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Électromagnétisme

ÉLECTROSTATIQUE | MAGNÉTOSTATIQUE | ÉLECTRODYNAMIQUE | ÉLECTROCINÉTIQUE
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE | OPTIQUE ONDULATOIRE

36. MAGNÉTOSTATIQUE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:19 | {oUUID 1.775}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Les aimants sont connus depuis l'Antiquité (sans pour autant que l'on sache à l'époque qu'elle était l'origine de leurs propriétés) sous le nom de "magnétites", pierres noires trouvées à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C'est de cette pierre par ailleurs que provient le nom actuel de champ magnétique. Les Chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants différentes de celles des particules chargées, il y a plus de 1'000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d'une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l'eau contenue dans un récipient gradué.

Au même titre que le champ électrique, une bonne/meilleure compréhension de l'origine de ce champ ne peut se faire que par l'intermédiaire de théories modernes comme la physique quantique ondulatoire ou la physique quantique des champs. Le lecteur débutant devra donc prendre son mal en patience avant d'avoir les connaissances nécessaires pour étudier ces théories.

L'étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart à partir de 1820 seulement. Ils mesurèrent l'amplitude des oscillations d'une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu'elle varie en raison inverse de la distance. C'est le premier cas que nous allons étudier:

Soit un déplacement de charges électriques produisant dans l'espace un champ vectoriel dont les effets sont mesurables et dont les propriétés diffèrent de celles du champ électrostatique. Nous en déduisons l'existence d'un nouveau champ vectoriel que nous appelons (temporairement) "champ magnétique" et que nous noterons equation.

Les unités physiques du champ magnétique découleront naturellement du moment où nous arrivons à relier ce champ magnétique à quelque chose de connu comme une Force (ce que nous verrons plus loin). C'est ce que nous verrons lors de notre étude la "Force de Laplace".

Le cas d'étude le plus simple consistant en un fil rectiligne indéfini (exemple que nous pouvons aussi assimiler à un simple déplacement de charges sans nécessairement avoir un fil comme support) parcouru par un courant I  (cf. chapitre d'Électrocinétique) montre que les lignes de champ magnétique sont des cercles ayant le fil pour axe.

  equation
Figure: 36.1 - Champ magnétique autour d'un fil rectiligne infini

Remarque: Le sens de  equation  se définit habituellement par l'intermédiaire de "l'observateur d'Ampère", c'est-à-dire un observateur qui serait placé le long du fil, de façon que le courant aille de ses pieds vers sa tête et qui regarderait le point M où nous évaluons le champ magnétique. equation est dirigé de la droite vers la gauche de cet observateur. 

Il aurait été expérimentalement établi par Biot et Savart en 1820 que la norme du champ magnétiqueequation à la distance r du fil est proportionnelle au courant I qui le parcourt et inversement proportionnel à r:

  equation   (36.1)

Cette relation constitue traditionnellement la base de l'étude théorique du champ magnétique.

Le coefficient de proportionnalité k dépend comme toujours des unités choisies. Pour l'ensemble de ces conséquences, il est avantageux d'écrire l'expression précédente sous une forme qui fasse apparaître la longueur du cercle de rayon r. Nous posons donc:

equation   (36.2)

et obtenons ainsi la valeur du champ magnétique à une distance r d'un fil conducteur parcouru par un courant constant:

  equation   (36.3)

equation est une nouvelle constante que nous appelons "perméabilité magnétique du vide" (à nouveau au même titre que pour la permittivité électrique, il existe une "perméabilité magnétique relative") et dont la valeur sont données comme à l'habitude sur ce site avec les autes constantes dans le chapitre Principes de la section Mécanique.

Les unités de cette constante, bien que données dans le chapitre Principes de la section Mécanique, se déduiront aussi automatiquement dès le moment où nous aurons réussi à relier le champ magnétique avec un concept connu comme la Force (voir plus loin). C'est ce que nous verrons aussi lors de notre étude la "Force de Laplace".

THÉORÈME D'AMPÈRE

Il est intéressant de calculer la "circulation du champ magnétique" equation dans le vide le long d'un contour equation qui tourne une fois dans le sens positif autour du fil orienté dans le sens du courant (observateur d'Ampère):

equation   (36.4)

Remarque: Le champ est colinéaire le long du contour comme nous l'avons vu précédemment d'où le fait que le produit scalaire puisse s'écrire comme simple produit de normes.

Nous obtenons ainsi par définition la "loi d'Ampère" (ou appelée à tort "théorème d'Ampère" car ce résultat n'est pas démontrable... du moins à ma connaissance):

equation   (36.5)

où le courant I dans un système à forte symétrie peut être assimilé à une simple somme algébrique des courants enlacés par le chemin tel que:

equation   (36.6)

Attention!!! Ce n'est pas parce que la circulation du champ magnétique est nulle dans une région de l'espace que le champ magnétique y est nul en tout point!

Remarques:

R1. La loi d'Ampère permet de déterminer la quatrième équation de Maxwell que nous démontrerons dans le chapitre d'Électrodynamique.

R2. La relation antéprécédente est parfois appelée à tort "théorème d'Ampère" alors qu'en réalité ce résultat n'est pas démontrable. Certains physiciens utilisent cependant la quatrième équation de Maxwell pour démontrer la relation antéprécédente mais alors c'est le serpent qui se mord la queue...

L'expression que nous avons obtenue peut encore être simplifiée si nous introduisons un nouvel être physique appelé "intensité du champ magnétique" ou encore plus couramment  "excitation magnétique" et qui est notée par la lettreequation (qui est intrinséquement indépendant du milieu de propagation).

Si nous considérons que nous sommes toujours dans le vide où il n'y a aucun dipôle magnétique alors nous le définissons dans le vide par:

  equation   (36.7)

Dès lors, nous sommes souvent amenés à parler de "induction magnétique" pour equation et de "champ magnétique" pour equation . Mais les deux sont allègrement confondus suivant les auteurs et surtout les contextes (de même que ce sera le cas dans ce site Internet). Lorsque nous avons affaire à des aimants qui ont une magnétisation intrinsèque de par les propriétés du matériau qui les compose, nous notons de manière distincte le champ magnétique extérieur par:

equation   (36.8)

qui est donc une forme plus générale de la relation précédente. Il est alors d'usage de définir la "susceptibilité magnétique" comme étant le rapport sans dimensions:

equation   (36.9)

Ainsi, la susceptibilité magnétique indique l'amplitude avec laquelle un matériau répond magnétiquement à la présence d'une excitation magnétique. Nous avons alors de par cette définition la relation entre perméabilité magnétique relative et susceptibilité magnétique:

equation   (36.10)

Soit:

equation   (36.11)

equation est appelé la "perméabilité magnétique absolue".

Il est d'usage d'appeler les matériaux qui ont une susceptibilité magnétique positive de "matériaux paramagnétiques" (contribuant au augmente le champ magnétique) et ceux qui ont une susceptibilité magnétique négative de "matériaux diamagnétiques" (de s'opposer au champ magnétique). Nous verrons plus loin les modèles théorique de Langevin permettant d'expliquer quantitativement avec une relativement bonne approximation des deux phénomènes (dans les deux cas la susceptibilité magnétique a une valeur qui est très faible).

Alors, finalement nous pouvons écrire la loi d'Ampère sous la forme:

equation   (36.12)

L'intérêt de la loi d'Ampère ainsi que du concept de circulation du champ magnétique paraît (peut paraître) ainsi plus évident.

Cette dernière relation à bien évidemment une grande utilité en physique théorique car elle nous permettra de déterminer d'autres résultats forts importants. Sinon, au niveau de la pratique, le physicien de laboratoire ou l'électricien/électrotechnicien sera souvent confronté à devoir utiliser pour de petites et moyennes expériences des électro-aimants, dont il pourrait souhaiter recalibrer les valeurs nominales, ou encore des solénoïdes.

