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equation

ASTRONOMIE | ASTROPHYSIQUE | RELATIVITÉ RESTREINTE
RELATIVITÉ GÉNÉRALE
| COSMOLOGIE | THÉORIE DES CORDES

48. ASTROPHYSIQUE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:10 | {oUUID 1.726}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'astrophysique est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des objets de l'Univers (étoiles, planètes, galaxies, milieu interstellaire par exemple), comme leur luminosité, leur densité, leur température et leur composition chimique. Les premières démarches scientifiques dans ce domaine dateraient du tout début du 19ème siècle.

Remarque: Actuellement, les astronomes ont une formation en astrophysique et leurs observations sont généralement étudiées dans un contexte astrophysique, de sorte qu'il y a moins de distinction entre ces deux disciplines qu'auparavant.

ÉTOILES

Avant d'aborder le formalisme mathématique relatif à la dynamique des étoiles, nous avons souhaité suite à une demande des lecteurs, écrire une introduction vulgarisée afin de compléter la culture générale relative à ce domaine.

Les étoiles sont donc des corps célestes gazeux dont la masse va de 0.05 masse solaire à 100 masses solaires. La luminosité d'une étoile (sa puissance) va de 10-6 à 106 fois celle du Soleil. Grossièrement, lorsque la masse double, la luminosité décuple. La plupart des étoiles visibles à l'oeil nu dans notre ciel sont des géantes bleues de 104 à 105 fois plus lumineuses que le Soleil ; elles ne représentent cependant que 10% des étoiles qui peuplent notre galaxie, les 90% restantes étant moins lumineuses que le Soleil.

Les astronomes (de Harvard entre 1918 à 1928) ont mis en place une méthode de classification des étoiles basée sur la position dans leur spectre, des raies spectrales d'absorption (spectroscopie). Autrefois classées de A à Q, l'évolution de la spectrométrie a permis leur regroupement et leur réorganisation. Les classes sont aujourd'hui définies par les lettres OBAFGKM, et chacune est divisée en 10 sous-classes, notées de 0 à 9. La classification spectrale (tirée d'un spectre continu qui se résume seulement à certaines raies du spectre après le passage de la lumière dans un milieu donné) peut être croisée avec les classes de luminosité de sorte que nous puissions en inférer la température à la surface de l'étoile (nous démontrerons comment obtenir mathématiquement cette information):

equation
Figure: 48.1 - Méthode de classification de "Miss Cannon" des étoiles

Les étoiles O ont été découvertes à la fin du 19ème siècle. Elles sont très chaudes et leurs spectres les rapprochent des nébuleuses. Les B sont des étoiles à hélium, les A à hydrogène. L'élément prépondérant des F est le calcium. Les G sont du même type que le Soleil et les K en diffèrent assez peu. Les M sont caractérisées par l'oxyde de titane et les S par l'oxyde de zirconium, tandis que R et N contiennent des hydrocarbures et du cyanogène.

La grande courbe au centre indique l'évolution d'une étoile de même masse que le Soleil. Après un passage sur la séquence principale, elle devient une géante rouge, éventuellement une nébuleuse planétaire (éjection du combustible de l'étoile à de grandes distances), avant de terminer sa vie sous la forme d'une naine blanche. Par comparaison nous avons indiqué l'évolution d'étoiles 10 ou 30 fois plus massives que le Soleil: elles quittent la séquence principale pour devenir des supergéantes puis elles finissent en supernovae qui ne peuvent être représentées sur ce diagramme!


Figure: 48.2 - Proportion de quelques familles d'astres existant dans l'Univers

Une étoile est dans un premier temps en équilibre hydrostatique. Les forces gravitationnelles dues à sa masse sont compensées par les forces de pression interne dues à la température élevée entretenue par des réactions thermonucléaires à basse densité et à la pression de dégénérescence des électrons à densité élevée. Une étoile passe 90% de sa vie à fusionner de l'hydrogène en hélium qui s'accumule en son centre. Durant cette phase, elle évolue dans ce que nous appelons "la séquence principale" du diagramme de Hertzsprung-Russel représenté ci-dessous. Ce diagramme met en relation la température de surface (abscisse logarithmique présentée en ordre opposé) et la luminosité (ordonnée logarithmique) pour des populations d'étoiles. La séquence principale apparaît comme une diagonale. La température de surface et la luminosité étant directement fonction de la masse:

equation
Figure: 48.3 - Diagramme de classification de Hertzsprung-Russell

Chacune des étoiles du ciel trouve sa place sur le diagramme introduit par Hertzsprung et Russell (diagramme H-R ci-dessus) dont les diverses régions permettent d'en repérer le stade d'évolution. Il est alors possible d'y tracer une courbe représentative de l'évolution d'une étoile donnée à partir de la connaissance de son état au moment de l'observation.

Ainsi, les étoiles massives évoluent plus vite que les étoiles de faible masse, mais ce résultat est déduit d'autres considérations que celles permettant de construire le diagramme. Le diagramme sert notamment à évaluer l'âge moyen d'un amas d'étoiles à partir de celui de ses composants. De même, il permet de caractériser les étoiles variables et leurs composantes telles les géantes rouges qui deviennent instables et pulsantes en vieillissant. Cette famille d'objets instables définit une bande d'instabilité sur le diagramme. Ce diagramme traduit la classification spectrale des étoiles ou leur température de surface en fonction de leur magnitude absolue ou de leur luminosité.

Ce diagramme, sur lequel toutes les étoiles trouvent leur place dès que nous connaissons leurs caractéristiques, fut développé indépendamment en Europe par Ejnar Hertzsprung et aux États-Unis par Henry Norris Russell. L'axe horizontal indique la classification spectrale en partant, à gauche, des étoiles les plus chaudes, les bleues, pour atteindre les moins chaudes, les rouges, à droite. Les étoiles se positionnent en groupes spécifiques sur le diagramme: celles qui évoluent sur leur séquence principale se situent sur une courbe incurvée qui commence en haut, à gauche, et se termine en bas, à droite. C'est sur cette courbe que se regroupent les étoiles stables qui brûlent leur hydrogène et, parmi elles, le Soleil qui se positionne au centre du diagramme. Les géantes et les supergéantes apparaissent dans la partie supérieure droite, tandis que les naines blanches se regroupent dans la partie inférieure gauche. Au fur et à mesure qu'elle évolue, chaque étoile décrit une courbe particulière: elle commence par suivre la trajectoire de Hayashi jusqu'à ce qu'elle atteigne sa séquence principale sur laquelle elle évolue tant que son noyau brûle de l'hydrogène. Lorsque commence la combustion de l'hélium, elle remonte vers le haut où se concentrent les géantes rouges et y reste jusqu'à ce que la fusion nucléaire s'arrête: elle s'effondre alors sur elle-même pour rejoindre les naines blanches ou dans le cas d'une certaine valeur de masses solaires, les étoiles à neutrons, Trous Noirs ou encore, si sa masse est très élevée, explose en supernovae.

equation
Figure: 48.4 - Région du ciel en lumière visible avant et après la supernova de 1987

Lorsque la masse d'hélium d'une étoile devient suffisante, l'augmentation de pression induit une augmentation de la température amorçant ainsi la fusion de l'hélium ("flash de l'hélium") en carbone, oxygène et néon créant un second front de combustion à l'intérieur du premier. Pour une étoile de masse solaire, les réactions s'arrêtent à ce stade. L'étoile grossit et se refroidit en surface. Elle devient une géante rouge 104 fois plus lumineuse qu'auparavant. Elle passe par des phases d'instabilité et finit par expulser progressivement ses couches externes en formant une "nébuleuse planétaire". Son noyau, dont la densité est de plusieurs tonnes par centimètre cube, se refroidit lentement: c'est la naine blanche (nous aborderons ce processus sous forme mathématique plus loin). L'équilibre y est maintenu par la pression de dégénérescence des électrons.

