avec l'ensemble des nombres naturels puisque:

D'abord, au niveau formel, créons une fonction f de Y à X telle quelle soit bijective:

Nous avons besoin pour la suite d'un ensemble A qui sera défini par l'union des images des fonctions des fonctions f (du genre f(f(f...))) ) des pré-images de l'ensemble Z dont nous excluons les éléments de X (ce que nous notons: Z-X ). En d'autres termes (si la première forme n'est pas claire...) nous définissons l'ensemble A comme étant l'union des images de (Z-X) par les applications

Ce que nous noterons :

Nous avons alors (faire un schéma de tête des diagrammes sagittaux peut aider à ce niveau-là...):

Comme Z peut être partitionné (rien nous en empêche!) en les deux sous-ensembles disjoints

sans oublier que

, nous posons comme une définition l'application g telle que:

L'application g est alors bijective car ses restrictions à

, (qui forment une partition) sont f et l'identité qui sont par définition bijectives.

Comme

est injective, X et

sont par définition en bijection et de même, comme

est injective,

sont en bijection (là il est bon de relire...).

En utilisant le lemme sur

et X , il vient donc que

est en bijection

ce qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment, que puisque aussi

sont en bijection, alors que

est en bijection avec

, alors X et Y sont en injection (ouf! c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).

Ce théorème s'interprète de la manière suivante: Si nous pouvons compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'éléments. Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis et c'est là sa force!

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

STRUCTURES

L'algèbre dite "algèbre moderne" commence avec la théorie des structures algébriques due en partie à Carl F. Gauss et surtout à Évariste Galois. Ces structures existent en un très grand nombre mais seulement les fondamentales nous intéresseront ici. Avant de les détailler, voici un diagramme synoptique de ces principales structures et de leur hiérarchie:

Remarques: Tout en haut du diagramme, la structure au nombre minimal de contraintes, en bas, un maximum. Soit, plus nous descendons, plus la structure est en quelque sorte spécialisée.

Soit pour simplifier les écritures,

une loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou encore la division,...)...

Remarque: Cette notation généralisée est parfois appelée "notation stellaire".

Définitions: Soit

des symboles de lois internes à un ensemble E (cela pourrait être l'addition et la multiplication pour prendre le cas le plus connu) alors:

Nous admettrons par ailleurs sans démonstration (c'est intuitif) que s'il existe un élément neutre, il est unique.

D4. a' est "l'élément symétrique" (dans le sens général de l'opposé par exemple pour l'addition et l'inverse pour la multiplication) de a pour

si:

Nous admettrons également et sans démonstration que le symétrique de tout élément est unique.

Remarques:

R1. Si a est son propre symétrique par rapport à la loi , les mathématiciens disent que a est "involutif".

R2. Si un élément b de E vérifie , alors b est dit "élément absorbant" pour la loi .

R3. Il faut toujours vérifier que les neutres et les symétriques le soient "à gauche" et "à droite". Ainsi, par exemple, dans , l'élément 0 n'est un neutre qu'à droite car mais .

MAGMA

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "magma" M , si les composants le constituant sont opérables par rapport à une loi interne

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne est commutative, nous parlons de "magma commutatif".

R2. Si de plus la loi interne est associative, nous parlons de "magma associatif".

R3. Si de plus la loi interne possède un élément neutre, nous parlons de "magma unitaire".

Il est donc important de se rappeler que si nous désignons une structure algébrique par le terme "magma" tout court, cela ne signifie en aucun cas que la loi interne est commutative, associative ou même qu'elle possède un élément neutre !

Définition: Dans un magma

, un élément x est dit "élément régulier" (ou "élément simplifiable") à gauche si pour tout couple

nous avons:

Remarque: Nous définissons de même un élément régulier à droite.

Ainsi, un élément est dit "régulier" s'il est régulier à droite et à gauche. Si * est commutative (ce qui est le cas pour un magma commutatif), les notions d'élément régulier à gauche ou à droite coïncident.

Un magma

est donc une structure algébrique élémentaire. Il existe des structures plus subtiles (monoïdes, groupes, anneaux, corps, espace vectoriels, etc.) dans lesquelles un ensemble est muni de plusieurs lois et de différentes propriétés. Nous allons les voir de suite et les utiliser tout au long de ce site.

