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ÉLECTROSTATIQUE | MAGNÉTOSTATIQUE | ÉLECTRODYNAMIQUE | ÉLECTROCINÉTIQUE
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE | OPTIQUE ONDULATOIRE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2018-01-12 23:47:44 | {oUUID 1.777}
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Nous allons dans ce chapitre dégager un ensemble d'équations qui peuvent résumer à elles seules l'ensemble de nos connaissances sur l'électrostatique et la magnétostatique. Ces équations, au nombre de quatre, se nomment "équations de Maxwell-Heaviside" (dénomination que nous abrégerons par abus de langage comme de nombreux autres ouvrages "équations de Maxwell") et vont nous permettre d'aborder la branche de la physique appelée "électrodynamique" et donc des ondes électromagnétiques.

L'électrodynamique est un pilier de la révolution électronique! Sans cette théorie: pas de radio, pas de téléphones ou téléphones portables, pas d'ordinateurs, pas de satellites, pas d'électroménager, pas de moteur électrique, bref nous serions encore à l'état technologique de la fin du 19ème siècle.

Nous supposerons avant de nous attaquer aux modèles mathématiques que tout un chacun admet en ce début de 3ème millénaire que les rayons gamma, les ondes radio, les micro-ondes, la lumière visible (et non visible) sont des ondes électromagnétiques (E.M.) de fréquences différentes:

Figure: 37.1 - Spectre électromagnétique (source: Le Figaro.fr)

Avec un bon résumé des applications courantes des fréquences en ce début de 21ème siècle:

Figure: 37.2 - Applications économiques courantes (source: Pour la Science)

L'attribution des fréquences à l'industrie économique, civile et militaire étant le rôle de l'Union Internationale des Télécommunications.

PREMIÈRE ÉQUATION DE MAXWELL

Soit défini un champ de vecteurs dans l'espace. Considérons une surface S fermée dans ce champ. Alors à chaque point (x, y, z) appartenant à la surface correspond un vecteur du champ.

Dans ce cas le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) donne:

  (37.1)

avec V étant le volume délimité par la surface (dite pour rappel: "surface de Gauss") fermée.

Rappelons avant de continuer que dans le cas du théorème d'Ostrogradsky le vecteur  est conventionnellement dirigé vers l'extérieur de la surface. 

Dans le cas particulier d'un champ électrique, nous obtenons des résultats très intéressants. En effet soit une charge Q repérée par rapport à un référentiel par le vecteur . 

Alors, nous avons vu dans le chapitre d'Électrostatique qu'en chaque point de l'espace, il existe un champ   tel que:

  (37.2)

d'où:

    (37.3)

Comme nous pouvons le constater, le champ  possède une singularité en  . Considérons une surface de Gauss telle que la charge Q se trouve à l'extérieur de cette surface. À l'intérieur du volume V délimité par la surface S le champ  ne possède alors pas de singularité. Nous pouvons donc calculer la divergence de :

Il vient alors:

  (37.4)

Donc si nous calculons le flux à travers cette surface nous trouvons (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour la description détaillée de l'opérateur del représenté par le symbole Nabla):

  (37.5)

Le flux est nul!

Dans le cas où la charge Q se trouve à l'intérieur de la surface de Gauss  n'est plus définie en nous avons alors:

  (37.6)

Avec étant le flux de  sur une petite boule B entourant la charge ponctuelle Q. 

Dans ce cas:

  (37.7)

car la divergence est définie partout sur V-B. Il nous reste donc: 

  (37.8)

Mais dans le cas d'une sphère, il est relativement facile de calculer:

  (37.9)

Nous avons: 

  (37.10)

d'où la "première équation de Maxwell" ou "loi de Gauss" pour le champ électrique (ou "théorème de Gauss") avec une notation un peu condensée:

  (37.11)

où est la densité de chage exprimée en coulombs par m³. À gauche nous avons donc la forme intégrale de l'équation de Maxwell et à droite sa forme différentielle.

Cette équation suggère donc que le flux du champ électrique traversant une surface close (d'où le cercle sur l'intégrale) est égal, à un facteur dimensionnel près, à la charge totale enfermée dans cette surface.

Si nous exprimons maintenant cette équation en fonction du potentiel électrique pour lequel nous avons démontré dans le chapitre d'Électrostatique que:

  (37.12)

nous obtenons:

  (37.13)

Nous pouvons noter la relation ci-dessus de façon plus esthétique en utilisant le laplacien scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), tel que nous obtenions la relation:

  (37.14)

appelée "équation de Maxwell-Poisson".

DEUXIÈME ÉQUATION DE MAXWELL

Dans le cas particulier d'un champ magnétique, nous obtenons également des résultats très intéressants.

En effet soit un courant I repéré par rapport à un référentiel par le vecteur . Alors en chaque point de l'espace, nous avons vu dans le chapitre de Magnétostatique qu'il existe un champ tel que:

    (37.15)

d'où:

  (37.16)

Comme nous pouvons le constater, le champ  possède une singularité en . Considérons alors une surface de Gauss telle que le courant I se trouve à l'extérieur de cette surface.

À l'intérieur du volume V délimité par surface S le champ  ne possède alors pas de singularité. Nous pouvons donc calculer la divergence de (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (37.17)

D'où:

  (37.18)

Si nous calculons le flux à travers cette surface, nous trouvons alors:

  (37.19)

Le flux est nul!

Dans le cas où le courant I se trouve à l'intérieur de la surface de Gauss  n'est plus défini en nous avons alors:

  (37.20)

Avec étant le flux de  sur une petite boule B' entourant partiellement le conducteur rectiligne transportant le courant I. Dans ce cas:

  (37.21)

car la divergence est définie partout sur V-B'. Il nous reste donc:

  (37.22)

Mais dans le cas d'une sphère, il est facile de calculer:

  (37.23)

Nous avons alors la loi de Gauss pour le champ magnétique: 

  (37.24)

En effet, dans le cas du champ magnétique,  et sont perpendiculaires donc: 

  (37.25)

Remarque: D'où nous pouvons aussi déduire que !

Donc, soit donnée une surface de Gauss dans un champ magnétique, alors le flux du champ magnétique à travers cette surface vaut:

  (37.26)

relation qui constitue la "deuxième équation de Maxwell". À gauche nous avons donc la forme intégrale de l'équation de Maxwell et à droite sa forme différentielle.

Cette deuxième équation revient donc à dire qu'il n'existe aucun "monopôle magnétique" dans la nature, c'est-à-dire, qu'à tout pôle positif, nous devons retrouver un pôle négatif (à partir d'un aimant, les lignes du champ ne divergent pas). La deuxième équation vient toutefois rajouter l'idée (démontrée par Dirac) que s'il était possible de retrouver un monopôle dans la nature, il serait le point de source du champ magnétique. Nous verrons cela un peu plus loin dans le détail.

TROISIÈME ÉQUATION DE MAXWELL

Nous démontrerons dans le chapitre d'Électrocinétique (car il faut des notions que nous n'avons pas encore rencontrées), que la variation du flux du champ magnétique dans le temps à travers une boucle conductrice induit une tension dans cette boucle donnée par la "loi de Faraday" ou "loi de Lenz-Faraday":  

  (37.27)

et nous avons déjà démontré dans le chapitre d'Électrostatique que:

  (37.28)

où la dernière égalité n'est valable que dans le cas particulier si le chemin parcouru est colinéaire au champ électrique.

Pour un élément d'un circuit il vient:

  (37.29)

le changement de signe étant ici justifié par la loi de Lenz, selon laquelle le courant induit (et le flux magnétique qui lui est associé) a une orientation telle qu'il s'oppose à la variation de flux à travers le circuit.

Si nous développons cette relation, en utilisant le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) qui est pour rappel:

  (37.30)

Nous avons alors:

  (37.31)

Où, comme nous le verrons dans le chapitre d'Électrocinétique, le champ électrique ci-dessus n'est pas le simple champ coulombien mais la somme d'un champ coulombien et d'un champ électromoteur (généré implicitement par la force de Biot-Savart).

Nous avons alors:

  (37.32)

Et si l'élément de surface ne bouge pas dans l'espace et que seul le champ magnétique varie dans le temps, nous avons alors:

  (37.33)

Soit:

  (37.34)

Une solution triviale est alors de dire que:

  (37.35)

Nous obtenons alors au final:

    (37.36)

Ceci est la "troisième équation de Maxwell" ou "loi de Maxwell-Faraday" dite parfois encore "loi d'induction". À gauche nous avons donc la forme intégrale de l'équation de Maxwell et à droite sa forme différentielle.

La troisième équation affirme donc qu'une variation du champ magnétique produit un champ électrique dans une boucle conductrice. Nous disons alors que le terme avec la dérivée partielle du champ magnétique est le "terme de couplage magnétique". Cette équation est donc basée sur la théorie de Faraday.

Souvent dans la littérature scientifique, le potentiel U(t) peut être simplement noté par un u minuscule.

