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equation

ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE
| COSMOLOGIE | THÉORIE DES CORDES

La cosmologie est la science qui étudie la structure, l'évolution et les lois générales de l'Univers considéré dans son ensemble (Larousse).

47. ASTRONOMIE (MÉCANIQUE CÉLÉSTE)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-01-31 10:12:45 | {oUUID 1.725}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La mécanique céleste est la conséquence de la loi d'attraction universelle de Newton et du principe fondamental de la mécanique (cf. chapitre de Mécanique Classique). Elle a pour principal objectif la description du mouvement d'objets astronomiques tels que les étoiles et planètes à l'aide des théories physiques et mathématiques.

Nous allons dans ce chapitre aborder le sujet, comme toujours sur ce site, de la manière la plus élémentaire possible (à ce jour les sujets traités sur cette page ne dépassent pas techniquement le niveau de ce qui se faisait au milieu du 18ème siècle dans le domaine de l'astronomie).

D'abord, nous nous échaufferons avec une loi sympathique sur le vivant dans l'Univers... (l'équation de Drake). Une fois cet exercice de style accompli, nous commencerons à "énumérer" les lois de Kepler (en faisant souvent référence au chapitre de Mécanique Classique) pour ensuite étudier en détails les propriétés des orbitales Képlériennes à l'aide de la mécanique et ensuite à l'aide de la relativité restreinte, ce qui nous amènera à constater une précession théorique des orbitales concernées. Ensuite, nous nous amuserons à modéliser approximativement la variation de la durée de la journée (et de la nuit) sur la Terre en fonction du mois et de la latitude. Enfin, pour terminer en beauté, nous nous lancerons dans le calcul détaillé des cinq points de Lagrange!

ÉQUATION DE DRAKE

Cette équation a été inventée (...) par F. Drake dans les années 1960 dans l'intention d'estimer le nombre de civilisations extraterrestres dans notre galaxie avec lesquelles nous pourrions entrer en contact. Le principal objet de cette équation pour les scientifiques est de déterminer ses facteurs, afin de connaître le nombre probable et (très) estimé de civilisations extraterrestres.

Cette équation empirique (qui reste un amusement... et dont le principe peut être appliqué à pas mal de domaines différents de la physique et de la vie...) s'écrit:

equation   (47.1)

Les termes de cette formule (car c'en est une!) se définissent ainsi:

- equation représente le nombre d'étoiles dans une seule et unique galaxie

- equation est la fraction d'étoiles qui auraient une planète en orbite (comprise entre 0 et 1)

- equation est le nombre de planètes par étoile qui remplissent les conditions au développement de la vie

- equation est la fraction de planètes dont la vie s'est effectivement développée (comprise entre 0 et 1)

- equation est la fraction de celles où une vie intelligente s'est développée (comprise entre 0 et 1)

- equation est la fraction de equation qui a mis en oeuvre des moyens de communication radio (comprise entre 0 et 1)

- equationest la fraction de temps pendant laquelle les civilisations equation vivront (comprise entre 0 et 1)

Dans la pratique, il faut remarquer que l'équation consiste à essayer de déterminer une quantité inconnue à partir d'autres quantités qui sont tout aussi inconnues qu'elles... Mais c'est une équation sympa à sortir et à évaluer entre amis pour passer le temps...

Il n'existe donc pas de garantie que l'on soit davantage fixé après cette estimation qu'avant (argument nommé parfois dans la littérature "garbage in, garbage out"...).

La valeur résultante peut motiver que les développements qui vont suivre ne sont pas applicables qu'à un seul système solaire dans l'Univers... peut-être... (cela ferait beaucoup de vide gâché sinon...).

LOIS DE KEPLER

En astronomie, les lois de Kepler décrivent les propriétés principales du mouvement des planètes autour d'un astre principal, sans les expliquer (à l'époque!). Elles ont été découvertes par Johannes Kepler à partir des observations et mesures (en quantité phénoménale) de la position des planètes faites par Tycho Brahe, mesures qui étaient très précises pour l'époque.

Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième en 1618. Les orbites elliptiques, telles qu'énoncées dans ses deux premières lois, permettent d'expliquer la complexité du mouvement apparent des planètes.

Peu après, Isaac Newton découvrit en 1687 la loi de l'attraction gravitationnelle (ou gravitation), déduisant de celle-ci, par le calcul, les 3 lois de Kepler.

Nous allons maintenant nous efforcer de présenter ces lois de la manière la plus pertinente possible:

PREMIÈRE LOI

La "première loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi de conicité" ou encore "loi des orbites" s'énonce ainsi: Les orbites des planètes sont des coniques (ellipses) dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Au fait, il convient de préciser que ce n'est pas vraiment une "loi" dans le sens propre du terme puisque plus loin vous en trouverez la démonstration telle que:

equation   (47.2)

Remarque: Le lecteur qui aura lu au préalable le chapitre de Géométrie Analytique ne sera pas étranger à cette relation...

DEUXIÈME LOI

La "deuxième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des aires", nous dit que le segment qui joint une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux (vitesse aréolaire constante) tel que:

equation   (47.3)

C'est une relation qui découle de la conservation du moment cinétique comme nous l'avons déjà démontré dans le chapitre de Mécanique Classique où nous avions obtenu:

equation   (47.4)

Donc à nouveau, son statut de "loi" est discutable dans le langage de la physique moderne!

Exprimons maintenant cette loi sous une autre forme plus conventionnelle en astronomie. Considérons pour cela le mouvement dans le plan données en coordonnées cylindriques par:

equation   (47.5)

Donc:

equation   (47.6)

Il vient alors de par la propriété de linéarité du produit vectoriel:

equation   (47.7)

Soit en prenant la norme:

equation   (47.8)

Et puisque c'est égal à une constante, il est souvent d'usage d'écrire cette dernière égalité sous la forme condensée (et en mettant la masse dans la constante en question):

equation   (47.9)

Par ailleurs, rappelons que nous avions aussi obtenu comme résultat que le mouvement soit et reste plan sans aucune action extérieure!

Nous constatons par ailleurs que cette loi nous donne que la vitesse de la planète est variable. Elle est plus grande au périhélie qu'à l'aphélie:

equation
Figure: 47.1 - Représentation des surfaces balayées

Ceci se vérifie pour la Terre par exemple. En effet, cette dernière est plus proche du Soleil en hiver (pour l'hémisphère Nord) et elle a alors une vitesse sur trajectoire un peu plus élevée qu'en été; le temps de parcours est donc plus faible (l'hiver compte moins de jours que les autres saisons).

Enfin remarquons que dans le cas particulier d'une orbite elliptique, nous avons (voir le démonstration du calcul de l'aire d'une ellipse dans le chapitre Forme Géométriques):

 

TROISIÈME LOI

La "troisième loi de Kepler", appelée parfois aussi "loi des périodes", s'énonce ainsi: Les carrés des périodes de révolution T sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes D des orbites:

equation   (47.10)

À nouveau, nous verrons plus loin que le statut de "loi" n'est plus justifiable à notre époque puisqu'il est possible de démontrer que cette relation, dont l'expression sera détaillée, est réellement:

equation   (47.11)

Bien évidemment, Kepler n'a pas d'emblée publié ses trois lois dans cette provocante simplicité. Leur ordre actuel n'est d'ailleurs pas celui de leur énonciation... Elles sont en réalité à dénicher au milieu d'un foisonnement de spéculations physiques et de réflexions sur l'harmonie du monde.

LOI DE LA GRAVITATION DE NEWTON

Pour vérifier l'exactitude de son hypothèse, Newton (relativement longtemps après) retrouva les lois de Kepler à partir de la loi de la gravitation, donnant ainsi l'explication du mouvement général des planètes.

Newton considéra pour déterminer la loi de gravitation une planète théorique, gravitant autour du Soleil sur une orbite circulaire à vitesse constante v. Pendant une orbite complète, la planète parcourt une distance égale à la circonférence du cercle de rayon R, soit equation, en un temps (sa période) égal à cette distance divisée par sa vitesse, soit:

equation   (47.12)

Newton s'appuie ensuite sur la troisième loi de Kepler avec toujours l'hypothèse d'une orbite circulaire.

Nous avons donc:

equation   (47.13)

mais puisque:

equation   (47.14)

alors:

equation    (47.15)

En comparant:

equation    (47.16)

et:

equation   (47.17)

et en posant maintenant que equation divisé par la constante est une nouvelle constante (que nous noterons de la même manière que la première bien qu'elle ne lui soit pas égale) on obtient:

equation   (47.18)

d'où:

equation   (47.19)

Ensuite, si nous renversons les termes, cette expression devient (tout en notant que l'inverse de la constante d'origine est, elle aussi, une constante):

equation   (47.20)

Par un autre calcul, nous avons déjà établi dans le chapitre de Mécanique Classique l'expression de la force centrifuge:

equation   (47.21)

en rapprochant cette expression de l'expression précédente:

equation    (47.22)

nous obtenons:

equation   (47.23)

Il existerait donc une force opposée à la force centrifuge qui maintient la cohésion orbitale et qui s'écrit:

equation   (47.24)

reste à déterminer la valeur de la constante!

Il est trivial que la masse centrale M du système orbital doit intervenir d'une façon ou d'une autre dans cette constante. Si la masse du corps secondaire intervient de façon proportionnelle dans la force centrifuge, l'envie est grande de faire de même avec la masse du corps central. Donc:

equation   (47.25)

maintenant a priori il n'y aurait plus de paramètres à prendre en compte. La constante restante est là pour satisfaire à l'analyse dimensionnelle de telle façon que l'on ait des "Newtons" (nom donné à l'unité de force) des deux côtés de l'égalité. Les scientifiques ont déterminé avec grande précision cette "constante gravitationnelle" notée G qui a priori semble universelle et qui a comme valeur:

equation   (47.26)

Ce qui nous amène à écrire la "loi de la gravitation de Newton":

equation   (47.27)

Évidemment il ne s'agit nullement d'une vraie démonstration car nous nous sommes basés sur les observations expérimentales de Kepler. Par contre, à partir de la relativité générale il est possible de la démontrer (sous certaines hypothèses...)!

En utilisant Maple 17.00, nous pouvons simuler la trajectoire plane d'un satellite par rapport à un nombre n de masses fixes (merci à Forhad Ahmed pour ce script) . Voici par exemple le code de base que vous pouvez personnaliser selon vos goûts et n'hésitez pas à nous communiquer votre travail personnel si vous avez amené une amélioration significative à ce script:

>restart; with(plots); with(DEtools)
>G:=1; #constante gravitationelle abusivement normalisée pour simplifier...
>poles:=2; #nombre de corps adaptable à loisir...
>M[1]:=10;M[2]:=1; #masse du premier et deuxième corps (en valeurs relatives)
>h[1]:=1;h[2]:=-1; #position X du premier et deuxième corps (en unités astronomiques)
>k[1] := 1;k[2] := 1; #position Y du premier et deuxième corps (en unités astronomiques)

>#équation différentielle de l'accélération du satellite en X
>Xeq := diff(x(t), t, t) = sum(-G*M[j]*(x(t)-h[j])/((x(t)-h[j])^2+(y(t)-k[j])^2)^(3/2), j = 1 .. poles);
>#équation différentielle de l'accélération du satellite en Y
>Yeq := diff(y(t), t, t) = sum(-G*M[j]*(y(t)-k[j])/((x(t)-h[j])^2+(y(t)-k[j])^2)^(3/2), j = 1 .. poles);
>#position et vitesse initiale respective du satellite
>inits := x(0) = -2, y(0) = 0, (D(x))(0) = 0, (D(y))(0) = 2
>#résolution numérique de l'ED (jouez avec la précision de l'erreur au besoin!)
>g:=dsolve({Xeq,Yeq,inits},{x(t),y(t)},type=numeric,method=dverk78,abserr=0.1e-3, output= procedurelist);

>n:=50; #pas des itérations
>iter:=300; #nombre d'itérations

>#boucle qui résout l'E.D. à chaque nouvelle position
>for i from 0 to iter do
px[i]:=rhs(g(i/n)[2]);
py[i]:=rhs(g(i/n)[4]);
KE[i]:=1/2*(rhs(g(i/n)[3])^2+rhs(g(i/n)[5])^2);
temp:=(rhs(g(i/n)[2])-h[j])^2+(rhs(g(i/n)[4])-k[j])^2;
PE[i]:=sum(-G*M[j]/sqrt(temp), j = 1 .. poles);
TE[i]:=KE[i]+PE[i]
end do:

>data:=seq(pointplot([px[i], py[i]], color = red), i = 0 .. iter):
>#mettre insequence à true pour avoir une animation
>Anim:=display(data,insequence=false,scaling=constrained,axes=boxed):
>stars:=display(seq(pointplot([h[i], k[i]], color = black), i = 1 .. poles))
>isplay({Anim,stars},title=`Satellite orbiting a multipolar gravity field`);

equation
Figure: 47.2 - Trajectoire d'un corps dans le plan influencé par deux corps massifs
et.... statiques...