MONOÏDE

Définition: Si la loi

est associative et possède un élément neutre nous disons alors que le "magma associatif unitaire" est un "monoïde":

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne est commutative alors nous disons alors que la structure forme un "monoïde abélien" (ou simplement "monoïde commutatif").

R2. Dans certains ouvrages nous trouvons aussi comme définition que le monoïde est un "demi-groupe" (avec une loi associative) muni d'un élément neutre.

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers naturels

est un monoïde abélien totalement ordonné (comme nous l'avons partiellement vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication:

Nous pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient à

tel que:

Donc

et l'addition est bien une loi interne (nous disons également que l'ensemble

est "stable" par rapport à l'addition) et en même temps associative puisque 1 peut être additionné à lui-même par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat en soit altéré. Si vous vous rappelez que la multiplication est une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de multiplication ( x ) est aussi une loi interne et associative !

Nous admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition est également commutative et que le zéro "0" en est l'élément neutre (n). Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative et il est trivial que "1" en est l'élément neutre (n).

Par ailleurs, pour parler déjà de quelque chose qui n'est pas directement en relation avec le monoïde... mais qui nous sera utile un peu plus loin, existe-t-il en restant dans la lignée de l'exemple précédent pour la loi d'addition ( + ) un symétrique

tel que

nous ayons:

or les nombres négatifs n'existent pas dans

. Ce qui nous amène aussi à la conclusion que la loi d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi de soustraction ( - ) n'existe pas dans

(la soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).

De même, car cela va aussi nous être utile un peu plus loin, existe-t-il pour la loi de multiplication ( x ) un symétrique a' tel que

nous ayons:

Mais excepté pour

, le quotient 1/a n'existe pas dans

. Donc nous devons conclure qu'il n'existe pas pour tout élément de

de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que la loi de division n'existe pas dans

et que la loi de multiplication ne forme pas un monoïde dans cet ensemble.

Nous avons par exemple les propriétés suivantes relativement à l'ensemble des entiers naturels et au concept de monoïde:

P1.

est totalement ordonné (attention cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P5.

est un monoïde abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication (attention la notation suivante est abusive car le monoïde n'est composé que d'une seule loi interne et d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 4 monoïdes):

Remarques:

R1. Il est rare d'utiliser les monoïdes; car souvent, lorsque nous nous trouvons face à une structure trop pauvre pour pouvoir vraiment discuter, nous la prolongeons vers quelque chose de plus riche, comme un groupe, ou un anneau (voir plus loin) tel que l'ensemble des entiers relatifs.

R2. Dire qu'une structure algébrique est totalement ordonnée par rapport à certaines lois signifie que soit une loi, et R une relation d'ordre et a, b, c, d quatre éléments de la structure intéressée, alors si aRb et cRd implique . Nous notons alors cette structure ou simplement (S,R) et en indiquant la (ou les) loi concernée.

GROUPES

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "groupe", si les composants le constituant satisfont aux trois conditions de ce que nous nommons la "loi interne de groupe", définie ci-dessous:

Dans ce cas, la loi de compositions interne

sera souvent (mais pas exclusivement!) notée "+" et appelée "l'addition", le neutre e noté "0" et le symétrique de x noté "-x".

Insistons sur le fait que la structure de groupe est probablement une des plus importantes dans la pratique de l'ingénieur et de la physique moderne en général. Raison pour laquelle il convient d'y porter une attention toute particulière (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)!

Si de plus, la loi interne

est également commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe abélien" ou simplement "groupe commutatif".

S'il existe dans G au moins un élément a tel que tout élément de G est une puissance de a ou du symétrique a' de a, nous disons que

est un "groupe cyclique de générateur a" s'il est fini, sinon nous disons qu'il est "monogène" (nous reviendrons sur les groupes cycliques dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Plus généralement un groupe

d'élément neutre e, non réduit uniquement à {e} sera monogène, s'il existe un élément a de G distinct de e tel que

. Un tel groupe sera cyclique, s'il existe un entier n non nul pour lequel

. Le plus petit entier non nul vérifiant cette égalité est alors "l'ordre du groupe".

