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Géométrie

TRIGONOMÉTRIE | GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE | GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE | GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE | GÉOMETRIE DIFFÉRENTIELLE
FORMES GÉOMÉTRIQUES | THÉORIE DES GRAPHES

24. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:25 | {oUUID 1.780}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La "géométrie analytique" est la branche de la géométrie qui s'occupe de l'étude des formes géométriques et de leurs propriétés en utilisant les outils avancés du calcul algébrique tels que l'analyse fonctionnelle, le calcul vectoriel ou l'algèbre linéaire. Sa frontière se situe au niveau des outils utilisés et a pour origine les travaux de René Descartes au début du 17ème siècle. La "géométrie vectorielle" est donc un sous-famille de la géométrie analytique et nous en ferons aussi bien usage dans le présent chapite que dans celui de Géométrie Différentielle.

Remarque: Lorsque nous faisons usage pour ces mêmes études du calcul différentiel et intégral, alors nous faisons de la "géométrie différentielle" (voir chapitre du même nom).

La géométrie analytique est un très vaste domaine (comme tout le reste) alors... nous n'aborderons ici que les éléments absolument indispensables à l'étude de la physique (et en particulier l'astronomie et la physique quantique corpusculaire) et de l'ingénierie (génie spatial). Ces éléments sont par ailleurs souvent étudiés dans les petites classes et sont (cités dans l'ordre): les coniques, les équations de la droite, du plan, de la sphère, etc... leurs intersections, leurs plans tangents et encore bien d'autres.

CONIQUES

Il nous a été très difficile de choisir s'il fallait mettre l'étude des coniques dans la section d'algèbre ou de géométrie. Nous avons finalement décidé de mettre cette étude dans le présent chapitre (donc de géométrie...) qui permet de supposer que le lecteur ayant fait une lecture linéaire du site a déjà parcouru tous les chapitres présentant les outils mathématiques nécessaires à l'étude des coniques. Nous espérons que notre choix s'avérera le meilleur pour le lecteur.

Remarque: L'étude des coniques nous sera très utile dans le chapitre d'Astronomie (par ailleurs c'est à Kepler que l'on doit de nombreux résultants de l'étude des coniques) ainsi que dans le chapitre d'Optique Géométrique. Il convient donc de s'y attarder dans les détails.

APPROCHE ALGÉBRIQUE

Soit  equation un repère orthonormé du plan. Les courbes algébriques les plus simples que l'on trouve après les droites dont les équations sont sous forme générale (rappel):

equation   (24.1)

sont les courbes du deuxième degré, appelées "coniques analytiques", à savoir par extension :

equation   (24.2)

avec equation non tous nuls. Les courbes de second degré correspondantes sont appelées "coniques" (appelées également "quadriques" de par la présence d'un terme quadratique). La conique sera dite "conique propre" si c'est une ellipse, une parabole ou une hyperbole comme nous allons le voir plus loin.

Cette dernière relation peut aussi s'écrire sous forme matricielle (écriture très importante dans la pratique des méthodes numériques comme nous le verrons dans le chaptire du même nom ainsi que dans la classification des équations différentielles comme nous le verrons dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (24.3)

écriture dont il existe plusieurs variantes...

Par exemple, la fonction:

equation   (24.4)

donne pour différentes valeurs de g les tracés suivants:


Figure: 24.1 - Coniques avec b = 0.5, 1.5 et 1 et plusieurs valeurs de g

Notre première tâche va consister à obtenir, par translation et rotation du repère dans lequel cette relation est exprimée, une équation réduite beaucoup plus simple en éliminant le terme en xy . En effet, choisissons un nouveau repère se déduisant de l'ancien par une rotation d'angle equation. Soit  x' et y'  les nouvelles coordonnées des points. Nous avons (cf. chapitre de Géométrique Euclidienne):

equation   (24.5)

D'où:

equation   (24.6)

L'équation devient:

equation   (24.7)

Nous cherchons donc à ce que les termes en x'y' regroupés soient tels que:

equation   (24.8)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation et equation   (24.9)

par substitution, nous obtenons:

equation   (24.10)

Pour avoir que les termes en x'y' se simplifient, il suffit donc de choisir l'angle de rotation equation tel que:

equation   (24.11)

Nous considérerons alors désormais l'équation:

equation   (24.12)

1. Si nous posons equation et equation. Quitte à diviser par equation, nous pouvons nous ramener à une équation du type:

equation   (24.13)

où:

- Si equation, nous nous retrouvons avec une équation décrivant la figure d'une "parabole" d'axe parallèle à OX.

