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Géométrie

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21. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:27 | {oUUID 1.782}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

L'objet de la "géométrie euclidienne" (appelée plus communément "géométrie plane") est, en principe, l'étude des formes et des propriétés des corps naturels. La géométrie n'est cependant pas une science expérimentale, puisque son objet est, non pas d'étudier certains aspects de la nature, mais une reproduction nécessairement arbitraire de celle-ci.

Nous allons dans ce chapitre présenter implicitement, dans un premier temps, les cinq postulats de la géométrie euclidienne (dont les quatre premiers sont considérés aujourd'hui comme des axiomes) et ensuite développer autour de ceux-ci la géométrie de base que le lecteur aura besoin pour l'étude du reste du site. Une fois ceci fait, nous résumerons notre étude en présentant de manière explicite les cinq postulats d'Euclide et ensuite les axiomes de Hilbert.

Remarque: Nous avons tenté de préserver au mieux les notations propres à Euclide en ayant toutefois une approche plus moderne de certains concepts et de présenter uniquement ceux qui sont utiles à l'ingénieur sur le marché du travail.

OBJETS DE LA GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

Avant d'énoncer les cinq postulats, il nous semble bon de définir quelques concepts intuitifs au préalable:

D1. La notion expérimentale la plus simple est celle de "volume". Nous disons qu'un corps occupe un certain volume lorsqu'il occupe dans l'espace à trois dimensions une certaine place (pour des espaces à des dimensions supérieures, nous parlons d'hyper-volumes). 

D2. Nous admettrons comme une chose évidente qu'un volume est limité par une "surface"; mais si l'existence du volume est physiquement contrôlable et mesurable, la surface est une création de l'esprit; c'est quelque chose d'analogue à une baudruche, par exemple, enveloppant un volume quelconque, mais d'analogue seulement. C'est un être géométrique à deux dimensions sans épaisseur.

D3. Lorsqu'une surface est limitée, cette limite est une "ligne". Ici encore, la ligne est une création de l'esprit, une ligne n'a pas d'existence expérimentale; c'est quelque chose d'analogue à la figure formée par un fil de fer. Etre géométrique encore mais d'une dimension sans hauteur ni largeur.

D4. Une "droite" est définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface.

D5. Quand une ligne est limitée, sa limite est un "point": le point est quelque chose d'analogue à l'intersection de deux fils tendus. C'est encore une création de l'esprit, un être géométrique.

Remarque: Il est d'usage, en géométrie, de représenter un point par une lettre A, B,...; une ligne, ou une surface par une lettre entre parenthèses (mais cela est rarement respecté car nous supposons souvent que le lecteur sait de quoi nous parlons). Nous disons alors, par exemple: la ligne (L), la surface (S).

D6. L'expression le "segment" AB désigne en général une ligne limitée par les points A et B. Nous dirons qu'un point M est sur le segment AB, pour traduire le fait suivant: tout segment AB peut être séparé d'une infinité de façons en deux morceaux limités par A et M d'une part, par M et B d'autre part - fait inspiré au géomètre par la possibilité de couper expérimentalement un bout de fil de fer en deux, et cela d'une infinité de façons (nous y reviendrons lors plus loin)

Remarque: L'expression: "la ligne (L) est tracée sur une surface (S)" signifie que la surface (S) pourrait être divisée en plusieurs morceaux, de manière que la ligne (L) soit la frontière ou une partie de frontière d'un de ces morceaux. Cette définition est inspirée du fait qu'il est possible de découper une étoffe, par exemple, en suivant avec des ciseaux un trait quelconque tracé sur cette étoffe.

Lorsqu'une ligne (L) est tracée sur une surface (S), tout point M qui est situé sur la ligne (L) est aussi, par définition, situé sur la surface (S). Nous disons alors que c'est un "point de cette surface".

D7. Nous appelons "angle" (ou "angle plan") ou plus rigoureusement "angle rectiligne" la portion de plan limitée par deux demi-droites (voir plus loin la définition d'une demi-droite)

DIMENSIONS

Nous avons parlé de volume, surface et de ligne auxquelles nous pouvons associer des dimensions. Mais qu'est-ce une dimension au fait ? Nous allons tâcher d'essayer de définir au mieux cette dernière mais d'abord, il faut savoir qu'il existe en géométrie plusieurs types de dimensions. La plus connue et commune est celle que nous appelons la "dimension topologique". 