BOBINE SOLÉNOÏDALE INFINIE

Une application aussi particulièrement importante en électronique et électrotechnique est celle du calcul du champ d'induction dans une bobine de fil parcourue par un courant que nous considérerons comme constant dans un premier temps. Il s'agit ni plus ni moins d'une bobine d'induction plus techniquement appelée une "inductance". Voyons de quoi il s'agit:

Un solénoïde est une bobine formée par un fil conducteur enroulé en hélice et parcouru par un courant d'intensité I. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction equation d'un solénoïde est nul entre les spires et parallèle à l'axe du solénoïde.

Considérons la figure suivante et intéressons-nous en approximation qu'à la partie interne du solénoïde en admettant que le champ extérieur est nul par la longueur infinie de celui-ci et la parfaite jointure des bobines...:

equation
Figure: 36.2 - Solénoïde infini

Appliquons la loi d'ampère au trajet rectangulaire abcd. Ainsi:

equation   (36.13)

La première intégrale du membre de droite donne equationB est la grandeur de equation à l'intérieur du solénoïde et h, la longueur du segment ab. Nous pouvons remarquer que le segment ab, même s'il est parallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessairement coïncider avec lui.

La deuxième et la quatrième intégrale sont nulles car, pour ces deux segments equation et equation sont partout perpendiculaires: étant donné que equationest nul partout, les deux intégrales sont nulles. La troisième intégrale est également nulle puisque le segment calculé se trouve à l'extérieur du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était idéal.

Ainsi, l'intégrale equation pour tout le trajet rectangulaire est equation tel que:

equation   (36.14)

mais le courant I est la somme des courants equation passant dans chacune des N spires contenues dans le chemin d'intégration. Mais en électronique, nous avons l'habitude de travailler avec la valeur n (nous choisissons la lettre minuscule par analogie avec la thermodynamique où les minuscules représentent des densités) qui est le nombre de spires par unité de longueur:

equation   (36.15)

Ainsi, nous avons:

equation   (36.16)

Bien que cette relation ait été établie pour un solénoïde idéal infini, elle donne une grandeur assez précise (sans être exacte!) du champ d'induction magnétique pour les points d'intérieur situés près du centre d'un solénoïde réel. Cette relation révèle par ailleurs que le champ magnétique est en approximation indépendant du diamètre du solénoïde et qu'il est uniforme à travers la section de celui-ci. En laboratoire, un solénoïde est un dispositif pratique pour produire un champ d'induction uniforme de la même façon que le condensateur plan est utilisé pour produire un champ électrique uniforme.

BOBINE TOROÏDALE

La bobine toroïdale est un autre exemple important de l'application de la loi d'Ampère. Effectivement, nous retrouvons particulièrement ce type de configuration dans l'électronique de petite puissance (ordinateurs par exemple) où les inductances sont pour la plupart toroïdales ou dans la production d'énergie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée (très...) se réduisent à des bobines toroïdales.

equation
Figure: 36.3 - Photo de quelques bobines toroïdales

Pour des raisons de symétrie, il est clair que les lignes d'induction magnétique forment des cercles concentriques à l'intérieur de la bobine. Appliquons la loi d'Ampère au trajet d'intégration circulaire de rayon r:

equation   (36.17)

C'est-à-dire:

equation   (36.18)

Il s'ensuit que:

equation   (36.19)

Ainsi, contrairement à B l'intérieur d'un solénoïde, B n'est pas constant à l'intérieur de la bobine toroïdale.

ÉLECTRO-AIMANT

Déterminons donc par exemple (important et intéressant) le champ magnétique dans l'entrefer de longueur equation et de section equationd'un électro-aimant d'une longueur equation et de section equation comme représenté ci-dessous:

equation
Figure: 36.4 - Exemple d'électro-aimant de laboratoire d'école

La loi d'Ampère nous donne dans le vide:

equation   (36.20)

dans le cas de l'électro-aimant, nous pouvons écrire que la circulation du champ est la somme de la circulation du champ de l'entrefer et de l'aimant lui-même:

equation   (36.21)

N correspond au nombre de boucles de courant entourant l'aimant et qui permet la production du champ magnétique.

Nous avons par définition:

equation et equation   (36.22)

d'où:

equation   (36.23)

Si l'entrefer n'est pas trop grand  equation nous pouvons écrire:

equation    (36.24)

alors:

 equation   (36.25)

d'où:

equation   (36.26)

La relation est la même pour un électro-aimant ayant deux bobines! Le lecteur remarqueron au passage que cette relation peut aussi servir expérimentalement dans le cas où nous cherchons à déterminer la valeur de la perméabilité magnétique relative du Fer quand tous les autres paramètres sont connus.

FORCE D'UN AIMANT OU ÉLECTRO-AIMANT

Si nous avons connaissance de la norme du champ magnétique B produit par un aimant à sa surface, nous pouvons calculer avec une certaine approximation la force nécessaire pour le décoller d'une surface en Fer.

Pour cela, nous noterons F la force nécessaire pour faire décoller l'aimant à une distance d d'une surface de Fer. Nous supposerons la distance d suffisamment petite pour que l'on puisse accepter que dans tout le volume situé entre l'aimant et le Fer, le champ magnétique est constant.

Ainsi, le travail fourni par la force F est (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (36.27)

Ce travail s'est transformé en énergie du champ magnétique dans le volume créé entre l'aimant et le Fer. La densité volumique d'énergie due au champ magnétique dans l'air étant (cf. chapitre d'Électrodynamique):

equation   (36.28)

Le volume de l'espace créé entre l'aimant et le Fer étant égal à equation où S est la surface de l'aimant qui était collée au Fer. Nous avons alors l'équivalence dimensionnelle suivante:

equation   (36.29)

Nous en déduisons la force de contact pour de petites valeurs de d:

equation   (36.30)

B est la valeur limite du champ magnétique qui amène notre matériau à se coller à l'aimant (de façon à ce qu'en soulevant l'aimant, le matériau associé suive).

Si nous regardons un électro-aimant d'élévation de rayon 0.75 [m] capable de soulever 200 [kg]:

equation
Figure: 36.5 - Électro-aimant d'élévation

Nous avons alors:

equation   (36.31)

Il est possible d'utiliser aussi grossièrement le même calcul pour déterminer le champ magnétique de l'électro-aimant du jouet ludique suivant mondialement connu par les passionnés de physique:

equation
Figure: 36.6 - Électro-aimant d'élévation ludique

RELATION DE MAXWELL-AMPÈRE

Soit equation la densité de courant en un point quelconque de l'espace dans le cas d'une distribution à trois dimensions et soit S une surface fermée qui s'appuie sur un contour equation quelconque. Le courant I qui traverse equation est bien évidemment donné par:

equation   (36.32)

D'après la loi d'Ampère, la circulation du champ magnétique le long de equationest égale à cette intégrale. Elle peut donc prendre ici, selon le choix du contour equation, une infinité de valeurs variables de façon continue. D'autre part, le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) fournit que:

equation   (36.33)

d'où:

equation   (36.34)

et nous en ressortons finalement que:

equation   (36.35)

Nous pouvons faire une comparaison osée de ce résultat avec la relation ci-dessous (démontrée dans le chapitre d'Électrodynamique), par extension de la charge statique et de la charge dynamique:

equation   (36.36)

qui n'est autre que la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique). Dès lors, comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Électrostatique, nous avons:

equation   (36.37)

Par analogie, l'idée est de poser (cette hypothèse se vérifie un peu plus bas par les résultats remarquables obtenus):

equation   (36.38)

relation que nous pouvons écrire de manière plus élégante en supposant le courant non dépendant de la position de l'observateur dans l'espace et colinéaire au vecteur perpendiculaire à la surface traversée:

equation   (36.39)

equation représente le périmètre du fil dans lequel le courant I circule.

LOI DE BIOT-SAVART

Du dernier développement, nous tirons donc:

equation   (36.40)

Rappelez-vous qu'à la dernière étape de notre développement précédent (nous l'avons précisé implicitement) le chemin d'intégration est perpendiculaire au courant! Mais le champ magnétique ne peut pas être nul en tout point de la ligne du courant. Dès lors, nous sommes amenés à écrire ce qui est caché:

equation   (36.41)

La relation ci-dessus nous permet donc, par extension, d'écrire sous une forme plus générale:

  equation   (36.42)

qui n'est autre que la "loi de Biot-Savart" souvent présentée en premier dans les classes scolaires comme début d'étude du magnétisme (à l'origine elle a été déterminée expérimentalement par Biot et Savart avec l'aide mathématique de Laplace).