La loi de Faraday de l'induction est typiquement utilisée par de petits appareils portatifs comme le PEG ci-dessous (Personal Energy Generator) pour recharger des appareils électroniques portables:

Figure: 37.3 - Photo d'un PEG (droite) avec un mobile

BÊTATRON

Parmi les nombreux exemples d'application de la troisième loi que nous verrons dans d'autres chapitres du site, il y en est un particulièrement sympathique car il fait penser à la physique moderne à grande échelle (même si dans la réalité on en est très loin).

À l'aide des équations de Maxwell et des relations démontrées dans le chapitre de Magnétostatique, nous pouvons faire une petite étude théorique non exhaustive du principe physique à la base d'un des plus vieux accélérateurs de particules non-linéaires.

Une des premières méthodes non-linéaires qui vient à l'esprit consiste à accélérer une particule chargée via une induction magnétique. Ce type d'accélérateur est appelé un "bêtatron" (dans l'idée qu'il accélère les électrons aussi vite que lors de la radioactivité bêta...) et a été conceptualisé dans les années 1930.

Le bêtatron est un accélérateur de particules qui consiste à injecter des électrons dans un tore sous vide (en blanc sur la photo ci-dessous) soumis à un champ magnétique qui sera considéré ici comme homogène entre les deux aimants (en rouges sur la photo ci-dessous) afin d'obtenir des rayonnements X ou gamma intenses utiles à certaines activités professionnelles (médecine, analyse de structures, etc.). Cet accélérateur est donc limité par l'intensité du champ magnétique qu'il peut produire ou supporter.

Figure: 37.4 - Photo d'un bêtatron

Pour cette étude théorique, nous allons d'abord utiliser le résultat démontré dans le chapitre de Magnétostatique  lorsque nous avons abordé le rayon de Larmor: un électron en mouvement dans un champ magnétique aura une trajectoire circulaire qui sera perpendiculaire au champ magnétique.

Ensuite, nous allons aussi avoir besoin de la troisième équation de Maxwell sous forme d'intégrale:

  (37.37)

qui - pour rappel - dit qu'une variation du champ magnétique produit un champ électrique dans une boucle conductrice (ou un mouvement de particules chargées qui peut être assimilé à une boucle conductrice!).

Nous avons:

  (37.38)

et comme la trajectoire est donc circulaire dans le bêtatron comme nous l'avons démontré lors de notre étude du rayon de Larmor dans le chapitre de Magnétostatique, nous avons:

  (37.39)

Or comme le champ électrique est tangent à la trajectoire circulaire des électrons et que ces derniers vont dans le sens inverse de ce même champ (sens qui est donc constant en tout point de la trajectoire), nous avons puisque les électrons parcourent des cercles:

  (37.40)

Mais nous avons aussi:

  (37.41)

Il vient alors:

  (37.42)

d'où:

  (37.43)

Nous souhaiterions calculer l'énergie cinétique que la particule chargée négativement acquiert après plusieurs tours. Celle-ci est alors égale au travail fourni par le champ électrique pour déplacer la charge sur la trajectoire circulaire (pour rappel le champ magnétique ne "travaille" pas).

Comme nous l'avons montré dans le chapitre d'Électrostatique, nous avons dans le long d'un ligne de champ champ électrique (constant):

  (37.44)

Dès lors il vient lorsque la charge parcoure N fois la circonférence du bêtatron:

  (37.45)

Exemple:

Considérons un champ magnétique sinusoïdal d'amplitude  à une fréquence de , soit une période T de 20 [ms]. Ce qui signifie qu'en 5 [ms] le champ magnétique passe d'un maximum à une valeur nulle. Considérons que nous avons un bêtatron avec une trajectoire circulaire de 1 [m] et que l'électron peut rester environ 480'000 tours sur cette trajectoire avec  ce rayon précis sans trop dévier (soit l'équivalent d'à peu près 3'000 [km] parcourus). L'électron est injecté avec une énergie de 2 [MeV] dans le tore sous vide (ce qui est déjà très proche de la vitesse de la lumière!).

Calculons d'abord le rayon initial pour la trajectoire selon le rayon de Larmor relativiste. Pour cela, il nous faut d'abord la vitesse correspondant à l'énergie de  2 [MeV]:

  (37.46)

Après quelques opérations algébriques élémentaires, nous trouvons:

  (37.47)

Dès lors le rayon de Larmor initial vaut:

  (37.48)

Nous avons alors pendant toute la durée de l'accélération qui va amener l'électron à un rayon de Larmor de 1 [m] un gain d'énergie cinétique de:

  (37.49)

Ce qui correspond en électrons-volts à:

  (37.50)

soit l'énergie qui était mesurée expérimentalement à l'époque. Cette énergie correspond aussi à une vitesse qui est très très proche de celle de la lumière. Ainsi, avec le même calcul que précédemment, nous obtenons:

  (37.51)

vitesse atteinte en quelques centièmes de seconde seulement!

QUATRIÈME ÉQUATION DE MAXWELL

La 4ème équation de Maxwell est probablement la plus importante. Elle est une généralisation de la loi d'Ampère qui a déjà été présentée dans le chapitre de Magnétostatique et pour laquelle nous avions obtenu la circulation du champ magnétique:

  (37.52)

La troisième équation de Maxwell nous dit que la variation d'un champ magnétique donne lieu à un champ électrique. Nous pouvons donc supposer que la réciproque est vraie.

Un endroit typique où l'on peut observer une variation d'un champ électrique est par exemple le condensateur (cf. chapitre d'Électrocinétique).

Nous savons que:

  (37.53)

et que le champ électrique entre deux plans parallèles, de surface S, portant des charges  , uniformément distribuées est donné par (cf. chapitre d'Électrostatique):

  (37.54)

où est la densité de charge surfacique.

Ce résultat est indépendant de la distance D entre les plans. La première équation de Maxwell donne:

  (37.55)

La capacité d'un condensateur étant définie par (cf. chapitre d'Électrostatique):

  (37.56)

nous avions obtenu dans le cas particulier d'un condensateur plan et parallèle que la capacité vaut: 

  (37.57)

Donc il vient:

  (37.58)

et en utilisant le fait que le potentiel électrostatique est le champ électrique multipliée par une distance qui sera prise dans le cas présence comme la distance D entre les deux plans du condensateur, nous avons:

  (37.59)

Comme le champ électrique est variable, il est souvent d'usage de mettre un i minuscule pour le courrant variable (c'est une tradition que nous retrovuerons dans le chapitre d'Électrocinétique) et comme entre les deux plaques du condensateur il n'y a que du vide, nous parlons alors de "courant de déplacement", raison pour laquelle cette dernière relation est souvent notée sous la forme suivante:

  (37.60)

En exprimant l'expression ci-dessus en utilisant la densité superficielle de courant, il vient: 

  (37.61)

Si le champ électrique n'est pas homogène dans l'espace et dépend donc des coordonnées spatiales, nous devrons utiliser les dérivées partielles tel que:

  (37.62)

Le courant de déplacement engendre un champ magnétique calculable au moyen de la loi d'Ampère:

  (37.63)

Dans tout phénomène où nous observons un déplacement de charge, nous pouvons supposer qu'il y a création d'un courant de déplacement qui se superpose au courant de conduction à cause des effets capacitifs dans la matière. Nous écrivons dès lors:

  (37.64)

où nous avons (rappel du chapitre d'Électrostatique et de Magnétostatique): 

 et   (37.65)

D'autre part, le théorème de Stokes fournit que:

  (37.66)

d'où:

  (37.67)

et nous en ressortons finalement que:

  (37.68)

Ceci est la "quatrième équation de Maxwell" ou "équation de Maxwell-Ampère". À gauche nous avons donc la forme intégrale de l'équation de Maxwell et à droite sa forme différentielle.

Explication: La quatrième et dernière équation de Maxwell associe la création d'un champ magnétique à toute variation d'un champ électrique et/ou à la présence d'un courant électrique (la présence d'un courant électrique étant une condition suffisante mais pas nécessaire au vu du deuxième terme). Nous disons alors que le terme avec le dérivée partielle du champ électrique est le "terme de couplage électrique".

Résumé:

Nous avons donc les quatre équations de Maxwell suivantes appelées "formes locales des équations de Maxwell" sous forme de différentielles (lorsque les intégrales ne sont pas indiquées):

  (37.69)

Dans le cas où , c'est-à-dire dans le cas où nous ne travaillons pas dans le vide mais dans la matière, nous notons les équations locales de Maxwell sous la forme suivante:

  (37.70)

où est (rappel) appelé "champ de déplacement" ou encore "induction électrique" et (rappel) "excitation magnétique".

Remarque: Attention! est une réaction du vide au champ . Cela s'explique par la constante de permittivité du vide mise dans l'intégrale (du moins c'est une façon de voir la chose...).

Mais dans le vide et dans le cas où nous considérons une absence de charges, nous obtenons:

  (37.71)

Ce résultat est important, car il exprime la propagation possible d'un champ électrique et magnétique et ce même en l'absence de sources. Nous utiliserons ces équations pour déterminer les équations d'ondes électromagnétiques plus loin.