Par exemple, le point (abstraction mathématique et géométrique) a une dimension topologique de 0, la courbe (trait continu d'épaisseur nulle) une dimension de 1, la surface une dimension de 2, un volume une dimension de 3 et un hyper-volume une dimension 4 (pour représenter un hyper-volume, prenez un volume dessiné sur papier (...) et faites-en une translation et reliez les sommets). Ce sont toutes des valeurs entières par définition:

equation
Tableau: 21.1  - Objets, représentations et dimensions types

Pour calculer la dimension de certains objets, nous allons utiliser la méthode de la géométrie métrique plane qui consiste à prendre un étalon de cet objet, c'est-à-dire cet objet lui-même mais en plus petit, et à le reporter sur notre objet un certain nombre de fois:

equation
Figure: 21.1 - Concept d'étalon unidimensionnel

Soit L la longueur totale du segment. Nous allons prendre un étalon de longueur n que nous allons reporter sur le segment. Cet étalon sera reporté L/n fois. Nous remarquons que:

equation   (21.1)

Nous pouvons appliquer le même raisonnement à une surface:

equation
Figure: 21.2 - Concept d'étalon bidimensionnel

Soit equation la surface totale du carré. Cette fois, nous prenons un autre carré, plus petit, de côté n et de surface equation. Nous reportons le petit carré sur le grand equation fois pour obtenir la surface du grand carré. Nous remarquons que:

equation   (21.2)

Au travers de ces deux exemples, nous avons fait apparaître le nombre 1 pour le segment, et le nombre 2 pour le carré, l'idée est la même avec un volume mais en utilisant un cube. Ces nombres sont la "dimension" de l'objet.

Ainsi, pour résumer:

- Les lignes sont de dimension 1, car pour mesurer une longueur avec une division plus fine d'un facteur n d'un segment étalon, le nombre de subdivisions sera multiplié par le même facteur. Donc il y a une relation de puissance unitaire entre la subdivision et la mesure.

- Les surfaces sont de dimensions 2, car pour mesurer une surface avec une division plus fine d'un facteur n d'un carré étalon, le nombre de subdivisions sera donné par la puissance carrée de n. Donc il y a une relation de puissance deux entre la subdivision et la mesure (si on prend des carrés deux fois plus petits pour couvrir une surface, il en faudra quatre fois plus).

- Les volumes sont de dimension 3, car pour mesurer un volume avec une division plus fine d'un facteur n d'un cube étalon, le nombre de subdivisions sera donne par la puissance cubique de n. Donc il y a une relation de puissance trois entre la subdivision et la mesure (si on prend des cubes deux fois plus petits pour remplir un volume, il en faudra 8 fois plus).

Généralisons: soit N le nombre de fois que nous reportons l'étalon de longueur n sur notre objet de longueur L, et soit d la dimension de l'objet, nous avons:

equation   (21.3)

Dans le cas des fractales (cf. chapitre Fractales) les dimensions sont variables et fractionnaires. Considérons la courbe de Von Koch (par exemple) après une itération de la suite la définissant:

equation
Figure: 21.3 - Courbe de Von Koch

Soit L sa taille tel que equation. Pour calculer sa dimension nous prenons l'élément fondamental de la courbe (ci-dessous en rouge):

equation
Figure: 21.4 - Choix de l'étalon pour la courbe de Von Koch

Soit n la taille de cet étalon tel que equation. Nous voyons très bien que nous pouvons le reporter 4 fois sur la courbe. Donc:

equation   (21.4)

La dimension de la fractale de Von Koch a donc une valeur fractionnaire et est plus une courbre (proche de 1), qu'une surface (qui est de dimension 2). Les choux-fleurs sont par exemple des fractales de dimension 2.33...

Nous pouvons donc calculer la dimension de n'importe quels objets fractals à la condition de connaitre leurs mesures.