>#on vérifie que l'énergie totale du satellite est toujours constante
>print(`[Time] -- [Kinetic Energy] - [Potential Energy] - [Net Energy]`);
>print(`======================================`);
> for i by 3 to iter do
print(evalf(i/n, 6), ` `, KE[i], ` `, PE[i], ` `, TE[i]);
end do:
>#la dernière colonne du tableau doit avoir toujours une valeur égale normalement...

Remarque: En égalisant force centrifuge et force gravitationnelle, il est assez facile d'obtenir une approximation de la vitesse de rotation des planètes sur leur orbite. Le lecteur qui fera le calcul verra que le chiffre tourne pour les planètes du système solaire autour d'une vitesse de l'ordre de 100'000 [km/h].

À partir de cette dernière relation, revenons brièvement sur notre troisième loi de Kepler et détaillons là un peu pour montrer qu'elle est valable pour tout type d'orbite conique et afin de déterminer l'expression de sa constante.

Exprimée dans le repère de Frenet (cf. chapitre de Géométrie Différentielle), et décomposée en son accélération normale (centripète) et tangentielle, l'accélération par rapport à un référentiel géocentrique (dans le cas d'un référentiel situé au centre de masse du système l'expression change un peu) s'écrit:

equation   (47.28)

Des relations obtenues lors des développements précédents:

equation    (47.29)

et:

equation   (47.30)

la constante de la troisième loi de Kepler prend comme valeur (c'est une formulation utilisée parfois dans la pratique mais une étape non rigoureusement nécessaire dans le présent développement):

equation   (47.31)

Or, puisque nous avons aussi:

equation   (47.32)

alors:

equation   (47.33)

d'où:

equation   (47.34)

Finalement, la troisième loi de Kepler se retrouve alors fréquemment dans la littérature sous la forme suivante:

equation   (47.35)

Cet interlude effectué, revenons sur notre loi de la gravitation de Newton:

equation   (47.36)

À partir de cette loi de la gravitation, nous pouvons retrouver toutes les lois de Kepler. D'ailleurs, nous l'avons déjà fait pour la deuxième et troisième loi de Kepler puisque ce sont ces dernières que nous avons utilisées pour obtenir cette relation (c'est cependant un peu le serpent qui se mange la queue...).

Sous forme vectorielle nous avons ainsi:

equation   (47.37)

Identiquement au champ électrique (cf. chapitre d'Électrostatique), nous pouvons développer:

equation   (47.38)

Comme le champ électrique dérive d'un potentiel électrique, identiquement, le champ gravitationnel dérive lui aussi d'un potentiel gravitationnel. En effectuant le même développement qu'en électromagnétisme pour la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous démontrons que:

equation   (47.39)

equation est le "potentiel gravitationnel" qui varie en raison inverse de la distance relative des corps (ceci confirmant ce que nous avions démontré lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes) et vaut donc:

equation

Remarque: Nous retrouverons souvent ce potentiel dans le chapitre de Relativité Générale. Il convient donc de s'en souvenir si possible.

Écriture qui implique bien évidemment la relation suivante:

equation   (47.40)

Remarque: Évidemment en l'absence de champ, nous avons equationet donc  equation sera nul.

Comme en électromagnétisme à nouveau, nous démontrons comme nous l'avons fait pour la première équation de Maxwell que:

equation   (47.41)

Si nous exprimons cette équation en fonction d'un potentiel gravitationnel equation (noté aussi souvent par la lettre U comme en Électrostatique...), nous obtenons:

equation   (47.42)

ce que l'on note de façon plus esthétique avec le laplacien scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (47.43)

qui n'est autre que "l'équation de Newton-Poisson" que nous retrouverons aussi lors de notre étude de la relativité générale (elle y a une place importante pour des raisons de validation de la théorie d'Einstein)!

Cette équation signifie que la théorie Newtonienne de la gravitation se résume à dire que le champ gravitationnel est décrit par un seul potentiel equation engendré par la densité volumique de masse et déterminant l'accélération d'une particule d'épreuve plongée dans le champ extérieur equation.

Amusons-nous maintenant un peu avec l'équation de la gravitation de Newton pour obtenir quelques résultats intéressants et curieux:

Soit un objet situé à l'extérieur de la Terre et r la distance de cet objet au centre de la Terre, nous avons:

equation    (47.44)

il vient:

equation   (47.45)

Si l'objet est situé à la surface de la Terre de rayon R, nous avons (r = R):

equation   (47.46)

Des deux dernières relations il vient donc:

equation   (47.47)

En surface nous avons donc bien (on s'y attendait...):

equation   (47.48)

Maintenant, si l'objet est situé à l'intérieur de la Terre en notant la distance par rapport au centre par la lettre r et la masse centrale par M ', nous avons:

equation   (47.49)

Introduisons la masse volumique equation que nous supposerons égale partout.

equation   (47.50)

En combinant ces quatre dernières relations, nous obtenons:

equation   (47.51)

equation
Figure: 47.3 - Profil intérieur/extérieur de l'accélération gravitationnelle

Pour de nombreuses personnes ce résultat est assez contre intuitif (faites un petit sondage dans votre entourage, vous verrez).

SPHÉRISATION DES CORPS CÉLESTES

À l'aide de la loi de Newton, nous pouvons répondre à pas mal de questions pertinentes de manière approximative et nous donnant des résultats tout à fait probants.

Un premier exemple est de se demander à quelle échelle il y a une transition du domaine des formes (les astéroïdes, lunes de Mars, comètes, etc.) au domaine des sphères (planètes et grandes lunes)? Pourquoi les satellites de Mars, Phobos et Deimos, ont une forme patatoïde tandis que notre lune est à peu près sphérique. Nous allons voir que ceci est dû à la masse qui est plus importante dans le cas de notre lune. Effectivement, à partir d'une certaine masse, les formes géométriques quelconques ne sont plus possibles.

Pour aborder cette étude, nous allons d'abord estimer la hauteur maximale d'une montagne sur une planète. Le Mont Everest a une altitude de 8.8 [km] tandis que le Mont Olympus sur Mars est de 27 [km]. Pourquoi de telles montagnes ne peuvent-elles exister sur Terre?

Pour prendre une approche simpliste, nous allons supposer qu'une montagne doit être en équilibre hydrostatique. Nous connaissons expérimentalement la pression limite type dans un réseau cristallin de roches au-delà de laquelle les roches commencent à "couler": equation.

Nous connaissons de par notre étude la mécanique des milieux continus (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) que la pression à la base d'une montagne de hauteur h sera donnée dans l'approximation hydrostatique par:

equation   (47.52)

Pour que la montagne soit stable, il faut donc que:

equation et donc equation   (47.53)

Ainsi:

equation   (47.54)

En supposant une densité moyenne de equation (croûte continentale de la Terre) nous obtenons:

- Terre: equation

- Mars: equation

Ce qui est remarquable comme résultat approximatif...

Pour estimer la taille minimale equation d'un astre, à partir de laquelle la forme sphérique devient prédominante par rapport aux déformations de la surface (c'est-à-dire où la gravitation a pris le dessus sur les forces interatomiques), nous allons exiger que la taille equation soit supérieure à la hauteur maximale d'une montagne equation. Nous supposons aussi que la densité equation reste constante à travers l'astre. En reprenant la relation:

equation   (47.55)

nous avons:

equation   (47.56)

d'où:

equation   (47.57)

La limite equation peut ensuite être estimée en fixant equation ainsi:

equation   (47.58)

bien évidemment pour equation nous serons encore plus proche de la forme sphérique.

APLATISSEMENT DES CORPS CÉLESTES

À cause de la symétrie du potentiel gravitationnel une étoile ou une planète devrait avoir une forme parfaitement sphérique à partir d'une certaine taille comme nous venons de le voir. Or, il n'en n'est pas ainsi.

À cause de la rotation propre de l'astre, un terme centrifuge vient modifier le potentiel. Ce terme dépend de la latitude ce qui explique la forme ellipsoïdale.

Rappelons que:

equation   (47.59)

R est le rayon équatorial de l'astre à laquelle vient s'ajouter l'accélération centrifuge à une latitude donnée de rayon r:

equation   (47.60)

Ainsi, l'accélération totale:

equation   (47.61)

explique simplement que la Terre est aplatie aux pôles (ou selon le point de vue: étirée à l'équateur...) et que plus une planète tourne vide, plus elle sera aplatie aux pôles.

Sur Terre, le rayon équatorial est de 6379 [km] tandis que le rayon polaire est de 6357 [km]. La différence est de 22 [km]. "L'aplatissement" d'une planète peut être exprimé comme:

equation   (47.62)

soit la différence entre rayon équatorial et le rayon polaire divisée par le rayon équatorial.

Bien qu'un ellipsoïde de révolution soit la meilleure description pour la forme d'une planète:

equation
Figure: 47.4 - Image de la Terre avec son atmosphère

il y a des imperfections entre le modèle et la réalité pour certains corps du système solaire (en particulier les planètes telluriques, les satellites, et les petits corps rocheux). Le géopotentiel d'une planète réelle peut avoir une forme nettement plus compliquée à cause des influences des inhomogénéités visibles à la surface comme l'atteste cette image satellite de la Terre omettant les parties liquides (les déformations ont été un peu exagérées sur l'image ci-dessous):

equation
Figure: 47.5 - Image de la Terre sans son atmosphère

Les géodésistes tiennent compte de ces inhomogénéités. Ils mesurent et décrivent la forme des planètes qu'ils appellent "géoïdes".

STABILITÉ DES ATMOSPHÈRES

En comparant les vitesses de libération et les vitesses de divers gaz, nous pouvons expliquer la stabilité de certaines atmosphères et l'inexistence d'autres. Nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que la vitesse de libération d'un astre sphérique était donnée par la relation suivante (sur laquelle nous reviendrons aussi dans le chapitre de Relativité Générale):

equation   (47.63)

Pour la Terre, une application numérique donne equation et pour la Lune equation.

Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus lors de notre détermination de la température cinétique la relation suivante:

equation   (47.64)

En utilisant la masse molaire (cf. chapitre de Chimie Thermique):

equation   (47.65)

Une application numérique donne pour l'azote equation et pour l'hydrogène equation avec une température arbitraire de 300 [K].

Donc l'azote est nettement piégé dans l'atmosphère terrestre. L'hydrogène, gaz léger, donc rapide l'est moins. Les deux gaz sont encore moins retenus par la Lune.

Remarque: En fait, la vitesse quadratique moyenne n'est pas la vitesse unique des molécules. Il y a une distribution des vitesses. Nous avons effectivement vu la distribution de Maxwell-Boltzmann d'un gaz à l'équilibre dans le chapitre de Mécanique Statistique.