Cette dernière relation peut  tout aussi bien s'écrire (forme très importante):

equation   (36.43)

Donc:

equation   (36.44)

Nous retrouvons ici l'approximation non relativiste du champ magnétique tel que nous l'avons déterminé lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), où nous avons démontré que:

equation   (36.45)

Une autre forme importante de l'expression du champ magnétique est:

equation   (36.46)

Comme la densité de courant equation est colinéaire à equation, nous pouvons écrire:

equation   (36.47)

Donc: 

equation   (36.48)

Une remarque importante s'impose à notre niveau du discours: dans le cadre des études scolaires pré-universitaires, les formulations mathématiques des champs magnétique et  électrique sont considérées comme des lois indémontrables d'où l'on tire plus tard les équations de Maxwell (de plus les développements ne sont pas des plus esthétiques et rigoureux). L'aspect totalement expérimental de relations aussi importantes peut donner une image négative de la physique théorique aux étudiants. Il convient dès lors de préciser que lors des études universitaires, nous avons une approche juste un peu moins pragmatique.

Effectivement, nous postulons l'équation de Schrödinger (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dont nous nous servons pour  démontrer la formulation non relativiste de la loi de Coulomb à l'aide de la théorie de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs). Ensuite, pendant l'étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous déterminons la  forme relativiste de la loi de Coulomb. Ensuite, nous admettons l'existence du champ magnétique dont l'expression est donnée expérimentalement par la force de Lorentz (voir plus bas dans ce chapitre)  et de par les propriétés des transformations de Lorentz et de la connaissance de l'expression relativiste de la loi de Coulomb, nous déterminons l'expression relativiste du champ magnétique. Ensuite, par approximation non relativiste, nous tombons sur la loi de Biot-Savart. Cette manière de procéder est beaucoup mieux accueillie par les étudiants mais pas nécessairement accessible à tous les niveaux.

Revenons maintenant sur la loi de Biot-Savart. Un exemple important en astrophysique de la loi de Biot-Savart dans le cadre des jets de plasmas des disques d'accrétion sont les boucles de courant circulaires uniques (il faut y rajouter aussi la force de Laplace dans le cadre relativiste pour comprendre la dynamique de ces jets).

CHAMP MAGNÉTIQUE POUR UNE BOUCLE DE COURANT

La figure ci-dessous en représente un bon exemple:

equation
Figure: 36.7 - Champ magnétique pour une boucle de courant

Nous avons donc une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I. L'objectif étant de calculer equation en un point P de l'axe de cette boucle.

Le vecteur equation correspondant à un courant élémentaire au sommet de la boucle sort perpendiculairement du plan de la page. L'angle equation entre ce vecteur et equation est donc de equation. Le plan formé par equation et equationest normal à la figure. Le vecteur equation produit par ce courant élémentaire est normal à ce plan de par la forme de la loi de Biot-Savart. Il est donc dans le plan de la figure et à angle droit avec le vecteur equation comme indiqué sur la figure.

Décomposons equation en deux parties: la première, equation est le long de l'axe de la boucle et la seconde, equation est perpendiculaire à cet axe. Seule la composante equation contribue à l'induction magnétique totale au point P. Il en est ainsi du fait que les composantes equation de tous les courants élémentaires sont sur l'axe et qu'elles s'additionnent directement. Quant aux composantes equation, elles sont dirigées dans différentes directions perpendiculairement à cet axe de sorte que, par symétrie, leur contribution est nulle sur cet axe (prenez vraiment garde à ce cas particulier!).

Nous obtenons:

equation   (36.49)

C'est une intégrale scalaire effectuée sur tous les courants élémentaires. Nous obtenons d'après la loi de Biot-Savart:

equation   (36.50)

De plus, nous avons selon le schéma:

equation   (36.51)

En combinant ces relations, nous obtenons:

equation   (36.52)

La figure révèle que r et equation ne sont pas des variables indépendantes. Nous pouvons les exprimer en fonction de la nouvelle variable x, la distance entre le centre de la boucle et le point P. Les relations entre ces variables sont:

equation   (36.53)

En substituant ces valeurs dans l'expression de equation, nous obtenons:

equation   (36.54)

Nous remarquons que, pour tous les courants élémentaires, I,R,x ont respectivement les mêmes valeurs. L'intégration de cette différentielle donne:

equation   (36.55)

Un point important de cette relation est en equation où nous obtenons donc:

equation   (36.56)

Un autre cas d'application important de la loi de Biot-Savart consiste à reprendre l'exemple précédent, mais pour une forme continue plane quelconque et considérée comme ponctuelle et dont nous aimerions connaître la valeur du champ ailleurs que sur l'axe de symétrie. Les résultats seront très utiles lorsque nous étudierons la physique quantique corpusculaire et donc les propriétés magnétiques des métaux.

CHAMP MAGNÉTIQUE POUR UN FIL INFINI

Montrons aussi (c'est un exemple intéressant!) qu'à partir de la loi de Biot-Savart:

equation   (36.57)

nous pouvons aussi obtenir pour un fil rectiligne infini la relation:

equation   (36.58)

que nous avions obtenue avec le théorème d'Ampère (ce qui montre l'équivalence entre les deux manières de calculer!).

Choisissons pour le fil rectiligne infini ci-dessous x comme variable:

equation
Figure: 36.8 - Fil rectiligne infini

Nous avons alors à partir de la figure ci-dessus:

equation   (36.59)

d'où:

equation   (36.60)

En intégrant:

equation   (36.61)

Pour la suite, l'astuce consiste à utiliser la configuration suivante:

equation
Figure: 36.9 - Morceau du fil

Donc:

equation   (36.62)

Ce qui nous donne:

equation   (36.63)

Après simplification:

equation   (36.64)

et donc quand la longueur du fil tend vers l'infini, nous avons alors:

equation   (36.65)

DIPÔLE MAGNÉTIQUE

Le dipôle magnétique a tout comme son homologue en électrostatique, une énorme importance dans l'étude des propriétés magnétiques des matériaux pour lesquelles il permet d'élaborer de bons modèles théoriques.

Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillerions au lecteur (c'est même plus qu'un conseil) de lire absolument tout le développement du dipôle électrostatique rigide dans le chapitre d'Électrostatique. Effectivement, la plupart des calculs qui vont suivre comportent les mêmes raisonnements, développements et approximations mathématiques à quelques infimes nuances près. Nous n'avons dès lors pas souhaité refaire les mêmes calculs intermédiaires déjà présents lors du calcul du dipôle électrostatique (cependant, si vraiment il y a difficulté de la part du lecteur, nous sommes prêts à compléter... mais bon...).

Le dipôle magnétique a une différence non négligeable relativement au cas pratique que nous nous imposons comme cadre d'étude... il n'y a pas 2 charges ! Effectivement, des charges au repos émettent en première approximation (c'est expérimental et... théorique) un champ magnétique intrinsèque beaucoup trop faible pour être considéré comme intéressant dans le cadre de l'étude des propriétés magnétiques des matériaux. Il convient cependant de préciser quelque chose d'intéressant (de sympa), les charges coulombiennes élémentaires sont parfois modélisées (à tort!) par les physiciens comme en rotation sur elles-mêmes (le "spin") et sont représentées comme une superposition de spires circulaires (tiens... une spire...) en infiniment petites ce qui fait qu'un observateur dans un référentiel au repos (au centre de la charge ) peut interpréter la charge coulombienne globale comme étant un courant en déplacement dans les différentes spires, induisant ainsi un champ magnétique intrinsèque (joli non !?).

Bref, considérons une spire plane (tiens... encore une spire...), de forme quelconque, de centre O, parcourue par un courant permanent et constant I dont un des points de la spire est noté par P. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l'espace, situé à grande distance r de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à la taille de la spire).