Ne nous hasardons pas à aller chercher des objets complexes dans quelques galaxies alors que la fractale la plus connue se trouve dans votre assiette (la seconde étant vos poumons...). Eh oui! Le chou-fleur est bien une fractale (au même titre que vos poumons)! Vous avez sûrement déjà remarqué que quand nous découpons le chou-fleur (chose pas conseillée à tenter pour vos poumons...), nous le cassons au lieu de le couper, et ça donne plein de petits choux-fleurs, qui eux même peuvent donner d'autres plus petits choux fleurs. Cette particularité d'autosimilarité à différentes échelles fait du chou-fleur une fractale.

Calculons à présent la dimension fractale du chou-fleur. Quand nous cassons le chou-fleur, nous obtenons entre 12 et 14 branches qui ressemblent au chou-fleur entier à une dilatation près. Cette dilatation est, si nous la calculons, de facteur 3. Donc, selon la formule ci-dessus, la dimension fractale du chou-fleur est d'environ:

equation   (21.5)

Donc le chou-fleur est plus une surface qu'un volume.

Faison un dernier exemple avec la fractale du triangle de Sierpinski (cf. chapitre Fractales):

equation
Figure: 21.5 - Triangle de Sierpinski

D'abord, il est évident que nous avons besoin d'un carré pour le recouvrir complétement. Avec des carrés deux fois plus petits, on aura besoin de trois carrés:

equation
Figure: 58.6 - Trois carrés pour recouvrir la fractale de Sierpinski

Si nous divisons encore une fois la taille des carrés par deux, il nous faudra 9 carrés pour recouvrir le triangle:

equation
Figure: 58.7 - Neuf carrés pour recouvrir la fractale de Sierpinski

Si nous divisons encore la taille des carrés par deux il nous en faudra 27:

equation
Figure: 58.8 - Plus de carrés encore...

Et donc nous remarquons que:

equation   (21.6)

et donc:

equation   (21.7)

Donc la fractale de Sierpinski est plus une surface qu'une courbe.

Il existe également d'autres dimensions. Prenons pour exemple, les "dimensions d'homothétie" dont voici quelques exemples simples (voir plus loin la définition rigoureuse de "l'homothétie"):

equation
Figure: 21.9 - Représentation des dimensions d'homothétie

Le segment (tout à gauche), de dimension 1 a par homothétie, vu sa longueur, doublé et nous remarquons que:

equation   (21.8)

Le carré (au milieu), de dimension 2 a par homothétie, vu sa surface, doublé et nous remarquons que:

equation   (21.9)

Le cube (tout à droite), de dimension 3 a par homothétie vu son volume doublé et nous remarquons que:

equation   (21.10)

Le facteur de duplication d'échelle (homothétie) est donc égal à:

equation   (21.11)

Comme vous pouvez le voir, il s'agit toujours d'une valeur entière mais d'un autre type de dimension.

Le concept de dimensions ayant été introduit intéressons-nous maintenant aux postulats d'Euclide qui pourront paraître vagues dans un premier temps mais qui seront détaillés au fur et à mesure de notre lecture.

CONSTRUCTIONS D'EUCLIDE

La construction de la géométrie plane d'Euclide se fonde sur cinq postulats (dont les quatre premiers sont considérés aujourd'hui comme des axiomes comme nous en avons déjà fait mention):

P1. Conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

Sous forme moderne nous dirions que par deux points distincts A et B, il passe une droite et il n'en passe qu'une seule.

Autrement dit: Deux droites (D) et (D') qui ont deux points communs sont confondues, tout point de l'une est un point de l'autre et réciproquement.

Il résulte de ce postulat que deux droites (D) et (D'), ou bien n'ont aucun point commun, ou bien ont un seul point commun qui s'appelle "point d'intersection" et sont alors "sécantes" et "distinctes", ou bien ont plus d'un point commun et sont alors "confondues".

P2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

Sous forme moderne nous dirions que tout segment AB est prolongeable en une droite passant par A et B (compte tenu du premier axiome, elle est unique dans une géométrie euclidienne)

P3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Sous forme moderne nous dirions pour tout point A et tout point B distinct de A, nous pouvons décrire un cercle de centre A passant par B.