Signalons enfin aussi la forme intégrale des quatre équations de Maxwell dans le vide que nous avons obtenus:

  (37.72)

MONOPÔLES MAGNÉTIQUES

Remarquons qu'en optant pour le système de mesure naturel où , nous avons alors pour les équations de Maxwell dans le vide:

  (37.73)

puisque comme nous le démontrerons plus loin, dans le vide:

  (37.74)

Alors la transformation:

  (37.75)

ramène la seconde paire d'équations précédentes à la première! Cette symétrie des équations de Maxwell est appelée "dualité" et c'est un indice qui tend à montrer que les champs électrique et magnétique ne sont que les parties unifiées d'un tout.

De plus, si nous introduisons le champ complexe suivant:

  (37.76)

la dualité (en prenant la partie réelle seulement), s'écrit alors:

  (37.77)

la paire d'équations de Maxwell indiquée précédemment se réduit alors à (nous utilisons la propriété de linéarité du produit vectoriel) une seule paire d'équations dont il ne faut pas oublier de ne prendre que la partie réelle:

  (37.78)

Cependant, cette symétrie ne s'étend pas aux équations de Maxwell avec sources exprimées dans le système naturel par:

  (37.79)

car cela se traduirait au mieux (n'oubliez pas de ne prendre que les coefficients réels pour le champ intéressé):

  (37.80)

mais une fois sur deux cela ne marche pas (faites la substitution de vous verrez que vous obtenez toujours une des équations sur la paire qui est conforme et l'autre pas). L'astuce consiste alors à séparer les deux densités en leur partie imaginaire et réelle respectives:

  (37.81)

Nous obtenons alors (toujours sans oublier de ne prendre les parties réelles et sans oublier que nous sommes en unités naturelles):

  (37.82)

il suffit alors de poser . Ces équations sont certes, charmantes mais leur généralisation n'apporte rien de nouveau cependant car aucune charge magnétique exprimée par:

  (37.83)

appelée "monopôle magnétique" n'a été observée à ce jour. Dans un cadre expérimental, nous disons alors que sont réels tel que nous ayons bien:

  (37.84)

Suite à la proposition d'un lecteur, indiquons que Dirac aurait proposé une autre manière beaucoup plus élégante pour compléter empiriquement les 4 équations de Maxwell avec sources démontrées plus haut:

  (37.85)

sous la forme suivante appelée "équations de Dirac-Maxwell symétrisées":

  (37.86)

Alors évidemment quand l'on voit cela on se demande qu'elle est l'argumentation qui permet d'arriver à supposer que la symétrie doit être ainsi écrite?! En réalité c'est très simple et très astucieux (comme souvent...). Effectivement, si nous prenons la divergence du rotationnel du champ électrique, nous avons de par le fait que (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) celle-ci est toujours nulle quelle que soit la fonction considérée:

  (37.87)

le résultat suivant:

  (37.88)

Il en découle alors:

  (37.89)

et donc:

  (37.90)

Soit après simplification et réarrangement:

  (37.91)

Donc c'est le fait de retomber sur une équation de continuité (de forme identique à l'équation de continuité en thermodynamique, en mécanique des fluides, de celle du champ électrique, de probabilité en mécanique quantique, etc.) qui aurait donc amené Dirac à compléter les 4 équations de Maxwell que nous avons écrites juste plus haut.

ÉQUATION DE CONSERVATION DE LA CHARGE

Nous avons donc démontré les quatre équations de Maxwell qui sont les fondements de l'électrodynamique classique.

Les équations de Maxwell peuvent être divisées en deux groupes:

- des "équations sans source":

 et   (37.92)

- des "équations avec sources" (dans le vide):

 et   (37.93)

Dérivant la première équation avec sources par rapport au temps:

  (37.94)

et prenant la divergence de la seconde, nous obtenons:

  (37.95)

La divergence d'un rotationnel est toujours nulle comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel et donc la dernière expression est nulle. Mais étant donné qu'un lecteur nous l'a demandé, nous détaillons ce résultat de façon plus explicite en simplifiant un peu:

  (37.96)

or,  et donc:

  (37.97)

Après simplification via l'introduction des unités naturelles, nous obtenons:

  (37.98)

qui est appelée "équation de conservation de la charge" ou "équation de continuité" et qui dit qu'en deux instants voisins , la variation dQ de la charge contenue dans une surface fermée délimitant un système ne peut être attribuée exclusivement qu'à un échange de charges avec l'extérieur.

Cette équation est très importante, car elle implique lors de l'étude de la relativité restreinte, que la charge est une quantité invariante par translation.

THÉORIE DE JAUGES

Avant de commencer à lire ce sous-chapitre, il est de première importance pour le lecteur d'aller faire un petit tour dans la section d'Algèbre du site, dans laquelle se trouve un chapitre de Calcul Vectoriel où nous faisons un rappel des différents opérateurs vectoriels indispensables en physique et de leurs propriétés.

Ce qui va suivre est très important car outre le fait que nous allons faire apparaître naturellement un nouveau champ (le potentiel-vecteur) qui est indispensable dans certaines équations de la physique quantique relativistes (voir chapitre du même nom) nous reprendrons cette démarche de jauges dans le chapitre de physique quantique ondulatoire où les conséquences sont beaucoup plus vastes!

Soit la relation connue:

  (37.99)

Il existe de par les propriétés des opérateurs rotationnel et divergence (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) un "potentiel vecteur" tel que:

  (37.100)

qui satisfait donc (la divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle car il s'agit d'une propriété mathématique):

  (37.101)

Remarque: Le potentiel-vecteur est donc... un potentiel et un vecteur! De même que nous pouvons définir un potentiel U dont dérive , nous pouvons définir un potentiel pour le champ . Mais pour des raisons techniques (provenant de l'expression des rotationnels de et de dans les équations de Maxwell), le potentiel n'est pas aussi simple que U et ne peut pas s'exprimer comme un simple scalaire: il faut utiliser un potentiel-vecteur.

Si nous portons la relation  dans l'équation de Maxwell  nous obtenons:

  (37.102)

Nous posons maintenant (la notation F n'a aucun rapport avec la force newtonienne!):

  (37.103)

et nous utilisons les propriétés mathématiques des opérateurs rotationnel et gradient pour écrire une nouvelle relation (le signe "-" est là par anticipation de ce qui suivra):

  (37.104)

où dès lors: 

  (37.105)

où  est un "potentiel scalaire".

De plus, les champs  et  restent inchangés si nous effectuons dans les relations précédentes les remplacements suivants (les termes s'annulent trivialement):

  (37.107)

où  est une fonction arbitraire de  et t.

Nous appelons une telle transformation  un "changement de jauge". La liberté sur le choix des potentiels permet de leur imposer une contrainte que nous appelons la "contrainte de Jauge".

Il existe plusieurs manières de forger cette contrainte parmi lesquelles nous en distinguons deux:

Ainsi nous utiliserons soit la "jauge de Lorenz" en imposant:

  (37.108)

ou soit la "jauge de Coulomb" en imposant:

  (37.109)

Montrons qu'il est toujours possible d'imposer la jauge de Coulomb. Pour cela, étant donnés  et , il suffit de trouver  dans les équations:

  (37.110)

tel que la relation (jauge de Coulomb):

  (37.111)

soit vérifiée. Ainsi,   doit vérifier:

  (37.112)

La relation:

  (37.113)

est appelée "équation de Poisson du potentiel-vecteur".

De même, pour montrer qu'il est toujours possible d'imposer la condition de Lorenz, il suffit de trouver  dans les équations précitées:

  (37.114)

tel que la relation (jauge de Lorenz):

  (37.115)

soit vérifiée. Ainsi,   doit vérifier:

  (37.116)

Soit en d'autres termes et de façon plus condensée:

  (37.117)

où l'opérateur:

  (37.118)

est par définition appelé le "d'Alembertien" (nous le retrouverons souvent ce terme à partir de maintenant aussi bien en électrodynamique qu'en physique quantique) qui est donc aussi invariant par transformation Lorentz comme nous le verrons lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

En reportant les équations:

 et   (37.119)

dans les deux autres équations de Maxwell dans le vide:

 et   (37.120)

nous obtenons, en faisant apparaître le laplacien d'un champ vectoriel  par une des propriétés des opérateurs vectoriels rotationnel, gradient et divergence (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (37.121)

les relations suivantes:

  (37.122)

la dernière relation étant appelée "jauge arbitraire".

Pour la jauge de Lorenz, ces deux dernières équations se simplifient en (n'hésitez pas à nous contacter si vous ne voyez pas comment):

  (37.123)

que nous appelons "équations d'onde des potentiels électromagnétiques" en analogie avec les équations d'onde des champs électrique et magnétique que nous déterminerons plus loin.

Pour la jauge de Coulomb, les mêmes équations se simplifient en:

  (37.124)

Sachant que nous pouvons aussi écrire les deux équations d'onde des potentiels électromagnétiques sous la forme:

  (37.125)

Posons maintenant (afin d'homogénéiser les unités) tel que nous définissions un "quadrivecteur potentiel" qui nous permet d'écrire vectoriellement les deux relations ci-dessus de manière unifiée:

  (37.126)

Relation que nous noterons sous une forme condensée de la manière suivante:

  (37.127)

où sera appelé "quadrivecteur courant".