- Si equation, il s'agit d'un cas dégénéré

2. Si nous posons equation et equation le cas se traite comme précédemment.

3. Si equation et equation, nous pouvons supprimer les termes equation et equation de la façon suivante:

equation   (24.14)

et par un simple changement de repère via des translations, nous arrivons donc à une équation du type:

equation   (24.15)

- Si  equation, alors la relation précédente se réduit à un point dans equation si equation et equation sont de même signe, et à une droite si equation et equation sont de signe contraire.

- Si equation  posons:

equation   (24.16)

equation signifie: 1 multiplié par le signe de x et divisons le tout par equation tel que:

equation   (24.17)

Posons:

equation   (24.18)

Nous obtenons:

equation   (24.19)

Nous avons donc plusieurs situations possibles:

equation   (24.20)

Deux termes ci-dessus sont impossibles dans equation, c'est pourquoi nous les avons barrés (la somme de deux nombres positifs ne peut être négative et inversement).

Il y a plusieurs cas de figures intéressants:

- Pour:

equation ou equation   (24.21)

et equation nous avons un cercle de rayon unité. Le lecteur peut s'amuser à tester cela avec la commande Maple 4.00b suivante:

>with(plots):
>a:=4;b:=4;
>implicitplot(x^2/a^2+y^2/b^2 = 1,x=-10..10,y=-10..10);

- Pour:

equationequation   (24.22)

et equation nous avons une ellipse (qui contient donc le cas particulier qu'est le cercle) de demi-axes respectivement a et b (pour la représentation graphique voir plus bas ou sinon le chapitre de Formes Géométriques).

Le lecteur peut s'amuser à tester cela avec la commande Maple 4.00b suivante:

>with(plots):
>a:=4;b:=8;
>implicitplot(x^2/a^2+y^2/b^2 = 1,x=-10..10,y=-10..10);

- Pour:

equation   (24.23)

et equation, nous avons des hyperboles dont l'axe de symétrie est soit parallèle à OX soit à OY (pour la représentation graphique voir plus bas). Nous disons que l'hyperbole est "équilatère" lorsque a = b.

Le lecteur peut s'amuer à tester cela avec la commande Maple 4.00b suivante:

>with(plots):
>a:=4;b:=4;
>implicitplot(x^2/a^2-y^2/b^2 = 1,x=-10..10,y=-10..10);

Le terme "conique" provient du fait que l'une des premières définitions des conques consistait en l'intersection d'un cône et d'un plan.

En effet, soit equation l'équation d'un cône ayant un angle de equation au sommet (voir géométrie spatiale)

equation l'équation d'un plan de vecteur normal (nous utilisons les cosinus directeurs):

 equation   (24.24)

Posons: 

equation   (24.25)

Explications: nous avons ainsi un vecteur normal dans le plan ZOY et un plan qui n'est jamais en intersection avec l'axe OX. Si le cosinus directeur equation, nous avons un plan vertical translaté de h sur l'axe des Y. Si equation, nous avons un plan horizontal translaté de h sur l'axe des Z.

Soit la matrice de rotation dans l'espace par rapport à l'axe OZ (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

equation   (24.26)

avec:

equation   (24.27)

Nous avons donc pour expression de rotation du plan:

equation   (24.28)

Après simplification:

equation   (24.29)

Donc après rotation, nous avons un plan vertical translaté de h selon l'axe des Y.

Identiquement, pour le cône, une rotation correspond selon l'axe des Z (donc il ne se passe pas grand-chose):

equation   (24.30)

Après développement et simplification:

equation   (24.31)

Equation qui donne un cône horizontal si equation et un cône vertical si  equation.

Ainsi, nous avons le système général:

equation   (24.32)

Nous voyons alors que pour:

- equation nous obtenons une intersection entre le plan et le cône donnant une ellipse

- equation nous obtenons une parabole

- equation nous obtenons une hyperbole

Voici à peu près ce que cela donne visuellement parlant...:

equationequationequation
Figure: 24.2 - Différentes intersections entre un cône et un plan

Nous donnons également à la courbe d'équation equation le nom d'hyperbole car, par changement de variable:

equation   (24.33)

Ce qui nous ramène à:

equation   (24.34)

ce qui comme nous l'avons vu précédemment, est bien l'équation d'une hyperbole.