Remarque: Personnellement il y a certaines étapes du calcul que je trouve... comment dire... de très loin pas convaincantes... mais bon... il y a tellement d'approximations que l'on est plus à ça près... hummm....

Nous posons:

equation   (36.66)

equation

Nous allons donc utiliser la loi de Biot-Savart:

equation   (36.67)

sous l'hypothèse que le point M est donc situé à très grande distance de la spire. Ce qui nous donne le droit d'écrire:

equation   (36.68)

Mais equation donc:

equation   (36.69)

Évaluons le terme equation pour des points M situés à grande distance de la spire (au dénominateur nous avons utilisé le théorème du cosinus comme lors de notre étude dipôle électrostatique rigide dans le chapitre d'Électrostatique):

equation   (36.70)

où nous avons fait comme pour le dipôle électrostatique rigide un développement limité à l'ordre 1.

Remarque: La dernière approximation est très grossière dans le sens qu'il s'agit d'un choix astucieux des termes à négliger pour arriver à un résultat esthétique visuellement et permettant de définir le moment magnétique dipolaire (voir un peu plus loin)...

En reportant cette expression dans la loi de Biot-Savart, nous obtenons:

equation   (36.71)

Évaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse:

1. equation

puisque le vecteur equation est indépendant du point P sur la spire et que nous faisons une intégration curviligne sur toute la spire, en revenant au point de départ.

2. equation

De par les propriétés du produit vectoriel:

equation   (36.72)

Or puisque equation et equation sont perpendiculaires et dans un même plan, nous avons equation qui est la surface infinitésimale equation d'un rectangle et cela ne représente rien étant donné que l'abscisse est curviligne par rapport à O. Effectivement:

equation
Figure: 36.10 - Représentation de la perpendicularité des deux vecteurs

Donc, nous pouvons écrire:

equation   (36.73)

equation est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l'axe Z). Ce résultat est général, valable quelle que soit la surface.

D'où:

equation   (36.74)

3. equation

de par les propriétés du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Nous allons utiliser ces relations pour calculer l'intégrale inconnue du début. Si nous décomposons les vecteurs equation et equation dans la base equation engendrant le plan de la spire, nous obtenons:

equation   (36.75)

puisque equationet equation.

Nous avons aussi:

equation   (36.76)

D'où:

equation   (36.77)

 

Rappelons que:

equation   (36.78)

Sous forme de composantes (seulement la troisième est non nulle puisque equationet equation), nous avons:

equation   (36.79)

d'où:

equation   (36.80)

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (36.81)

Soit:

equation   (36.82)

Remarquons que cette dernière relation est égale à:

equation   (36.83)

Donc au final:

equation   (36.84)

En rassemblant ces résultats, nous obtenons pour le champ magnétique:

equation   (36.85)

Nous voyons donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire vue depuis une grande distance, à savoir le "moment magnétique dipolaire local" ou plus simplement "moment dipolaire magnétique":

equation   (36.86)

souvent noté aussi par un M stylisé par certains auteurs. Nous avons alors la relation antéprécédente qui peut s'écrire:

equation   (36.87)

En faisant usage de la propriété suivante du double produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (36.88)

Nous obtenons alors une autre forme de l'expression du champ magnétique approximatif créé par un dipôle:

equation   (36.89)

C'est sous cette dernière forme que l'on retrouve le plus souvent l'expression du moment magnétique dans la littérature.

À comparer (pour le fun) avec l'expression du champ électrique pour un dipôle électrique rigide:

equation   (36.90)

et donc nous voyons qu'il y a correspondance parfaite.

Nous sommes quand même arrivés à mettre cela sous une forme assez identique et esthétique après quelques approximations...

Nous avons aussi:

equation   (36.91)

d'où:

equation   (36.92)

L'origine du champ magnétique d'un matériau quelconque doit être microscopique. En utilisant le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous pouvons nous convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Effectivement, le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène consiste en un électron de charge equation en mouvement (circulaire) autour d'un noyau centre (un proton) avec une période equation.

Si nous regardons sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s'il y avait un courant:

equation   (36.93)

Nous avons donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton, c'est à dire le rayon de Bohr equation. L'atome d'Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque:

equation   (36.94)

equation est le moment cinétique de l'électron et q/2m le "facteur gyromagnétique" (ce résultat est très important pour le modèle de Langevin du diamagnétisme). Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en rotation autour d'un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre): ce qui compte c'est l'existence (scalaire) d'un courant.

Du coup, nous pouvons expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l'orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent:

- Matériaux amagnétiques: ce sont les matériaux où les moments sont distribués aléatoirement, il n'y a pas de champ magnétique intrinsèque.

- Matériaux diamagnétiques: ce sont les matériaux qui soumis à un champ magnétique, ont leur moments qui s'opposent à celui-ci et sont donc repoussés (très faiblement) par les aimants. Ils induisent donc un moment magnétique opposé à la direction du champ magnétique.

- Matériaux paramagnétiques: ce sont les matériaux pour lesquels les moments peuvent s'orienter dans la direction d'un champ magnétique extérieur et pouvant donc être ainsi aimantés (attirés) momentanément. Ils induisent donc un moment magnétique dans la direction du champ magnétique.

- Matériaux ferromagnétiques: ce sont les matériaux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).

Remarque: La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique correspond au pôle Sud géographique (à un angle près). Au niveau macroscopique, l'explication de l'existence du champ magnétique observé sur les étoiles est encore aujourd'hui loin d'être satisfaisante. La théorie de "l'effet dynamo" essaie de rendre compte des champs observés par la présence de courants, essentiellement azimutaux, dans le coeur des astres. Plusieurs faits connus restent partiellement non éclaircis:

- Les cycles magnétiques: le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans (sur 11 ans). Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu'il y avait eu une inversion il y a environ 700'000 ans.

- Non-alignement avec le moment cinétique de l'astre: s'il est de l'ordre d'une dizaine de degrés pour la Terre, il est perpendiculaire pour Neptune!

Pour voir un joli cas pratique du dipolaire magnétique, rappelons que dans le chapitre d'Élecstrostatique, nous avions démontré qu'en coordonnées sphériques nous avions pour le dipôle électrique:

equation   (35.95)

Et comme nous avons démontré il y a correspondance parfait entre le moment dipolaire magnétique et électrique, nous pouvons alors immédiatement écrire:

equation   (35.96)

Nous en déduisons alors la norme du vecteur de champ magnétique:

equation   (35.97)

Soit:

equation   (35.98)

Ainsi, nous pouvons nous amuser par exemple à calculer le moment magnétique de la Terre à l'équateur géomagnétique. Ce qui nous donne sachant que la Terre à l'équateur géomagnétique à un champ de valeur moyenne de 32 microteslas:

equation   (35.99)

LOI DE LORENTZ

En électrostatique, nous avons calculé la force exercée par une ou un ensemble de charges au repos sur une charge immobile ou en mouvement. La force exercée s'écrivait alors de la manière suivante:

equation   (36.100)

Dans le cas le plus général, où les charges agissantes sont en mouvement, la force qu'elles exercent sur une charge ponctuelle q placée en un point de l'espace est la somme de deux termes: l'un qui est indépendant de la vitesse equation de cette charge, l'autre qui en dépend. Voici comment s'écrit cette relation:

equation   (36.101)

qui n'est autre que la "loi de Lorentz" ou "force de Lorentz".

Pour démontrer cette relation, nous allons poser deux hypothèses, mais avant il est important d'informer le lecteur que cette démonstration nécessite des outils mathématiques non nécessairement évidents (il faut avoir lu le chapitre de Mécanique Analytique et de Physique Quantique Ondulatoire pour comprendre):

H1. Soit une particule ponctuelle non-relativiste de masse m, de position equation et de vitesse equation; nous supposons qu'elle est soumise à une force equationet qu'elle satisfait les équations de Newton:

equation   (36.102)

avec les relations de commutations suivantes (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

equation   (36.103)

Il faut bien voir que la dernière relation est une hypothèse et qu'elle n'est pas équivalente aux règles de commutation que nous avons vues en physique quantique entre positions et impulsions!