P4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

Sous forme moderne nous dirions qu'à chaque angle equation du plan correspond sa mesure equation, effectuée avec une unité choisie une fois pour toutes où equation est un nombre positif, inférieur à equation. Réciproquement, soit equation un nombre positif quelconque compris entre 0 et equation, nous admettrons qu'il existe une infinité d'angles equation égaux entre eux dont la mesure avec l'unité d'angle choisie soit equation.

P5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Sous forme moderne nous dirions que: étant donnés une droite et un point, il existe une unique droite passant par ce point et ne coupant pas la droite initiale.

La construction d'Euclide permet donc le développement de la notion de mesure de longueur, d'aire, de volume, d'angle comme nous allons le voir plus loin.

Les deux théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne sont le théorème de Pythagore et celui de Thalès comme nous en verrons la démonstration plus loin. Un peu d'analyse permet d'aller plus loin avec la trigonométrie que nous avons déjà développée dans le chapitre précédant.

DROITE ET SEGMENTS

Dans un premier temps, la figure géométrique la plus simple (mis à part le point...) en géométrie euclidienne est la "ligne droite" et celle-ci est directement concernée par deux premiers postulats d'Euclide.

Définitions:

D1. La "ligne droite" est l'image donnée par un fil tendu d'épaisseur nulle et de longueur infinie.

Remarque: Nous pouvons également définir la "ligne droite" comme une infinité de points mis à côté les uns des autres dans une même direction sur un plan.

D2. Nous appelons "demi-droite" la portion de droite limitée à un point O appelé "origine".

Remarque: L'expression "la demi-droite OA" désigne la demi-droite d'origine O, point nommé le "premier", qui contient le point A.

D3. Nous disons que deux demi-droites OA, OB sont des "demi-droites opposées" lorsqu'elles constituent la droite AB toute entière.

D4. Nous appelons "segment" AB une portion de droite limitée par deux points A et B. Ces points sont appelés les "extrémités" du segment.

GRANDEURS DE MÊME ESPÈCE

Nous disons que des figures géométriques (sous-entendu des droites) sont des "grandeurs de même espèce" lorsqu'il est possible de définir:

1. Dans quel cas une figure (A) sera dite égale à une figure (B) et, si elles sont inégales, laquelle est la plus petite.

2. Ce que nous devons entendre par somme d'une figure (A) et d'une figure (B).

Les définitions choisies doivent être telles que si (A) est déclaré plus petit que (B) et (B) plus petit que (C), (A) soit déclaré aussi plus petit que (C).

Il faut, en outre, que la figure appelée "somme de (A) et de (B)" soit égale à celle qui est appelée somme de (B) et de (A).

Enfin, la substitution dans une comparaison, une égalité ou une somme, d'une figure par une figure égale ne doit pas modifier le résultat des opérations.

Pour faire comprendre ce que sont des grandeurs de même espèce, prenons l'exemple des segments de droite:

- Nous admettrons qu'il est possible de décider de l'égalité de deux segments AB et A'B' lorsque nous pouvons les faire coïncider.

- Nous admettrons aussi qu'il est possible de remplacer le segment A'B'  par un segment égal AD et porté sur la demi-droite AB.

- Enfin, nous admettrons qu'il est possible de distinguer entre trois points A, B, C, pris au hasard sur une droite, lequel est entre les deux autres.

Nous convenons alors de dire que le segment A'B' est plus petit que le segment AB, ce qui s'écrit en abrégé:

equation   (21.12)

lorsque le point C, obtenu en portant sur la demi-droite AB un segment AC égal à A'B', tombe entre A et B.