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers relatifs

est un groupe abélien totalement ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des Opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication.

D'abord pour raccourcir les développements, il est utile de rappeler que l'ensemble

est un "prolongement" de

par le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétriques de signe négatif (

Ainsi, en abusant toujours des notations (car normalement un groupe n'a qu'une seule loi et une seule relation d'ordre R suffit à l'ordonner):

Remarquons aussi que la loi de division n'existe pas pour tout élément de l'ensemble

! Donc en toute généralité nous disons qu'elle n'y existe pas.

P1.

est totalement ordonné (attention à nouveau cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P4. L'ensemble

est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition (attention la notation suivante est encore une fois abusive car le groupe est composé que d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 2 groupes):

L'ensemble

n'est pas un groupe commutatif totalement ordonné par rapport à la loi de multiplication:

Nous voyons de suite alors que

a des propriétés trop restreintes, c'est la raison pour laquelle il est intéressant de le prolonger par l'ensemble des rationnels

défini de manière très simpliste... par (cf. chapitre sur les Nombres):

Ce qui signifie pour rappel que l'ensemble des rationnels est défini par l'ensemble des quotients p et q appartenant chacun à

dont nous excluons à q de prendre la valeur nulle (la notation /q signifiant l'exclusion).

Il est dès lors évident (sans démonstration et toujours en utilisant la notation abusive déjà commentée maintes fois plus haut...) que

est aussi totalement ordonné et aussi que

est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition seulement:

Ce qui devient intéressant avec

, c'est que la loi de multiplication devient une loi interne et forme un groupe abélien commutatif dit "groupe multiplicatif" par rapport à

Démontrons donc que le symétrique existe pour la loi de multiplication (.) tel que:

Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans

pour la loi de multiplication.

Par définition, ou par construction, la division existe dans

et est une opération interne. Mais est-elle associative telle que pour

nous ayons:

Au fait, la démonstration est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit à partir de la loi de multiplication par l'inverse et que cette dernière loi est (elle!) associative. Ainsi, il vient:

Nous pouvons aussi nous demander si la loi de division ( / ) est cependant commutative tel que la relation:

Nous voyons très bien que cela n'est pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme:

P4. L'ensemble

est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication que nous notons:

Les mêmes propriétés sont applicables à

et à

mais à la différence que ce dernier n'est pas ordonnable.

Cependant, il peut être compréhensible que pour

vous soyez sceptiques. Développons donc tout cela:

Nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme

donne quelque chose d'encore de cette forme.

Donc l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Donc la soustraction est une opération interne; elle n'est ni commutative, ni associative elle n'a pas d'élément neutre à gauche et pas de symétrique.

Multiplions maintenant les nombres

où a, b, c et d là toujours, des réels. Pour parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

Donc la loi de multiplication est bien une opération interne commutative, associative et distributive (!) pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans

(voir ci-après) dans l'ensemble des complexes.

Une division est avant tout une multiplication par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est prouver qu'il existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le nombre

où x et y sont des réels (différents de zéro):

Donc l'inverse d'un nombre complexe est bien une opération interne non associative et non commutative pour laquelle il existe un élément neutre, et elle est symétrique. Il en est de même pour la division, qui correspond au produit par l'inverse d'un nombre complexe.

Voyons un exemple de groupe cyclique: Dans , considérons G={1,i,-1,-i} muni de la multiplication usuelle des nombres complexes. Alors

est évidemment un groupe abélien. Un tel groupe est aussi monogène car engendré par les puissances d'un de ses éléments: i (ou bien -i). Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.

ANNEAUX

L'anneau est le coeur de l'algèbre commutative qui est la structure algébrique correspondant aux concepts collégiens d'addition, de soustraction, et de multiplication.

Définition: Un groupe commutatif (ou "groupe abélien") A est un "anneau" s'il est muni d'une seconde loi de composition interne vérifiant les propriétés suivante:

Comme nous le savons déjà, l'élément neutre de la première loi de composition interne + est noté "0" et appelé "zéro" de l'anneau. La deuxième loi interne est souvent notée par un point à mi-hauteur et appelée la "multiplication".