H2. Il existe des champs equation et equation, ne dépendant pas des vitesses, tels que:

equation   (36.104)

et qui vérifient les équations de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique):

equation   (36.105)

À un niveau classique, nous exprimons les hypothèses de commutation en utilisant la correspondance commutateurs-crochets de Poisson (cf. chapitre de Mécanique Analytique), soit:

equation   (36.106)

avec (rappel):

equation   (36.107)

Maintenant, nous définissons un potentiel vecteur equation (cf. chapitre d'Électrodynamique) tel que:

equation   (36.108)

alors l'hypothèse (equation) de commutation peut s'écrire pour equation:

equation   (36.109)

donc nous pouvons dire que equation ne dépend que de equation et t puisqu'il commute identiquement à equation.

De plus, nous savons que la mécanique classique admet une formulation lagrangienne (équivalente aux équations de Newton) pour laquelle les équations de la mécanique deviennent (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

equation   (36.110)

L désigne le lagrangien du système. Dès lors, avec:

equation   (36.111)

nous pouvons intégrer la relation: 

equation  (36.112)

et nous obtenons:

equation   (36.113)

Le signe "-" de la constante d'intégration du potentiel vecteur se justifie pour être en cohérence avec ce que nous avons vu en théorie de Jauge (cf. chapitre d'Électrodynamique).

La seconde équation de Lagrange equation nous donne alors:

equation   (36.114)

En développant un peu:

equation et equation   (36.115)

Pour l'ensemble des coordonnées, cela donne sous forme condensée et en utilisant les outils de l'analyse vectorielle:

equation   (36.116)

Donc:

equation   (36.117)

ou autrement écrit:

equation   (36.118)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la force de Lorentz où equation et equation sont donnés par:

equation   (36.119)

comme nous l'avons vu en théorie de Jauges. Certes la démonstration est loin d'être évidente, mais elle est possible.

Arrêtons-nous un instant sur l'expression de la force de Lorentz. Nous voyons avec cette relation, qu'une charge immobile (ou non) dans un champ électrique subira une force qui lui donnera l'impulsion nécessaire à faire varier son énergie cinétique (nulle ou non nulle au départ). Cette constatation n'est cependant pas valable pour le champ magnétique. Effectivement, lorsque nous plaçons une charge immobile dans un champ magnétique, cette dernière ne subira aucune force du champ magnétique et donc ne verra pas son énergie cinétique varier. Si la particule chargée a une vitesse initiale non nulle, il s'ensuit que le champ magnétique va changer les composantes du vecteur vitesse mais pas la norme. Ainsi, nous avons pour habitude de dire que: "le champ magnétique ne travaille pas" (dans le sens que le champ magnétique ne vas pas mettre en mouvement une particule chargée au repos ni changer la norme de sa vitesse).

Voyons mathématiquement comment nous pouvons montrer que le champ magnétique ne travaille pas.

Démonstration:

Nous savons que pour une particule chargée plongée dans un champ magnétique, nous avons:

equation   (36.120)

d'où:

equation   (36.121)

Et exprimons la variation temporelle de l'énergie cinétique:

equation   (36.122)

et en substituant la dérivée de la vitesse par la relation antéprécédente, il vient:

equation   (36.123)

L'énergie cinétique de la particule ne change donc effectivement pas à cause du champ magnétique.

Maintenant, si nous nous intéressons uniquement au second terme de cette relation, nous pouvons arriver à démontrer la loi de Laplace:

Nous avons:

equation   (36.124)

equation est la densité volumique de charge. Si equation et equationsont supposés parallèles nous pouvons écrire que:

equation   (36.125)

Une densité de courant nous permet de calculer la vitesse d'entraînement des porteurs de charges dans un conducteur. Le nombre d'électrons de conduction dans un fil est égal à:

equation   (36.126)

n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et equation le volume du fil (et donc A est l'aire de la section du conducteur)..

Une quantité de charges equation traverse un fil en un temps t donné par:

equation   (36.127)

L'intensité I du courant étant définie par:

equation   (36.128)

nous obtenons que:

equation   (36.129)

De:

equation   (36.130)

Nous pouvons maintenant tirer que:

equation   (36.131)

Enfin, nous trouvons que:

equation   (36.132)

qui est la "loi de Laplace" ou "force de Laplace" et qui dérive donc de la loi de Lorentz. Nous en déduisons dans les unités du champ magnétique:

equation   (36.133)

T est commumément une unité tolérée dans l'usage appelée le "Tesla" (qui contient implicitement donc l'unité du Coulomb qui est à l'origine du champ magnétique!). Connaissant maintenant efin explicitement l'unité du champ magnétique, nous pouvons déterminer les unités de la constante de perméabilité magnétique en repartant de:

equation   (36.134)

Il vient alors pour les unités de la constante de perméabilité magnétique:

equation   (36.135)

Ceci étant fait, voyons quelques cas importants d'application de la loi de Lorentz:

EFFET HALL CLASSIQUE

Précédemment, nous avons étudié l'action d'une induction magnétique sur un circuit filiforme en ayant pour but de trouver l'expression des forces magnétiques appliquées à la matière même de ce circuit.

Portons maintenant notre attention sur les électrons de conductivité eux-mêmes, en nous plaçant dans le cas de la figure ci-dessous:

equation
Figure: 36.11 - Ruban métallique parcouru par un courant continu

où un ruban métallique est parcouru par un courant continu equation. Le vecteur densité de courant equation est constant et parallèle aux grands côtés PQ ou RS du ruban.

Imaginons alors que le ruban soit plongé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire aux plans PQ et RS (selon l'axe Z). Les charges mobiles de densité volumique equation contenues dans un élément de volume dV sont donc soumises à la force magnétique:

equation   (36.136)

Cette force modifie les trajectoires des électrons mobiles et, au cours d'un régime transitoire, provoque leur accumulation sur le bord avant du ruban tandis qu'un excès de charges positives apparaît sur le bord arrière.

Ce phénomène produit un champ électrique supplémentaire parallèle à RP qui exerce sur les charges mobiles du volume dV une force électrique:

equation   (36.137)

Les deux forces s'opposent donc l'une à l'autre et la force coulombienne tend à ramener les trajectoires électroniques dans leur position initiale. Un régime permanent s'établit peu à peu. 

Remarque: En fait, à chaque fois que nous parlons de régime permanent en physique, nous mentons un peu. Il s'agit au fait juste d'un équilibre stable et en général, le système oscille autour de sa position d'équilibre. Au bout d'un certain temps, un système comme le conducteur impliqué dans notre exemple montre des oscillations négligeables. La physique c'est aussi parfois qu'une question d'approximations...

Quand ce régime est atteint, la densité de courant est à nouveau parallèle à PQ et les forces électriques et magnétiques ci-dessus sont vectoriellement opposées. Nous avons donc:

equation   (36.138)

avec:

equation   (36.139)

Dans certains ouvrages, le produit vectoriel est explicité sous forme de ses composantes tel que:

equation   (36.140)

car les autres composantes sont nulles (la densité de courant est parallèle au ruban et le champ magnétique perpendiculaire).

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre d'Électrocinétique:

equation   (36.141)

dès lors:

equation   (36.142)

Nous définissons alors le "coefficient de Hall" par:

equation   (36.143)

equation peut être aussi bien utilisé à l'équilibre pour la mesure de equation que par extension si nous supposons equation alors equation donc à la mesure de la densité de porteurs dans l'échantillon.

Remarque: Nous parlons également de "résistance de Hall". Il s'agit simplement du rapport de la tension de Hall sur le courant circulant dans l'échantillon. Il ne faut cependant pas confondre la résistance de Hall avec equation. Notons que la résistance de Hall varie linéairement avec le champ magnétique.

Dans un semi-conducteur à deux dimensions, l'effet Hall est également mesurable. Par contre, à suffisamment basse température, nous observons une série de plateaux pour la résistance Hall en fonction du champ magnétique. Ces plateaux apparaissent à des valeurs précises de résistance, et ce, indépendamment de l'échantillon utilisé. Ceci fait l'objet de "l'effet Hall quantique" que nous n'étudierons pas dans ce chapitre.