Pour une étoile plus massive, la température interne devient assez importante pour que le carbone et l'oxygène puissent fusionner en silicium. À son tour, s'il est en masse suffisante, le silicium fusionnera en fer. Les fronts de combustion se développent dans un schéma dit en pelures d'oignon. Le fer est le nucléotide le plus stable: il se trouve au fond de la vallée de stabilité (cf. chapitre de Physique Nucléaire). Il ne peut ni fusionner, ni fissionner. Lorsque la densité atteint une valeur critique (cela correspond à une masse totale de l'étoile de plus de 8 masses solaires), la pression de dégénérescence des électrons n'arrive plus à maintenir l'équilibre contre la gravitation. En un dixième de seconde, le noyau de fer s'effondre. Les autres couches du coeur se précipitent vers le noyau effondré sous forme d'une onde dont le maximum de vitesse correspond au rayon sonique.

La densité du noyau devient alors énorme. Il se produit des réactions equation inverses où les protons capturent les électrons en formant des neutrons et libérant un flot de neutrinos. Lorsque le noyau de l'étoile atteint la densité nucléaire de equation, la compaction s'arrête brutalement (rayon d'environ 10km !). Les couches externes du noyau rebondissent par un choc superélastique et entrent en expansion. Lorsque cette onde de choc réfléchie rejoint le rayon sonique, la température monte tellement haut que la chiffrer n'a plus de sens. La matière subit une photodésintégration complète (tous les nucléotides sont désagrégés en gaz de nucléons). Finalement par un mécanisme pas clairement établi, toutes les couches externes de l'étoile sont éjectées dans l'espace: c'est une "supernovae de type II".

Le noyau effondré, presque entièrement constitué de neutrons, sera en rotation rapide si l'étoile initiale avait un moment cinétique non nul (conservation du moment cinétique oblige). Le champ magnétique est également conservé et dépasse de loin tout ce qui sera probablement jamais réalisable en laboratoire. Cela provoque un rayonnement synchrotron qui donne l'illusion que l'étoile clignote. Cela provoque un rayonnement synchrotron qui donne l'illusion que l'étoile clignote, c'est pourquoi ces jeunes "étoiles à neutrons" sont dénommées "pulsars".

Pour les étoiles très massives (plus de 50 masses solaires), la masse totale du coeur qui s'effondre pourrait dépasser 3 masses solaires. Dans ce cas, la gravité devient telle que sa masse s'effondre au-delà des dernières forces répulsives et se compacte en une singularité. La courbure de l'espace devient telle qu'aucune matière, rayonnement ou information ne peut plus s'échapper au-delà d'un volume appelé horizon ou sphère de Schwarzschild. C'est un "Trou noir". Tout ce qui y tombe perd son identité. Un trou noir ne présente plus que trois propriétés: sa masse, son moment cinétique et sa charge électrique. Nous disons qu'un trou noir n'a pas de chevelure. De plus, une telle singularité devrait toujours être cachée par un horizon, être habillée.

GENÈSE

Nous allons voir maintenant comment des astres nouveaux peuvent naître à partir d'immenses nuages de gaz qui s'étendent entre les étoiles dans les galaxies. Ce milieu interstellaire est une source potentielle d'étoiles nouvelles, qui une fois leur vie terminée (sous forme de géante rouge ou de supernovae), peuvent réinjecter une partie de leur matériau dans l'espace intersidéral.

Au fait, personne ne sait vraiment les détails de la façon dont un nuage interstellaire aboutit à une étoile car il s'agit d'un problème fort difficile, essentiellement à cause de l'apparition de toute une hiérarchie de structures, sous-structures, etc. dans le nuage à mesure qu'il s'effondre sur lui-même. Des mouvements turbulents apparaissent, qui ne peuvent être décrits de manière simple par les équations hydrodynamiques (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus). D'autres complications apparaissent lorsque nous voulons tenir compte du champ magnétique sur le gaz en contraction, ou d'explosions de supernovae dans le nuage...

Au moins, pouvons-nous donner les conditions nécessaires pour qu'une étoile puisse se former au sein d'un nuage interstellaire. Pour cela, plusieurs barrières doivent en fait être franchies. Une première barrière est thermique. Une deuxième barrière est rotationnelle: une proto-étoile qui se contracte tourne de plus en plus vite et peut littéralement exploser si sa vitesse de rotation devient trop importante (conservation du moment cinétique). Examinons ces deux effets.

EFFONDREMENT D'UN NUAGE INTERSTELLAIRE

Deux forces opposées sont présentes dans un nuage de masse M et de rayon R: une force d'autogravitation, qui tend à contracter le nuage, et une force de pression thermique, qui tend à le faire exploser.

Nous pouvons quantifier ces deux tendances opposées en termes d'énergie: le nuage possède une énergie potentielle de gravitation (négative) et une énergie cinétique (positive) due à l'agitation thermique de ses molécules.

Nous savons (cf. chapitre de Mécanique Classique) que l'énergie potentielle de gravitation de deux particules de masses m et m' séparées de r  s'écrit equation. Donc l'énergie potentielle d'un nuage sphérique (...) de masse M et de rayon R est de l'ordre de:

equation   (48.1)

Dans un gaz en équilibre thermodynamique, une particule a une énergie cinétique (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) de equation par degré de liberté (translation, rotation, etc.). Donc, si equation est la masse moyenne d'une molécule du nuage, l'énergie cinétique totale de cette dernière aura pour expression:

equation   (48.2)

Le nuage s'effondre alors si son énergie mécanique totale est négative, soit (selon l'approximation précédente):

equation   (48.3)

L'équation ci-dessus permet de définir la "masse de Jeans" (dans l'hypothèse d'une distribution sphérique et homogène). C'est la masse minimum (limite), à une température T et une masse volumique equation données, pour que le nuage commence son effondrement jusqu'à ce qu'un autre processus physique intervienne éventuellement pour stopper la contraction du gaz.

En éliminant le rayon par:

equation   (48.4) 

dans l'équation précédente, nous avons alors:

equation   (48.5)

ce que les astrophysiciens notent à la suite de toutes les approximations faites...:

equation   (48.6)

C est une constante sans unités. En prenant un nuage composé d'hydrogène uniquement avec n atomes par mètre cube (c'est donc une densité!), nous aurons equation et equation où equation est la masse du proton. Nous pouvons alors exprimer la masse de Jeans en masses solaires de la manière suivante:

equation   (48.7)

où nous avons la certitude que equation et où:

equation   (48.8)

est la masse solaire (unité de masse conventionnellement utilisée pour les étoiles ou les autres objets massifs). Cette masse est donc comme le laisse deviner son nom, égale à la masse de notre Soleil. Son symbole et sa valeur sont :

La masse solaire vaut environ 330 000 fois la masse de la Terre.