Remarques:

R1. Si de plus, la deuxième loi interne de composition est également commutative, l'anneau est dit "anneau commutatif". Nous rencontrons aussi des anneaux non-commutatifs dans lesquels la relation de commutativité n'est pas imposée ou ne s'impose pas et alors nous devons parfois l'imposer, il faut alors renforcer la propriété de l'élément neutre de cette deuxième loi en imposant à "1" d'être un élément neutre à la fois à droite et à gauche tel que: (un exemple d'anneau non-commutatif est fourni par l'ensemble des matrices à coefficients dans un anneau A, par exemple - voir chapitre d'Algèbre Linéaire).

R2. Si de plus, il existe dans A un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne , et que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons alors que l'anneau est un "anneau unitaire" et 1 est appelé "unité" de l'anneau. Si l'anneau est commutatif et possède un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne alors nous parlons "d'anneau commutatif unitaire"

R3. Si , quels que soient les éléments a,b de A, l'anneau est dit "anneau intègre" ou "anneau sans diviseurs de zéro" (dans le cas contraire il est bien évidemment "non intègre").

R4. Un "anneau factoriel" est un anneau commutatif unitaire et intègre dans lequel le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie des Nombres) est vérifié.

D1. Un élément a d'un anneau A est un "élément unité" s'il existe

tel que

. Si un tel b existe il est unique (nous en avons vu un exemple lors de notre étude des classes de congruence en théorie des nombres).

D2. Soit A un anneau. Nous disons que A possède des diviseurs de zéro s'il existe

avec

. Les éléments a et b sont appelés des "diviseurs de zéro".

Remarques:

R1. Il est clair qu'un anneau est intègre si et seulement si il ne possède aucun diviseur de zéro.

R2. Les notions d'unité et de diviseurs de zéro sont incompatibles mais un élément d'un anneau peut être ni l'un ni l'autre. C'est le cas, par exemple, de tous les entiers dans . Ce ne sont ni des unités, ni des diviseurs de zéro.

Nous verrons un exemple important d'anneau dans le cadre de notre étude des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) mais nous en avons déjà vu de très importants lors de notre étude des classes de congruence dans le chapitre de théorie des nombres.

Voyons quelques exemples d'anneaux: Lors de notre étude des groupes nous avons trouvé que les structures:

sont tous les quatre des groupes abéliens et les trois premiers sont en plus totalement ordonnés.

La loi de division n'étant en aucun cas associative, nous pouvons nous restreindre à étudier pour chacun des groupes précités, le couple de lois: (+) et ( x ).

Remarque: Nous considérerons comme évident, à ce niveau du discours, que le lecteur aura remarqué que est

un "sous-anneau" de

dans le sens où les opérations définies sont internes à chacun des ensembles et que les éléments neutres et identité sont identiques et qu'il existe pour chaque élément de ces ensembles un opposé qui est dans le même ensemble. Nous allons approfondir le concept de sous-anneau un peu plus loin.

DM1. La propriété P1 découle de la définition D4 vu tout au début de la partie concernant les structures algébriques (tout élément possède un opposé/symétrique). En effet, nous pouvons additionner à l'égalité

l'élément -a. Nous obtenons alors

par l'existence de l'opposé cela donne

d'où

DM2. La propriété P2 découle des définitions D3 (existence de l'élément neutre), D4 (existence de l'opposé/symétrique), D5 (distributivité par rapport à l'autre loi) ainsi que de la propriété P1 ci-dessus. En effet, nous avons:

Nous avons donc

. La propriété P1 ci-dessus permet de conclure que

(nous pourrions discuter de la pertinence de ce genre de démonstration...).

SOUS-ANNEAU

Définition: Soit A un anneau et

un sous-ensemble de A. Nous disons que S est un "sous-anneau" de A si:

CORPS

Définition: Nous désignons un ensemble de nombres par le terme "corps" si:

Donc un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible ou en d'autres termes: un anneau dont tous les éléments non nuls sont des unités est un corps.

Remarques:

R1. Si la loi interne est également commutative, le corps est dit "corps commutatif".