Sous forme scalaire la relation de "l'effet Hall", s'écrit:

equation   (36.144)

Nous pouvons aussi l'exprimer en explicitant la différence de potentiel qui correspond par définition au champ électrique.

Si l est la largeur du ruban, nous avons:

equation   (36.145)

Si e est son épaisseur, le courant  I qui le parcourt est:

equation   (36.146)

Compte tenu des positions relatives des divers vecteurs, la relation exprimant l'effet Hall équivaut donc à:

equation   (36.147)

Plus esthétiquement et sous une forme traditionnelle, la tension de l'effet Hall est donnée par:

equation   (36.148)

avec:

equation   (36.149)

qui est la "constante de Hall". Elle est inversement proportionnelle à la densité des porteurs libres et dans le cadre des métaux, elle est négative.

Dans d'autres domaines d'étude comme celui des semi-conducteurs, nous écrivons la tension de Hall sous la forme traditionnelle:

equation   (36.150)

q est la charge de l'électron et n la notation traditionnelle (sic!) de la densité de porteurs dans le cadre de l'étude des semi-conducteurs.

Nous avons alors dans ce dernier domaine la constante de Hall qui est définie par:

equation   (36.151)

Ce qui a fait cependant la renommée de l'effet Hall, outre le fait que ce résultat est énormément utilisé pour fabriquer des sondes de champs magnétiques de tous genres (car les sondes à effet Hall fonctionnent sans contact physique avec les aimants), c'est que pour certains types de semi-conducteurs cette constante de Hall est positive!!!! Ce qui signifierait avec les modèles standards que nous avons à notre disposition jusqu'à maintenant, qu'il y aurait des charges positives qui feraient office de courant... et à l'époque de la mise en place de cette expérience pour les semi-conducteurs, ceci était inexplicable. À l'époque de Hall cette expérience servit à vérifier si c'était des charges positives ou négatives qui se déplaçaient et Hall conclua en testant cela sur des métaux conducteurs que seulement l'électricité négative circule dans les fils conducteurs.

Remarque: La sonde à effet Hall la plus connue par la population est le compteur de vitesse sur les vélos (odomètres) qui fonctionne sur la base de l'accrochage d'un petit aimant sur un des rayons d'une des roues et dont le passage devant la sonde à effet Hall produit un signal traité par l'électronique de l'odomètre.

Or nous verrons plus tard qu'en utilisant la théorie quantique dans le cadre des semi-conducteurs (cf. chapitre d'Électrocinétique) des charges positives peuvent pourtant sous certaines conditions apparaître et être à l'origine d'un courant!

RAYON DE LARMOR

Un cas très intéressant d'étude de laboratoire est le mouvement d'une charge dans un champ magnétique uniforme. Pour cette étude, considérons une particule de masse m et de charge q placée dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse initiale equation.

Nous avons selon la loi de Lorentz:

equation   (36.152)

Nous allons tirer parti du fait que la force magnétique est nulle dans la direction du champ magnétique.

Nous allons donc décomposer la vitesse en deux composantes, l'une parallèle et l'autre perpendiculaire au champ magnétique tel que:

equation   (36.153)

L'équation du mouvement s'écrit alors:

equation   (36.154)

La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ magnétique! En d'autres termes, si la vitesse de la particule chargée était nulle initialement dans la direction du champ alors elle restera nulle!

Prenons maintenant un repère cartésien dont l'axe Z est donné par la direction du champ magnétique tel que equation. L'équation du mouvement ne s'écrit dès lors plus que sur deux composantes puisque:

equation   (36.155)

d'où:

equation   (36.156)

Une solution particulière très simple à ces deux équations différentielles est dans un cadre non relativiste:

equation   (36.157)

où nous avons donc choisi une vitesse initiale suivant X. En intégrant, nous obtenons:

equation   (36.158)

où les constantes d'intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc un cercle de rayon:

equation   (36.159)

perpendiculaire au champ magnétique et appelé "rayon de Larmor", décrit avec la pulsation:

equation   (36.160)

dite "pulsation gyro-synchrotron". Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pour des charges négatives.

Remarque: Le mouvement n'est circulaire que si l'a particule, au départ, n'a donc pas de vitesse dans la direction du champ magnétique. Si elle en a une, elle la garde (le champ magnétique n'a pas d'action dans cette direction).

Le problème d'une telle configuration pour construire un accélérateur, c'est que si nous augmentons l'énergie de la particule (en ajoutant un champ électrique synchronisé sur la pulsation gyro-synchrotron et colinéaire au mouvement), sa vitesse augmente et le rayon de Larmor aussi. Or, le "cyclotron" qui est basé sur ce système a un rayon limité puisqu'il est difficile de maintenir un champ magnétique constant sur une grande surface.

Plus difficile encore, dans le cas relativiste, la pulsation s'écrit alors avec le facteur de Fitzgerald-Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

equation   (36.161)

Nous voyons alors qu'il faut ajuster la pulsation du champ électrique à la pulsation de rotation lorsque la vitesse augmente: l'accélérateur est maintenant un "synchrocyclotron".

Pour résoudre le problème de l'augmentation du rayon, nous utilisons alors un "synchrotron" constitué d'un tube à vide unique comportant de sections droites contenant des cavités accélératrices et des sections courbes équipées d'aimants créant à chaque instant le champ magnétique adapté à la vitesse des particules. Cette technique, dont il est facile de parler mais très difficile à mettre en pratique, est la plus utilisée de nos jours. Le LHC du CERN fait partie de la famille des synchrotrons

À partir de cette relation, il est aisé d'avoir l'énergie cinétique de la particule:

equation   (36.162)

C'est sur la base de cette relation que fonctionnent les "spectromètres de masse de Dempster". C'est en utilisant cette technique que les chercheurs ont découvert dans les années 1920 que les atomes d'un même élément chimique n'ont pas nécessairement la même masse. Les différentes variétés d'atomes d'un même élément chimique, variétés qui diffèrent par leur masse, sont les isotopes (cf. chapitre de Physique Nucléaire).

Le rayon de Larmor correspond à la distance la plus grande que peut parcourir une particule dans la direction transverse avant d'être déviée de sa trajectoire. Cela correspond donc à une sorte de distance de piégeage. À moins de recevoir de l'énergie cinétique supplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.

Il est intéressant de noter que plus l'énergie cinétique transverse d'une particule est élevée (grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.

Nous reviendrons sur ces notions dans le chapitre d'Électrodynamique, ou après avoir étudié les équations de Maxwell, nous ferons quelques développements pour les accélérateurs de type Bêtatron.

Remarque: Le confinement du plasma dans un tokamak est basé sur cette propriété qu'ont les particules chargées de décrire une trajectoire en hélice autour d'une ligne de champ magnétique. D'où l'intérêt d'utiliser un tore.

Pour clore, et suite à la remarque d'un lecteur, développons un peu plus en détails la solution des deux équations différentielles vues plus haut:

equation   (36.163)

en simplifiant les notations, elles deviennent:

equation   (36.164)

et nous prendrons comme conditions initiales:

equation   (36.165)

L'astuce consiste à poser:

equation   (36.166)

Le système d'équations différentielles devient alors (nous laissons tomber la composante Z):

equation   (36.167)

et donc:

equation   (36.168)

Et en faisant de même pour Y, nous obtenons:

equation   (36.169)


Les deux équations différentielles étant identique il suffit de résoudre l'une pour avoir la solution de l'autre. Les racines de l'équation caractéristiques sont donc (cf. chapitre Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (36.170)

Comme le discriminant est négatif (l'expression qui est pour rappel sous la racine), nous avons alors (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) la solution homogène qui est:

equation   (36.171)

Soit:

equation   (36.172)

Et comme il n'y pas de second membre à nos deux équations différentielles, la solution homogène est aussi la solution générale. Ainsi:

equation   (36.173)

et de même:

equation   (36.174)

Puisque nous avons posé que equation et que nous avons equation, il vient alors:

equation   (36.175)

Soit explicitement:

equation   (36.176)

Vu que cette équation doit être valable pour tout temps t, prenons le cas où = 0, l'équation se réduit alors à:

equation   (36.177)

En faisant de même pour Y (toujours avec t = 0), il vient:

equation   (36.178)

En tenant comptes des conditions initiales pour les vitesses, il vient:

equation   (36.179)

Donc:

equation   (36.180)

Remarque: En posant equation comme étant nulle, nous retrouvons la solution particulière simple que nous avions proposée plus haut relativement aux vitesses.