Nous voyons que la masse de Jeans varie comme equation. Ceci a une conséquence importante: à mesure que le nuage se contracte, n augmente, et donc equation diminue. Autrement dit, le nuage peut se fragmenter en sous-nuages une fois la masse de Jeans pour ces sous-nuages atteinte. Ces derniers vont à leur tour se scinder en sous-nuages, etc. Nous avons donc toute une hiérarchie d'effondrements, depuis les grandes masses vers les petites masses.

La chose importante à noter aussi est que la masse de Jeans d'un nuage est beaucoup plus grande que les masses stellaires individuelles (il suffit de voir les constantes contenues dans la relation précédente pour se rendre compte que les facteurs sont relativement conséquents!). Donc, les étoiles naissent en général par ensemble de plusieurs étoiles: nous ne pouvons pas former en principe un Soleil isolé dans une galaxie, à partir d'un tout petit nuage. Une fois formées, les étoiles se diluent dans la galaxie par les effets de rotations et de marées galactiques. Ainsi, le Soleil a perdu de vue ses soeurs depuis bien longtemps probablement...

RAYON DE JEANS

Nous pouvons également exprimer la condition d'effondrement en termes de "rayon de Jeans", toujours pour une température T et une masse volumique equation données. Il suffit en fait d'éliminer M dans la relation:

equation   (48.9)

Ainsi, nous avons:

equation   (48.10)

Soit:

equation   (48.11)

Ainsi, le rayon de Jeans est le rayon minimal pour qu'une sphère de masse donnée soit stable. Au-delà, le nuage stellaire va s'effondrer sur lui-même selon les mêmes conditions que la masse de Jeans.

Au vu des valeurs des paramètres de la relation précédente, nous voyons alors que les nuages de formation stellaire sont en fait immenses en ordre de grandeur. Ces véritables pépinières sont ensuite dispersées dans la galaxie par effet de marée galactique, comme nous le soulignions plus haut.

TEMPS DE CHUTE LIBRE

Nous avons vu pour l'instant que la masse d'un nuage doit être grande par rapport à celle du Soleil pour que l'effondrement se produise. Nous allons maintenant estimer le temps que va prendre le nuage pour s'effondrer sur lui-même.

Au début de l'effondrement, rien n'arrête la chute du nuage, la pression interne est encore très faible et l'énergie lumineuse provenant de l'échauffement progressif du nuage (lié à la contraction de ce dernier) est immédiatement évacuée car le nuage est encore transparent.

Une parcelle de nuage à la périphérie, in extenso à la distance R du centre du nuage, subit une accélération:

equation    (48.12)

de la part de ce dernier. Elle commence donc à tomber vers le centre avec la loi (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (48.13)

La parcelle aura atteint le centre quand equation. Nous obtenons donc:

equation   (48.14)

Nous pouvons exprimer ce temps uniquement en terme de masse volumique, puisque:

equation   (48.15)

Nous avons alors:

equation   (48.16)

À noter que le temps de chute ne dépend pas de la taille de l'objet ni de sa masse, mais uniquement de sa masse volumique dans ce modèle!

Une application numérique pour un nuage d'hydrogène ayant une densité de n atomes par mètre cube donne alors:

equation   (48.17)

Nous remarquons que ces temps restent petits par rapport à l'âge de l'Univers (13-14 milliards d'années). Ainsi, la genèse stellaire est un phénomène relativement rapide: plusieurs générations d'étoiles ont pu voir le jour depuis la formation des galaxies.

Indiquons enfin que (comme toujours en physique...) on trouve plusieurs modèles dont les ordres de grandeurs sont relativement différents. Ainsi, il est possible de trouver dans la littérature également les modèles suivantes (dont je n'aime pas trop l'approche théorique raisonp pour laquelle je n'en démontrerai pas les détails):

equation   (48.18)

durée de vie nucléaire

L'âge des étoiles est principalement un problème de calcul du carburant nucléaire. La résolution de ce problème a été apportée par la relativité, et en particulier par l'équivalence masse-énergie (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Même si la description détaillée des réactions nucléaires au coeur du Soleil n'a été fait qu'au milieu des années 1930 par Hans Bethe, les astrophysiciens ont soupçonné peu après les travaux d'Einstein que cette équivalence pouvait expliquer l'éclat du Soleil sur des milliards d'années, par exemple via la fusion de l'hydrogène (proton, p) en hélium (deux protons, deux neutrons) via une succession d'étapes (l'énergie indiquée est l'énergie cinétique des différents éléments):

equation   (48.19)

Le positron s'annihile immédiatement avec l'un des électrons d'un atome d'hydrogène environnant et leur masse-énergie est évacuée sous forme de deux photons gamma:

equation   (48.20)

Après ceci, le deutérium produit lors de la première étape peut fusionner avec un nouveau noyau d'hydrogène pour produire un isotope de l'hélium:

equation   (48.21)

Finalement, deux isotopes de l'hélium equation peuvent fusionner et produire l'isotope normal de l'hélium equation ainsi que deux noyaux d'hydrogène qui peuvent commencer à nouveau la réaction de trois façons différentes appelées PP1, PP2 et PP3:

equation   (48.22)

Et encore ces réactions ne se produisent pas toutes selon les mêmes probabilités et les mêmes températures...

La mesure de la masse du proton donne equation, alors que l'hélium a une masse de equation, soit une perte en masse atomique de (nous négligeons la masse des positrons qui est 10'000 fois plus petite ainsi que celle du neutrino):

equation   (48.23)

Donc une perte relative de masse par fusion (c'est la part de la réaction qui s'échappe du Soleil sous forme d'énergie cinétique):

equation   (48.24)

Nous allons démontrer plus bas que le Soleil émet une puissance de:

equation   (48.25)

Donc sa consommation en masse par seconde est de:

equation   (48.26)

C'est à dire que sa masse diminue de 4.4 millions de tonnes par seconde...

Or nous savons que ce nombre correspond seulement à 0.72% de la masse mise en réaction dans la fusion. La masse totale mise en réaction est alors (règle de trois):

equation   (48.27)

Ainsi, à chaque seconde 627 millions de tonnes d'hydrogène (ionisé) 1 fusionnent en hélium 4 avec une perte de masse de 4.4 millions de tonnes qui est transformée en énergie.

En estimant que seul le centre du Soleil remplit les conditions thermiques pour la fusion, ceci nous amène à déterminer son temps de vie nucléaire:

equation   (48.28)

En transformant cela en années nous avons:

equation   (48.29)

TEMPÉRATURE INTERNE

Les étoiles sont supposées être des amas sphériques d'hydrogène gazeux où les interactions entre molécules sont régies par l'attraction gravitationnelle.

Une étoile n'a pas de paroi qui la délimite, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de forces extérieures donc:

equation   (48.30)

En utilisant le théorème du Viriel vu dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus:

equation   (48.31)

Nous avons pour une masse sphérique gazeuse de rayon R de masse M composée de N corps:

equation et equation   (48.32)

Remarque: Pour le calcul de l'énergie potentielle, nous renvoyons le lecteur au chapitre de Mécanique Classique du site.