R2. Les quaternions (cf. chapitre sur les Nombres) forment par exemple un corps non commutatif pour l'addition et la multiplication.

Il nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes par rapport à la loi interne de multiplication (

Comme nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment, il est évident qu'il nous faut éliminer

à cause de l'existence des inverses qui n'est pas assurée dans cet ensemble.

et puisque la loi de multiplication (

) est commutative dans ces ensembles, nous pouvons affirmer que ces corps sont également des corps commutatifs.

Nous avons souvent dans les petites classes le schéma suivant pour le corps le plus important:

Ainsi, nous appellerons "corps" un système C de nombres réels ou complexes a tels que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux quelconques de ces nombres a appartiennent au même système C.

Nous énonçons également cette propriété de la manière suivante: les nombres d'un corps se reproduisent par les opérations rationnelles (addition, soustraction, multiplication, division). Ainsi, il est évident que le nombre zéro ne pourra jamais former le dénominateur d'un quotient et l'ensemble des entiers ne peut former un corps car la division dans l'ensemble des nombres entiers ne donne pas nécessairement un résultat dans ce même ensemble.

ESPACES VECTORIELS

Lorsque nous définissons un "vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous faisons habituellement référence à un "espace euclidien" (cf. aussi chapitre de Calcul Vectoriel) de n dimensions de

. Cependant, la notion d'espace vectoriel est beaucoup beaucoup plus vaste que ce dernier qui ne représente qu'un cas particulier.

Définition: Un "espace vectoriel (EV)" ou "K-espace vectoriel" (abrégé: K-ev) sur le corps K (nous prendrons fréquemment pour ce corps

) est un ensemble

possédant les propriétés:

Nous avons donc deux lois de composition (en prenant les notations traditionnelles des vecteurs qui sera peut-être plus parlante et utile pour la suite...):

2. Une loi de composition externe: la multiplication par un scalaire, notée

, qui vérifie:

Remarques:

R1. Nous disons alors que l'espace vectoriel a une "structure algébrique vectorielle" et que ces éléments sont des "vecteurs", les éléments de K des "scalaires".

R2. Les opérations respectives s'utilisent fréquemment comme l'addition et la multiplication que nous connaissons déjà très bien sur , ce qui est bien commode pour nos habitudes….

R3. Dorénavant, pour distinguer les éléments du corps K et de l'ensemble E, nous noterons ceux de K par des lettres grecques et ceux de E par des lettres latines majuscules.

R4. Outre les cinq propriétés énumérées ci-dessus, il ne faut pas oublier d'ajouter les cinq autres propriétés du groupe abélien (opération interne, commutativité, associativité, élément neutre, élément inverse). Ce qui nous fait donc au total dix propriétés à respecter.

Il est inutile de démontrer que ces propriétés sont respectées pour

et, par conséquent pour

. Nous pouvons cependant nous poser la question à propos de certains sous-ensembles de

E1. Considérons la région rectangulaire illustrée dans la figure (a) et en perspective dans la figure (c) ci-dessous:

Ce sous-ensemble de

n'est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propriété d'opération interne du groupe abélien n'est pas satisfaite. En effet, si nous prenons deux vecteurs à l'intérieur du rectangle et que nous les additionnons, il se peut que le résultat sorte du rectangle. Par contre, il est facile de voir que la droite (infinie) illustrée dans la figure (b) respecte toutes les propriétés énumérées précédemment et, par conséquent, défini un espace vectoriel. Notons bien, cependant, que cette droite se doit de passer par l'origine, sinon la propriété d'élément neutre du groupe abélien ne serait pas respectée (l'élément neutre n'existant plus).

E2. Un autre exemple d'un espace vectoriel est l'ensemble

des polynômes de degré deux ou moins (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par exemple, deux éléments de cet espace sont:

Cet ensemble respecte les 10 propriétés d'un espace vectoriel. En effet, si nous additionnons deux polynômes de degré deux ou moins, nous obtenons un autre polynôme de degré deux ou moins. Nous pouvons aussi multiplier un polynôme par un scalaire sans changer l'ordre (ou degré) de celui-ci, etc. Nous pouvons donc représenter un polynôme par des vecteurs dont les termes sont les coefficients du polynôme.