Pour continuer, nous prenons la primitive alors pour trouver les coordonnées de position. Il vient alors:

equation   (36.181)

Pour que les conditions initiales:

equation   (36.182)

soient satisfaites, nous voyons assez vite que nous devons avoir:

equation   (36.183)

Soit au final:

equation   (36.184)

Donc si nous prenons la composante Y de la vitesse comme étant nulle, nous avons:

equation   (36.185)

Ce qui n'est plus la trajectoire d'un cercle à cause des conditions initiales choisies pour ce développement. Pour retrouver la trajectoire circulaire, il faudrait que la condition initiale en Y soit:

equation   (36.186)

ÉNErgie d'UN dipÔle magnétiqUE

Grâce au fait que nous ayons maintenant les unités du champ magnétique et celles de la constante de perméabilité magnétique, nous allons pouvoir déterminer par l'analyse dimensionnelle et par l'intuition l'énergie totale d'un dipôle magnétique statique (donc orienté!) ce qui va nous être très utile pour la théorie du paramagnétisme.

Considérons pour cela un aimant rigide sous forme de cylindre de longueur L et de rayon négligeable pouvant être considéré comme un dipôle Nord/Sud (un "aimant droit") plongé dans un champ magnétique constant et homogène dans le plan perpendiculaire à l'axe de rotation du dipôle:

equation
Figure: 36.12 - Dipôle simple

L'expérience montre que lorsque le dipôle est colinéaire avec le champ magnétique, celui-ci ne bouge plus. Il s'ensuit que le force sur une des extrémités dépend de façon proportionnelle au sinus de l'angle et du champ magnétique tel que:

equation   (36.187)

Au niveau des unités, cela donne donc pour l'instant:

equation   (36.188)

Il nous faudrait donc nous débarrasser des ampères en faisant déjà au minimum intervenir ce qui caractérise une dipôle magnétique et que nous avons déjà déterminé plus: son moment magnétique equation! Donc les unités sont pour rappel:

equation   (36.189)

Il semble alors assez naturel d'écrire pour aller un peu plus loin:

equation   (36.190)

Ce qui donne maintenant au niveau des unités:

equation   (36.191)

Nous avons alors une unité de longueur en trop. Il semble alors assez naturel d'introduire la longueur du dipôle tel que (la force devant logiquement être égale en tout point du dipôle donc il n'y a aucune raison d'introduire ici la moitié de la longueur!):

equation   (36.192)

Maintenant pour en revenir à l'énergie du dipôle magnétique, nous considérons que celle-ci est nulle lorsque le dipôle est initialement dans une position perpendiculaire à celle du champ magnétique. En utilisant l'approximation habituelle comme quoi un déplacement infinitésimal d'une des deux extrêmités est donné par:

equation   (36.193)

Ainsi, le travail (énergie) élémentaire pour faire tourner le dipôle sera (nous multiplions par deux car il faut sommer les deux forces qui agissent sur chacun des pôles) en notant B la norme du champ magnétique:

equation   (36.194)

où nous voyons que la longueur du dipôle n'intervient plus. En réalité il ne faut pas oublier que c'est ans le moment magnétique dipolaire equation que nous avons la surface équivalente du dipôle.

Il vient alors par intégration pour un angle final donné:

equation   (36.195)

Soit:

equation   (36.196)

Voyons maintenant un résultat classique et scolaire que nous pouvons obtenir de ce résultat et que nous retrouverons lors de notre étude du spin dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Nous avons donc démontré plus haut qu'une particule chargée est déviée par une force donnée par la relation de la loi de Lorentz:

equation   (36.197)

Il s'ensuit que si le champ a seulement une composante constante en Z et la vitesse une composante seulement en X, cela va provoquer un mouvement hélicoïdal dans le plan perpendiculaire au champ comme nous l'avons déjà démontré plus haut lors de notre étude du rayon de Larmor.

Considérons maintenant une particule chargé lancée à vitesse uniforme selon un axe X entre deux pôles d'aimants opposés qui génèrent un champ magnétique vertical hétérogène et intéressons-nous uniquement à la déflexion en Z de la trajectoire de la particule.

Du point de vue de l'axe Z la particule peut être considérée comme en mouvement rectiligne uniformément accéléré (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (36.198)

Puisque la position initiale en Z de la particule ce situe à mi-distance entre les deux pôles et que sa vitesse initiale en Z est nulle:

equation   (36.199)

Nous avons alors:

equation   (36.200)

Puisque le champ magnétique ne travaille pas et que cela implique que l'énergie cinétique reste constante, nous pouvons écrire que le temps est simplement le rapport de la distance parcoure par la particule sur le module de sa vitesse:

equation   (36.201)


Rappelons que nous venons de démontrer plus haut que l'énergie potentielle d'un dipôle magnétique était dans un champ constant et homogène:

equation   (36.202)

Il vient alors dans notre cas que:

equation   (36.203)

Et comme nous pouvons associer une force à une énergie potentielle, il vient en supposant que le moment magnétique dipolaire reste constante selon Z et que le champ magnétique est quand même un peu inhomogène (vive le mélange des hypothèses... mais on fait de l'ingénierie physique ici!):

equation   (36.204)

Et donc:

equation   (36.205)

Donc nous voyons dans tout les cas que z peut prendre un spectre de valeur continu qui dépend du moment magnétique dipolaire de la particulaire. Or, comme nous le verrons dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire lors de notre étude des opérateurs quantiques du moment cinétique orbital et de spin qu'un expérience dite de "Stern-Gerlach" a montré que tel n'était pas le cas pour des particules ou certains atomes pour lesquel la valeur z est clairement discrete, ce que la physique classique semble incapable d'expliquer.

MODÈLE DE LANGEVIN DU DIAMAGNÉTISME

Le but de ce modèle est de rendre compte d'un magnétisme négatif qui s'oppose donc à l'excitation magnétique. Ce modèle est grossier par rapport au modèle quantique mais il est intéressant pour deux raisons majeures: la première c'est que cela donne déjà de quoi débuter au lecteur qui n'est pas encore familier avec la théorique quantique, la deuxième étant que c'est un modèle formateur (dans le sens scolaire du terme) car il montre comment des bricolages et approximations successives peuvent amener à quelque chose de relativement acceptable sur le point de vue pratique.

Remarque: Cette théorie a bien sa place dans le chapitre de Magnétostatique car le champ d'excitation utilisé dans le modèle est supposé constant!

Pour cela, nous considérerons le modèle classique de Langevin (le modèle quantique donnant le même résultat) où l'électron est considéré comme parcourant une orbite circulaire r et est alors assimilable à un courant électrique dans une boucle produisant une force électromotrice (cf. chapitre d'Électrocinétique):

equation   (36.206)

que nous pouvons assimiler à un champ électromoteur tel que (cf. chapitre d'Électrocinétique):

equation   (36.207)

Il vient alors:

equation   (36.208)

Nous avons en notant equation la masse au repos de l'électron et equation sa charge électrique:

equation   (36.209)

d'où:

equation   (36.210)

L'application d'une excitation magnétique extérieure aura pour effet de changer le moment magnétique dipolaire equation d'une quantité equation. Or, nous avons démontré plus haut que le moment magnétique dipolaire était donné par:

equation   (36.211)

Il vient alors pour l'électron:

equation   (36.212)

Ensuite, l'idée très astucieuse et grossière (dans le sens approximatif du terme par rapport à l'expérience et au modèle quantique élaboré bien des années plus tard) est de prendre en considération le fait que l'électron sous forme classique peut être considéré comme un objet ponctuel pouvant se mouvoir dans toute une sphère de rayon R donné dans le cas d'un atome monoélectronique et non pas seulement dans un plan circulaire de rayon r perpendiculaire à la direction du champ d'excitation magnétique.