Donc:

equation   (48.33)

où rappelons-le, k est la constante de Boltzmann.

Ce qui nous donne:

equation   (48.34)

Avec pour une étoile donnée N étant le rapport de la masse totale de l'étoile sur la masse moyenne d'une molécule.

Pour le Soleil, il vient que equation.

C'est la température centrale du Soleil. Les mesures optiques mesurées depuis la Terre ne donnent que la température en surface (chromosphère), soit 6'000 [°K]. La température interne calculée est donc environ 1'600 fois plus élevée qu'à la surface. Des méthodes indépendantes basées sur les réactions nucléaires au centre du Soleil (mesure du flux de neutrinos solaires) donnent le même ordre de grandeur, mais les valeurs précises diffèrent d'un facteur 2 à 3.

TEMPÉRATURE EXTERNE

Nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique que la loi de Stefan-Boltzmann, permet de calculer la température d'un corps chauffé à partir de son émittance ou de son énergie interne en termes de densité tel que:

equation   (48.35)

avec:

equation   (48.36)

étant la constante de Stefan-Boltzmann.

Prenons un exemple intéressant qui nous concerne directement:

L'émittance moyenne dite aussi "émittance moyenne bolométrique" reçue par la Terre hors atmosphère, appelée aussi "constante solaire" (qui n'est au fait pas constante... sur une échelle de plusieurs milliards d'années), est directement mesurable en orbite et vaut equation.

Connaissant la distance moyenne au Soleil comme étant d'environ equation (Unité Astronomique), nous pouvons calculer la surface de la sphère S à equation et donc la puissance solaire P. Ainsi:

equation   (48.37)

et:

equation   (48.38)

Supposant connu le rayon du Soleil comme valant equation, nous pouvons calculer sa surface S puis l'émittance radiative solaire M(T). Ainsi:

equation    (48.39)

et:

equation   (48.40)

Remarque: La surface rayonnante d'une étoile est appelée "photosphère".

À l'aide de la loi de Stefan-Boltzmann, nous pouvons maintenant calculer la température thermodynamique de la photosphère:

equation   (48.41)

La loi de Planck (cf. chapitre de Thermodynamique) appliquée à cette température nous permettrait de calculer la distribution spectrale du rayonnement solaire et nous voyons alors que le maximum de l'intensité est dans le domaine visible (notre visibilité...) du spectre qui va de 400 [nm] à 700 [nm].

LUMINOSITÉ

La "luminosité bolométrique intrinsèque" d'une étoile correspond à sa puissance totale rayonnée dans tout le spectre électromagnétique dans la direction de l'observateur exprimée de façon relative à la puissance totale rayonnée par le Soleil. En supposant toutes les étoiles sphériques et isotropes, nous pouvons l'exprimer en unités solaires:

equation   (48.42)

La puissance rayonnée P se calcule elle, en multipliant bien évidemment l'émittance radiative (loi de Stefan-Boltzmann) par la surface de l'étoile:

equation   (48.43)

La luminosité bolométrique intrinsèque d'une étoile est donc proportionnelle au carré de son rayon et à la quatrième puissance de sa température de surface. En prenant le Soleil comme référence, les constantes se simplifient. Nous pouvons alors écrire:

equation   (48.44)

avec equation et equation d'où equation

En astrophysique, nous utilisons également une échelle logarithmique pour exprimer la luminosité bolométrique d'une étoile: la magnitude absolue M. Cette unité a une origine empirique qui sera expliquée plus bas.

ÉCLAT

"L'éclat" e d'une étoile est sa "luminosité apparente". L'éclat (luminosité apparente) d'une étoile correspond à la densité de rayonnement reçu par l'observateur, c'est-à-dire au flux et vaut le rapport entre la puissance de l'étoile et la surface de la sphère dont le rayon est égal à la distance d qui sépare l'observateur de l'étoile:

equation   (48.45)

L'éclat diminue ainsi avec le carré de la distance. Il est important de remarquer que cette grandeur n'a aucune relation directe avec les propriétés intrinsèques physiques de l'étoile concernée (contrairement à la luminosité bolométrique!).

En astrophysique, nous utilisons également une autre échelle où la luminosité apparente est donnée par une autre grandeur d'origine empirique: la magnitude apparente, qui sera expliquée de suite ci-dessous.

MAGNITUDE APPARENTE

Ptolémée en 137 après J.-C. avait défini une échelle de six grandeurs pour exprimer l'éclat des étoiles, la première pour les plus brillantes et la sixième pour les étoiles tout juste visibles à l'oeil nu (6 grandeurs et donc 5 écarts).

Au cours du 19ème siècle, avec l'arrivée de nouvelles techniques d'observations photométriques (photographiques puis photoélectriques), l'échelle de grandeur a été remplacée par celle de "magnitude apparente" qui a été définie de telle sorte à ce que cette nouvelle échelle soit proche de l'ancienne.

La définition est la suivante:

- L'échelle est logarithmique en base 10 (par commodité des grandeurs manipulées)

- Il y a 5 écarts de magnitude correspondant à un rapport de luminosité apparente de 1 pour 100 (1:100)

- L'échelle est inverse (une magnitude élevée correspond à un faible éclat/luminosité apparente).

À l'aide de ces définitions, nous pouvons construire une règle liant de façon relative les éclats de deux étoiles à leur magnitude apparente m.

Pour une étoile 2, cent fois plus brillante ou éclatante qu'une étoile 1, l'étoile 1 est 5 unités de magnitude au-dessus de l'étoile 2 (n'oublions pas que l'échelle est inverse). Donc:

equation   (48.46)

correspond à:

equation   (48.47)

Nous pouvons alors poser les relations:

equation et  equation   (48.48)

Par application de la règle de trois, nous construisons:

equation   (48.49)

En simplifiant, nous trouvons la "loi de Pogson" qui exprime la relation entre magnitudes visuelles apparentes et éclats de deux étoiles:

equation   (48.50)

Ainsi définie, l'échelle de magnitudes visuelles n'est que relative. La référence photométrique est similaire à l'éclat de Véga equation.

Pour se faire une idée des magnitudes visuelles voici quelques exemples: Soleil -26.5, Pleine Lune -15, Vénus au maximum -4.8, Sirius la plus brillante des étoiles -1.5 (type spectral A1 et distante de 8.6 années-lumière), limite de la perception à l'oeil nu 6, limite de perception à travers un télescope amateur de 15 cm à ce jour (2003) 13, limite de perception du télescope spatial Hubble 30.

Il faut préciser que la magnitude apparente visuelle ne correspond pas exactement à la magnitude apparente réelle, car l'oeil n'a pas la même sensibilité pour toutes les longueurs d'onde. Les étoiles bleues ou rouges nous paraissent moins lumineuses à l'oeil qu'elles ne le sont en réalité car une partie du rayonnement se trouve dans les ultraviolets, respectivement dans l'infrarouge.

Il convient donc de préciser s'il s'agit d'une magnitude apparente visuelle ou bolométrique. En général, les astrophysiciens utilisent les grandeurs bolométriques dans leurs communiqués.