Mentionnons que nous pouvons aussi former des espaces vectoriels avec des ensembles de fonctions plus générales que des polynômes. Il importe seulement de respecter les dix propriétés fondamentales d'un espace vectoriel !

Ainsi défini, un espace vectoriel E sur K est une action de

sur

qui est compatible avec la loi de groupe (par extension un "automorphisme" - voir la définition plus loin - sur

Définition: Soit E un espace vectoriel, nous appelons "sous-espace vectoriel" (SEV) F de E un sous-ensemble de E si et seulement si (notation des matheux):

ou en utilisant une autre notation (celle utilisée plutôt par les physiciens):

ALGÈBRES

Une "C-algèbre A" où C est un corps commutatif (appelée aussi souvent "K-alègbre A" pour "Körper" en allemand)), est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + (addition) et

(produit) et d'une loi externe (multiplication) à domaine d'opérateurs C (produit par un scalaire) si et seulement si:

E1. Pour reprendre un exemple dans la lignée de celui sur les exemples vectoriels, l'espace euclidien

muni de l'addition (+), de la multiplication

et du produit vectoriel

est une

-algèbre non associative et non commutative notée

E2.

est une

-algèbre (un nombre complexe pouvant être vu comme un vecteur à deux composantes selon ce que nous avons vu dans le chapitre des Nombres).

HOMOMORPHISMES

Le concept d'homomorphismes (du grec homoios = semblable et morphê = forme) a été défini par les mathématiciens car permettant de mettre en évidence des propriétés remarquables des fonctions en particulier avec leurs structures, leur noyau, et de ce que nous appelons les "idéaux" (voir plus loin). Ils nous permettront ainsi d'identifier une structure algébrique d'une autre.

D1. Si

sont deux magmas (peu importe la notation utilisée pour les lois internes), une application f de A dans B est un "homomorphisme de magma" ou "morphisme de magma" (par abus de langage nous écrivons parfois juste "homomorphisme") si:

en d'autres termes, si l'image d'un composé dans A est le composé des images dans B.

D2. Si

sont deux monoïdes, une application f de A dans B est un "homomorphisme de monoïde" si:

D3. Si A, B sont deux anneaux, un "homomorphisme d'anneaux" (très important pour le chapitre de Cryptographie!) de A dans B est une application

telle que nous ayons pour tout

où

sont les éléments neutres des anneaux A, B par rapport à la multiplication.

DM1. Par

, nous avons

. En ajoutant

des deux côtés de l'égalité, nous obtenons

DM2. La propriété P2 découle aussi de

et de la propriété P1. En effet, nous avons

. En additionnant

aux deux côtés de la dernière égalité, nous obtenons

DM3. Soient

tels que

. Alors par

, nous avons

et de même

ce qui montre que f(b) est l'inverse de f(a) si b est l'inverse de a.

Montrons maintenant qu'un homomorphisme d'anneaux

est injectif si et seulement si l'élément 0 est la seule pré-image de 0 (et donc réciproquement), ce qui se note techniquement:

Nous supposons donc que . Soit

tel que

. Alors comme nous avons un homomorphisme d'anneaux nous pouvons écrire:

Ce qui montre que f est injectif si c'est un homomorphisme et que et que en est effectivement une condition suffisante.

D4. Soient

, deux groupes et f une application

. Nous disons que f est un "homomorphisme de groupe" si (nous pourrions tout aussi bien mettre * au lieu de + dans le premier groupe et + au lieu de * dans le deuxième groupe, la définition resterait la même en remplaçant simplement les opérateurs respectifs!):

où

sont les éléments neutres respectifs des groupes A,B . Nous remarquons que la seule différence entre un homomorphisme d'anneau et un homomorphisme de groupe est que ce dernier à deux lois au lieu d'une et que nous y rajoutons le concept d'inverse.

Ceci dit, la troisième proposition ci-dessus est en fait une conséquence de la définition composée uniquement des deux premières lignes. Effectivement, considérons un homomorphisme f entre les groupes

avec

respectivement les éléments neutres de A et B.

D5. Soit f une application

d'un corps vers un autre. Nous disons que f est un "homomorphisme de corps" si f est un homomorphisme d'anneaux...