Dans ce cas de figure, nous avons alors bien évidemment:

equation   (36.213)

et nous allons considérer que les trois coordonnées sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (donc déjà là le modèle théorique est mis à mal mais c'est déjà mieux que rien...). Dès lors, il vient que leur espérance est égale tel que:

equation   (36.214)

En utilisant la propriété de linéarité de l'espérance (cf. chapitre de Statistiques) et la notation à la physicien, cela s'écrit alors:

equation   (36.215)

et comme les coordonnées sont considérées commes des variables aléatoires identiquement distribuées, nous avons aussi:

equation   (36.216)

Il s'ensuit immédiatement que:

equation   (36.217)

Et donc si nous nous intéressons uniquement au rayon moyen du disque contenant toutes les orbites perpendiculaires à la direction du champ d'excitation magnétique dirigé selon l'axe Z, il vient alors:

equation   (36.218)

Donc au final pour un électron dans toutes les orbites possibles d'une sphère limitée:

equation   (36.219)

equation peut être calculé explicitement avec le modèle quantique (des fonctions d'onde pour être plus précis!).

Pour un atome contenant Z électrons, nous ferons l'hypothèse grossière qu'une simple somme des effets est valable...:

equation   (36.220)

D'un point de vue macroscopique, le nombre d'atomes contenus dans une unité de volume sera le rapport de la masse volumique du matériau divisé par la masse atomique de l'élément considéré multiplié par le nombre d'Avogadro:

equation   (36.221)

Il vient alors par unité de volume:

equation   (36.222)

et c'est ce résultat qui est assimilé à la susceptibilité magnétique tel qu'on l'écrit sous la forme de la "relation de la susceptibilité diamagnétique de Langevin":

equation   (36.223)

Au niveau des unités, nous avons bien:

equation   (36.224)

C'est donc bien un coefficient sans unités.

et c'est parce que cette valeur est négative que l'on assimile ce modèle au diamagnétisme (par définition). Le lecteur remarquera que si l'excitation magnétique est nulle, la susceptibilité l'est aussi... ce qui est un minimum attendu du modèle théorique. Par contre celui ne dépend pas de la température (l'influence de celle-ci est de toute façon presque négligeable).

L'accord expérience/théorie est excellent pour les gaz nombes (à symétrique sphérique) de l'ordre de plus ou moins 10% d'erreur. Pour les éléments non sphériques l'erreur atteint souvent les 50% par rapport à la l'expérience.

MODÈLE DE LANGEVIN DU PARAMAGNÉTISME

Langevin tenta (avec plus ou moins de succès là aussi) d'expliquer le paramagnétisme avec les mêmes idées sous-jacentes mais toutefois en devant opter pour une approche mathématique totalement différente pour s'assurer d'un résultat final positif.... (bricolage quand tu nous tiens...). Ce que Langevin savait aussi c'est que le paramagnétisme dépendait fortement de la température selon les études expérimentales des matériaux ferromagnétiques, il fallait donc choisir une approche faisant ressortir la température et à l'époque il n'y avait pas 10'000 façons de faire cela! Il s'ensuit que ce modèle ouvre aussi la porte à la théorie du ferromagnétisme!

Comme point de départ à l'époque, on prenait naturellement la distribution de (Maxwell-)Boltzmann démontrée dans le chapitre de Mécanique Statistique qui décrit pour rappel la distribution des particules discernables qui n'interagissent pas avec aucune contrainte sur le nombre de particules par état... (à l'époque de Langevin il n'y avait que ce modèle à disposition...).

equation   (36.225)

cette dernière écriture faisant, comme nous l'avons vu dans le chapitre de Mécanique Statistique, abstraction de la constante de normalisation pour en faire une vraie fonction de densité de probabilité (mais nous allons bien évidemment calculer cette constante un peu plus loin).

Nous avons aussi démontré plus que l'énergie potentielle magnétique d'un dipôle était donnée par:

equation   (36.226)

Maintenant, rappelons que nous avons démonté dans le chapitre de Formes Géométriques qu'un élément de surface d'une sphère était donnée par:

equation   (36.227)

Il vient alors (le lecteur peut se référer au schéma du chapitre susmentionné) que pour une couronne de la sphère définie par deux plans parallèles dont le milieu contient l'origine de la sphère est alors donné par (au besoin nous pouvons refaire un schéma):

equation   (36.228)

Pourquoi parlons-nous de cela? Eh bien parce qu'un partie du nombre total de dipôles magnétiques compris dans un intervalle d'angle equation est comme nous le voyons ci-dessus proportionnel à un élément de surface puisque:

equation   (36.229)

Nous avons alors ce nombre qui est donné par (à un facteur constant inconnu près):

equation   (36.230)

La proportion correspondante (donc c'est aussi une probabilité) par rapport à l'ensemble des angles, pour un angle donné, est alors donnée après normalisation par:

equation   (36.231)

Nous avons vu lors de notre étude du moment dipolaire magnétique que equation contribue donc au champ magnétique. Si nous avons une densité volumique de n dipôles magnétiques, nous aurons alors une contribution de l'ordre de equation s'ils sont tous orientés dans la même direction. Mais si nous projetons le vecteur du moment magnétique sur la direction du champ magnétique, la contribution des dipôles s'écrira alors:

equation   (36.232)

mais comme il y en a qui sont dans de nombreux directions différentes et faisons des angles divers et variés avec le champ, il nous faut alors prendre la moyenne telle que la contribution au champ magnétique soit proportionnelle à:

equation   (36.233)

Et en utilisant simplement les propriétés des fonctions de densité statistiques, l'espérance de la contribution est alors donnée par:

equation   (36.234)

et comme le dénominateur est juste une constante de normalisation, nous pouvons le sortir de la première intégrale:

equation   (36.235)

Pour intégrer, faisons la petite simplification d'écriture:

equation   (36.236)

Cela nous donne:

equation   (36.237)

et posons:

equation   (36.238)

Nous avons alors:

equation   (36.239)

Il vient alors:

equation   (36.240)

La primitive au numérateur nous est connue car elle fait partie des primitives usuelles démontrées en détail dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral! L'intégrale au dénominateur est elle triviale:

equation   (36.241)

La fonction:

equation   (36.242)

est souvent appelée "fonction de Langevin" avec pour rappel:

equation   (36.243)

equation
Figure: 36.13 - Tracé de la fonction de Langevin avec MapleV 4.00b

La fonction de Langevin vaut 0 quand son paramètre vaut 0 et tend vers 1 quand son paramètre tend vers l'infini. Donc le système finit par saturer quand le champ magnétique augmente, ce qui correspond bien au comportement expérimental des matériaux paramagnétiques. Par contre l'augmentation de la température fait diminuer fait tendre donc la fonction de Langevin vers 0 et a pour effet d'annuler l'alignement des dipôles.

Pour de petites valeurs du paramètre, la fonction peut être considérée comme linéaire comme nous le voyons sur la tracé ci-dessus.

Pour simplifier l'expression, nous allons en calculer l'approximation de Taylor de la cotangente hyperbolique en utilisant détaillée dans le chapitre de Suites Et Séries lorsque l'argument de cotangente hyperbolique est pour rappel strictement inférieur à 1 en valeur absolue:

equation   (36.244)

Nous avons alors:

equation   (36.245)

Nous avons donc le champ magnétique qui est proportionnel à:

equation   (36.246)

Nous voyons que le facteur:

equation   (36.247)

est sans dimensions. Effectivement:

equation   (36.248)

Nous pouvons donc considérer qu'il s'agit de la susceptilité paramagnétique et noter la "relation de la susceptibilité paramagnétique de Langevin"::

equation   (36.249)

plus connue sour le nom de "loi de Curie" et qui montre que la susceptibilité magnétique est inversement proportionnelle à la température (mais bon évidemment cette loi devient fausse aux basses températures et il faut alors dériver empirique la loi de Curie-Weiss).


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CHAMP ELECTRIQUEEQUATIONS DE MAXWELL


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