Pour ceux qui ont Maple 4.00b ou ultérieur voici les commandes pour s'amuser à faire une parabole:

>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=y+3:
>Y:=solve(c=p,y);
>intsect:=subs(y=Y,c);
>intsect := (x +(1/6*x-3/2))
> P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
> P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>display(P1,P2,scaling=constrained, orientation=[-10,75]);

ce qui donne:

equation
Figure: 24.3 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'une parabole par l'intersection d'un cône et d'un plan

ou pour l'obtention d'une hyperbole:

>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=4*y+5:
>Y:=solve(c=p,y);
>intsect:=subs(y=Y[1],c);
> P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
>P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000
,view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>P3:=spacecurve([x,Y[1],intsect],x=-5..5,color=black,thickness=3):
P3:=spacecurve([x,Y[1],intsect],x=-5..5,color=black,thickness=3):
>display(P1,P2,P3,scaling=constrained);

ce qui donne:

equation
Figure: 24.4 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'une hyperbole par l'intersection d'un cône et d'un plan

ou pour l'obtention d'une ellipse:

>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=y/3+3:
>Y:=solve(c=p,y);
>E1:=subs(y=Y[1],c); E2:=subs(y=Y[2],c);
>P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
>P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>P3:=spacecurve({[x,Y[1],E1],[x,Y[2],E2]},x=-5..5,color=black,thickness=3,numpoints=2000):
>display(P1,P2,P3,scaling=constrained);

ce qui donne:

equation
Figure: 24.5 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'une ellipse par l'intersection d'un cône et d'un plan

ou enfin pour l'obtention d'une cercle:

>restart: with(plots):
>c:=sqrt(x^2+y^2):
>p:=3:
>Y:=solve(c=p,y);
>circ1:=subs(y=Y[1],c); circ2:=subs(y=Y[2],c);
>P1:=plot3d(c,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=red,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=wireframe):
>P2:=plot3d(p,x=-5..5,y=-5..5,axes=normal,color=yellow,numpoints=2000,
view=[-5..5,-5..5,0..5],style=patchnogrid):
>P3:=spacecurve({[x,Y[1],circ1],[x,Y[2],circ2]},
x=-5..5,color=black,thickness=3,numpoints=2000):
>display(P1,P2,P3);

ce qui donne:

equation
Figure: 24.6 - Plot Maple 4.00b de l'obtention d'un cercle par l'intersection d'un cône et d'un plan

Cependant, les coniques ont aussi une définition géométrique:

APPROCHE GÉOMÉTRIQUE

Soit F un point du plan, D une droite ne contenant pas F (mais à une distance non nulle quelconque de celui-ci) et e un réel strictement positif. Nous nous intéressons à l'ensemble des points M défini par:

equation   (24.35)

F s'appelant le "foyer", D la "directrice de la conique" et e "l'excentricité":


Figure: 24.7 - Définitions du foyer, de la directrice conique et de l'excentricité

Nous nous arrangerons par la suite pour avoir toujours F comme origine du repère des coniques, de façon D aura pour par définition pour équation:

equation    (24.36)

avec equation et nous notons donc d(M, D) la distance entre le point M et D.

Alors:

equation   (24.37)

Nous nous retrouvons bien avec l'équation d'une conique puisque cette dernière relation est un cas particulier de:

equation   (24.38)

Nous pouvons considérer maintenant plusieurs cas particuliers:

1. Cas où equation:

L'équation:

equation   (24.39)

se réduit alors trivialement à:

equation   (24.40)

Il s'agit d'une parabole d'axe orthogonal à D, dont le sommet  equation est le milieu du segment  equation, où K est la projection de F sur D (voir la figure plus bas)

Si nous récrivons la dernière relation sous la forme:

equation   (24.41)

et redéfinissons l'origine relativement à equation par une translation de h/2, le foyer générateur de la parabole sera donc en equation et la dernière équation se réduit alors à:

equation   (24.42)

h est appelé "paramètre de la parabole" et relativement à equation, le foyer sera donné par les coordonnées equation et la directrice par l'équation equation. Comme le montre la figure ci-dessous, la distance de la directrice à equation est donc imposée par les conditions du modèle:

equation
Figure: 24.8 - Représentation des paramètres des coniques pour la parabole

2. Cas où equation:

Il s'agit d'une ellipse. Effectivement ce n'est pas évident à voir mais en réarrangeant les termes de l'équation:

equation   (24.43)

nous avons (ceci indépendamment du fait que equation ou non):

equation   (24.44)

Le dernier terme se retrouvant en effet comme suit après développement: 

equation   (24.45)

Posons que:

equation   (24.46)

est l'origine de l'ellipse en X (donc les x et y doivent maintenant être pris par rapport à cette nouvelle origine!!!). L'équation précédente se simplifie et devient (ceci toujours indépendamment du fait que equation ou non):

equation   (24.47)

Donc si equation, les dénominateurs sont tous deux positifs et nous retrouvons bien l'équation réduite d'une ellipse puisque equation.