Le quadrivecteur potentiel tel que défini nous amène à pouvoir écrire la (quadrivergence) jauge de Lorenz en faisant usage de la notation tensorielle:

  (37.128)

Ce qui permet finalement d'écrire la jauge de Lorenz sous forme covariante:

  (37.129)

Il s'agit donc d'une équation de la forme de celle de Klein-Gordon pour une particule de masse nulle (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste). Donc, nous pouvons dire dans un sens que l'invariance de jauge électromagnétique est reliée au fait que la masse du photon est nulle!

Remarque: Il est utile de noter que le fait de poser (avec ou sans les unités naturelles où ) est une notation qui sera également adoptée lors de notre étude de l'équation de Dirac (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) ou encore en physique quantique de champs (mis à part qu'il y aura une partie imaginaire).

Ces notations nous amènent enfin à pouvoir écrire:

  (37.130)

Nous obtenons ainsi l'équation de continuité:

  (37.131)

équivalent (sous forme) tensoriel de (voir la démonstration juste plus haut dans le texte):

  (37.132)

Pour résumer en gros...:

Un certain nombre d'effets physiques se modélisent, selon les cas, par des champs qui peuvent être scalaires, vectoriels, spinoriels ou encore tensoriels que nous appelons donc des jauges. Un certain nombre de phénomènes physiques s'avèrent respecter des conditions dites de symétrie, vis-à-vis de ces jauges. Cette symétrie s'exprime par ce que nous appelons donc une invariance de jauge.

Par exemple, le champ qui permet de modéliser le champ électromagnétique est comme nous l'avons vu, un champ de quadrivecteurs formé d'un potentiel scalaire (dont le gradient est le champ électrique ) et d'un potentiel-vecteur (dont le rotationnel est le champ magnétique ). Ce champ quadrivectoriel qui permet de modéliser le champ électromagnétique est appelé une jauge.

Il s'avère que nous obtenions donc exactement les mêmes effets physiques sur un système de particules chargées si nous remplaçons cette jauge par une autre jauge en lui rajoutant une contrainte de jauge (exemple typique entre la jauge de Lorenz ou de Coulomb vues plus haut). L'invariance des lois de la physique lors du passage d'une jauge à une autre étant une invariance de jauge. Dans le cas du champ électromagnétique, cette invariance de jauge s'avère exprimer la conservation de la charge électrique (comme nous l'avons montré).

Mathématiquement, de tels changements de jauges s'avèrent être le résultat de l'action d'un groupe de symétrie de dimension infinie (transformant ces jauges les unes en les autres) que nous appelons le "groupe de jauge" de l'interaction considérée (ici l'interaction électromagnétique).

Pour le champ gravitationnel par exemple (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'interaction gravitationnelle se modélise par un champ de tenseurs symétriques de rang 2 et avec une signature donnée. Ce champ de métrique est distribué sur une variété 4D modélisant l'espace-temps. C'est la jauge de l'interaction gravitationnelle. D'après la relativité générale (principe d'équivalence) nous ne changeons rien à l'interaction gravitationnelle si nous changeons le système de coordonnées spatio-temporelles dans lequel nous exprimons la métrique. Le passage d'une expression de la métrique à une autre en changeant de système de coordonnées est aussi un changement de jauge. L'invariance de jauge de la relativité générale exprime alors la possibilité de passer d'une jauge à une autre sans changer pour autant les géodésiques suivies par des particules tests tombant en chute libre dans le champ gravitationnel modélisé par le champ de métrique.

L'invariance de jauge de la relativité générale est ce que nous appelons l'invariance par difféomorphisme (changement de système de coordonnées bijectif présentant un certain degré de régularité) et le groupe de jauge de la relativité générale est donc le groupe des difféomorphismes de (appelé le "groupe souple").

Il convient de préciser aussi que le potentiel-vecteur n'est peut-être pas si virtuel que ça. En effet, il est possible de modifier les trajectoires de particules chargées passant à l'extérieur du volume cylindrique où règne un champ magnétique induit par un courant électrique (circulant dans l'enroulement d'un solénoïde où ce champ est "emprisonné"). Il est donc possible d'influer sur la trajectoire de particules circulant dans une zone où le champ magnétique est nul mais où son potentiel-vecteur ne l'est pas.

Par ailleurs, nous utiliserons les résultats obtenus ici lors de notre étude de la théorie de Yang-Mills dans la voie de l'unification électrofaible (voir le modèle standard dans le chapitre de Physique Quantique Des Champs).

TENSEUR DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Afin de déterminer le tenseur du champ électromagnétique supposons dans un premier temps que l'action (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'une particule chargée dans un champ électromagnétique serait donnée par (choix a priori empirique mais... vous verrez un peu plus loin):

  (37.133)

Remarque: La notation reste réservée à l'action d'une particule libre (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Le lagrangien pour une particule chargée dans un champ électromagnétique est donc la somme du lagrangien de la particule en interaction avec le champ électromagnétique additionné au lagrangien de la particule libre (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (37.134)

Ceci est donc (a priori) le lagrangien d'une particule chargée dans un champ électromagnétique.

Nous allons démontrer que ce lagrangien est correct:

Le moment généralisé est donc (cf. chapitre de Mécanique Analytique et de Relativité Restreinte):

  (37.135)

Pour vérifier que nous avons fait le bon choix de lagrangien au départ, nous allons obtenir les équations du mouvement et s'assurer qu'elles coïncident avec la force de Lorentz. Les équations de Lagrange sont, dans ce cas:

  (37.136)

Or nous avons:

  (37.137)

et donc:

  (37.138)

Mais nous avions fait remarquer lors de la définition du potentiel scalaire que d'où:

  (37.139)

Nous devrions donc nécessairement avoir par analogie avec la force de Lorentz:

  (37.140)

Il nous faut donc avant de poursuivre, vérifier que:

  (37.141)

Avec:

  (37.142)

En composantes:

  (37.143)

Donc:

  (37.144)

et comme:

  (37.145)

Nous avons donc bien l'égalité:

  (37.146)

Ces développements confirment donc notre hypothèse initiale comme quoi l'action du champ peut s'écrire:

  (37.147)

et qu'elle exprime l'interaction d'une particule chargée avec un champ (car on y retrouve la force de Lorentz!).

Nous avons donc maintenant démontré que le "lagrangien de l'interaction courants-champs":

  (37.148)

dont nous avions supposé empiriquement la forme au début est donc finalement bien correcte!

L'intégrale d'action s'écrivant alors:

  (37.149)

Introduisons la vitesse de la particule sous la forme et l'intégrale s'écrit:

  (37.150)

Nous avons vu en relativité restreinte que:

  (37.151)

et de même:

  (37.152)

Les intervalles d'espace-temps sont des invariants tels que (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (37.153)

Si le référentiel O' n'est pas en mouvement ), nous avons:

  (37.154)

d'où:

  (37.155)

ce qui s'écrit aussi:

  (37.156)

Dès lors:

  (37.157)

Faisons usage du quadrivecteur potentiel contravariant (voir plus haut):

  (37.158)

et du quadrivecteur déplacement contravariant (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (37.159)

L'expression de l'action d'une particule chargée dans un champ électromagnétique et dans une métrique de Minkowski (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale) se réduit finalement à l'expression condensée:

  (37.160)

avec donc:

  (37.161)

sans oublier que nous utilisons ici la métrique +,-,-,- (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale).

Remarquons que l'intégrale d'action en l'absence de champ magnétique et électrique s'écrit:

  (37.162)

ce qui correspond bien à ce que nous avons obtenu en relativité restreinte pour une particule libre !

D'après le principe de moindre action, l'intégrale d'action a une variation nulle pour le mouvement effectif de la particule, soit:

  (37.163)

Utilisant l'expression de l'abscisse curviligne (cf. chapitres de Calcul tensoriel et de Relativité Générale):

  (37.164)

Pour la métrique de Minkowski, nous pouvons écrire (rappelons que dans la métrique euclidienne seuls les termes de la diagonale où sont non nuls):

  (37.165)

Ainsi:

  (37.166)

l'intégrale précédente s'écrit alors:

  (37.167)

Cela donne en utilisant les composantes curvilignes (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

  (37.168)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) la première intégrale:

  (37.169)

Or, comme:

et   (37.170)

Alors:

  (37.171)

avec:

et   (37.172)

devient:

  (37.173)

Les quantités étant arbitraires, l'expression entre crochets est nulle:

  (37.174)

Notons:

  (37.175)

Les quantités contravariantes forment les composantes contravariantes de ce que nous appelons le "tenseur du champ électromagnétique" ou le "tenseur de Faraday" (d'où le F...) ou plus couramment le "tenseur de Maxwell". Nous disons alors que est le "rotationnel du potentiel".

Les "équations du mouvement d'une particule dans un champ électromagnétique" prennent ainsi la forme:

  (37.176)

que certains physiciens appellent "géodésique corrigée par une force de Lorentz".

Dans une métrique de Minkowski (nous allons avoir besoin du tenseur du champ électromagnétique dans le chapitre de Relativité Restreinte, d'où le choix de cette métrique), nous avons cependant:

  (37.179)

Ce qui donne:

  (37.180)

Le terme est souvent noté (même s'il n'est pas plus totalement contravariant).