Effectivement, le fait que l'homomorphisme de corps soit le même que celui d'un anneau tient juste au fait que la différence entre les deux structures est que les éléments du corps sont tous inversibles (aucune loi ou propriété de loi ne diffère entre les deux selon leur définition).

Montrons maintenant que tout homomorphisme de corps est injectif ("homomorphisme injectif") en se rappelant que plus haut nous avons démontré que tout homomorphisme d'anneaux l'était!

Si a est différent de 0 et

(nous utilisons ici la propriété que les éléments d'un corps sont inversibles!) alors:

Donc lorsque a est différent de zéro f(a) est différent de 0 ce qui prouve que

et donc que f est injective.

D6. Soient A et B deux K-ev et

une application de A dans B. Nous disons que f est une "application linéaire" ou "homomorphisme d'espaces vectoriels" (il est sous-entendu que c'est relativement aux lois indiquées et pour l'application choisie) si:

Remarques:

R1. Nous avions déjà défini plus haut le concept d'application linéaire mais n'avions pas précisé que les deux ensembles A et B étaient des K-ev.

R2. L'application linéaire est appelée "forme linéaire" si et seulement si

D7. Si l'homomorphisme est bijectif nous dirons alors que f est un "isomorphisme". S'il existe un isomorphisme entre A et B, nous disons que A et B sont "isomorphes" et nous noterons cela

Remarque: L'isomorphisme permet au fait d'identifier deux ensembles munis d'une structure algébrique identique (que ce soit groupe, anneau, etc.) mais dont les éléments sont nommés d'une façon différente.

D8. Si l'homomorphisme f est une application uniquement interne, nous dirons alors que f est un "endomorphisme" (en d'autres termes, nous avons un endomorphisme si dans la définition de l'homomorphisme nous avons A=B).

Remarque: Si nous avons un endomorphisme f de E, f est donc restreint à Im(f). Donc le terme "endomorphisme" veut juste dire que l'application f arrive dans E et pas qu'elle touche tous les éléments de E. Nous avons

et pas forcément

car dans ce dernier cas nous disons que f est surjective comme nous l'avons déjà vu.

D9. Si l'endomorphisme f est en plus bijectif (donc en d'autres termes si l'homomorphisme est un endomorphisme et un isomorphisme), nous dirons alors que f est un "automorphisme".

IDÉAL

Définition: Soit A un anneau commutatif. Un sous-ensemble

est un "idéal" si:

En d'autres termes, un idéal est un sous-ensemble fermé pour l'addition et stable pour la multiplication par un élément quelconque de A.

L'ensemble des nombres pairs est par un exemple d'idéal de l'ensemble des nombres naturels.

Remarque: Les idéaux

sont appelés les "idéaux triviaux".

Pour savoir si un idéal est égal à tout l'anneau, il est utile d'utiliser la propriété suivante qui spécifie que si A est un anneau et I un idéal de A, alors si

nous avons .

Un premier exemple d'idéal est donné par le noyau d'un homomorphisme d'anneaux. Effectivement, démontrons que le noyau d'un homomorphisme

est un idéal de R.

noté

ou aA, est un idéal (nous allons voir un exemple concret après la prochaine définition).

Montrons maintenant que l'anneau

est principal (car tous ses idéaux sont principaux).

Soit I un idéal de

(il est facile d'en choisir un: par exemples tous les multiples de 2 ou de 3, etc.). Soit

le plus petit entier positif non nul de I. Nous allons montrer que

Soit a un élément quelconque de I. La division euclidienne nous permet d'écrire:

Mais comme

et que

, par la définition d'un idéal, nous avons

(la somme ou différence des éléments d'un idéal appartenant à l'idéal). Par choix de r (r' étant inférieur à r) ceci implique que

et donc que

La démonstration ci-dessus n'utilise que la division euclidienne sur

. Nous pouvons alors généraliser ce résultat aux anneaux qui possèdent une division euclidienne. Ainsi, par exemple, l'anneau k[X] des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients dans un corps k est un anneau principal car il possède une division euclidienne.