LIMITE DE ROCHE

La limite de Roche est la distance théorique en dessous de laquelle un satellite commencerait à se disloquer sous l'action des forces de marées causées par le corps céleste autour duquel il orbite, ces forces dépassant la cohésion interne du satellite.

Nous pouvons simplifier le problème en considérant le satellite liquide et en le décomposant en deux petites masses m de rayon r et de masse volumique equation.

Schéma
Figure: 47.6 - Configuration pour l'étude de la limite de Roche

La planète est une sphère de rayon R, de masse M, de masse volumique equation, située à une distance D de l'axe du satellite.

La planète exerce sur le satellite une attraction gravitationnelle:

equation   (47.66)

La différence de force entre les 2 masses est:

equation   (47.67)

Nous pouvons considérer equation, ce qui donne:

equation   (47.68)

Donc la différence de force est

equation   (47.69)

La force de cohésion du satellite résulte dans l'attraction gravitationnelle entre les 2 masses:

equation   (47.70)

Le satellite est détruit si la différence de force entre les 2 masses est supérieure à la force de cohésion

equation   (47.71)

Or nous avons les relations:

equation et equation   (47.72)

donc nous obtenons:

equation   (47.73)

et nous en déduisons la "limite de Roche":

equation   (47.74)

Comme, dans ce calcul, nous avons considéré un satellite constitué de deux masses ponctuelles, et que de plus nous avons supposé que la cohésion du satellite était assurée exclusivement par les interactions gravitationnelles, cette valeur n'est qu'un ordre de grandeur (un minimum donc!).

Il faut savoir que les forces de marées de Jupiter ou de Saturne sur leurs satellites respectifs déforment de plusieurs centaines de mètres leur structure interne. Cela a pour effet de dégager de la chaleur par friction et déformation et provoque une dynamique de surface (éruptions) qui peut aider à l'émergence d'une forme de la vie élémentaire même dans les conditions extrêmes de température qui y règnent.

TRAJECTOIRES D'ORBITALES KÉPLÉRIENNES

L'observation (outil principal du physicien pour rappel) semble montrer qu'à première vue, les trajectoires suivies par les corps célestes en orbite autour d'astres sont bien du type conique (ouf!). Sachant cela, nous pouvons, afin de faciliter les calculs, anticiper la complexification des calculs et exprimer directement la dynamique d'un point matériel en des coordonnées polaires. 

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, la vitesse en coordonnées polaires s'exprime par la relation (nous avons changé la lettre grecque de notation de l'angle pour nous adapter à la tradition):

equation   (47.75)

où pour rappel le premier terme est la composante radiale de la vitesse et le second la composante tangentielle de la vitesse (angulaire).

Pour l'accélération (la démonstration se trouvant toujours dans le chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (47.76)

Maintenant que nous avons les outils nécessaires, attaquons-nous au cas des orbites Képlériennes dans le cas d'un champ Newtonien.

Il existe à notre connaissance deux manières principales de faire les développements mathématiques nécessaires mais qui n'amènent pas (à notre connaissance) au même niveau de détail quant au résultat. La première approche qui permet d'obtenir un résultat plus fin mais où la démarche est un peu du bricolage par moments... est basée sur l'utilisation de la vitesse radiale et d'une relation importante en astronomie, appelée "première formule de Binet". La seconde approche est la plus simple et la plus élégante, elle utilise l'accélération radiale pour l'approche du problème et une relation spéciale appelée "deuxième formule de Binet".

PREMIÈRE FORMULE DE BINET

Pour commencer par cette première approche du problème, rappelons que nous avons déjà  démontré plus haut que:

equation   (47.77)

Cependant, il est peu probable que le corps principal soit une sphère parfaite et homogène... Les astrophysiciens ont donc l'habitude de noter le potentiel Newtonien U sous la forme:

equation   (47.78)

equationest appelée "constante de gravitation de l'astre" et où f est une fonction représentant les hétérogénéités de l'astre.

S'il est un endroit de l'Univers où les lois de la mécanique sont parfaitement vérifiables, c'est bien l'espace, parce que le frottement ou les causes de dissipation y sont extrêmement faibles. Dans le champ d'une seule force dérivant d'un potentiel, le mouvement vérifie la conservation de l'énergie mécanique.

Nous aboutissons ainsi à l'équation dite de l'énergie, dans laquelle E désigne "l'énergie spécifique" par unité de masse (kilogramme) envoyé.

equation   (47.79)

donc:

equation   (47.80)

La force de gravitation Newtonienne est centrale, donc de couple nul au centre O du corps principal. Il en résulte la conservation du moment cinétique en norme et en direction, soit:

equation   (47.81)

Le vecteur equation est l'unitaire de equation ou de equation appelé "moment cinétique réduit". K est la constante des aires (cf. chapitre de Mécanique Classique) telle que:

equation   (47.82)

Nous rappelons que la norme de la vitesse exprimée en coordonnées polaires plane est donnée par la relation (n'oubliez pas que les deux vecteurs de la base polaire sont orthogonaux et que l'on peut donc appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la norme comme il l'a été démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel du site):

equation   (47.83)

Ce qui nous permet d'écrire pour la constante des aires K:

equation   (47.84)

Plaçons-nous dans le plan orbital, en coordonnées polaires. Nous possédons deux intégrales premières dépendant des deux constantes essentielles E et K.

Soit la relation déjà démontrée:

equation   (47.85)

et sa norme au carré:

equation   (47.86)

Or dans le cas d'une force centrale (conservation du moment cinétique):

equation   (47.87)

Mettons cela dans l'expression de equation antéprécédente, nous avons alors:

equation   (47.88)

Cette dernière relation est appelée "première formule de Binet".

En égalant avec l'expression de equation résultant de la conservation de l'énergie vue un peu plus haut, nous avons:

equation   (47.89)

Ce qui nous donne une équation différentielle assez compliquée:

equation   (47.90)

Et là nous nous demandons comment nous pouvons faire pour nous en sortir? Après quelques heures de réflexion... nous nous rendons compte qu'il faut faire une substitution. Après une autre heure de chaos neuronal cela finit par aboutir. Nous décidons de poser (nous en avons tout à fait le droit), sachant que r est une fonction u de equation:

equation   (47.91)

Dérivons allègrement par rapport à equation:

equation   (47.92)

Substituons dans l'équation différentielle:

equation   (47.93)

Après simplification, nous obtenons:

equation   (47.94)

Nous séparons les variables pour intégrer:

equation   (47.95)

Nous avons deux solutions suivant le signe que nous choisissons. Cependant, à la fin de la résolution, nous remarquons que le seul choix physiquement intéressant est le signe négatif. Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral lors de notre étude des dérivées usuelles que:

equation   (47.96)

Nous allons opter pour la primitive en cosinus et dès lors, nous avons:

equation   (47.97)

Nous laissons, par approximation, de côté la constante d'intégration qui impliquerait des très faibles oscillations sur la trajectoire de l'orbite (si vous faites une étude ou un TP sur le sujet, communiquez-moi les graphiques que vous obtenez avec ou sans la constante, cela m'intéresserait).

Ce qui nous permet d'obtenir:

equation   (47.98)

Or, nous voyons que notre choix du signe pour l'intégration se justifie pleinement puisque maintenant, si nous faisons un petit rappel sur les coniques (cf. chapitre de Géométrique Analytique), nous voyons après réarrangement que nous avons une relation de la forme:

equation   (47.99)

e est l'excentricité (rapport du petit axe equation) et p le paramètre focal (equation) d'une ellipse. Ce qui correspond bien aux trajectoires que suivent les astres en orbite.

Nous retrouvons donc bien la première "loi" de Kepler...

Dans notre cas, nous avons après simplification:

equation et equation   (47.100)

où (pour rappel) K est la constante des aires:

equation   (47.101)

et equation la constante de gravitation de l'astre:

equation   (47.102)

et enfin E l'énergie spécifique:

equation   (47.103)

Le lecteur vérifiera comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique lors de notre étude des coniques que si:

- equation nous avons une orbite ouverte sous forme de parabole

- equation  nous avons une orbite ouverte sous forme d'hyperbole

- equation nous avons une orbite fermée sous forme d'une ellipse ou de cercle.

equation
Figure: 47.7 - Rappels sur les coniques

Enfin, si nous injectons:

equation   (47.104)

dans la première formule de Binet:

equation   (47.105)

nous obtenons alors la vitesse en n'importe quel point de l'ellipse en fonction du principal paramètre variable qui est donc l'angle.

DEUXIÈME FORMULE DE BINET

Voyons maintenant l'approche basée sur l'accélération radiale qui tout en étant plus élégante, nous permet d'obtenir un résultat moins fin concernant les paramètres de l'ellipse.

Nous partons donc l'expression de l'accélération en coordonnées polaires (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (47.106)

Nous pouvons simplifier l'écriture du deuxième terme:

equation   (47.107)

Or, nous venons de voir plus haut que:

equation   (47.108)

et donc:

equation   (47.109)

L'accélération se réduit alors à:

equation   (47.110)

Nous pouvons éliminer le temps en écrivant:

equation   (47.111)

et:

equation   (47.112)

Alors nous obtenons:

equation   (47.113)

Et donc il vient pour la norme la "deuxième formule de Binet":

equation   (47.114)

Or, selon la deuxième loi de Newton et de sa loi de Gravitation, nous avons:

equation   (47.115)

Nous avons alors avec la deuxième formule de Binet:

equation   (47.116)

Soit après simplification et en choisissant le signe de l'accélération à notre convenance pour se débarrasser du signe "-", nous avons:

equation   (47.117)

En isolant les constantes, il vient:

equation   (47.118)

Après un petit changement de variables nous reconnaissons le cas particulier d'une équation différentielle du second ordre que nous avons déjà rencontrée plusieurs fois jusqu'à maintenant dans les différents chapitres du site et que nous rencontrerons encore:

equation   (47.119)

Comme il est d'usage, nous montrons toutefois les détails de sa résolution. L'équation sans second membre est (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (47.120)

Nous avons alors le discriminant qui est négatif puisque:

equation   (47.121)

Nous avons alors vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral, que dans cette situation la solution de l'équation homogène était de la forme:

equation   (47.122)

Soit dans la situation qui nous concerne, nous avons:

equation   (47.123)

Nous injectons la solution homogène dans l'équation différentielle avec second membre:

equation   (47.124)

Et voyons immédiatement que pour que l'égalité soit satisfaite, la solution générale est:

equation   (47.125)

Soit après réarrangement:

equation   (47.126)

Et en choisissant l'angle initial comme étant nul, nous retrouvons donc bien:

equation   (47.127)

à la différence avec la première méthode de résolution que la valeur de la constante A reste inconnue.

Revenons maintenant sur:

equation   (47.128)

En explicitant:

equation   (47.129)

Et comme (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (47.130)

Alors si nous choisissons un point particulier de référence de la trajectoire (non nécessairement circulaire), nous aurons:

equation   (47.131)

Nous avons alors:

equation   (47.132)

Si nous posons le déphasage comme nul par rapport au rayon de référence choisit plus haut, l'expression se simplifie en:

equation   (47.133)

Pour déterminer la constante A, plaçons dans le cas où equation et qui impose que le rayon r soit le rayon initial mesuré lorsque cet angle est nul. Nous avons alors:

equation   (47.134)

Ce qui implique immédiatement:

equation   (47.135)

Soit après réarrangements et simplifications élémentaires:

equation   (47.136)

Et dons nous avons une correspondance directe:

equation   (47.137)

Et comme l'excentricité e est connue pour une trajectoire circulaire, parabolique, elliptique ou autre... il nous devient très facile d'en déduire la vitesse de l'objet en question au point particulier correspondant au rayon initial.