Remarque: Il est à noter que cette définition ne peut inclure le cercle parmi les ellipses sinon quoi il y a une singularité car les dénominateurs seraient nuls (l'excentricité étant nulle pour le cercle).

Pour connaître le demi-grand axe de l'ellipse il suffit de poser equation. Ainsi, il nous reste:

equation   (24.48)

d'où le demi-grand axe valant:

equation   (24.49)

de la même manière, nous obtenons le demi-petit axe:

equation   (24.50)

en posant equation étant le "paramètre de l'ellipse" ou "paramètre focal de l'ellipse", nous obtenons:

equation   (24.51)

dont la première relation sera très utile dans le chapitre d'Astronomie et de Relativité Générale.

Il est d'usage de noter la distance du centre equation de l'ellipse au point F par la lettre c tel que:

equation   (24.52)

Nous avons donc:

equation   (24.53)

Il existe donc deux foyers à l'ellipse à une distance équivalente mais opposée du centre equation. Nous définissons dès lors l'excentricité d'une ellipse par le rapport:

equation   (24.54)

Le lecteur aura aussi remarqué que nous avons pour x = 0 dans:

equation   (24.55)

l'ordonnée qui est donc donnée par le produit eh et que celui-ci peut être exprimé par les paramètres de l'ellipse sous la forme (même si cela peut paraître bizarre au nivau des unités c'est implicitement correct):

equation   (24.56)

Nous pouvons alors aussi démontrer une relation que nous retrouvons couramment dans les formulaires:

equation   (24.57)

C'est-à-dire:

equation   (24.58)

L'égalité est donc démontrée et cela nous amène à pouvoir écrire l'excentricité uniquement à partir des paramètres classiques de l'ellipse:

equation   (24.59)

Nous pouvons résumer les résultats obtenus par la figure ci-dessous:

equation
Figure: 24.9 - Représentation des paramètres des coniques pour une ellipse

Nous pouvons aussi déterminer où se trouvent les directrices D de l'ellipse par rapport à la bordure de celle-ci en utilisant la définition de l'excentricité lorsque equation. Nous avons alors:

equation   (24.60)

donc le facteur de a est compris entre 0 et l'infini ce qui signifie que les directrices se trouveront (du moins dans le cas ici présent où l'excentricité est positive et strictement plus petite que l'unité) toujours à l'extérieur de la bordure de l'ellipse et au plus proche tangentes à la bordure (mais dans tous les cas elles se trouverontà l'extérieur de l'ellipse).

Une représentation paramétrique utile et évidente de l'ellipse est:

equation   (24.61)

Effectivement si nous considérons l'équation cartésienne de l'ellipse démontrée précédemment:

equation   (24.62)

et en posant equation et equationalors nous obtenons:

equation   (24.63)

Si nous nous souvenons du cercle trigonométrique, cette équation admet les solutions equation et equation. Il vient alors:

equation   (24.64)

Voilà...

Cependant, il existe une autre forme d'équation de l'ellipse, bien plus importante, que l'on retrouve aussi bien en physique classique, astrophysique et physique quantique corpusculaire.

Rappelons que:

equation   (24.65)

En coordonnées polaires, cela donne:

equation   (24.66)

Donc:

equation ou equation   (24.67)

après mise en évidence:

equation ou equation   (24.68)

Nous obtenons deux équations différentes, mais il s'agit en fait de la même courbe qui décrit le rayon de l'ellipse depuis un de ses deux foyers.

Nous remarquerons en effet que:

equation   (24.69)

Etant donné que equation est défini comme le paramètre de la conique, l'équation polaire de l'ellipse s'écrit:

equation   (24.70)

Remarquons les trois valeurs particulières:

equation   (24.71)

Le péricentre est plus connu sous le nom de "périgée" en astronomie et de même que l'apocentre qui est plus connu sous le nom "d'apogée" (toujours dans le domaine de l'astronomie).