Si le point C était en B, les segments AB et A'B' seraient égaux et nous écririons alors: 

A'B'=AB   (21.13)

Nous convenons d'appeler la "somme de deux segments" AB, A'B', le segment AC obtenu en portant sur la demi-droite opposée à la demi-droite BA un segment BC égal à A'B'. Nous traduisons cette opération en écrivant:

AC=AB+A'B'   (21.14)

Considérons toujours des grandeurs de même espèce... Ajouter entre elles plusieurs de ces grandeurs, c'est ajouter l'une d'elles à une autre, la somme obtenue à une troisième, etc. Par exemple, ajouter les segments AB, BC, CD, c'est ajouter AB et BC ce qui donne AC, ensuite AC et CD ce qui donne AD. Nous résumons l'opération en écrivant:

AD=AB+BC+CD   (21.15)

Multiplier une grandeur par un nombre entier n, c'est ajouter n grandeurs égales à celle-là. Par exemple, si nous avons AB=BC=CD, la relation précédente s'écrirait:

equation   (21.16)

Nous allons définir ce que nous appelons "comparer deux grandeurs (A) et (B) de même espèce":

Choisissons arbitrairement une grandeur (C) de même espèce que (A) et que (B) et plus petite que chacune d'elles. Formons une suite de grandeurs telles que:

equation   (21.17)

Nous constatons que la grandeur (A) s'intercale entre deux grandeurs equation et equation et que (B) se trouve entre deux autres equation et equation par construction.

Nous disons alors par définition que le rapport des grandeurs (A) et (B) est un nombre (A)/(B) positif compris entre:

 equation et equation   (21.18)

Prenons alors, par exemple, deux segments quelconques AB, A'B' mais différents (par exemple 1.2 [cm] et 3.5 [cm]):

Pour réaliser l'opération précédente, utilisons une règle graduée dont l'unité sera la grandeur C, un segment arbitrairement choisi (par exemple de 1 [cm]).

Nous appliquons le zéro de la règle en A, et B s'intercalera par construction entre deux graduations de la règle numérotée p et p+1 à moins que la grandeur C soit égale à AB... (soit avec le choix pris comme exemple, B s'intercalera entre la 1ère et la 2ème).

Pour A'B', nous appliquons le zéro de la règle aussi en A', et B' s'intercalera aussi entre deux grandeurs de la règle numérotée q et q+1 à moins que la grandeur C soit égale à A'B'... (soit avec le choix pris comme exemple, B' s'intercalera entre la 3ème et la 4ème).

Nous exprimerons le résultat de ces mesures et leur rapport en écrivant:

equation   (21.19)

où le terme tout à gauche s'appelle une "mesure par défaut" et celui à l'opposé une "mesure par excès".

Ainsi avec les mesures prises comme exemple nous avons donc:

equation   (21.20)

Définition: Nous appelons "mesure d'une grandeur" (A) le nombre positif qui mesure le rapport de cette grandeur et d'une grandeur (U) arbitrairement choisie et que nous appelons "l'unité", la mesure de l'unité étant "1", par définition.

Nous pouvons démontrer que si a est la mesure de (A), b celle de (B) évaluées toutes deux avec une même unité (U), le nombre (A)/(B) est égal au rapport a/b. Ce rapport étant indépendant de l'unité choisie.

Remarque: Nous disons que (B) est une "partie aliquote" de (A) si le rapport (A)/(B) est un nombre entier.

Nous conviendrons une fois pour toute, qu'en géométrie toutes les grandeurs de même espèce qui interviennent dans une figure donnée sont mesurées avec la même unité.

Soit (A), (B), (C), ..., (S) des grandeurs de même espèce et (A'), (B'), (C'), ..., (S'), des grandeurs de même espèce, mais qui ne sont pas nécessairement de même espèce que les précédentes. Nous disons que ces grandeurs sont "homologues", si nous pouvons les grouper deux à deux, (A') homologue de (A), (B') homologue de (B), ..., etc., de manière que les conditions suivantes soient réalisées:

- Si (A) est égal à (B), (A') est égal à (B');

- Si (A) est plus petit que (B), (A') est plus petit que (B');

- Si (S) est la somme de (A) et de (B), (S') est la somme de (A') et de (B').

Pour calculer le rapport (A)/(B), formons la suite equation et pour calculer le rapport (A')/(B'), formons la suite equation, obtenue comme la précédente, mais à partir de la grandeur (C') homologue de (C).