La distance la plus proche de l'objet en orbite de son astre central (foyer), sera donné par la valeur que prendre r dans la relation:

equation   (47.138)

si nous imposons equation. Dans le cas d'une orbite elliptique il s'agit de la "périgée" qui sera confondu avec le rayon initiale comme étant le point où la mesure de la vitesse radiale était la plus précise.

La distance la plus éloignée au foyer sera en posant l'angle comme valant (en degrés) 180° et que nous appelons alors "l'apogée".

PÉRIODE ORBITALE KÉPLÉRIENNE

La loi des aires permet, comme nous le savons déjà, de calculer la période orbitale Képlérienne T. En effet, l'aire S de l'ellipse valant equation (cf. chapitre sur les Formes Géométriques) et ayant déjà déterminé lors de la définition du moment cinétique la relation (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (47.139)

Il vient naturellement: 

equation   (47.140)

Par ailleurs, l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) nous a montré que:

equation   (47.141)

et nous avons défini plus haut:

equation   (47.142)

Nous avons donc la relation:

equation   (47.143)

et nous retrouvons du même coup la troisième loi de Kepler...:

equation   (47.144)

ce qui valide nos calculs précédents.

DÉFLEXION CLASSIQUE DE LA LUMIÈRE

Les calculs effectués précédemment peuvent s'appliquer à un cas intéressant: la déviation de la lumière par un astre selon une interprétation Newtonienne (bien évidemment!).

Attention!!! Newton ne savait pas à l'époque que le photon était sans masse. Les développements qui suivent sont donc une approche erronée à notre époque et qu'il convient de prendre avec des pincettes mais qui reste enseignée aujourd'hui car elle permet à des étudiants n'ayant pas encore étudié la relativité générale ou qui ne l'étudieront jamais (dans le chapitre de Relativité Générale, le lecteur trouvera la démonstration détaillée contemporaine de la déflexion de la lumière qui est d'un tout autre niveau) d'avoir une première approche... C'est comme dans tout en physique! Tant qu'on n'a pas atteint le niveau de la licence universitaire, on apprend plein de choses "fausses" car simplifiées à l'extrême. Ensuite au Master et Doctorat, on apprend des théories un peu plus réalistes et valides.

Bon ceci étant rappelé (suite à une remarque d'un lecteur), nous avons donc montré plus haut que:

equation   (47.145)

Dans le cas d'un photon, nous aurions tendance à poser que equation (donc une trajectoire de type hyperbolique) et donc pour cela il faut que dans la relation précédente nous ayons (ce qui est équivalent à dire que e est strictement supérieure à l'unité comme l'impose la trajectoire hyperbolique):

equation   (47.146)

en posant equation les relations trigonométriques élémentaires (cf. chapitre de Trigonométrie) nous donnent:

equation   (47.147)

et donc en utilisant encore les relations trigonométriques:

equation   (47.148)

soit:

equation   (47.149)

et nous savons que:

equation   (47.150)

donc:

equation   (47.151)

en négligeant l'énergie potentielle du photon puisque equation, nous avons (attention!!! rappelons que selon ce que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte, le photon n'a pas de masse rigoureusement mais Newton n'en savait rien à l'époque!):

equation   (47.152)

Donc:

equation   (47.153)

donc:

equation   (47.154)

après simplification:

equation   (47.155)

et comme equation est supposé petit, nous avons à l'aide du développement de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) de la fonction tangente:

equation   (47.156)

il vient donc finalement:

equation   (47.157)

Or, nous avons par définition:

equation   (47.158)

et nous savons que equation (cf. chapitre de Mécanique Classique). Ainsi il vient:

equation   (47.159)

Si la particule est un photon passant au ras de la surface du Soleil alors:

equation   (47.160)

une application numérique donne:

equation   (47.161)

La théorie Newtonienne prévoit donc une déviation de 0.87 secondes d'arc pour un rayon lumineux frôlant la surface du Soleil. Ce qui est deux fois moins que ce qui peut être observé expérimentalement et que ce que donne la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale)!

PRÉCESSION DU PÉRIHÉLIE

Avant d'étudier la précession des orbites, nous souhaiterions rappeler que le champ gravitationnel est un champ conservatif et central. Ceci implique donc que le moment cinétique (cf. chapitre de Mécanique Classique) est constant et que la trajectoire a lieu dans un plan dont le vecteur normal à la surface conserve toujours la même direction (le vecteur moment cinétique est constant en norme et en direction pour rappel!). 

Nous nous attaquerons à l'analyse de la précession du périhélie en prenant en compte les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cela permettant d'être plus fin dans les résultats obtenus et de pouvoir appliquer ces mêmes résultats aux électrons en orbite autour du noyau de l'atome).

Définitions:

D1. Le "périhélie" est le point de l'orbite d'un corps céleste (planète, comète, etc.) qui est le plus rapproché de l'étoile autour de laquelle il tourne.

D2. "L'aphélie" est le point de l'orbite d'un objet (planète, comète, etc.) où il est le plus éloigné de l'étoile autour de laquelle il tourne.

D3. "L'équinoxe" est l'instant où l'étoile centrale traverse le plan de l'équateur de l'objet qui est en orbite autour de lui.

Remarque: Lorsque le Soleil passe de l'hémisphère Sud à l'hémisphère Nord de la Terre (en d'autres termes que le Soleil se trouve au Zénith à l'équateur à midi), c'est l'équinoxe de printemps (20 ou 21 mars), dans le sens inverse, c'est l'équinoxe d'automne (22 ou 23 septembre). À ces dates, il y a égalité du jour et de la nuit sur toute la Terre.

Évidemment, le résultat que nous obtiendrons ne sera pas complet, puisque comme nous le savons, il a fallu attendre le développement de la relativité générale pour donner avec exactitude la précession du périhélie de Mercure (nous y reviendrons).

Pour calculer cet effet de précession, nous allons rechercher l'équivalent des formules de Binet vues plus haut sous forme relativiste (nous verrons la forme classique dans le chapitre de Relativité Générale). Nous procédons comme suit:

Le lagrangien relativiste du système (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

equation   (47.162)

Remarque: Nous soustrayons l'énergie au repos, car seul nous intéresse ici l'étude de l'énergie cinétique et potentielle. L'énergie potentielle est sommée dans le lagrangien ci-dessus (ce qui n'est pas conforme à l'usage) mais nous inverserons le signe plus loin lors des développements.

Avec:

equation   (47.163)

et la masse réduite:

equation   (47.164)

Remarque: Pour déterminer l'expression de la vitesse en coordonnées polaires, nous avons utilisé le résultat de nos calculs du chapitre de Calcul Vectoriel.

Le moment cinétique:

equation  (47.165)

sous forme relativiste et appliqué à notre étude s'écrit:

equation   (47.166)

En prenant la norme, nous avons sans oublier que dans note étude equation et donc equation:

equation   (47.167)

et rappelons que nous avons adopté l'écriture equation. Ce qui nous donne finalement:

equation   (47.168)

Pour établir l'équivalent relativiste des formules de Binet:

- nous déduisons de l'expression du moment cinétique:

equation   (47.169)

- nous recherchons une relation du type equation (puisque la trajectoire est une conique):

equation   (47.170)

Effectivement car rappelons qu'en coordonnées polaires la vitesse est donnée par l'expression suivante:

equation   (47.171)

C'est-à-dire que equation. Cette dernière expression permet d'écrire que:

equation   (47.172)

- nous cherchons ensuite une relation equation:

equation   (47.173)

Soit:

equation   (47.174)

À partir des équations obtenues précédemment, nous avons successivement:

equation   (47.175)

Rappelons que nous avions défini en relativité restreinte:

equation   (47.176)

Avec les équations précédentes, cela nous donne:

 equation   (47.177)

D'autre part:

equation   (47.178)

En introduisant l'avant-dernière relation dans cette dernière:

equation   (47.179)

En posant equation et comme:

equation   (47.180)

L'avant-dernière relation devient avec cette dernière expression:

equation   (47.181)

En égalant cette dernière relation avec celle du lagrangien:

equation   (47.182)

En dérivant cette dernière relation par rapport à equation:

equation   (47.183)

Effectivement, le lagrangien étant constant au cours du temps (le système est conservatif !), nous avons donc:

equation   (47.184)

et également:

equation   (47.185)

Or, si nous continuons:

equation   (47.186)

En se référant à: 

equation   (47.187)

Nous obtenons donc: 

equation   (47.188)

Ce qui donne finalement après quelques simplifications:

equation   (47.189)

En multipliant cette dernière par equation:

equation   (47.190)

Dans un potentiel gravitationnel:

equation   (47.191)

L'équation de Binet en relativité restreinte est alors:

equation   (47.192)

Pour rechercher une solution à cette équation différentielle, nous allons grouper la variable u dans le membre de gauche:

equation   (47.193)

Nous posons:

equation   et   equation   (47.194)

L'équation différentielle s'écrit alors:

equation   (47.195)

Nous posons:

equation   (47.196)

En prenant la dérivée seconde:

equation   (47.197)

Nous trouvons alors une simple équation différentielle dont la solution est bien connue:

equation   (47.198)

Les solutions sont du type:

equation   (47.199)

Ce qui s'écrit encore puisque equation est une constante:

equation   (47.200)

avec equation.

Pour déterminer les constantes equation nous nous plaçons d'abord dans la situation pour laquelle equation, où r est minimal et donc par définition u maximal.

Nous dérivons par rapport à equation:

equation   (47.201)

Donc equation ce qui fait que la relation:

equation   (47.202)

devient:

equation   (47.203)

Écrite autrement (en essayant de revenir sur une notation similaire à celle de l'étude des coniques) cela donne:

equation   (47.204)

Et l'intérêt d'écrire cela ainsi est de remarquer que nous retombons en fin de compte sur l'équation d'une ellipse avec p étant le paramètre focal de la conique, paramètre focal donné par (cf. chapitre de Géométrie Analytique):

equation   (47.205)

a est le demi-grand axe de l'ellipse.

Maintenant posons:

equation et equation   (47.206)

Au premier passage par le périhélie  equation où:

equation   (47.207)

nous avons donc:

equation   (47.208)

Au deuxième passage par le périhélie equation, nous avons:

equation   (47.209)

nous avons donc également:

equation   (47.210)

La trajectoire est toujours une ellipse mais l'angle equationqui était nul au départ est devenu equation.

Soit si nous avons:

equation   (47.211)

Alors:

equation   (47.212)

Ce qui nous donne:

equation   (47.213)

Étant donné que equation, un développement en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

equation   (47.214)

En se limitant à l'ordre 2:

equation   (47.215)

Donc en conclusion, il y a un avancement du périhélie s'effectuant dans le sens de rotation du satellite. Pour un référentiel situé dans le plan de rotation du satellite, la trajectoire est toujours une ellipse.

Cette avance est de:

equation   (47.216)

par période. Soit en explicitant le moment cinétique donné pour rappel par:

equation   (47.217)

Il vient alors après simplification:

equation   (47.218)

Nous allons maintenant nous permettre une approximation assez grossière (mélange de relativiste et non relativiste). Soit à considérer la dernière relation, nous avons obtenu lors de nos développements des trajectoires d'orbitales Képlériennes la relation:

equation   (47.219)

Dès lors en injectant ceci dans la relation de equation nous avons:

equation   (47.220)

Malheureusement, les valeurs numériques pour Mercure ne donnent qu'une précession de 7'' d'angle par siècle et non pas les 43'' d'angle par siècle attendus (...) il manque un facteur 6 que seulement la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale) permet de trouver. Il est néanmoins intéressant de constater que la relativité, même restreinte, donne déjà une orbite qui précesse là où Newton voit une ellipse stable et que cette approximation fonctionne pour toutes les planètes exceptées Mercure (planète la plus proche du Soleil et subissant de plein fouet la courbure de l'espace-temps).