Dans le cas général, D peut faire un angle quelconque avec l'axe des angles polaires, et l'équation générale est alors:

equation   (24.72)

3. Cas où equation:

Il s'agit d'une hyperbole (même raisonnement que l'ellipse en commençant par considérer n'importe quelle valeur que equation ou non):

equation   (24.73)

Nous posons donc à nouveau que: 

equation    (24.74)

est l'origine de l'hyperbole. L'équation précédente se simplifie et devient (donc jusque là, nous nous retrouvons avec exactement la même expression que pour l'ellipse):

equation   (24.75)

Mais comme equation le dénominateur du deuxième terme sera négatif et donc nous nous retrouvons bien avec l'équation réduit d'une hyperbole.

Nous avons pour demi-grand axe et demi-petit axe (raisonnement identique à l'ellipse):

equation   (24.76)

et:

equation   (24.77)

et la figure correspondante:

equation
Figure: 24.10 - Représentation des paramètres des coniques pour une hyperbole

où nous avons représenté les deux asymptotes en utilisant une technique simple de passage à la limite:

equation   (24.78)

Si l'hyperbole est équilatère, il est alors évident que les deux asymptotes sont perpendiculairs puisque leur pente est alors respectivement de +1 et de -1. Dans le cas équilatère, nous avons aussi l'excentricité qui est immédiatement donnée par:

equation   (24.79)

Nous pouvons aussi déterminer où se trouve les directrices D des hyperboles par rapport à leur bordure en utilisant la définition de l'excentricité lorsque equation en procédant exactement de même que pour l'ellipse. Nous avons alors:

equation   (24.80)

donc le facteur de a est compris entre 0 et tends vers 1 quand e est très grand ce qui signifie que les directrices se trouveront (du moins dans le cas ici présent où l'excentricité est positive et strictement plus petite que l'unité) soit tangentesà l'hyperbole soit au plus proche de l'axe des ordonnées (mais dans tous les cas elles se trouveront donc entre les deux hyperboles).

PARAMÉTRISATIONS

Pour certaines des formes présentées ci-dessous, il est possible de choisir un autre système de coordonnées que les coordonnées cartésiennes tel que par exemple les coordonnées cylindriques ou sphériques qui sont dans certains cas beaucoup plus simples à mettre en place. Nous tacherons dans la mesure du possible de présenter les plus importantes.

ÉQUATION DU PLAN

Soit un plan P dont nous connaissons un vecteur normal et unitaire equation mais pas l'équation et equation un point de P

Pour qu'un point M de coordonnées (x, y, z) appartienne au plan P il faut et il suffit que les vecteurs equationet equation soient orthogonaux. Donc soit le point donné par le vecteur equation étant de coordonnées:

equation   (24.81)

Si equation est perpendiculaire à equation alors le produit scalaire doit être nul tel que:

equation   (24.82)

Ce qui s'écrit aussi:

equation   (24.83)

tel que nous obtenions l'équation cartésienne générale du plan:

equation   (24.84)

Cette équation où equationqui vérifie que les coordonnées d'un point equation quelconque du plan P appartienne à ce plan est donc appelée "équation cartésienne du plan P".

Si nous écrivons l'équation avec les cosinus directeurs de equation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous avons dès lors aussi:

equation   (24.85)

Remarque: Pour obtenir un cube dans l'espace, il suffit d'avoir six plans délimités par des conditions telles que equation

Il est relativement aisé de passé au cas par cas de l'équation cartésienne du plan à l'équation paramétrique du plan. Nous pouvons (avec les précautions d'usage...) reprendre l'équation:

equation   (24.86)

et la réécrire sous la forme suivante:

equation   (24.87)

et dès lors, l'équation paramétrique du plan dans l'espace de dimension 3, s'écrira:

equation   (24.88)

exempleExemple:

Avec Maple 4.00b:

>a:=3:b:=-2:c:=1:d:=5:
>plot3d([x,y,(-d-b*y+a*x)/c],x=-2..2,y=-2..2, orientation=[-87,81],style=PATCH,
axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.11 - Représentation paramétrique d'un plan avec Maple 4.00b

ÉQUATION D'UNE DROITE

Comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle, une droite dans le plan peut être décrite par la fonction:

equation   (24.89)

et nous y avions aussi démontré comme déterminer l'équation de la médiatrice de deux points dans le plan (nous avions fait mention par ailleurs que la démonstration était plus de l'ordre de la Géométrie Analytique que de l'Analyse Fonctionnelle).

L'équation cartésienne généralisée de la droite est alors simplement donnée par:

equation   (24.90)

Effectivement, en simplifiant nous retrouvons "l'équation cartésienne réduite":

equation   (24.91)

Définition: Nous appelons "vecteur directeur" d'une droite D , tout vecteur non nul de même direction que la droite.