MAGNITUDE ABSOLUE

La magnitude absolue M (ne pas confondre avec la notation de l'émittance..) d'une étoile est une grandeur logarithmique aussi, qui exprime cette fois la luminosité L bolométrique. C'est la grandeur présentée en ordonnée du diagramme de Hertzsprung-Russel. L'échelle de cette grandeur est basée sur la magnitude visuelle.

La magnitude apparente et la magnitude absolue sont liées par la distance qui nous sépare de l'étoile. À luminosité apparente intrinsèque constante, la luminosité apparente décroît donc évidemment avec le carré de la distance comme nous l'avons déjà vu. Afin d'établir une relation, nous avons dû choisir une distance de référence par une nouvelle définition.

Définition: La "magnitude absolue" d'une étoile est égale à sa magnitude apparente si elle est distante de 10 parsecs (32.6 années-lumière).

Soit une étoile placée à une distance quelconque d. Son éclat equation est fonction de la distance et de son éclat equation si elle était située à equation selon:

equation   (48.51)

Par application de la règle de trois, nous construisons:

equation   (48.52)

En reprenant la loi de Pogson et en assimilant equation à la magnitude apparente m de l'étoile à la distance d quelconque, equation à la magnitude apparente de l'étoile à equation (par définition de sa magnitude absolue M) ainsi que equation son éclat à equation et equation son éclat à la distance quelconque, nous trouvons:

equation   (48.53)

qui peut bien sûr aussi s'écrire:

equation   (48.54)

En partant de cette définition, la magnitude absolue du Soleil est de 4.7. Sa magnitude apparente vue depuis la Terre est de -26.5. Elle est de 4.7 à 10 [pc] donc faiblement visible à l'oeil nu.

Cette dernière relation de comparaison de la magnitude absolue avec la magnitude apparente (qui est la magnitude observée effectivement sur Terre) permet une estimation de la distance d de l'objet en astrophysique.

Remarque: Pour avoir la magnitude absolue, il faut des modèles stellaires, et connaître la température de l'étoile comme nous allons de suite le voir. Dans la pratique, la seule quantité aisément accessible est évidemment la magnitude observée, qui est en fait la combinaison de la magnitude apparente et de l'absorption interstellaire.

La loi de Pogson exprime de même la relation entre magnitudes absolues M et luminosités bolométriques L de deux étoiles:

equation   (48.55)

Ainsi, Déneb étant 300'000 fois plus lumineux que le Soleil, la magnitude absolue est de -9.

En reprenant la loi de Pogson, la magnitude absolue peut s'écrire relativement à la luminosité bolométrique absolue du Soleil:

equation   (48.56)

Avec equation et  equation , la magnitude absolue bolométrique se calcule ainsi à partir de la luminosité bolométrique:

equation   (48.57)

En reprenant l'expression de la luminosité bolométrique:

equation   (48.58)

la magnitude (bolométrique) absolue d'une étoile étant directement fonction de sa température et de son rayon:

equation   (48.59)

C'est le résultat que nous voulions montrer depuis le début: la magnitude absolue est directement liée à la luminosité bolométrique de l'étoile, raison pour laquelle c'est celle qui intéresse le plus les astrophysiciens.

Remarque: La distance d'étoiles proches a pu être déterminée grâce au satellite Hipparcos. Par mesure de la parallaxe (mesures de la position de l'étoile à six mois d'intervalle et par application des règles trigonométriques élémentaires). Mais, au-delà de quelques dizaines de parsecs, la mesure de la distance d'étoiles par parallaxe devient très imprécise. En étudiant le spectre de l'étoile, nous pouvons déterminer sa classe spectrale, sa température de surface et la placer dans le diagramme de Hertzsprung-Russel. Il est donc possible d'estimer sa magnitude absolue et de calculer approximativement sa distance.

Cet artifice de mesure est fondamental pour la cosmologie. C'est ainsi que l'on détermine la distance des galaxies proches en mesurant la période de certaines étoiles variables (nous y consacrons un petit chapitre ci-dessous).

La distance des galaxies lointaines se calcule en mesurant la magnitude apparente de supernovae qui s'y produisent fortuitement. En effet, les magnitudes absolues des supernovae du type Ia (nous les reconnaissons par l'absence de raies d'hydrogène et par la décroissance de leur luminosité) sont bien calibrées car l'énergie dégagée par ces explosions stellaires est relativement constante.

ÉTOILES VARIABLES

Les étoiles de la séquence principale du diagramme de Hertzsprung-Russel sont des objets très stables. La force de gravitation, qui tend à contracter l'astre, est exactement compensée par les forces de pression interne, qui tendent à le dilater. C'est au moment où l'étoile devient une géante rouge que parfois l'équilibre est rompu. Commence alors une phase d'instabilité qui se traduit par de fortes variations de la luminosité de l'étoile.

La rupture de l'équilibre est provoquée par un phénomène complexe qui met en jeu des variations de transparence des couches d'hélium près de la surface de l'étoile. À partir de là, l'astre se met à connaître une succession de dilatations et de contractions contrôlées par les forces qui assuraient auparavant l'équilibre. Lorsque la force de pression l'emporte, le volume de l'astre augmente. Mais la gravité freine le mouvement et finit par provoquer la contraction. Le volume de l'étoile passe alors sous sa valeur moyenne, jusqu'à ce que la pression interne s'oppose à la contraction et réussit à provoquer une nouvelle dilatation.

Ce ne sont pas les changements de taille qui provoquent les variations de luminosité, mais ceux de la température. Effectivement, comme nous l'avons vu précédemment, la luminosité d'une étoile varie avec la quatrième puissance de la température, alors qu'elle ne varie qu'avec le carré du rayon. Lorsque le volume de l'étoile est cependant plus faible qu'en moyenne, sa température est légèrement plus forte et la luminosité maximale. Dans le cas contraire, la température est légèrement plus basse qu'en moyenne et la luminosité minimale. L'éclat de l'étoile change donc de façon périodique, d'où le nom d'étoile variable.

Il existe dans le diagramme de Hertzsprung-Russel une bande d'instabilité qui traverse ce diagramme presque verticalement dans laquelle se produisent justement les phénomènes thermiques en question.

Les deux principaux types de variables pulsantes sont les Céphéides et les étoiles RR Lyrae. Ces astres jouent un rôle central en astrophysique. Les Céphéides sont des étoiles de quelques masses solaires. Elles sont dans la phase de combustion de l'hélium après avoir atteint le stade de géante rouge. Les étoiles de masse solaire arrivées à ce stade deviennent des RR-Lyrae. Leur luminosité varie avec une période comprise entre un jour et plusieurs semaines. La propriété remarquable des Céphéides est l'existence d'une relation entre leur luminosité moyenne et la période de leurs oscillations. Par exemple, leur luminosité moyenne est de 1'000 fois celle du Soleil pour une période de quelques jours et de 10'000 fois cette valeur pour une période de plusieurs semaines. C'est cette relation qui fait des Céphéides l'un des outils de base de l'astrophysique.

Si nous connaissons cette relation pour une étoile variable, il est relativement aisé, par la détermination de sa période d'en tirer la magnitude absolue M. En mesurant alors sa magnitude apparente m nous pouvons ensuite calculer sa distance d en parsec à l'aide de la relation (démontrée précédemment):

equation   (48.60)

La figure ci-dessous représente la courbe période-luminosité des Céphéides.