Remarque: En appliquant exactement le même raisonnement pour la physique quantique corpusculaire (potentiel électrique) mais avec les constantes ad hoc vues dans le chapitre d'Électrostatique, nous trouvons:

equation   (47.221)

avec equation étant le moment cinétique et dans le cas de l'atome, nous prendrons (cf. chapitres Physique Quantique Corpusculaire):

equation   (47.222)

avec la masse réduite valant:

equation   (47.223)

Si les positions du périhélie (et donc de l'aphélie) du barycentre Terre-Lune étaient constantes dans le temps, la durée des différentes saisons serait, elle aussi constante. Mais l'orbite du barycentre Terre-Lune tourne elle aussi dans son plan dans le sens direct à raison d'environ 12'' par an (soit une révolution en environ 108'000 ans).

La précession des équinoxes s'effectue dans le sens contraire (sens rétrograde) à raison d'environ 50'' par an (soit une révolution en environ 26'000 ans). La combinaison de ces deux mouvements permet de calculer la période du passage du périhélie de la Terre par la direction de l'équinoxe de printemps, cette période d'environ 21'000 ans est appelée précession climatique.

En effet, tous les 10'500 ans (demi-période de la précession climatique) l'aphélie passe de l'été à l'hiver. Or même si la distance Terre-Soleil n'est de loin pas le facteur prédominant dans la nature des saisons, la combinaison du passage de la Terre à l'aphélie en hiver donne des hivers un peu plus rudes. La distance Terre-Soleil dépend également de la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre (due aux planètes extérieures et intérieures). Ainsi, les périodes glaciaires sont corrélées avec les minima de l'excentricité de l'orbite terrestre.

Les travaux de l'institut de mécanique céleste (France), depuis les années 1970, auraient permis de confirmer définitivement les prédictions théoriques comme quoi l'excentricité de l'orbite terrestre subit de larges variations formées de nombreux termes périodiques dont les plus importants ont des périodes voisines de 100'000 ans, et pour l'un d'eux, une période de 400'000 ans. Ces résultats confirment les variations climatiques de la Terre au cours de l'ère quaternaire. Les paléoclimatologies montrent en effet la corrélation entre les variations des éléments de l'orbite terrestre et les grandes glaciations du quaternaire.

Remarque: Dans le cas de l'atome d'hydrogène (voir le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire traitant du modèle relativiste de Sommerfeld) avec:

equation

et la constante de structure fine égale approximativement à ~1/137, nous obtenons pour la précession du périhélie de l'orbite donnée:

equation   (47.224)

selon un point de vue corpusculaire de la matière! (ce qui nous le savons n'est plus à l'ordre du jour).

DURÉE DE L'ARC DIURNE

Nous allons nous intéresser à la durée du jour, plus exactement à la portion de journée où nous sommes éclairés par le Soleil, par rapport à la nuit où nous nous trouvons dans l'ombre.

Remarque: Merci à Xavier Hubaut pour ces très sympathiques développements.

Dans la réalité, la Terre tourne autour du Soleil et décrit une orbite presque circulaire en même temps qu'elle tourne sur elle-même autour de son axe qui est incliné d'environ 23°27' sur le plan de son orbite (l'écliptique).

terre
Figure: 47.8 - Représentation de la rotation de la Terre sur son orbite avec les phases majeures

Remarque: Il est évident qu'étant donnée la complexité du problème, nous le simplifierons en considérant une orbite circulaire, sans variations (précession, nutation) de l'axe de rotation de la Terre. Nous supposerons que le Soleil se réduit à un point (pas d'aurore, ni de crépuscule, etc.).

Rappelons que la précession est le changement graduel d'orientation de l'axe de rotation d'un objet quand un couple (de force) lui est appliqué alors que la nutation est un balancement périodique de l'axe de rotation de la Terre autour de sa position moyenne en plus de la précession.

Représentons la Terre avec son axe de rotation vertical; en conséquence l'équateur sera situé dans un plan horizontal.

Supposons que ce jour-là, la Terre soit dans une position telle que les rayons du soleil forment un angle equation avec le plan de l'équateur (ou que réciproquement l'axe de la Terre forme un angle avec le plan de l'équateur). Remarquons que cet angle equation sera toujours compris selon les mesures actuelles entre -23°27' et + 23°27'.

Pour que les choses soient plus gaies, nous avons choisi de porter notre analyse sur un jour où equation est positif. Ainsi, dans l'hémisphère nord, nous sommes proches du solstice d'été!

Nous chercherons donc la durée du jour à un endroit situé à une latitude equation? Pour fixer les idées, plaçons-nous dans les environs de Bruxelles à 50° de latitude Nord.

Considérons maintenant les figures ci-dessous où la première correspond à une vue de la Terre de côté à un instant t de son orbite lorsque equation et la seconde à une coupure cylindrique de diamètre NJ (correspondant au diamètre du parallèle de Bruxelles) du volume de la Terre à ce même instant:

equation
Figure: 47.9 - Configuration pour l'étude mathématique 

Sur les figures ci-dessus, C désigne le centre de la Terre, et O le centre du parallèle de Bruxelles.

Fixons un instant t et désignons par M (matin) et S (soir) les deux points du parallèle de Bruxelles où le Soleil se lève et se couche (ces points seront considérés comme fixes quel que soit t pour l'instant, ce qui est bien évidemment erroné par rapport à la réalité), tandis que J (jour) et N (nuit) seront ceux où il est respectivement midi et minuit.

P sera le point sur le disque correspondant à la parallaxe de Bruxelles où le plan du méridien de midi (le plan dont un des côtés est NJ) coupe la droite MS.

Enfin, equation désignera l'angle equation (où O est donc le centre du disque généré par le parallèle de Bruxelles) qui sous-tend la partie éclairée par le Soleil et r désignera le rayon equation.

Pour simplifier le problème, supposons que pendant 24 heures la Terre tourne sur elle-même sans modifier la position de son axe de rotation par rapport au Soleil.

L'angle equation peut se calculer en remarquant que OP vaut, en valeur absolue:

equation   (47.225)

r représente le rayon du parallèle de Bruxelles.

En utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques (cf. chapitre de Trigonométrie), nous avons:

equation   (47.226)

Or, il nous faut encore injecter le paramètre equation.  Connaissant la latitude equation de Bruxelles, nous avons:

equation   (47.227)

R est le rayon de la Terre.

Nous avons aussi:

equation   (47.228)

et dans le triangle COP:

equation   (47.229)

Enfin, en comparant les valeurs obtenues pour PO, nous obtenons:

equation   (47.230)

et comme:

equation   (47.231)

Nous obtenons finalement:

equation   (47.232)

et donc:

equation   (47.233)

Aux équinoxes (c'est-à-dire quand l'équateur est confondu avec le plan de l'écliptique), nous avons equation et donc:

equation   (47.234)

Or, comme nous l'avons spécifié au début, il faut prendre la valeur absolue donc:

equation   (47.235)

En d'autres termes, quelle que soit la latitude que nous prenons, l'angle formé par la zone de nuit est égal à l'angle formé par la zone de jour (les deux étant égaux à equation).

Prenons maintenant le solstice d'été, lorsque  equation en considérant toujours la latitude de Bruxelles equation, nous avons:

equation   (47.236)

ce qui, traduit en nombre d'heures:

equation   (47.237)

Donc la journée de 24 heures perd 7.9 heures. Ce qui équivaut donc à une journée d'environ 16 heures.

En résumé pour calculer la durée du jour, il suffit de connaître deux choses: la latitude du lieu et l'angle selon lequel le soleil tombe sur le plan de l'équateur à la date choisie. La valeur de cet angle est bien connue aux équinoxes (il vaut 0°) et aux solstices (il vaut +23°27' et -23°27').

Mais aux autres dates?

La réponse est fort simple. Imaginons-nous, assis sur le Soleil regardant tout au long de l'année en direction du centre de la Terre.

Au cours de sa rotation autour du Soleil, l'axe de rotation de la Terre conserve son inclinaison sur l'écliptique. Vu du Soleil, cet axe tournera autour d'une normale au plan de l'écliptique et décrira donc un cône dont le demi-angle au sommet vaut 23°27' (voir figure plus bas).

L'angle d'attaque equation des rayons solaires sur le plan de l'équateur variera donc en fonction de la date equation (nous associons à la date, l'angle equation parcouru par la Terre sur son orbite, à partir de sa position à l'équinoxe de printemps)

Par conséquent, l'angle equation variera en fonction de la date equation de manière sinusoïdale.

Pour ceux qui ne seraient pas convaincus par ce raisonnement semi-intuitif, voici une autre approche:

Pour la lisibilité du schéma, nous avons fortement exagéré l'angle formé par l'axe de rotation de la Terre avec l'écliptique.

equation
Figure: 47.10 - Cône généré par l'axe de rotation de la Terre (précession)

Soit C le centre de la Terre, A l'extrémité d'un vecteur unité equation dirigé suivant l'axe de rotation de la Terre (soit perpendiculaire au plan de l'équateur) et equation un autre vecteur unité dirigé vers le Soleil. Soit maintenant equation l'angle du rayon CS avec le plan de l'équateur et equation l'angle entre les vecteurs unitaires equation et equation. Nous avons alors:

equation   (47.238)

Effectivement, le vecteur equation étant perpendiculaire au plan de l'équateur, il forme un angle droit avec celui-ci. Dès lors puisque l'angle equation est l'angle entre ce vecteur et l'écliptique equation en est le complémentaire.

Nous avons donc:

equation   (47.239)

Décomposons maintenant equation en la somme de equation dirigé perpendiculairement au plan de l'écliptique et de equation situé dans le plan de l'écliptique:

equation   (47.240)

Ainsi:

equation   (47.241)

Mais:

equation   (47.242)

Donc finalement:

equation   (47.243)

et comme nous avons démontré que:

equation   (47.244)

Nous obtenons finalement:

equation   (47.245)

À présent le problème est résolu et la durée du jour sera fonction de deux variables: la date equation et la latitude equation.

Il nous suffit donc maintenant de reprendre la relation:

equation   (47.246)

et d'y injecter le nouveau résultat:

equation   (47.247)

Avec les outils informatiques à notre disposition, nous pouvons aisément calculer la valeur de equation. Nous avons par exemple ci-dessous les variations de la durée du jour sur une année à des latitudes allant de 0 à 90° réparties de 10 en 10°

equation
Figure: 47.11 - Angle de la partie éclairée de la Terre en fonction de la période de l'année

À partir de la latitude du cercle polaire, nous observons, en été, des périodes avec soleil ininterrompu (soleil de minuit) et, en hiver, des journées entières de nuit.

Pour Bruxelles (latitude=50°) nous voyons sur le graphique que la durée du jour varie approximativement entre les valeurs de 16h (solstice d'été) et 8h (solstice d'hiver).

MOUVEMENTS DES PLANÈTES

Nous allons brièvement nous intéresser aux mouvements des planètes en situations idéales et simplifiées. Nous ne considérerons que des mouvements dans le même plan (coplanaires) parfaitement circulaires et constants.

Définition: Les planètes qui sont plus proches du Soleil que la Terre (dont le rayon est inférieur à une unité astronomique), c'est-à-dire les planètes Mercure et Vénus, sont les "planètes inférieures". Les autres planètes (Mars et au-delà) sont appelées les "planètes supérieures".

PÉRIODE SYNODIQUE ET SIDÉRALE

La "période synodique" d'une planète est le temps mis par cette planète pour revenir à la même configuration Terre-planète-Soleil (si nous considérons ce cas particulier), c'est-à-dire à la même place dans le ciel par rapport au Soleil, vu de la Terre. Cette durée diffère de la période de révolution sidérale de la planète, car la Terre elle-même se déplace autour du Soleil. En conséquence, il s'agit de la période de révolution apparente, la durée entre deux conjonctions planète-Soleil, telle qu'observée depuis la Terre.