Il nous reste à déterminer les composantes du tenseur contravariant (tenseur qui a la propriété d'être antisymétrique tel que ).

Commençons par le plus simple. Nous supposerons comme évident que:

  (37.181)

Ensuite, en se rappelant que :

  (37.182)

D'où (en choisissant la métrique Minkowski avec la signature +, -, - , -):

  (37.183)

Ce qui nous donne pour l'instant:

  (37.184)

Remarque: En toute rigueur pour ne pas confondre le tenseur de Faraday avec sa forme matricielle, nous devrions mettre le premier terme de l'égalité ci-dessus entre crochets aussi comme nous l'avons déjà précisé dans le chapitre de Calcul Tensoriel!

Maintenant, étant connu que et les autres composantes du tenseur s'écrivent compte tenu de:

  (37.185)

et donc:

  (37.186)

ainsi, avec les dérivées partielles contravariantes selon la métrique de Minkowski:

  (37.187)

Ainsi, nous avons pour le tenseur du champ électromagnétique en composantes contravariantes avec et toujours avec la métrique de Minkowski de signature +, -, - , - :

  (37.188)

Ce qui fait que l'équation du mouvement est finalement:

  (37.189)

Mais comme nous le verrons dans le chapitre de Relativité Restreinte, le vrai tenseur du champ électromagnétique est défini par (toujours dans la métrique +, -, - , -):

  (37.190)

afin que les transformées de Lorentz soient conformes.

L'expression sous forme tensorielle du champ électromagnétique met bien en évidence l'unité du champ électromagnétique alors que généralement les champs électrique et magnétique sont considérés séparément en théorique classique.

Mais comme en physique théorique nous travaillons souvent en unités naturelles (c'est un peu la norme...), nous avons alors:

  (37.191)

et donc l'équation du mouvement:

  (37.192)

En notant maintenant les composantes de 1 à 4 au lieu de 0 à 3 (c'est plus facile pour les élèves de se repérer dans la matrice) et sans oublier que les dérivées partielles sont covariantes et en adoptant, à nouveau, les unités naturelles telles que (in extenso ), les deux équations de Maxwell avec sources s'écrivent:

  (37.193)

En utilisant le tenseur du champ électromagnétique, il apparaît alors remarquablement que ces deux équations peuvent être écrites sous la forme de l'équation tensorielle condensée suivante:

  (37.194)

où est le "quadrivecteur courant" défini par (en unités naturelles!):

  (37.195)

En utilisant la première définition du tenseur de Faraday (celle où les composantes du champ sont divisées par c) et en prenant pour connu (nous le démontrerons plus tard) que  nous avons dans le système SI:

 avec   (37.196)

Comme nous allons de suite le voir, la partie temporelle de cette équation donne la divergence du champ électrique et la partie spatiale le rotationnel du champ magnétique.

Effectivement:

  (37.197)

De même, les deux équations de Maxwell:

  (37.198)

peuvent s'écrire sous la forme condensée tensorielle:

  (37.199)

Effectivement:

  (37.200)

Finalement, toutes les équations de Maxwell, en adoptant les unités naturelles, se résument à:

  (37.201)

Nous pouvons aussi utiliser un pseudo-tenseur antisymétrique de rang 4 qui peut être vu comme une généralisation du tenseur de Levi-Civita (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) tel que nous puissions écrire:

  (37.202)

avec:

Le lagrangien que nous avons déterminé plus haut n'est cependant pas complet. Effectivement, lorsque nous appliquons le principe variationnel, nous avons déjà vu de nombreuses fois dans les différents chapitres de ce site (mécanique classique, mécanique ondulatoire, magnétostatique, relativité restreinte, relativité générale, etc.) que nous pouvions obtenir les équations du mouvement (trajectoires) des sujets (corps) étudiés. Les équations obtenues contenaient aussi des paramètres qui expliquaient la source de ce mouvement (propriétés de la matière, vitesse, champ, etc.) comme cela a été le cas avant!

Précédemment, nous avons appliqué le principe variationnel sur le lagrangien d'interaction charge-champ (magnétique + électrostatique) et avons obtenu l'équation du mouvement corrigée par la force de Laplace.

Lorsque nous avons déterminé les équations du mouvement de la particule chargée à partir du principe de moindre action, nous avons fixé le champ électromagnétique (le champ est connu) et nous avons fait varier la trajectoire. Le principe variationnel, doit alors également nous permettre d'obtenir les équations du champ à partir de la démarche inverse: nous fixons la trajectoire de la particule (trajectoire connue) et nous faisons varier le champ électromagnétique (potentiel et tenseur).

Nous devrions alors obtenir les équations de Maxwell qui, au même titre que l'on obtient ce qui fait le mouvement de la particule lorsque l'on fixe le champ dans le principe variationnel, nous donne l'information sur ce qui est la source du champ électrique et magnétique lorsque l'on fixe la trajectoire dans le principe variationnel (j'espère que vous avez suivi...).

L'envie est alors très grande de reprendre simplement l'expression de l'action obtenue plus haut:

  (37.203)

et de lui appliquer une variation sur le champ après un petit changement dans la manière de l'écrire:

Nous savons que les charges électriques bien qu'elles soient ponctuelles, sont considérées généralement comme une charge transportée par un courant réparti de façon continue dans l'espace. Soit  cette densité de charge, nous avons alors  tel que:

  (37.204)

Considérons des charges électriques se déplaçant à la vitesse v et écrivons la quantité suivante (ne pas oublier que nous continuons à travailler en unités naturelles telles que !):

  (37.205)

avec en unités naturelles:

Ainsi, nous avons:

  (37.206)

Si nous appliquons le principe variationnel seulement sur le champ (constant en amplitude donc la source du champ est constante telle que ) et que nous considérons donc le mouvement des charges connus, il est immédiat que le premier terme ci-dessus est nul. Nous avons alors:

  (37.207)

pour que cette intégrale soit nulle, il faudrait que  soit nul... ce qui est plutôt gênant si nous souhaitons déterminer les caractéristiques d'une source qui alors n'existerait pas... Dès lors, nous remarquons qu'il manque quelque chose à notre lagrangien!

L'idée est alors la suivante: nous connaissons une équation tensorielle qui fait intervenir la densité de courant qui est   et qui implicitement contient les deux seules équations de Maxwell qui donnent des informations sur la source des champs électrique et magnétique respectifs (les deux autres donnant des propriétés des champs et non pas des sources) soient (toujours en unités naturelles):

  (37.208)

Il est donc suffisant d'obtenir ces deux équations (donc l'équation tensorielle y relative) suite au principe variationnel pour avoir les propriétés de la source du champ.

Ce qui signifie simplement que dans l'idéal, nous devrions (et nous attendons à) avoir :

  (37.209)

où l'intégrale s'annule exactement lorsque !

Il est alors tenant d'écrire quelque chose de la forme (remarquez que nous avons abaissé l'indice du potentiel A et monté celui de la densité de courant j dans la seconde intégrale ce qui ne change rien mathématiquement parlant au résultat)

  (37.210)

Nous pouvons nous aider de la propriété suivante des quantités du lagrangien pour déterminer l'expression "???" manquante: elles sont toutes invariantes. En d'autres termes et pour rappel, leur pseudo-norme (scalaire) est égale par changement de référentiel Galiléen (cf. chapitre de Relativité Restreinte) telle que:

  (37.211)

La première relation est évidente, nous l'avons déjà démontrée de nombreuses fois. La deuxième l'est peut-être moins alors donnons une petite indication (non générale) pour vérifier qu'elle soit correcte: est le produit scalaire de j et de A. Si nous faisons subir la même (quadri)rotation aux deux vecteurs, puisque les transformations de Lorentz sont des rotations (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'angle entre j et A reste inchangé et donc le produit scalaire.

Il nous faut donc ceci dit, trouver la quantité "???" comme étant un scalaire invariant faisant intervenir le tenseur de Faraday d'une manière ou d'une autre.

Nous pouvons alors essayer directement avec la quantité suivante (sachant d'avance, grâce à nos précurseurs que c'est la bonne hypothèse):

  (37.212)

faisant intervenir le tenseur covariant  et contravariant  de Faraday car nous savons que:

1. C'est un scalaire invariant! Effectivement, écrivons  en termes de champs électrique et magnétique pour en comprendre la signification physique (en unités naturelles):

  (37.213)

Exemple:

Dans un référentiel O, considérons une onde électromagnétique plane. Les modules du champ électrique et du champ magnétique sont reliés par  (voir plus loin la démonstration). L'invariant du champ considéré est donc nul. Dans un autre référentiel, avec la même structure du champ, nous aurons alors aussi .

2. Parce qu'un variationnel sur ce terme donne:

  (37.215)

où l'on devine... qu'en creusant un peu,  contient implicitement le terme. Nous voyons aussi qu'un facteur 2 apparaît tel qu'il nous faudra introduire une constante de normalisation , ne serait-ce déjà aussi que pour l'homogénéité des unités de l'expression de l'action.