Soit I un idéal de k[X]. Notons d le plus petit degré que puisse avoir un polynôme non nul de I. Si

alors

et donc

. Autrement, soit a(X) un polynôme de degré d. Si

alors on peut diviser u(X) par a(X). Il existe

tels que

. Donc

ce qui entraîne

(autrement contradiction avec la minimalité de d). Par suite,

. Nous venons de montrer que

Ainsi, les seuls idéaux de

sont ceux de la forme

. De plus si nous avons d et m qui sont des entiers > 1. Alors

si et seulement si d | m.

Réciproquement, si

ceci implique que m est de la forme

et ceci prouve que d divise m.

Démontrons aussi qu'un anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux {0},R.

Montrons que la condition est nécessaire: Soit I un idéal non nul de R et

un élément non nul. Par hypothèse (qu'il s'agit d'un corps), il est inversible, c'est-à-dire qu'il existe

tel que

. Ceci implique que

et donc, par un résultat obtenu plus haut

Réciproquement, supposons que tout idéal

soit l'idéal nul. Alors si

est un élément non nul de R, l'idéal principal (r) doit être égal à R. Mais ceci implique que

et donc qu'il existe

avec

ce qui montre que r est inversible. L'anneau R est donc un corps.

Cette caractérisation va nous permettre de démontrer facilement que tout homomorphisme partant d'un corps est injectif. Soit que si

est un homomorphisme où R est un corps, alors f est injectif.

Nous mettons ensemble ce qui a été vu jusque-là. Nous avons démontré plus haut que le noyau Ker(f) d'un homomorphisme est un idéal. Mais nous avons également démontré plus haut que nous avons soit

soit

(car l'anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux).

Mais vu que

(de par la définition d'un homomorphisme) il s'ensuit qu'il reste

(puisque nous avons démontré que si A est un anneau et I un idéal de A alors si

alors

). Ceci implique par un théorème précédent (où nous avons démontré que si

l'homomorphisme est injectif) que... f est injective.

Etudions maintenant les homomorphismes dont l'anneau de départ est

. Soit A un anneau et

un homomorphisme. Par définition d'un homomorphisme et par ses propriétés, il faut que

. Mail il faut encore que:

pour tout

. Ainsi f est complètement déterminé par la donnée de f(1) et est donc unique. Réciproquement, nous montrons que l'application

définie par:

est un homomorphisme d'anneaux. En résumé, il existe un et un seul homomorphisme de

dans un anneau quelconque A.

Définition: Soient A un anneau et

l'unique homomorphisme défini précédemment. Si f est injectif, nous dirons que A est de "caractéristique nulle". Sinon, Ker(f) est un idéal non trivial de

et comme

est dès lors principal (comme nous l'avons démontré plus haut) il est de la forme

avec

. L'entier m est appelé la "caractéristique de A".

Remarque: Moins formellement, la caractéristique d'un anneau est le plus petit entier positif m tel que

. S'il n'y en a pas, alors la caractéristique est nulle.

L'anneau

est de caractéristique nulle car l'unique homomorphisme

est l'identité. Il est donc injectif. Les injections

montrent que

(et

également) sont des corps de caractéristique nulle.

Nous nous proposons maintenant de démontrer que la caractéristique d'un anneau intègre (et en particulier d'un corps) est égale 0 ou à un premier p.

Nous montrons la contraposée. Soit A un anneau de caractéristique

avec m non premier. Il existe alors des entiers naturels

tels que

. Soit

l'unique homomorphisme (défini précédemment). Par définition (de l'idéal) de m, nous avons

mais

. Mais alors

ce qui montre que A n'est pas intègre.

Remarque:La réciproque du théorème n'est pas vraie comme le montre l'exemple de l'anneau

où l'addition et la multiplication se font composante par composante. C'est un anneau de caractéristique nulle mais avec des diviseurs de zéro:

(5.169)

- Introduction à la théorie des ensembles, P.R. Halmos, Éditions Jacques Gabay, ISBN10: 876471264 (127 pages) - Réimprimé en 1997

- Applied Mathematics for Database Professionals, L. De Hann + T. Koppelaars, Éditions APress , ISBN13: 9781590597453 (376 pages) - Imprimé en 2007