Bild 14
Figure: 48.5 - Courbe période-luminosité des Céphéides

L'étalonnage de cette courbe ne peut se faire que par des mesures de parallaxe sur des Céphéides proches. Il n'en existe malheureusement pas d'assez rapprochées pour qu'il soit possible d'utiliser la parallaxe annuelle. Il faut avoir recours à la parallaxe secondaire qui est basée sur le mouvement du Soleil dans la galaxie.

exempleExemple:

Nous repérons une Céphéide grâce à son type de classe spectrale. Sa période est de 50 jours et sa magnitude apparente equation . La figure précédente donne, pour cette étoile, une magnitude absolue equation.

En appliquant ensuite la formule donnée précédemment, nous trouvons:

equation   (48.61)

Cette Céphéide est donc éloignée de 630 [pc].

Grâce aux propriétés des Céphéides, nous disposons d'un instrument de mesure qui porte jusqu'à quelques dizaines de millions d'années-lumière. Il est donc applicable au-delà de notre Voie lactée jusqu'aux galaxies proches comme les membres du groupe local. Au-delà, il devient difficile de détecter des Céphéides aux caractéristiques connues.

Les étoiles RR Lyrae sont quant à elles des étoiles peu massives et vieilles. Leur période d'oscillation est inférieure à un jour. Contrairement aux Céphéides, elles ont toutes la même luminosité moyenne (magnitude absolue de 0.5), environ 100 fois celle du Soleil.

Il existe encore une certaine quantité d'étoiles variables différentes (variables à éclipses, des variables explosives, variables binaires,etc.) pour lesquelles nous pouvons trouver une source abondante d'information sur l'Internet.

Il existe d'autres méthodes plus connues de mesure des distances que celle des Céphéides ou de l'effet Doppler (voir plus loin pour les développements concernant l'effet Doppler):

PARALLAXE TRIGONOMÉTRIQUE

La méthode de parallaxe trigonométrique est très simple (mais délicate à mettre en oeuvre à la surface de notre planète pour les étoiles très distantes). Tout astronome amateur constate la fuite de l'étoile qu'il observe dans son oculaire. Ce mouvement se nomme "mouvement diurne". Il est dû à la rotation de la Terre sur elle-même. L'étoile est également animée d'un mouvement elliptique beaucoup moins facilement détectable: le "mouvement parallactique".

Il est dû, comme le suggère le schéma ci-contre, à la rotation de la Terre autour du Soleil. Nous mesurons donc l'angle equation:

equation   (48.62)

si l'angle est faible (ce qui est très fréquemment le cas étant donnée la distance des étoiles), nous pouvons prendre le premier terme du développement de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) de la fonction tangente:

equation   (48.63)

Ce qui nous permet d'écrire:

equation   (48.64)

d est la distance du Soleil à l'étoile et a celle de la Terre au Soleil comme représenté ci-dessous:

equation
Figure: 48.6 - Principe de la parallaxe trigonométrique

L'EFFET DOPPLER-FIZEAU RELATIVISTE

L'effet Doppler-Fizeau est le décalage entre la fréquence de l'onde émise et de l'onde reçue lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. C'est une technique très utilisée en astrophysique pour calculer la distance d'un astre en supposant sa longueur d'onde d'émission connue (ou estimée) et en mesurant sa longueur d'onde reçue ou encore pour mesurer la vitesse de rotation (vitesse radiale) des étoiles en observant très précisément et successivement leurs bords opposés et en mesurant le décalage du spectre obtenu.

En ce début de 21ème siècle la précision et la finesse des mesures de spectres a atteint un niveau tel qu'il permet même d'observer des variations minimes de la distance des étoiles et ainsi de spéculer sur d'éventuels satellites planétaires (ceci ne pouvant fonctionner que si le plan de l'orbite passe par la Terre).

L'effet Doppler des ondes électromagnétiques doit être discuté indépendamment de l'effet Doppler acoustique (appelé également "effet Doppler-Fizeau Galiléen") démontré dans le chapitre de Musique Mathématique. Premièrement parce que les ondes électromagnétiques ne consistent pas en un mouvement de matière et que par conséquent la vitesse de la source par rapport au milieu n'entre pas dans la discussion, ensuite parce que leur vitesse de propagation est c (la vitesse de la lumière) et reste la même pour tous les observateurs indépendamment de leurs mouvements relatifs. L'effet Doppler pour les ondes électromagnétiques se calcule donc nécessairement au moyen du principe de relativité et est symétrique par rapport aux mouvement relatifs de la source et de l'observateur (contrairement au cas acoustique).

Pour un observateur dans un repère d'inertie, une onde électromagnétique plane et harmonique peut être décrite par une fonction de la forme:

equation   (48.65)

multipliée par un facteur d'amplitude approprié. Pour un observateur attaché à un autre repère  d'inertie, les coordonnées x et t doivent être remplacées par x' et t', obtenues par la transformation de Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte), et celui-ci écrira par conséquent pour sa description la fonction:

equation   (48.66)

k' et equation ne sont pas nécessairement les mêmes que pour l'autre observateur (justement c'est ce que nous cherchons à savoir). Par ailleurs, le principe de relativité nous a permis de démontrer dans le chapitre de Relativité Restreinte que:

equation   (48.67)

Ce qui impose que l'expression:

equation   (48.68)

reste invariante quand nous passons d'un observateur d'inertie à un autre. Nous aurons alors: 

equation   (48.69)

En utilisant les relations de transformation de Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons:

equation   (48.70)

Par identification, il vient immédiatement:

equation   (48.71)

si nous tenons compte que:

equation   (48.72)

dans le cas des ondes électromagnétiques, nous pouvons écrire chacune de ces relations sous la forme:

equation   (48.73)

Le rapport:

equation   (48.74)

donne le "décalage spectral" noté Z pour un mouvement de l'observateur par rapport à la source suivant la direction de propagation.

Par ailleurs, la dernière relation avec les pulsations est plus souvent donnée dans la littérature sous la forme suivante:

equation   (48.75)

Ce qui se note plus couramment sous la forme suivante:

equation   (48.76)

Il faut bien se rappeler que le décalage de pulsation (et donc de fréquence) qui a lieu ici est dû à un mouvement relatif de l'observateur par rapport à la source et non à autre chose (ou réciproquement de la source par rapport à l'observateur). Effectivement, lors de notre étude la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale), nous verrons qu'il y a également superposition d'un décalage à cause du champ gravitationnel environnant l'émetteur qui sera étudié comme étant causé par la courbure de l'espace-temps.

Enfin, pour les sceptiques qui veulent vérifier d'une autre manière que le phénomène Doppler est bien symétrique contrairement à l'effet Doppler acoustique démontré dans le chapitre de Musique Mathématique, voici une autre approche:

Considérons d'abord que c'est la source qui s'éloigne. Si on la calculait par la relation classique démontrée dans le chapitre de Musique Mathématique, la fréquence du signal à la réception serait:

equation   (48.77)

et il faut prendre en compte la dilatation du temps pour f avec (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

equation

car l'intervalle de temps de l'observateur fixe est plus long que celui de la source (le temps passe plus vite pour l'observateur fixe).