Le terme désigne de façon générale le temps séparant deux aspects identiques de l'objet (opposition, conjonction, quadrature, etc.) et dépend donc des trois corps impliqués.

Pour étudier mathématiquement le problème en question, considérons le schéma suivant avec deux planètes décrivant une orbite parfaitement circulaire à vitesse angulaire constante et dans le même plan et dans le même sens et où nous avons equation (donc la planète intérieure va plus vite que la planète extérieure):

equation

Figure: 47.12 - Schéma de base pour la détermination de la période synodique

equation et equation sont deux planètes quelconques dont nous noterons les périodes sidérales respectives par equation et dont nous déduisons les vitesses angulaires:

equation   (47.248)

Si nous prenons comme temps zéro, le temps où les deux planètes sont toutes deux alignées sur l'axe X et du même côté de l'axe (donc en conjonction inférieure), alors l'angle formé entre ce même axe et chacune des planètes est:

equation   (47.249)

Nous avons respectivement:

equation   (47.250)

Nous cherchons donc tous les instants t où la relation suivante est satisfaite pour un equation fixé:

equation   (47.251)

Il vient alors:

equation   (47.252)

Si nous recherchons à partir du temps zéro la première (prochaine) conjonction (supérieure), cela revient à poser que equation et donc que:

equation   (47.253)

Si nous recherchons à partir du temps zéro la première (prochaine) conjection (inférieure), cela revient à poser que equation et donc que:

equation   (47.254)

Dans le cas où equation (typiquement la Terre et une des planètes extérieures), le même raisonnement nous amène à:

equation   (47.255)

Voici quelques périodes synodiques et sidérales des planètes du système solaire:

Planète

Période synodique [j.]

Période sidérale [j.]

Mercure

115.878

87.969

Vénus

583.921

224.709

Mars

779.964

686.960

Jupiter

398.861

4'335.355

Saturne

378.094

10'757.737

Uranus

369.654

30'708.160

Neptune

367.486

60'224.904

À la vue de ce tableau, nous pouvons faire plusieurs constats empiriques:

1. Pour les planètes intérieures: Plus nous nous approchons du Soleil, plus la période synodique est courte, en effet dans la formule établie, plus T1 est petit plus T diminue. Ainsi, s'il existait une planète tournant très près du Soleil, les deux périodes sidérale et synodique seraient pratiquement égales.

2. Quand nous nous approchons de la Terre, la période augmente. S'il existait une planète voisine de la Terre, nous aurions alors T1 voisin de T2 et la période synodique deviendrait très grande.

3. Pour les planètes extérieures: La période synodique diminue quand la planète est plus loin de la Terre et tend vers la période sidérale terrestre de 365 jours. Nous voyons bien pour Neptune, si on découvrait une planète située encore plus loin sa période synodique s'approcherait encore plus de 365 jours.

RÉTROGRADATION DES PLANÈTES

La "rétrogradation" ou "mouvement rétrograde" d'une planète est un mouvement apparent de cette planète qui donne l'impression de s'arrêter dans sa course dans le "mouvement direct" pour repartir en marche arrière. Ce phénomène est la résultante de la différence entre la vitesse de révolution de la planète et celle de la Terre autour du Soleil.

L'exemple ci-dessous illustre à peu près ce qu'un observateur Terrestre (point jaune) peut observer en surveillant mois après mois, le mouvement apparent de Mars (point cyan):

equation
Figure: 47.13 - Principe de la rétrogradation (source: Wikipédia)

Pour étudier mathématiquement ce phénomène, nous allons considérer la situation suivante:

equation

Figure: 47.14 - Schéma de base pour l'étude de la rétrogradation

avec deux planètes décrivant une orbite parfaitement circulaire à vitesse angulaire constante et dans le même plan et dans le même sens et où nous avons equation. Il est clair que la planète intérieure va dès lors rattraper la planète extérieure et elle va sembler avoir un mouvement rétrograde comme le montre la figure ci-dessous:

equation

Figure: 47.15 - Schéma explicatif pour le choix du temps zéro

Comme le lecteur pourra le vérifier sur la figure ci-dessus nous observons que le mouvement rétrograde par rapport aux étoiles fixes commence lorsque l'angle entre les deux planètes est nul et qu'il finit lorsque l'angle entre les deux planètes passe par un maximum.

Dès lors, dans le schéma antéprécédent, nous avons:

equation   (47.256)

Donc pour connaître le temps entre le moment où l'angle est nul entre les deux planètes, passe par un maximum et diminue à nouveau, il suffit de déterminer quand a lieu la variation de signe de la fonction précédente. Pour cela, il suffit de chercher quand la dérivée s'annule:

equation   (47.257)

En appliquant les règles de dérivation vues dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral,  nous avons:

equation   (47.258)

D'où après simplification:

equation   (47.259)

Nous développons un peu cela:

equation   (47.260)

et nous simplifions un premier coup:

equation   (47.261)

et un deuxième:

equation   (47.262)

et enfin une troisième:

equation   (47.263)

et après réarrangement:

equation   (47.264)

Nous simplifions en utilisant une des relations trigonométriques remarquables démontrées dans le chapitre de Trigonométrie:

equation   (47.265)

Les valeurs de t qui satisfont cette relation nous donnent le changement de signe recherché.

Si equation est la première valeur de t qui vérifie l'équation, nous avons:

equation   (47.266)

La valeur suivante de t sera telle que:

equation   (47.267)

et donc:

equation   (47.268)

 Si nous faisons intervenir les périodes de rotation, nous avons:

equation   (47.269)

Pour en revenir à:

equation   (47.270)

il peut être plus commode de l'écrire sous la forme traditionnelle suivante:

equation   (47.271)

Jusqu'à maintenant, nous avons fait uniquement de la géométrie. Aucune loi de la gravitation n'est intervenue dans les calculs. Comme les rayons sont inconnus ou mal connus (historiquement parlant du moins), nous allons utiliser la troisième loi de Kepler (loi des périodes):

equation   (47.272)

où pour rappel, D est le demi-grand axe de l'orbite, et si celle-ci est circulaire, cela devient un simple rayon. Nous avons donc:

equation   (47.273)

Dès lors:

equation   (47.274)

et donc:

equation   (47.275)

Une application numérique donne pour Mercure avec equation et pour la Terre equation, nous obtenons:

equation   (47.276)

Valeur que nous avons représentée sur le schéma ci-dessous:

equation
Figure: 47.16 - Représentation du temps calculé

et donc:

equation
Figure: 47.17 - In extenso le temps calculé multiplié par deux

et nous avons donc:

equation   (47.277)

puis un nouveau cycle:

equation   (47.278)

etc. Ce qui donne sous forme schématique:

equation
Figure: 47.18 - Schéma de principe du cycle

VITESSE ORBITALE

Nous avons démontré plus haut l'origine de la loi de Newton. Pour des planètes considérées donc comme des points physiques en orbite stable, il y a donc équilibre entre force centrifuge et force gravitationnelle. Nous avons donc:

equation   (47.279)

d'où nous déduisons aisément:

equation   (47.280)

Ce qui est approximativement en bon accord avec les mesures expérimentales comme le montre la figure ci-dessous:

equation
Figure: 47.19 - Vitesse moyenne orbitale en fonction de la distance au Soleil

POINTS DE LAGRANGE

Un "point de Lagrange" (noté L), ou "point de libration", est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps en orbite l'un autour de l'autre, et de masses substantielles, se combinent de manière à fournir un point d'équilibre à un troisième corps de masse négligeable, tel que les positions relatives des trois corps soient fixes.

Nous allons dans les développements qui vont suivre nous attarder à démontrer au mieux que de tels points sont au nombre de 5 notés respectivement LL5.

Il peut être utile de faire une présentation de ces différents points et de leurs propriétés avant de passer à la partie calculatoire. Cela aidant peut-être à la compréhension du sujet.

Nous allons immédiatement considérer le schéma suivant:

equation
Figure: 47.20 - Représentation des cinq points de Lagrange du système Terre-Soleil

Il existe cinq points de Lagrange:

- L1: Sur la ligne définie par les deux masses, entre celles-ci (c'est le point le plus facile à interpréter intuitivement: il s'agit par exemple du point où l'attraction gravitationnelle du Soleil est compensée par celle de la Terre)

exemple Exemple:

Nous considérons un objet orbitant autour du Soleil, plus près de celui-ci que la Terre mais sur une même ligne. Cet objet subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre, et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l'objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l'objet devient exactement égale à celle de la Terre.

- L2: Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus petite (un peu moins intuitif car correspond au point où l'action cumulée du soleil et de la Terre viennent compenser la force centrifuge).

exempleExemple:

Le principe est similaire au cas précédent, de l'autre côté de la Terre. L'objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l'accélérer. À un certain point, le point L2, l'objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil.

- L3: Sur la ligne définie par les deux masses, au-delà de la plus grande (intuitif sur la base de considérations physiques: il est évident qu'un objet diamètralement opposé à la Terre par rapport au Soleil aurait la même période de révolution que la Terre, et donc serait fixe relativement au système Terre-Soleil).

exempleExemple:

De manière identique au point L2, il existe un point situé un peu plus loin que l'opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

- L4 et L5: Sur les sommets des deux triangles équilatéraux dont la base est formée par les deux masses.

exempleExemple:

Il s'agit d'un subtil équilibre entre la force centripète exercée par les deux masses principales et la force centrifuge des masses considérées aux points intéressés. L4 est en avance sur la plus petite des masses, dans son orbite autour de la grande, et L5 est en retard. Ces deux points sont parfois appelés "points de Lagrange triangulaires" ou "points Troyens".

Fait remarquable, ces deux derniers points ne dépendent en rien des masses relatives des deux autres corps comme nous le verrons.

Pour les trois premiers points de Lagrange, la stabilité n'apparaît que dans le plan perpendiculaire à la ligne occupée par les deux masses. Par exemple, pour le point L1, si nous déplaçons un objet perpendiculairement à la ligne entre les deux masses, les deux forces gravitationnelles vont jouer pour le ramener vers la position initiale. L'équilibre est stable. En revanche, si nous le déplaçons vers une des deux masses, alors le champ de celle-ci va l'emporter sur l'autre et l'objet tendra à se rapprocher encore plus. L'équilibre est instable. Pour les points L4 et L5, la stabilité est obtenue grâce aux forces de Coriolis qui agissent sur les objets s'éloignant du point.

Étant données les questions de stabilité évoquées plus haut, nous ne trouvons pas d'objet naturel autour des points L1, L2 et L3 dans le système solaire. Cependant, ils représentent tout de même un intérêt pour les réalisations scientifiques, car ils permettent des économies de combustible pour le contrôle d'orbite et d'attitude. Ceci n'est pas valable pour le point L3, du fait de son éloignement de la Terre dont la seule application était que les auteurs de science-fiction et de bande dessinée aimaient y placer une Anti-Terre d'autant plus utopique que la masse de cette planète-jumelle y était bien trop élevée par rapport à la théorie énoncée plus haut. En revanche, des missions spatiales utilisent L1 et L2: c'est le cas de la sonde SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) une station d'observation du Soleil située au point L1 ou comme le satellie WMAP proche du point L2 (les radiations de la Terre y sont relativement faibles et celles du Soleil attenuées par le Terre qui fait écran).