Montrons maintenant les deux petits théorèmes sympathiques suivants:

T1. Si une droite a pour équation equation alors le vecteur:

equation   (24.92)

est directeur de cette droite.

T2. Si une droite a pour équation equation alors le vecteur:

equation   (24.93)

est directeur de cette droite.

Démonstrations:

DM1. Soient equation et A, B deux points de cette droite pris tels que equation. Comme A, B sont deux points de D alors equation est un vecteur directeur de D alors:

equation   (24.94)

Un petit corollaire intéressant au passage qui a une application en physique!:

Si une droite D1 a un vecteur directeur valant:

equation   (24.95)

et une autre droite D2 un vecteur directeur valant:

equation   (24.96)

alors leur produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) est nul, ce qui montre que deux droites dont la multiplication des pentes (deuxième coordonnée du vecteur directeur) vaut -1 sont perpendiculaires!

DM2. Soit equation donc equation alors le vecteur equationest un vecteur directeur de D ainsi que tout vecteur equation. Ainsi, il existe une infinité de manières de définir la même droite, puisque la droite est composée d'une infinité de points (qui peuvent tous servir de point d'ancrage) et qu'il existe une infinité de multiples du vecteur directeur.

equationC.Q.F.D.

Souvent, nous recherchons la distance entre une droite et un point externe à celle-ci. Ainsi, considérons la figure suivante:

equation
Figure: 24.12 - Représentation de la recherche de la distance d'un point à une droite

avec H la projection orthogonale de A sur la droite d, P un point arbitraire de d et equation un vecteur orthogonal (normal) à d.

Nous avons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (24.97)

car equation ou equation. Ainsi:

equation   (24.98)

equation représente la distance (nous ne pouvons noter la distance avec la lettre d comme nous l'avons fait au début de ce chapitre, sinon il y aurait confusion avec le d choisi pour représenter la droite dans le présent développement).

Nous obtenons donc la relation:

equation   (24.99)

Considérons maintenant le point equation et la droite equation.

Choisissons un point equation ainsi qu'un vecteur equation, normal à equation (rappelons que equation est vecteur directeur):

 

Ainsi, en appliquant la relation précédente nous avons:

equation   (24.100)

et donc:

equation   (24.101)

Si nous considérons maintenant deux plans non parallèles de l'espace, leur intersection est une droite. Soient deux plans d'équations respectives:

equation   (24.102)

et D leur droite d'intersection.

Un point equation de l'espace appartient à la droite D si et seulement si le point M satisfait le système d'équations:

equation   (24.103)

Remarque: Alors que dans le plan une droite est caractérisée par une équation du type equation (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle), dans l'espace, une seule équation de la forme equation caractérise un plan. Pour caractériser une droite en dehors des plans des axes, il est nécessaire (équation paramétrique mise à part) d'avoir deux équations.

Il est relativement trivial (mais nous allons quand même le démontrer) que l'équation paramétrique d'une droite est un système d'équations du type:

equation   (24.104)

Ainsi, chaque composante croit linéairement par rapport à la même variable à une constante et un facteur près. Ceci s'écrit aussi sous forme vectorielle (plus traditionnelle):

equation   (24.105)

Le vecteur equationest appelé "vecteur directeur".

Démonstration: Nous avons donc le système d'équations (deux équations à trois inconnues, ainsi une inconnue sera indéterminée):

equation   (24.106)

Éliminons une des variables (commençons arbitrairement par z):

equation   (24.107)

equation d'où:

equation   (24.108)

donc (c'est un peu bête à écrire mais bon...):

equation   (24.109)

De manière similaire avec y tel equation nous avons:

equation   (24.110)

d'où:

equation   (24.111)

Finalement nous avons:

equation   (24.112)

Le vecteur directeur et le vecteur d'ordonnée sont donc des constantes. Ce qui nous permet d'écrire de manière plus générale:

equation   (24.113)

equationC.Q.F.D.

Remarques:

R1. L'équation d'une droite est presque ce qu'il y a de plus important en synthèse d'images 3D car à partir de ces dernières nous pouvons construire des polygones et assembler ces derniers pour construire des formes tridimensionnelles plus complexes.