Il vient alors:

equation   (48.78)

et dans le cas où c'est l'observateur qui s'éloigne de la source nous avions démontré dans le chapitre de Musique Mathématique que:

equation   (48.79)

et selon les mêmes considérations, nous avons (simplement cette fois-ci c'est l'observateur qui se déplace):

equation   (48.80)

Les deux relations sont bien symétriques dans le cas relativiste (donc dans le cadre de l'électrodynamique)!

Remarque: En ce qui concerne la transformation de l'amplitude du champ électrique et du champ magnétique, il faut utiliser le tenseur de Maxwell démontré dans le chapitre de Relativité Restreinte.

Un très bon exemple de l'application de l'effet Doppler consiste à étudier les limites données par la mesure de la vitesse apparente. Voyons de quoi il s'agit:

VITESSE APPARENTE

En mesurant la vitesse apparente de déplacement d'objets très rapides dans le ciel (jets de plasma, etc.), les astrophysiciens ont obtenu des vitesses apparentes de déplacement supérieures à la vitesse de la lumière dans le vide!

Au fait, il s'agit d'une illusion qui peut se produire si la vitesse de l'objet est très proche de celle de la lumière qu'il émet, donc assez proche de c

equation
Figure: 48.7 - Principe de mise en situation de la vitesse apparente

L'objet émet de la lumière à l'instant equation, celle-ci ne nous atteint pas instantanément mais doit parcourir une distance d pour arriver à nous. Nous recevons après le temps:

equation   (48.81)

L'objet lui, se déplace à la vitesse v suivant un angle noté θ avec la direction d'observation, donc à l'instant t, l'objet s'est déplacé d'une distance equation. La lumière émise par l'objet à l'instant t doit parcourir la distance (application de Pythagore):

equation   (48.82)

pour nous arriver (l'objet s'est avancé de equation dans la direction d'observation mais s'est éloigné de l'axe d'observation de la distance equation), nous recevons donc la lumière qui a été émise par l'objet à l'instant t après un temps equation:

equation   (48.83)

Entre les deux positions de l'objet, il s'est écoulé la durée t mais, vu de l'observateur, l'intervalle de temps entre la réception des images de ces deux positions est:

equation   (48.84)

différent de t.

Pour un intervalle de temps t petit, nous avons, en développement limité de Taylor:

equation   (48.85)

Pendant cet intervalle de temps, toujours vu de l'observateur, l'objet semble s'être déplacé sur le plan du ciel de equation.

Ainsi, la vitesse apparente de l'objet est:

equation   (48.86)

Si nous posons l'angle equation comme étant très proche d'un angle droit, nous avons alors le deuxième terme du dénominateur qui est très petit ce qui nous permet avec un développement de Taylor d'écrire une relation que l'on retrouve assez souvent dans les manuels scolaires des petites classes:

equation   (48.87)

Cherchons le maximum de cette fonction pour comprendre comment une telle observation est possible en dérivant par rapport à equation et en cherchant pour quelle valeur la dérivée s'annule:

equation   (48.88)

et cela s'annule après simplification du dénominateur pour:

equation   (48.89)

d'où:

equation   (48.90)

La vitesse apparente est alors:

equation   (48.91)

et elle est égale ou supérieure à c si déjà:

equation   (48.92)

donc:

equation   (48.93)

Nous voyons ainsi qu'il est possible d'observer des mouvements apparents plus rapides que la lumière, alors même que l'objet est très rapide, certes, mais plus lent que c. Comme il ne s'agit que d'une illusion, il n'y a pas de contradiction avec la théorie de la relativité.

En connaissant la vitesse de déplacement d'un astre obtenue à l'aide de l'effet Doppler et la vitesse apparente à l'aide des observations, il est alors facile pour les astrophysiciens de déterminer l'angle equation en faisant un peu d'algèbre élémentaire à partir de la relation ci-dessous:

equation   (48.94)

LIMITE DE CHANDRASEKHAR

Nous avons déjà déterminé dans le chapitre de Mécanique Classique le rayon de Schwarzschild (sous sa forme classique) qui exprime le rayon critique d'un corps pour que la vitesse de libération à sa surface soit égale à la vitesse de la lumière. Nous avions obtenu la relation ci-dessous qui exprimait typiquement le rayon que devrait avoir un astre donné pour avoir une vitesse de libération égale à celle de la lumière:

equation   (48.95)

Dans ce cas particulier l'astre est ce que nous avions appelé un "Trou Noir". Cependant, avant le trou noir, une étoile passe comme nous en avons parlé, par plusieurs étapes intermédiaires par lesquelles elle peut d'ailleurs se stabiliser. Ainsi, vous avez dû souvent lire dans la littérature que pour qu'une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons, sa masse devait être supérieure à 1.4 masses solaires mais sans démonstration mathématique. Eh bien c'est ce que nous allons démontrer maintenant!

Nous allons introduire le sujet par l'étude de l'influence du principe d'incertitude sur la taille d'un système atomique (il en limite la dimension minimale). Cet exemple est fort puissant car il montre que le principe d'incertitude ne régit pas seulement le processus de la mesure mais aussi le comportement global des systèmes quantiques.

Le premier exemple que nous pouvons donner est celui de l'atome d'hydrogène, non que nous attendions un résultat nouveau de cette méthode d'analyse, mais plutôt parce que nous pouvons exposer l'usage du principe d'incertitude et insister sur sa signification.

Nous admettons que le proton, dont la masse l'emporte de beaucoup sur celle de l'électron, peut être considéré comme fixe. L'énergie de l'électron s'écrit:

equation   (48.96)

En physique classique, un système dont l'énergie est donnée par la relation précédente ne possède pas de minimum: si nous faisons tendre r vers zéro en conservant la forme circulaire de l'orbite, il est facile de voir que equation tend vers equation. En revanche, en physique quantique, cette limite n'a pas de sens: le principe d'incertitude s'y oppose.

Dans ce cas, la recherche du minimum equation de equation prend un sens, car une contrainte apparaît qui maintient ce minimum à une valeur finie. Elle se détermine en physique quantique (voir le modèle de Bohr de l'atome dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) et impose:

equation où equation   (48.97)

Cependant, cette relation mise à part, si le rayon de l'atome devient trop faible sous des contraintes extérieures (attention! nous nous affranchissons des orbites quantifiées du modèle de Bohr de l'atome qui impose une contrainte à p) la quantité de mouvement p de l'électron ne peut être inférieure à l'incertitude equation qu'impose le principe d'incertitude de Heisenberg, dès lors que equation est de l'ordre du rayon de l'atome. La forme même de la relation précédente limite la portée de la méthode: nous ne pouvons espérer déterminer mieux qu'un ordre de grandeur du minimum de equation.

Afin d'évaluer le minimum equation de l'énergie totale, que nous interprétons comme l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, nous calculons le minimum de equation en éliminant p de l'expression:

equation par equation   (48.98)

Nous obtenons:

equation   (48.99)

Le rayon equation de l'atome dans l'état fondamental est la valeur de r qui donne à E(r) sa valeur minimale:

equation   (48.100)

si bien que:

equation   (48.101)

qui est l'expression bien connue du rayon de Bohr vue en physique quantique corpusculaire lors de l'étude du modèle de Bohr de l'atome. L'énergie equation de l'état fondamental est donc maintenant facilement calculable.