L4 et L5 étant stables, nous y trouvons de nombreux corps naturels. Dans le système Jupiter-Soleil, plusieurs centaines d'astéroïdes, appelés astéroïdes Troyens, s'y agglutinent (près de 1800 en avril 2005). Nous en comptons quelques-uns dans les systèmes Neptune-Soleil et Mars-Soleil. Curieusement, il semblerait que le système Saturne-Soleil ne soit pas en mesure d'en accumuler, à cause des perturbations joviennes. Nous trouvons également des objets à ces points dans le système Saturne-satellites de Saturne: Saturne-Téthys avec Télesto et Calypso aux points L4 et L5, et Saturne-Dioné avec Hélène au point L4 et Pollux au point L5. Dans le système Terre-Soleil, il n'y a pas d'objet connu de grande taille aux points Troyens, mais on y a découvert une légère surabondance de poussière en 1950. De légers nuages de poussière sont également présents pour le système Terre-Lune; cela a fait renoncer à y placer un télescope spatial comme le projet en avait été envisagé. Le satellite SoHO occupe depuis 1995 le point L1 à 1.5 million de kilomètres de la Terre. En 2007 le point L2 sera occupé par le satellite Planck chargé d'étudier le fond diffus cosmologique à 2.7 [°K].

À strictement parler, ces 5 points existent uniquement pour deux corps en rotation circulaire l'un autour de l'autre. Dès que l'orbite des deux corps est elliptique, ces points ne sont plus des points d'équilibre. En pratique, si l'orbite est faiblement elliptique, comme c'est le cas pour les planètes réelles, on peut trouver des orbites oscillantes stables ne s'écartant pas beaucoup des régions correspondant aux points de Lagrange.

Nous allons donc considérer dans l'espace un système isolé de deux corps A et B, de masse equation et equation, en interaction gravitationnelle. Ces deux corps sont en orbite circuliare (pour simplifier!) l'un autour de l'autre, à la manière d'un système de deux étoiles (système binaire) ou d'un système planète-satellite (Saturne-Titan par exemple). Nous cherchons à déterminer s'il existe des positions d'équilibre par rapport au système des deux corps en rotation pour un troisième corps lui aussi en mouvement circulaire dans le même plan (de masse suffisamment faible pour ne pas perturber le mouvement du système des deux corps principaux).

equation
Figure: 47.21 - Configuration choisie pour l'étude mathématique

Soit O le barycentre (cf. chapitre de Mécanique Classique) de ces deux astres. Considérons un repère Galiléen (en mouvement rectiligne et uniforme donc!) d'origine O. Par rapport à ce repère, nous supposerons que l'axe AB tourne à une vitesse angulaire constante equation d'axe fixe equation (perpendiculaire à la page dans la figure ci-dessus et dirigé en direction du lecteur) et que les distances equation et equation restent également constantes.

Nous savons par notre étude de la mécanique classique que dans un mouvement circulaire la force centrifuge est donnée par:

equation   (47.281)

Nous avons donc (équilibre entre forces centrifuge et centripète) pour assurer l'équilibre:

equation et equation   (47.282)

En simplifiant et en sommant ces deux relations:

equation   (47.283)

avec dans la suite equation.

Considérons un repère tournant R' lié à nos astres comme représenté sur la figure ci-dessus: equation sera un vecteur unitaire colinéaire à AB, equation un vecteur unitaire perpendiculaire à equation et dans le plan de rotation des planètes et finalement equation colinéaire à equation.

Nous considérons dans ce repère tournant (avec les astres) un troisième astre S de masse négligeable m devant equation et equation, soumis à l'attraction gravitationnelle de A et B.

Maintenant notons equation l'accélération de S par rapport à R', equation sa vitesse et equation le vecteur unitaire colinéaire à equation où S ' est le projeté de S dans le plan Oxy, et equation (dans la figure ci-dessus, nous avons supposé S dans le plan Oxy, et donc S et S ' sont confondus).

S est donc soumis à deux forces, l'une equation dirigée vers A et l'autre equation dirigée vers B, forces d'intensités respectives:

equation  et  equation   (47.284)

Dans un repère Galiléen, ces deux forces imposent à S une accélération donnée par la loi de composition des accélérations dans un référentiel circulaire (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (47.285)

Or, dans notre configuration la pulsation est constante et l'accélération d'entraînement est nulle puisque nous avons posé R ' comme référentiel principal. Il vient donc:

equation   (47.286)

Nous avons également:

equation   (47.287)

où selon schéma toutes les composantes sont positives. Le calcul du produit vectoriel donne (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (47.288)

Donc finalement:

equation   (47.289)

Écrivons plutôt cette relation sous la forme:

equation   (47.290)

Nous obtenons alors, en projetant sur les trois axes x, y et z, les dérivées prises par rapport au temps t le système suivant:

equation   (47.291)

avec:

equation et equation   (47.292)

pour que les coordonnées equation du point S soient celles d'un point d'équilibre, il est alors trivial que dans le référentiel tournant avec les astres A et B que:

equation et equation   (47.293)

Nous obtenons alors le système suivant:

equation   (47.294)

Il vient par ailleurs immédiatement que la troisième équation a pour seule solution equation et donc finalement le système se réduit à:

equation   (47.295)

La troisième équation signifie simplement que les positions d'équilibre sont dans le plan Oxy (on pouvait s'en douter un peu...). Les deux autres, nous le verrons, nous amènent à considérer cinq solutions qui sont nos cinq points de Lagrange L1, ..., L5.

Si nous traçons avec un logiciel ad hoc l'accélération (respectivement la force) avec les isoclines mises en évidence (courbes sur lesquelles  l'accélération a même norme) nous obtenons:

equation
Figure: 47.22 - Isoclines du système à deux corps

où nous voyons qu'à faible distance des corps l'énergie potentielle domine, mais qu'à grande distance potentiel centrifuge prédomine et la forme de la surface se rapproche de celle d'un paraboloïde.

En demandant au logiciel de ne tracer que les isoclines projetées sur un plan:

equation
Figure: 47.23 - Projection des isoclines sur le plan

où nous avons mis en évidence les cinq points de Lagrange et où les astres sont représentés par des points bleus et le barycentre du système par un point vert. Les isoclines seraient appelées en astronomie "équipotentielles des lobes de Roche". Autrement vu:

equation
Figure: 47.24 - Le plot 3D et les isoclines (source: Accromath)

Pour ceux qui souhaitent reproduire ces figures avec MATLAB voici comment procédér d'abord mathématiquement. De ce que nous avons obtenu plus haut, nous avons donc explicitement et écrit sous une forme plus scolaire, la relation suivante:

equation   (47.296)

Comme le point S est censé être à l'équilibre le dernier terme s'annule (ses vitesses sont nulles dans le référentiel tournant!). Il reste alors:

equation   (47.297)

Nous avons démontré pour rappel dans le chapitre de Mécanique Classique que:

equation   (47.298)

Nous avons alors:

equation   (47.299)

Soit rapporté à l'unité de masse du satellite:

equation   (47.300)

L'application de cette relation dans MATLAB 2013a donne alors (désolé c'est un peu long et on peut probablement mieux faire...):

%Nous construisons la grille de plot que nous allons par anticipation
%densifier là où il y a les objets qui nous intéressent
x1=linspace(-7E8,-8E5,150);
x2=linspace(8E5,1.2E8,150);
x3=linspace(1.6E8,7E8,150);
x=x1+x2+x3;
y=linspace(-7E8,7E8,450);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Les masses et G sont les vraies mais le reste est fictif juste poure que le graphe soit lisible
f=@(x,y) -(1.3346E20)./(sqrt((x-450).^2+y.^2))-(1.0038E19)./(sqrt((x-449999550).^2+y.^2))
-(6.9E-7.*(x.^2+y.^2));
z=f(X,Y);
%Nous éliminons les valeurs sont trop grandes en Z pour avoir unrésultat esthétique à regarder
for i=1:450;
   for j=1:150;
      if (z(i,j)<-0.8E12) %pour faire avec meshc un joli graph limiter -8E11
         z(i,j)=-0.8E12;
      end;
   end;
end;
contour(X,Y,z,100); mesh(X,Y,z); meshc(X,Y,z);
az = 100; el = 25; view(az, el);
axis([-7E8 7E8 -0.8E9 0.8E9 -8E11 -4E11]);
colorbar; light; camlight('right');

Ce qui donne au final:

equation
Figure: 47.25 - Le plot 3D et les isoclines avec MATLAB 2013a

Le lecteur remarquera qu'il est difficile de deviner intuitivement cette configuration du potentiel. Dans le référentiel tournant avec le barycentre des deux corps massifs, le potentiel résultant de la combinaison des potentiels gravitationnels et rotationnels présente 3 extrema L1, L2 et L3 sur la droite contenant les 2 corps. L'un de ces maxima se situe entre les 2 corps, ce que l'on attend intuitivement. Les deux autres maxima se trouvent sur la droite reliant les 2 objets, mais de part et d'autre ...ce qui est plus surprenant. Ils proviennent au fait de la contribution au potentiel du référentiel tournant ce qui peut être difficile à modéliser intuitivement.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU PREMIER TYPE

Ce que nous entendons par les positions d'équilibre du premier type sont simplement les solutions situées sur la droite AB telles que equation ce qui revient à étudier seulement:

equation   (47.301)

avec dès lors:

equation et equation   (47.302)

À cette situation, nous allons considérer trois sous-cas possibles correspondants respectivement à L1, L2 et L3comme nous allons de suite le voir.

POINT L1 DE LAGRANGE

Dans ce premier sous-cas, nous considérons:

equation   (47.303)

Ce qui revient aussi à avoir:

equation   (47.304)

Ce qui nous permet d'écrire:

equation   (47.305)

sous la forme simplifiée suivante:

equation   (47.306)

Maintenant pour dire quelque chose sur les solutions possibles de cette équation dérivons le membre de gauche. Nous obtenons alors:

equation   (47.307)

Ce terme est strictement croissant de equation à equation lorsque x décrit equation. Il y a donc une solution unique et un point d'équilibre noté L1 (premier point de Lagrange) entre A et B.

Si nous considérons typiquement le cas Soleil-Terre où equation et donc equation  alors en equation nous avons:

equation   (47.308)

ce qui est immédiatement négatif. La position d'équilibre sera donc obtenue pour une valeur positive de x que nous allons devoir déterminer.

Cette valeur peut être obtenue en considérant un cas limite: lorsque equation tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O, equation vers 0 et donc:

equation   (47.309)

avec equation. Dès lors, dans ce cas limite:

equation   (47.310)

devient en approximation:

equation   (47.311)

et donc:

equation   (47.312)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera equation.

En d'autres termes, le point d'équilibre cherché L1 ici entre A et B se rapproche de B soit de l'astre le moins massif (ce qui correspond bien à la première figure que nous avons utilisé pour montrer l'emplacement des cinq points de Lagrange).

De par ce constat nous pouvons effectuer les calculs suivants:

equation
Figure: 47.26 - Configuration pour déterminer mathématiquement la position du point L1

Nous avons d'après la définition du barycentre:

equation   (47.313)

Comme notre étude se fait par rapport au barycentre nous avons equation et donc:

equation   (47.314)

De la relation précédente en prenant la norme, nous avons bien évidemment:

equation   (47.315)

La distance entre les deux astres A et B demeurant constante et égalant equation nous écrivons:

equation   (47.316)

Nous en déduisons trivialement deux relations (la deuxième étant obtenue par exactement le même raisonnement que la première):

equation   (47.317)

Mais puisque equation nous pouvons grossièrement écrire la première relation sous la forme approximative suivante (série de Taylor):

equation   (47.318)

et puisque:

equation   (47.319)

nous avons aussi:

equation   (47.320)

Donc avec equation:

equation   (47.321)

Selon le cas limite étudié précédemment, nous pouvons donc supposer L voisin de B tel qu'abusivement il soit possible d'écrire:

equation    (47.322)

avec equation.

Soit en utilisant:

equation   (47.323)

Nous avons alors:

equation   (47.324)

en négligeant les infiniment petits d'ordre 2.