Donc finalement essayons avec quelque chose du genre:

  (37.216)

À présent, pour chercher les équations du champ électromagnétique, nous considérons que les mouvements des charges sont connus et nous utilisons le principe de moindre action en faisant varier seulement les composantes du potentiel-vecteur et celles du tenseur du champ électromagnétique.

Il en résulte que la variation de la première intégrale est nulle et qu'il reste:

  (37.217)

Substituons dans la seconde intégrale, les composantes  par leur expression implicite , il vient:

  (37.218)

Or nous savons que  est égal à  puisque le tenseur de Faraday est antisymétrique:

  (37.219)

Rien ne nous empêche de permuter les indices  dans le premier membre à droite de l'égalité:

  (37.220)

Donc finalement:

  (37.221)

Intéressons-nous à la seconde intégrale:

  (37.222)

En appliquant le théorème de Fubini (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qui dit que l'on peut intégrer selon n'importe quel ordre les variables d'intégration (sous certaines conditions) on peut alors appliquer l'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de manière à écrire:

  (37.223)

où dS représente la frontière-surface de l'hyper-volume  sur lequel on intégrait initialement et qui omet la variable prise en considération par le choix de l'indice supérieur v.

Maintenant selon l'indice supérieur v concerné, les bornes du premier terme de l'égalité:

  (37.224)

seront sur les composantes de temps ou les composantes d'espace. Si nous nous concentrons sur les bornes temporelles d'intégration, il s'agit des moments initiaux et finaux de l'action sur laquelle nous appliquons ce variationnel.

Or aux extrémités temporelles, le variationnel du potentiel-vecteur  est nul (par définition) donc l'intégrale sur la composante de temps sera nulle.

Maintenant sur les composantes spatiales, les bornes (spatiales) sont celles qui permettent d'intégrer la surface-frontière de l'hyper-volume au temps final. Si celui-ci est pris comme l'infini, le rayon de la surface-frontière sera infini et en tout point de cette surface, l'énergie transportée par le champ ainsi que l'amplitude des composantes du champ sera nulle (voir démonstration plus bas).

Donc le variationnel de l'action s'écrit finalement:

  (37.225)

Les variations du potentiel-vecteur étant arbitraires, l'intégrale précédente sera nulle si l'intégrande elle l'est, d'où la relation

  (37.226)

ce qui nous amène à:

  (37.227)

nous retrouvons donc les deux équations de Maxwell exprimant la source si et seulement si (en unités naturelles):

  (37.228)

Nous avons donc alors:

  (37.229)

Avec finalement pour "lagrangien total de l'interaction charge-champ" en unités naturelles:

  (37.230)

ou avec le système SI:

  (37.231)

ÉQUATIONS D'ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Maxwell supposa que l'onde électromagnétique était une combinaison des phénomènes qu'explicitent les troisième et quatrième équations. Si une onde électromagnétique est éloignée de sa source, nous pouvons alors négliger la densité superficielle de courant de la source comme ayant une influence nulle sur l'onde (nous disons alors que ce sont les équations de Maxwell sans source dont nous avons déjà fait mention plus haut). Alors, les troisième et quatrième équations de Maxwell s'écrivent:

et   (37.232)

Les champs d'excitation magnétique et électrique étant perpendiculaires, plaçons-les de façon commode dans un système d'axes orthogonaux  unitaires et euclidiens appartenant à en choisissant que: 

 et   (37.233)

Remarque: Attention! Il faut bien se rappeler que dans ce qui suit, H est la composante en z de et E la composante en y de .

Les calculs (simples) de  et  donnent, après simplification:

et   (37.234)

Avant d'aller plus loin, un lecteur nous a demandé de développer les détails qui permettent d'arriver à l'égalité de gauche. Nous partons donc de:

  (37.235)

Or:

  (37.236)

car l'onde est plane et la composante du champ électrique étant en y, elle ne varie pas selon z. Nous avons alors:

  (37.237)

Ceci étant fait, si nous continuons, nous avons donc:

et   (37.238)

En identifiant les termes semblables, nous obtenons "l'équation de propagation" du champ électrique:

  (37.239)

et procédant de manière identique:

  (37.240)

relations qui sont toutes deux de la forme d'une équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire)  du type (rappel) équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

  (37.241)

où nous avons: 

   et   (37.242)

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans le vide est donc:

  (37.243)

les unités ainsi que les valeurs numériques concordent...

La vitesse de propagation de l'onde électromagnétique dans la matière est donc:

  (37.244)

car l'expérience montre que nous ne pouvons dépasser la vitesse de la lumière, ce qui est un des postulats de la relativité restreinte et générale.

Donc, nous pouvons finalement écrire:

  (37.245)

soit en utilisant le d'Alembertien en une dimension:

  (37.246)

À défaut d'avoir trouvé l'expression directe de E(x,t) et B(x,t), nous venons d'obtenir des équations différentielles ne contenant qu'un seul de ces champs. Nous appelons ces équations respectivement "équation d'onde pour le champ électrique" et "équation d'onde pour le champ d'induction magnétique".

Elles ont la même forme et admettent une solution du même type. Une solution évidente et particulière (nous laissons le soin au lecteur de faire cette vérification) de ces équations différentielles est la fonction trigonométrique sinus:

  (37.247)

en n'oubliant pas la relation entre la pulsation , la vitesse de propagation c et le nombre d'onde k que nous avions démontrée dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire!

Une solution plus générale est la somme des solutions triviales (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (37.248)

Mais nous avons vu lors de notre étude des phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) que cette solution réelle n'est qu'un cas particulier d'une solution plus générale et se trouvant dans le corps des complexes. Donc finalement, nous pouvons écrire:

  (37.249)

ce qui constitue l'onde plane monochromatique qui est le type d'onde le plus simple à manipuler en physique.

En trois dimensions, la solution est par extension:

  (37.250)

Or, l'équation des ondes est linéaire (solution est toujours la somme d'autres solutions). Donc ceci implique qu'une superposition d'ondes de fréquences  différentes (nombre d'onde et pulsation aussi alors!) est également solution. Ainsi, en variant le vecteur d'onde (et implicitement via sa norme, la pulsation, la fréquence et la période) nous balayons également l'ensemble des directions de propagation possibles.

Écrit mathématiquement cela donne, pour le champ électrique:

  (37.251)

et rien ne nous empêche de sortir un coefficient de l'amplitude initiale du champ tel que:

  (37.252)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire à celle d'une transformée de Fourier inverse (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) ce qui est remarquable! Alors l'astuce consiste maintenant à poser  car la relation précédente n'est alors pas qu'une simple analogie avec la transformée de Fourier, c'est une transformée de Fourier!

Nous pouvons donc relier le champ réel  au champ :

  (37.253)

Ces deux relations étant souvent condensées sous la forme:

  (37.254)

Le champ réel est donc à l'instant initial la transformée de Fourier inverse du champ . Le terme  représente donc la composante spectrale liée au vecteur d'onde particulier  du champ réel. Cette solution générale de l'équation des ondes s'appelle un "paquet d'ondes"

Rappels:

R1.Identiquement à la mécanique ondulatoire (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), les coefficients  (pulsation) et k (nombre d'onde) sont exigés pour exprimer la variation du sinus par des radians et pour lui donner une direction et une pulsation.

R2. La périodicité dans le temps de la fonction sinus impose:

  (37.255)

d'où la définition de la période de l'onde:

  (37.256)

R3. La périodicité dans l'espace permet de définir de façon identique la longueur d'onde de la fonction comme:

  (37.257)

Nous constatons donc que l'onde plane se déplace selon x en parcourant une distance  en un temps T. La vitesse de l'onde électromagnétique est alors:

  (37.258)

En introduisant:

  (37.259)

dans  nous obtenons le résultat remarquable pour l'onde plane oscillatoire:

  (37.260)

ÉQUATION DE HELMHOLTZ

Maintenant, examinons en détail une autre solution de la forme:

  (37.261)

où cette fois-ci, nous faisons explicitement mention des coordonnées afin d'éviter toute confusion.

Si nous utilisons la notion de phaseur, nous pouvons réécrire cette solution sous la forme:

  (37.262)

Donc:

  (37.263)

dans l'équation d'onde:

  (37.264)

nous obtenons:

  (37.265)

qui n'est autre que "l'équation de Helmholtz" (pour l'électrodynamique) à une dimension. Il s'agit bêtement de l'équation d'onde écrite d'une manière traditionnelle particulière que nous retrouvons dans de nombreux autres domaines de la physique.

ÉNERGIE VÉHICULÉE

Il est relativement intuitif que toute onde électromagnétique transporte donc de l'énergie. Exprimons la valeur de cette énergie. 

La direction de propagation d'une onde électromagnétique étant celle du vecteur , nous définissons alors le vecteur de Poynting  comme:

  (37.266)

dont la valeur s'exprime en joules par seconde et par unité de surface:

La norme du vecteur de Poynting représente donc la puissance instantanée qui est transportée par l'onde électromagnétique à travers une surface unitaire, perpendiculaire (nous insistons sur le "perpendiculaire") à sa direction de propagation. Dès lors, nous pouvons aussi écrire le vecteur de Poynting sous la forme (attention à ne pas confondre l'énergie et le champ électrique qui sont représentés par la même lettre):

  (37.267)

où est comme à l'habitude le vecteur unitaire perpendiculaire à (cette dernière relation nous sera utile pour étudier une petite propriété du rayonnement synchrotron).