Le but de cet exemple est de montrer qu'avec le principe d'incertitude de Heisenberg nous pouvons par un raisonnement très simple retrouver l'état fondamental d'un système. C'est exactement de cette façon que nous allons procéder pour déterminer les conditions qui font qu'un astre se retrouve dans son état fondamental.

Attaquons-nous maintenant à l'étude d'une étoile. Schématiquement celle-ci se compose d'un mélange de deux gaz: celui qui est formé de noyaux d'une part, le gaz électronique de l'autre.

Au cours de la vie de l'étoile, de nombreux processus de fusion ont eu lieu. Ils ont accru à chaque fois la taille et la masse des noyaux; Fe (le fer) qui est abondant à la fin de la vie d'une étoile, contient en moyenne 56 nucléons (voir la partie physique atomique du site).

Ces noyaux sont de nature chimique ou isotopique variée. Comme ils sont peu nombreux en comparaison des électrons, leur pression est celle d'un gaz classique chargé, neutralisé par la présence des électrons: elle peut être ignorée, et ce d'autant plus que la température est nulle.

La charge électronique seule ne permettrait pas aux électrons de résister à l'effondrement d'une étoile puisque la matière stellaire est neutre. À très basse température, quand le carburant est épuisé, la seule pression que le gaz électronique puisse opposer à la pression hydrostatique due à la pesanteur est d'origine quantique.

En première approximation, les électrons exercent donc l'un sur l'autre une répulsion apparente qui n'est pas d'origine Coulombienne (principe d'exclusion de Pauli). En première approximation, ils obéissent à une relation analogue à celle de l'électron atomique et qui s'écrit dans le cas minimal (ou maximal de pression):

equation   (48.102)

d est la distance moyenne qui sépare deux électrons voisins.

À température equation, l'équilibre est atteint quand l'énergie (la matière de l'astre) totale du système est minimale.

Que se passe-t-il si nous essayons d'évaluer la variation du rayon equation de la Naine Blanche en fonction de sa masse equation?

L'énergie potentielle gravifique d'une étoile est donnée en bonne approximation par (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (48.103)

equation étant approximativement donnée par:

equation   (48.104)

equation est la masse du proton et N le nombre de nucléons que contient l'étoile: la contribution des électrons à la masse de l'astre est négligeable et il n'y a pas lieu de distinguer entre la masse du neutron et celle du proton, presque identiques.

La seconde contribution à l'énergie est essentiellement celle du gaz électronique dégénéré (la dégénérescence correspond à l'existence de plusieurs états ayant la même énergie), d'origine cinétique. Nous pourrions être tentés d'écrire simplement (en supposant que le nombre d'électrons est égal au nombre de nucléons puisque nous sommes pour rappel dans l'hypothèse simplificatrice d'un gaz d'hydrogène):

equation   (48.105)

Cette manière de faire conduit à une impasse. Si nous exigeons que la somme equation atteigne une valeur minimale, nous aboutissons à une valeur du rayon de l'étoile tellement faible que, par application de la relation:

equation    (48.106)

la vitesse moyenne des électrons v dépasserait celle de la lumière!

Pour éviter cette contradiction, nous devons recourir à la mécanique relativiste qui nous a montré que, dans ce cas (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous pouvons exprimer l'énergie totale comme:

equation   (48.107)

si la valeur numérique de l'énergie cinétique l'emporte considérablement sur l'énergie de repos, nous avons alors:

equation   (48.108)

et donc:

equation   (48.109)

La distance moyenne d entre électrons s'évalue en supposant que l'étoile est homogène, approximation suffisante dès lors que nous cherchons l'ordre de grandeur d'une moyenne. Nous simplifions encore la géométrie en admettant que chaque électron est entouré d'un domaine sphérique de rayon d dans lequel il n'y a pas d'autre électron de même spin et où nous ne pouvons compter qu'un électron de spin opposé. Dès lors:

equation   (48.110)

Il reste à évaluer le minimum de la somme:

equation   (48.111)

compte tenu de la condition:

equation   (48.112)

Il vient encore:

equation   (48.113)

puis:

equation   (48.114)

que nous écrivons finalement:

equation   (48.115)

Face à ce résultat, nous sommes confrontés à une situation inattendue:

Si le facteur:

equation    (48.116)

est positif, alors l'énergie totale de la naine blanche l'est aussi, ce qui signifie que le système n'est pas lié: l'étoile est totalement instable (elle n'a pas atteint son seuil d'énergie minimal). Elle ne peut réduire son énergie qu'en augmentant sans limites son rayon r.

Nous voyons que le facteur K est négatif si:

equation   (48.117)

Si la Naine Blanche dépasse cette masse alors nous ne pouvons plus traiter le problème avec les équations précédentes. Elle satisfait alors aux équations régissant un astre composé de neutrons uniquement (étoile à neutrons) et ceci constitue alors un autre problème que nous n'aborderons pas ici pour l'instant.

La masse (approximative) de la fameuse "limite de Chandrasekhar" est donc donnée par:

equation   (48.118)

Elle constitue la masse au-delà de laquelle une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons.

Conventionnellement, les astrophysiciens associent cette valeur limite à un facteur multiplicateur de la masse du Soleil equation. Nous avons effectivement (numériquement):

equation   (48.119)

LIMITE DE RUPTURE DE ROTATION

Faisons l'hypothèse simplificatrice que la vitesse limite de rotation possible d'un astre (planète ou étoile) est celle qui équilibre la force centrifuge et force gravitationnelle à la surface de l'astre telle que nous soyons amenés à écrire (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (48.120)

Poser cette relation suppose évidemment qu'il n'y ait aucune liaison autre que la gravité qui intervient dans la cohésion interne de l'astre. Donc les valeurs de temps de rotation que nous allons obtenir représentent une borne supérieure (dans le sens que la valeur réelle est probablement plus petite).

Il vient alors de la relation précédente:

equation   (48.121)

Pour obtenir le temps de rotation auquel cela correspond il suffit de diviser le périmètre à l'équateur par cette vitesse:

equation   (48.122)

Ainsi, pour la Terre, nous avons comme période de rotation limite avant rupture:

equation   (48.123)

Pour le Soleil:

equation   (48.124)

Maintenant considérons le cas du pulsar NP0532 qui a une rotation de 33 millisecondes. Nous souhaiterions en déterminer le rayon. Nous avons alors en utilisant les relations précédentes:

equation   (48.125)

En utilisant la relation théorique de la masse limite de Chandrasekhar (puisqu'un pulsar est une étoile à neutrons tournant rapidement sur elle-même):

equation   (48.126)

Nous avons alors pour le rayon de plus petit pulsar possible selon ces hypothèses:

equation   (48.127)

Avec le pulsar milliseconde PSR J1748-2446ad ayant une période de 1.39 millisecondes nous tombons alors sur:

equation   (48.128)

ce qui est remarquable (même s'il s'agit d'une approximation) de penser qu'une telle masse peut être contenue dans un si petit rayon. À noter que pour ce dernier cela correspond à une densité de:

equation   (48.129)


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ASTRONOMIERELATIVITE RESTREINTE


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