D'où:

equation   (47.325)

Maintenant dans la configuration mentionnée l'équilibre est donné par:

equation   (47.326)

Donc:

equation   (47.327)

Maintenant la troisième loi de Kepler (cf. chapitre de Mécanique Classique) nous donne:

equation   (47.328)

Soit:

equation   (47.329)

Après simplification:

equation   (47.330)

Soit:

equation   (47.331)

Donc:

equation   (47.332)

Puisque equation est très supérieur à 1 et en admettant que equation le soit aussi nous avons:

equation   (47.333)

Soit finalement:

equation   (47.334)

et donc:

equation   (47.335)

Si nous prenons le A Soleil et B  la Terre, alors:

equation   (47.336)

Nous trouvons que la distance LB vaut à peu près:

equation   (47.337)

qui est le point L1 auquel a été placé le satellite SoHO (puisque ce dernier ne se trouvera ainsi jamais son champ d'observation masqué par l'ombre de la Terre ou de la Lune).

Un cas particulier du point L1 à considérer est lorsque equation, alors equation, O est alors le milieu de AB. Nous avons alors:

equation   (47.338)

Dès lors:

equation   (47.339)

devient:

equation   (47.340)

Parmi les quatre racines évidentes de cette équation la seule solution acceptable est equation pour satisfaire equation. En d'autres termes, le point d'équilibre situé entre deux astres de même masse n'est autre que le barycentre de ces deux astres.

POINT L2 DE LAGRANGE

Dans ce deuxième sous-cas, nous considérons:

equation   (47.341)

Nous cherchons donc les points d'équilibre au-delà de B.

Dès lors nous avons:

equation   (47.342)

qui devient simplement:

equation   (47.343)

Le membre de gauche est une fonction  strictement croissante de x de equation à equation lorsque x décrit equation. Il y a donc une solution unique, et un point d'équilibre au-delà de B. Ce point est noté L2.

Cette valeur peut être obtenue en considérant un cas limite: lorsque equation tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petite), A tend alors vers O, equation vers 0 et donc:

equation   (47.344)

avec equation. Dès lors, dans ce cas limite:

equation  (47.345)
 

devient en approximation:

equation   (47.346)

et donc:

equation   (47.347)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera equation. Le point L2 finit donc par se confondre avec B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant relativement à notre situation limite précédente:

equation
Figure: 47.27 - Configuration pour déterminer mathématiquement la position du point L2

et considérons equation  sans oublier que dans ce scénario equation

Nous avons alors quasiment les mêmes développements que pour L1 à la différence que:

equation   (47.348)

Devient:

equation   (47.349)

et que plutôt que d'avoir:

equation   (47.350)

Nous avons:

equation   (47.351)

et donc:

equation   (47.352)

Toujours avec:

equation   (47.353)

et donc:

equation   (47.354)

ce qui correspond au point de Lagrange L2.

Un cas particulier à nouveau de L2 est lorsque equation, alors equation, O est alors le milieu de AB. Nous avons alors:

equation   (47.355)

Dès lors:

equation   (47.356)

devient:

equation   (47.357)

Il n'est plus possible d'extraire les racines ici (du moins à ma connaissance). Il faut passer par une approximation numérique. Dans Maple 4.00b, il suffit de mettre:

>solve(-1/(r+x)^2-1/(x-r)^2=x/(8*r^3),x);allvalues(");

et la seule solution admissible dans equation est equation les autres étant dans equation.

POINT L3 DE LAGRANGE

Dans ce troisième sous-cas, nous considérons:

equation   (47.358)

Nous cherchons donc les points d'équilibre au-delà de A.

Dès lors nous avons:

equation   (47.359)

qui devient simplement:

equation   (47.360)

Le membre de gauche est une fonction  strictement croissante de x de equation à equation lorsque x décrit equation. Il y a donc une solution unique, et un point d'équilibre au-delà de A. Ce point est noté L3.

Cette valeur peut être obtenue en considérant un cas limite: lorsque equation tend vers 0 (correspondant à un astre massif A autour duquel tourne un astre B de masse beaucoup plus petit), A tend alors vers O, equation vers 0 et donc:

equation   (47.361)

avec equation. Dès lors, dans ce cas limite:

equation   (47.362)
 

devient en approximation:

equation   (47.363)

et donc:

equation   (47.364)

Donc la seule valeur de x satisfaisant cette relation sera equation. Le point L3 finit donc par se confondre avec la position diamétralement opposée à B.

Connaissant ce cas limite, faisons une étude plus détaillée. Considérons le schéma suivant relativement à notre situation limite précédente:

equation
Figure: 47.28 - Configuration pour déterminer mathématiquement la position du point L3

et considérons toujours equation  sans oublier que dans ce scénario equation

Nous allons considérer d'abord l'approximation suivante:

equation   (47.365)

et celle-ci aussi (puisque OA tend vers zéro lorsque l'astre A devient très massif):

equation   (47.366)

Dès lors:

equation   (47.367)

Nous avons aussi (...):

equation   (47.368)

où à la limite où l'astre A est vraiment massif, nous retombons sur le premier terme...

Avec ces deux dernières relations, nous avons:

equation   (47.369)

si nous négligeons les termes du deuxième ordre.

Nous avons par ailleurs aussi:

equation   (47.370)

Rappelons la condition d'équilibre:

equation   (47.371)

Et mettons tout ce que nous avons obtenu avant là-dedans:

equation   (47.372)

Ce qui devient après simplifications:

equation   (47.373)

après une petite approximation:

equation   (47.374)

après simplification:

equation   (47.375)

D'où:

equation   (47.376)

et finalement:

equation   (47.377)

Remarque: Chez certains auteurs de science-fiction, ce point L3 à l'opposé de la Terre par rapport au Soleil nous cacherait une hypothétique planète qui nous serait perpétuellement cachée par le Soleil.

POSITIONS D'ÉQUILIBRE DU DEUXIÈME TYPE

Les positions d'équilibre du deuxième type sont donc celles pour lesquelles equation. En d'autres termes les points situés hors de la droite AB, mais dans le plan Oxy.

Ainsi, notre système d'équations reste:

equation   (47.378)

POINTS L4, L5 DE LAGRANGE

Pour déterminer les autres points d'équilibre restants, nous pouvons diviser la deuxième équation du système par y tel que le système devienne:

equation   (47.379)

Retranchons de la première équation la deuxième multipliée par x. Nous obtenons alors pour la première:

equation   (47.380)

Soit:

equation   (47.381)

Mais comme equation ceci se simplifie encore en:

equation   (47.382)

Reprenons maintenant, en toute généralité, notre schéma du début en rajoutant quelques éléments:

equation
Figure: 47.29 - Configuration pour déterminer mathématiquement la position des points L4 et L5

AB est la distance entre A et B et D est le centre de masse du système donné par:

equation ou equation   (47.383)

qui sont donc les rayons de giration des corps A et B.

Il est facile de vérifier que la somme des deux distances précédentes est égale à AB et leur proportion equation. Une autre forme de DB (qui nous sera utile) s'obtient en divisant numérateur et dénominateur par equation:

equation   (47.384)

Nous savons selon nos calculs précédents que equationmais cela est insuffisant. Nous voulons encore connaître les angles des sommets A, B, S et c'est ce à quoi nous allons nous intéresser maintenant.

Dans ce cadre, si un satellite en S est en équilibre, il restera toujours à la même distance de A ou de B. Le centre de rotation des 3 points est le point D, la masse A elle-même tourne autour de lui. Si le satellite, en S, reste stabilisé, les trois corps ont la même période orbitale T. Si S est immobile dans ce cadre en rotation il ne sera pas soumis à la force de Coriolis mais uniquement à la force centrifuge, aussi bien de celle de A que de B.

Notons equation la vitesse de rotation de B et equation la vitesse de rotation de S. Nous avons alors:

equation et equation   (47.385)

Nous en tirons que:

equation et equation   (47.386)

Nous pouvons donc égaler ces deux expressions:

equation   (47.387)

Cela exprime simplement le fait bien connu que si deux objets tournent conjointement, le plus éloigné de l'axe est le plus rapide. Les vitesses sont proportionnelles aux distances de l'axe.

La force centrifuge sur B est en équilibre avec la force gravitationnelle de A et cela s'exprime par:

equation   (47.388)

Soit en simplifiant:

equation   (47.389)

De même, la force centrifuge qui s'applique sur S est:

equation   (47.390)

Elle est équilibrée par les forces d'attraction equation des corps A et B. Néanmoins, seules les composantes de ces forces situées sur la ligne R s'opposent efficacement à cette force centrifuge. D'où:

equation   (47.391)

et comme:

equation et equation   (47.392)

Nous avons alors:

equation   (47.393)

En outre, les forces s'appliquant à S et perpendiculaires à R doivent s'annuler. Si non, le corps S suivrait la masse la plus importante et ne resterait pas en position et ne serait donc plus en équilibre. Il faut donc que:

equation   (47.394)

Soit, après substitution et simplification:

equation   (47.395)

De toutes les équations obtenues jusqu'à maintenant les seules qui nous dérangent sont celles contenant à la fois des vitesses et des angles equation. Il faut donc que nous arrivions à éliminer ce qui convient pour n'avoir que les deux derniers paramètres (soit les angles).

Pour cela, nous portons au carré:

equation   (47.396)

Nous multiplions des deux côtés par equation et divisons par equation:

equation   (47.397)

qui est à rapprocher de:

equation   (47.398)

Donc en égalant:

equation   (47.399)

Nous avons donc éliminé la vitesse de B. Maintenant, multiplions les deux côtés par equation et divisons par equation et multiplions par R:

equation   (47.400)

à rapprocher de:

equation   (47.401)

Donc:

equation   (47.402)

En divisant le tout par equation nous trouvons:

equation   (47.403)

Et comme nous avons démontré au début equation que nous noterons R', nous avons alors:

equation   (47.404)

et rappelons que nous avons:

equation   (47.405)

Soit:

equation   (47.406)

Ce qui nous permet d'écrire:

equation   (47.407)

En multipliant par equation:

equation   (47.408)

Soit:

equation   (47.409)

Nous pouvons maintenant remarquer une chose (faut le voir...). Si equation (soit que le triangle ABS est équilatéral) la relation précédente se simplifie en:

equation   (47.410)

Or, si le triangle est bien équilatéral, nous avons alors equation. Dès lors:

equation   (47.411)

Soit ce qui peut s'écrire finalement:

equation   (47.412)

Ce qui n'est autre que le théorème des sinus pour le triangle SDB (cf. chapitre de Trigonométrie) et est donc certain. En reprenant en arrière, nous pouvons maintenant prouver que toutes les équations précédentes sont satisfaites si et seulement si ABS est équilatéral. Si nous n'avions pas posé ABS comme équilatéral, nous aurions obtenu une relation différente du théorème des sinus, sans vérification possible, et l'ensemble des équations exigées pour l'équilibre au point S n'auraient pu être satisfaites.

Conclusion de la chose... le système donne comme solution:

equation   (47.413)

ABS (ou ABL peu importe l'écriture), forme alors un triangle équilatéral. Les deux points d'équilibre sont notés L4 et L5. L4 est situé en avance par rapport à l'astre de masse la plus petite, et L5 en retard.

equation
Figure: 47.30 - Triangle équilatéral formé par le système

En 2000, 385 astéroïdes en L4 et 188 astéroïdes en L5 ont été comptabilisés sur l'orbite de Jupiter, mais situés précisément selon un triangle équilatéral avec le Soleil et Jupiter de part et d'autre de Jupiter: ce sont les planètes Troyennes. Il a également été observé deux objets au point L5 de Mars découverts en 1990 et 1998.

En Savoir Plus

- Guide de localisation des astres, C. Gentili, Éditions EDP Sciences, 1ère édition
ISBN13: 9782759800599 (286 pages) - Imprimé en 2008

- Orbital Mechanics for Engineering Students, Éditions Elsevier, Howard Curtis
ISBN10: 0750661690 (692 pages) - Imprimé en 2005


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