Pour une onde électromagnétique plane, la norme du vecteur de Poynting vaut:

  (37.268)

Cette grandeur varie en fonction du temps et du lieu. En un endroit donné, sa valeur moyenne est la valeur moyenne du pendant une période T:

Rappel:

  (37.269)

Donc:

  (37.270)

La valeur moyenne du vecteur de Poynting d'une onde électromagnétique plane est une constante... qui ne dépend ni de la position et du temps.

Remarque: Nous pouvons faire une analogie osée et amusante avec l'électronique en faisant une analyse dimensionnelle du produit ci-dessus. Nous avons:

  (37.271)

...pour démontrer l'énergie contenue dans une unité de volume les physiciens pragmatiques feraient une analyse dimensionnelle. Évitons cela et intéressons-nous toujours au cas particulier de l'onde plane:

Basons-nous sur l'énergie électrique d'une capacité plane idéale productrice d'ondes électromagnétiques planes avec un rendement de 100%:

  (37.272)

et notons la densité volumique d'énergie:

  (37.273)

d'où nous tirons que: 

  (37.274)

et l'énergie totale transportée par l'onde électromagnétique dans ce cas particulier est donc:

    (37.275)

Donc la densité d'énergie électrique d'une onde électromagnétique est égale à sa densité d'énergie magnétique.

De par ce résultat, nous sommes amenés à définir "l'intensité I (moyenne) d'une onde électromagnétique" par la valeur moyenne de son vecteur de Poynting:

  (37.276)

C'est donc la puissance moyenne que transporte l'onde par unité de surface. Or, nous avons démontré plus haut l'expression moyenne du vecteur de Poynting, ce qui nous amène à écrire:

  (37.277)

Maintenant, utilisant la relation entre énergie et quantité de mouvement (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

  (37.278)

nous obtenons la densité de quantité de mouvement de l'onde électromagnétique:

  (37.279)

Or si la direction de  est perpendiculaire au front d'onde et est donc confondue avec la direction de propagation de l'onde son module est:

  (37.280)

Nous avons donc pour la densité de quantité de mouvement:

  (37.281)

Comme la quantité de mouvement doit avoir la direction de la propagation, nous pouvons écrire sous forme vectorielle:

  (37.282)

Si une onde électromagnétique possède de la quantité de mouvement, elle possède aussi une densité de moment cinétique. Le moment cinétique par unité de volume est alors:

  (37.283)

Ainsi, une onde électromagnétique transporte de la quantité de mouvement et du moment cinétique aussi bien que de l'énergie!!!

Ce résultat n'est pas surprenant. Une interaction électromagnétique entre deux charges électriques implique un échange d'énergie et de quantité de mouvement entre les charges. Cela s'effectue par l'intermédiaire du champ électromagnétique qui transporte une densité d'énergie et de quantité de mouvement échangées.

ÉMISSIONS

Pour prévoir la forme et les propriétés du rayonnement émis par des antennes ou autres sources, il faudrait rigoureusement faire appel à des ordinateurs et aux modèles numériques correspondants au problème à étudier. Formellement, la résolution des équations de Maxwell dans des systèmes macroscopiques est assez difficile et prend du temps. De plus, ceci est plutôt le travail de l'ingénieur qui cherche une exploitation pratique à partir de théories fondamentales. Le physicien théoricien s'intéresse aux fondements de l'Univers et aux systèmes isolés et parfaits. 

Cependant, nous souhaiterions exposer la théorie de la diffraction et pour cela, nous devons faire un crochet théorique via une approximation des propriétés du rayonnement d'une source ponctuelle sphérique dans le vide.

L'onde dans le cas d'une source ponctuelle sphérique se propage sphériquement dans l'espace (nous parlons alors "d'onde sphérique")  et le vecteur de Poynting est radial.

Les vecteurs  et  sont localement contenus dans le plan tangent à la sphère de rayon r (c'est logique!) comme le montre la figure ci-dessous:

Figure: 37.5 - Représentation de la propagation par rapport au plan tangent à la sphère

Pour que le flux d'énergie soit constant, l'intensité de l'onde doit diminuer avec la distance. En effet, la conservation de l'énergie impose qu'à travers une sphère de rayon  l'énergie  rayonnée par unité de temps (écrite avec un "E" droit afin de ne pas confondre avec la notation du champ électrique) soit égale à celle  qui traverse la sphère de rayon :

  (37.284)

Ceci implique naturellement:

  (37.285)

Mais en utilisant la relation démontrée plus haut:

  (37.286)

et en utilisant la propriété de perpendicularité du champ électrique et magnétique pour une onde plane:

  (37.287)

ce qui implique:

  (37.288)

Nous pouvons faire de même pour la composante du champ magnétique.

Donc l'intensité I d'une onde électromagnétique sphérique se propageant dans le vide diminue en puisque:

  (37.289)

et l'amplitude des champs électrique et magnétique diminue en 1/r. Par extension (information importante pour les téléphones portables), au vu des résultats démontrés précédemment, l'énergie transportée diminue donc en puisque:

   et        (37.290)

Il est facilement compréhensible maintenant d'appréhender pourquoi les physiciens utilisent systématiquement la fréquence pour caractériser une onde, car l'amplitude n'est pas constante dans le vide alors que la fréquence est une sorte de signature de l'émetteur qui ne se perd pas à travers l'espace vide!!!

RAYONNEMENT SYNCHROTRON

Considérons une charge en mouvement uniforme rectiligne. Les champs électrique et magnétique d'une telle charge ont été étudiés dans les chapitres précédents. Nous avons également démontré plus haut que le champ magnétique est dans cette configuration, toujours perpendiculaire au champ électrique. La première conséquence est que le champ électrique est radial et le champ magnétique transversal.

Donc si nous entourons la particule en mouvement d'une surface sphérique fermée imaginaire, nous avons alors trivialement (voir la définition du vecteur de Poynting):

  (37.291)

puisqu'effectivement, en tout point de la surface, en est perpendiculaire, tangent, donc tangent aussi et donc l'angle entre et est égal à un angle droit donc le produit scalaire est nul.

Donc en conclusion le flux total d'énergie rayonnée est nul pour une charge en mouvement rectiligne uniforme. Autrement dit, une charge en mouvement rectiligne uniforme, ne rayonne pas d'énergie électromagnétique mais transporte avec elle l'énergie du champ électromagnétique (nous voilà rassuré!). Ceci est confirmé par les observations expérimentales.

Cependant, la situation est très différente pour une charge en mouvement accéléré. Le champ électrique d'une charge accélérée n'est plus radial et ne possède plus la symétrie par rapport à la charge qu'il possède lorsque le mouvement est uniforme (nous allons le démontrer). Conséquence... une charge électrique accélérée rayonne de l'énergie électromagnétique et donc voit son énergie cinétique diminuer !

Une conclusion importante est qu'il faut, pour maintenir une charge en mouvement accéléré, fournir de l'énergie pour compenser celle perdue par rayonnement. Si la particule au lieu d'être accélérée est décélérée (c'est typiquement ce que nous cherchons à faire en radioprotection) à nouveau la particule va émettre de la même manière le même rayonnement (nous allons aussi le démontrer). C'est ce qui se produit, par exemple, lorsqu'une charge, telle qu'un électron ou un proton, heurte une cible à grande vitesse. Une fraction substantielle de son énergie totale s'en va sous forme d'un rayonnement appelé "rayonnement de freinage" ou plus communément "bremsstrahlung" (de l'allemand Bremsung: freinage; et Strahlung: rayonnement).

Les équations que nous allons déterminer restent valables pour n'importe quel type de mouvement accéléré relativiste ou non. Par exemple, une particule chargée se déplaçant sur une orbite circulaire est soumise à une accélération centripète et émet donc du rayonnement. Par conséquent, lorsqu'un ion est accéléré dans un accélérateur cyclique, comme un cyclotron, un bêtatron ou un synchrotron, une fraction de l'énergie qui lui est fournie est perdue sous forme de rayonnement électromagnétique, cet effet étant relativement plus important dans les accélérateurs cycliques que dans les accélérateurs linéaires.

Quand les charges atteignent des énergies très élevées, comme cela se produit dans les synchrotrons où l'accélération est grande (heureusement pour nous car cela va nous permettre de faire une petite approximation fort utile...), les pertes dues au rayonnement, appelé "rayonnement synchrotron", deviennent importantes et constituent une limitation sérieuse dans la construction d'accélérateurs cycliques de très haute énergie mais restent cependant infiniment utiles à l'industrie de pointe.