R2. Pour savoir si une droite est perpendiculaire à un plan il faut déterminer au moins deux droites sécantes dans ce même plan et effectuer le produit vectoriel de leur vecteur directeur et ensuite calculer le produit scalaire entre le résultat du produit vectoriel et la première droite dont nous cherchons l'orthogonalité. Effectivement, une seule droite du plan ne permet pas de déterminer l'orientation de ce dernier; il en faut au moins deux.

ÉQUATION D'UN CÔNE

Considérons un cône de révolution de sommet O avec un cercle de centre (0,0,h) (où h est un nombre réel positif ) et de rayon R :

equation
Figure: 24.13 - Représentation d'un cône

Une représentation paramétrique du cercle à la hauteur h est:

equation   (24.114)

t appartient à l'intervalle equation.

Par extension, une représentation paramétrique de ce cône est :

equation   (24.115)

En d'autres termes, le cercle se propage linéaire selon tous les directions.

exempleExemple:

Avec Maple 4.00b:

>r:=1:h:=4:
>plot3d([k*r*cos(t),k*r*sin(t),k*h],k=0..10,t=0..2*Pi,orientation=[50,60],style=PATCH,
axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.14 - Représentation paramétrique d'un cône avec Maple 4.00b

On peut en déduire une équation cartésienne de ce cône:

equation   (24.116)

en posant equation:

equation   (24.117)

c'est l'équation cartésienne d'un cône dans l'espace que nous retrouverons en relativité restreinte lors de notre étude des cônes de lumière.

ÉQUATION D'UNE SPHÈRE

Considérons le repère orthonormé equation, soit S la sphère de centre equation et de rayon r :

equation
Figure: 24.15 - Représentation d'une sphère

equationappartient à la sphère S de centre equationet de rayon r si et seulement si:

equation    (24.118)

c'est-à-dire en appliquant Pythagore :

equation   (24.119)

D'où "l'équation cartésienne de la sphère" dans le repère equation:

equation   (24.120)

Il existe une autre manière de décrire la sphère en utilisant l'équation paramétrique. Effectivement, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques est donné par les coordonnées curvilignes:

equation   (24.121)

Ainsi, nous avons bien:

equation   (24.122)

Donc l'équation paramétrique de la sphère est bien:

equation

Nous retrouvons donc bien l'équation cartésienne d'une sphère à une constante de translation près.

exempleExemple:

Avec Maple 4.00b une sphère de rayon unité:

>plot3d([sin(theta)*cos(phi),sin(theta)*sin(phi),cos(theta)],theta=0..Pi,phi=-Pi..Pi,
scaling=CONSTRAINED,orientation=[50,60],style=PATCH,axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.16 - Représentation paramétrique d'une sphère avec Maple 4.00b

ÉQUATION D'UN ELLIPSOÏDE

Nous avons vu lors de notre étude des coniques que l'équation d'une ellipse dans le plan était donnée par:

equation   (24.123)

avec a, b étant les deux axes de l'ellipse (le petit et le grand).

Ainsi, sans démonstration rigoureuse, nous pouvons vérifier à la main ou à l'aide des ordinateurs que l'équation cartésienne:

equation  (24.124)

est un ellipsoïde:

equation
Figure: 24.17 - Représentation d'un ellipsoïde

Cependant, il existe une autre manière de décrire l'ellipsoïde en utilisant les coordonnées curvilignes:

equation   (24.125)

Donc l'équation paramétrique de l'ellipsoïde sera:

equation   (24.126)

Nous pouvons constater qu'il s'agit simplement de l'équation paramétrique de la sphère mais avec des rayons différents suivant les axes du repère choisi.

exempleExemple:

Avec Maple 4.00b:

>a:=100:b:=2:c:=20:
>plot3d([a*cos(theta)*cos(lambda),b*cos(theta)*sin(lambda),c*sin(theta)],lambda=0..Pi,
theta=-Pi..Pi,orientation=[50,60],style=PATCH,axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.18 - Représentation paramétrique d'un ellipsoïde avec Maple 4.00b

Nous avons donc:

equation   (24.127)

d'où:

equation
  (24.128)

Finalement:

equation   (24.129)

ÉQUATION D'UN CYLINDRE

Il va sans dire que l'équation paramétrique d'un cylindre de rayon r est donnée par:

equation   (24.130)

Soit:

equation   (24.131)

Nous voyons bien que les composantes x, y satisfont l'équation cartésienne d'un cercle puisque:

equation   (24.132)

exempleExemple:

Avec Maple 4.00b un cylindre de rayon unité:

>plot3d([cos(phi),sin(phi),z],phi=-Pi..Pi,z=0..2,orientation=[50,60],style=PATCH,
axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.19 - Représentation paramétrique d'un cylindre avec Maple 4.00b

Au même titre l'équation paramétrique d'un cylindre à base elliptique est donnée par:

equation   (24.133)

qui vérifie aussi l'équation paramétrique d'une ellipse dans le plan:

equation   (24.134)

SURFACES DE RÉVOLUTION

De manière plus générale de nombreuses surfaces (dont certaines que nous avons vues précédemment) peuvent être décrites par révolution d'une forme primaire de dimension inférieure et ensuite par rotation.

Définition: Une "surface de révolution" est une surface obtenue en faisant tourner une courbe plane (par exemple equation) autour de l'axe OZ. Ainsi, nous passons alors d'un plan de equation a un repère de equation, l'axe OX engendre dès lors un plan devenu YOZ.

Prenons trois exemples classiques (parmi l'infini):

exempleExemples:

E1. Soit la parabole particulière d'équation qui tourne autour de l'axe OZ:

equation   (24.135)

avec pour rappel:

equation

Nous avons bien évidemment (en coupant le paraboloïde par un plan ce qui donne un cercle de rayon r) la relation:

equation   (24.136)

dite "équation cylindrique". Or, nous avons aussi par simple application de Pythagore dans le cercle en question:

equation   (24.137)

d'où:

equation   (24.138)

Nous en déduisons "l'équation cartésienne du paraboloïde de révolution":

equation   (24.139)

Nous construisons l'équation paramétrique du paraboloïde exactement de la même manière que le cône, mais à la différence que l'évolution selon l'axe OZ ne se fera non pas linéairement par rapport au paramétrage k mais au carré de ce dernier. Ainsi, nous aurons:

equation   (24.140)

Ce qui donnera avec Maple 4.00b:

>p:=1:h:=1:
>plot3d([k*1/(2*p)*cos(t),k*1/(2*p)*sin(t),k^2*h],k=0..10,t=0..2*Pi,orientation=[50,60]
,style=PATCH,axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.20 - Représentation paramétrique d'un paraboloïde avec Maple 4.00b

E2. Soit la droite de pente unité:

equation   (24.141)

que nous faisons tourner autour de Oz. Nous avons:

equation   (24.142)

ce qui nous donne:

equation   (24.143)

Définition: Toute surface engendrée par une droite est une "surface réglée".

Prenons l'exemple important (cheminée de centrale nucléaire, engrenages, etc.) qu'est l'hyperboloïde à une nappe d'équation:

equation   (24.144)

Pour simplifier l'exemple prenons equation. Nous avons donc:

equation   (24.145)

ce qui s'écrit aussi comme le produit de l'équation de deux droites tel que:

equation   (24.146)

Ainsi, ces deux droites (de pentes opposées) appartiennent à la nappe et tout point appartenant à une de ces deux droites y est contenu. Les figures ci-dessous montrent bien qu'au fait, tout point appartient à ces deux droites.

equationequation
Figure: 24.21 - Construction d'une surface de révolution avec des droites

On pourrait ceci dit très bien décrire par des cercles tels que:

equation   (24.147)

equation.

equation
Figure: 24.22 - Construction d'une surface de révolution avec des cercles

E3.Nous savons que pour générer un cercle dans le plan XOY, une équation paramétrique possible est:

equation   (24.148)

Pour décaler ce cercle vers la droite (dans la direction des x positifs), nous n'aurons qu'à ajouter une constante strictement positive au terme x:

equation   (24.149)

Dans l'espace, si nous décidons de dessiner un cercle sur la plan XOZ, nous aurons alors:

equation   (24.150)

Qu'il est d'usage de noter sous la forme suivante lorsqu'il s'agit de l'étude du tore:

equation   (24.151)

Si nous voulons générer un tore, il faudra faire tourner ce cercle autour de l'axe Z en lui faisant suivre à lui-même un cercle suivant le plan XOY. Nous avons alors "l'équation paramétrique du tore de révolution":

equation   (24.152)

Ce qui donne avec Maple 4.00b:

>r:=1:R:=4:
>plot3d([(R+r*cos(phi))*cos(theta),(R+r*cos(phi))*sin(theta), 1*sin(phi)],
theta=-Pi..Pi,phi=-Pi..Pi,scaling=CONSTRAINED,orientation=[50,60],
style=PATCH,axes=NORMAL);

equation
Figure: 24.23 - Représentation paramétrique d'un tore avec Maple 4.00b


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