Une autre considération importante se rapporte à la structure atomique. Selon le modèle atomique de Rutherford (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous imaginons l'atome comme formé d'un noyau central chargé positivement, les électrons chargés négativement décrivant autour de lui des orbites fermées. Mais ceci implique, que les électrons se déplacent suivant un mouvement ayant une accélération et, si nous appliquons les idées développées jusqu'à maintenant, tous les atomes devraient rayonner continuellement de l'énergie (même en l'absence de source d'énergie extérieure comme le Soleil). Par suite de cette perte d'énergie, les orbites électroniques devraient se contracter, amenant à une réduction correspondante de la taille de tous les corps. Heureusement pour nous, cela ne s'observe pas (la matière ne s'effondre pas sur elle-même) mais cela nous amène donc à supposer dans le cadre du modèle de Rutherford que les mouvements des électrons dans les atomes est gouverné par certains principes supplémentaires que nous n'avons pas encore envisagés. C'est ce qui nous amènera à créer le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) mais qui aura, lui aussi comme nous le verrons, d'autres défauts.

Pour déterminer l'énergie émise par une charge en mouvement accéléré nous allons devoir faire usage d'outils mathématiques qui ne sont plus du même niveau que ceux utilisés précédemment. Il est donc conseillé que le lecteur ait un bon bagage mathématique. Par ailleurs, exceptionnellement nous ferons usage de logiciels de calculs pour certains points du développement.

Considérons tout d'abord la figure suivante:

Figure: 37.6 - Scénario à considérer pour l'étude du rayonnement synchrotron

Lorsque la distribution de charges et la distribution de courant se trouvent au point , le point M reçoit l'onde électromagnétique émise par les charges et le courant lorsqu'ils étaient au point c'est-à-dire à l'instant t' (à cause de la vitesse limite de la propagation du champ dans l'espace). Le retard temporel est la durée de propagation depuis le point vers le point M, soit:

  (37.292)

Donc:

  (37.293)

Soit:

  (37.294)

Les potentiels scalaires et vectoriels associés respectivement au champ électrique et magnétiqeu au point de coordonnée vectorielle au temps t ont au vu des résultats obtenus dans les deux chapitres précédents les expressions suivantes:

  (37.295)

où nous devons par contre de suite démontrer en détail que le potentiel vecteur associé au champ magnétique s'exprime bien ainsi!

Ces deux relations nous sont déjà partiellement familières, la première qui exprime le potentiel électrique (retardé) a été démontrée dans le chapitre d'Électrostatique dans le cadre non relativiste (donc nos calculs risquent de ne pas être corrects si nous tombons sur un résultat qui dépend de la vitesse ! ... nous verrons bien).

Concernant la deuxième relation qui exprime le potentiel-vecteur retardé, nous avons vu plus haut que était toujours juste au gradient d'une fonction additive près pour (de par les propriétés des opérateurs vectoriels différentiels) tel que:

  (37.296)

et que soit sous forme relativiste ou non, nous avions:

  (37.297)

Rappelons aussi (cf. chapitre de Magnétostatique) que:

  (37.298)

Il s'ensuit que si nous posons:

  (37.299)

que nous retrouvons la loi de Biot-Savart puisque si et seulement si ne dépend pas de r alors (trivial):

  (37.300)

Nous obtenons donc bien:

  (37.301)

Bien que cette forme du potentiel vecteur ne donne que la loi de Biot-Savart sous forme non relativiste, comme elle satisfait toujours:

  (37.302)

elle est quand même valable dans le cadre relativiste car cette équation de Maxwell ne dépend pas de la vitesse. De plus, si nos résultats dans l'étude du rayonnement synchrotron nous donnent à la fin une expression indépendante de la vitesse, nous aurons encore une fois confirmé cet état de fait.

POTENTIELS DE LIÉNARD-WIECHERT

Soit le cas où une particule de masse m et de charge q parcourt une trajectoire . Par rapport à un point origine O, sa coordonnée vectorielle est , son vecteur vitesse sera noté:

  (37.303)

et son accélération:

  (37.304)

Si la charge ponctuelle q se situe à l'origine O, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la fonction de Dirac nous donne:

  (37.305)

ainsi que si la charge ponctuelle q se situe à une abscisse , nous avions:

  (37.306)

Ce qui vient d'être dit pour un espace à une dimension peut aussi être appliqué à un espace à trois dimensions comme nous l'avions vu et nous écrivons alors:

  (37.307)

Si nous choisissons pour unités pour la fonction de Dirac des , alors nous pouvons écrire:

  (37.308)

où q est alors la charge totale au point .

Pour la distribution de la densité de courant, nous avons de même toujours en choisissant les mêmes unités que pour la fonction de Dirac:

  (37.309)

Dès lors au point M, les potentiels au temps t ont pour expression:

  (37.310)

C'est une formulation bien utile (un détour) qui va nous permettre de résoudre notre problème.

Pour cela, lorsque la charge se trouve au point  au temps t', nous posons:

  (37.311)

Nous allons utiliser un long artifice afin de résoudre l'intégrale du potentiel électrique (qui est donc une intégrale multiple en coordonnées cartésiennes)!

Celui-ci commence en multipliant le facteur sous l'intégrande de par:

  (37.312)

cela ne modifie pas l'intégrale puisque:

  (37.313)

et que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (37.314)

Nous disposons alors de l'expression suivante dans laquelle apparaît le temps t':

  (37.315)

ce que nous avons le droit d'écrire car la deuxième intégrale ne dépend pas explicitement de t'.

Bon maintenant si nous essayons de résoudre cette intégrale, nous allons y passer notre vie... pour rien. Il va falloir être astucieux.

Avant de rechercher une solution de cette intégrale, nous devons d'abord traiter le cas plus général de l'intégrale suivante:

  (37.316)

Soit écrit de manière plus condensée:

  (37.317)

qu'il est facile de rapprocher avec l'intégrale antéprécédente:

  (37.318)

où nous nous sommes donc arrangés pour que  ne dépendent respectivement (explicitement) que de x, y, z et t'.

Nous souhaitons maintenant faire le changement de variables:

  (37.319)

Nous rappelons que dans des changements de variables dans les intégrales multiples (voir le Jacobien dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), nous avons, en passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées curvilignes les relations suivantes:

  (37.320)

où pour rappel:

  (37.321)

et où:

  (37.322)

n'est pas une valeur absolue mais le déterminant d'une matrice!

Or, dans notre cas traité, rappelons que nous avons tous les  qui sont nuls et donc:

  (37.323)

et au cas où pendant les développements un des  ne le serait plus pour des raisons encore non déterminées, nous aurions:

  (37.324)

L'intégrale multiple devient alors:

  (37.325)

où le terme entre accolades est pris à  par nécessité de la construction des développements précédents préparant l'artifice mathématique!

Et rappelons encore une fois (!!) la propriété des fonctions de Dirac:

  (37.326)
 

Nous avons alors immédiatement la simplification:

  (37.327)

où:

  (37.328)

est donc le Jacobien de la transformation de l'artifice...

Il est évident que par construction du Jacobien, nous avons:

  (37.329)

Dès lors il vient:

  (37.330)

Pour l'intégrale I nous avons alors:

  (37.331)

Calculons donc maintenant notre Jacobien...:

  (37.332)

En revenant au cas traité,  a donc pour composantes:

  (37.333)

Ainsi, nous avons le calcul des éléments de l'inverse du Jacobien:

  (37.334)

Bon maintenant que nous avons les composantes de la matrice Jacobienne, il ne nous reste qu'à calculer son déterminant. Donc soit nous utilisons la relation générale du calcul de déterminant démontrée dans le chapitre d'Algèbre Linéaire, soit nous utilisons Maple... Alors histoire de gagner un peu de temps faisons-le avec Maple 4.00b:

>with(linalg):
> A:= matrix(4,4,[1,0,0,a,0,1,0,b,0,0,1,c,d,e,f,1]);

où:

  (37.335)

avec:

      et         (37.336)

Continuons avec Maple 4.00b:

>det (A);

Ce qui donne:

1 - cf - eb - da = 1 - ( fc + eb + da)   (37.337)

L'inverse du Jacobien a alors pour expression:

  (37.338)

où nous avons utilisé le produit scalaire dans la dernière relation afin de condenser l'expression.

Soit:

  (37.339)

L'intégrale multiple:

  (37.340)

où pour rappel:

  (37.341)

soit autrement écrit:

  (37.342)

mais suite à notre changement de système de coordonnées nous avons pour rappel:

  (37.343)

Or, rappelons encore une fois que:

  (37.344)

Donc il faut prendre g en ! Il vient:

  (37.345)

Ce qui permet d'écrire:

  (37.346)

Il en est de même pour:

  (37.347)

qui s'écrit alors:

  (37.348)

Finalement la résolution de l'intégrale I s'écrit:

  (37.349)

On accède ainsi enfin aux expressions des potentiels.

- Le potentiel scalaire s'écrit:

  (37.350)

- Le potentiel-vecteur s'écrit:

  (37.351)

Compte tenu de l'intégrale qui est quasiment la même que pour le potentiel scalaire excepté le terme , nous arrivons en faisant les mêmes développements que précédemment à l'expression:

  (37.352)

En résumé, les potentiels pris à l'instant (retard temporel de propagation):

  (37.353)

ont pour expressions:

  (37.354)

ces potentiels sont appelés "potentiels de Liénard-Wiechert" avec:

  (37.355)

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