Il est évident que si (A) s'intercale entre equation et equation, (A') s'intercalera entre equation et equation; de même, si (B) s'intercale entre equation et equation. Les rapports (A)/(B) et (A')/(B') seront encadrés par les mêmes nombres:

equation   et     equation   (21.21)

Par conséquent: Le rapport de deux grandeurs (A) et (B) est égal au rapport des grandeurs homologues (A') et (B').

Si, en particulier, les grandeurs (A),(B)... sont mesurées avec une unité (U), et si les grandeurs (A'),(B'),... sont mesurées avec une unité (U'), homologue de (U), les rapports égaux:

 (A)/(U) et (A')/(U')  (21.22)

ne sont autres que les mesures de (A) et de (A'). Par conséquent:

Les mesures de deux grandeurs homologues (A) et (A') sont égales, à condition que les unités choisies pour les mesurer soient des grandeurs homologues.

Considérons maintenant sur une demi-droite Ox un point M. Soit x la mesure (selon la définition précédente) de OM. A chaque point M de la demi-droite correspond un nombre positif x et un seul; nous admettrons qu'à un nombre positif x arbitrairement choisi correspond réciproquement un point M de la demi-droite et un seul. 

Une conséquence de cette hypothèse est qu'il existe un point, et un seul, C qui divise le segment OM en parties égales. Ce point est le point de la demi-droite OM, tel que:

equation   (21.23)

Nous l'appelons "milieu du segment" OM.

Théorème: Il existe un point M et un seul, situé sur le segment AB tel que la mesure du rapport MA/MB soit égal à un nombre positif donné equation.

Remarque: Si equation, ce point est le milieu du segment.

Démontrons cette unicité: Soit M un point quelconque du segment AB; soit x, la mesure de AM, et a la mesure de AB: la mesure de MB sera a-x puisque M est placé entre A et B. Nous aurons alors:

equation   (21.24)

Pour que ce rapport soit égal à equation, il faut, et il suffit, que x soit solution de l'équation:

equation   (21.25)

Or, cette équation admet la seule solution:

equation   (21.26)

À cette valeur positive et inférieure à a de x correspond un point M et un seul de la demi-droite AB tel que MA=x. Ce point M satisfait, et satisfait seul, aux conditions imposées.

Théorème: Il existe un point M et un seul de la droite AB, situé en dehors du segment AB, tel que le rapport MA/MB soit égal à un nombre donné et défini equation différent de 1.

Démontrons aussi cette unicité:

1. Supposons equation. Soit M un point quelconque de la droite AB situé en dehors du segment AB: ou bien A est sur le segment MB, ou bien B est sur le segment MA. Si A est sur le segment MB, nous avons nécessairement equation, donc:

equation   (21.27)

Le point M ne répond donc pas à la question de l'unicité.

Si B est sur le segment MA, MA=x, AB=a, MB=x-a. Nous aurons donc:

equation   (21.28)

Pour que ce rapport soit égal à equation, il faut, et il suffit que x soit solution de l'équation:

equation   (21.29)

Cette équation admet comme seule solution:

equation   (21.30)

qui donne une valeur de x qui sera toujours positive et supérieure à equation. À cette valeur positive et supérieure à a de x correspond un point M et un seul de la demi-droite AB. Ce point M satisfait, et satisfait seul aux conditions imposées d'unicité.

2. Supposons maintenant equation. Nous chercherons le point M pour lequel (nous avons simplement inversé le rapport):

equation   (21.31)

est un nombre supérieur à 1.  Il y en a un et un seul d'après le point (1). Il satisfait seul aux conditions imposées.

Remarque: Il n'existe aucun point M situé en dehors du segment AB pour lequel MA/MB=1. En effet, si A est sur le segment MB, nous avons, quel que soit M, equation, et si B est sur le segment MA, equation.

PLAN

Passons maintenant à l'étude d'un objet géométrique de dimension supérieure à celle de la droite qu'est le plan et la surface.

Considérons une surface finie (S) et deux points A et B de cette surface. Deux cas peuvent se présenter:

1. Il y a des points de la droite AB qui ne sont pas sur la surface (S). Nous dirons dans ce cas: la droite AB coupe la surface; les points communs à la droite AB et à la surface (S) sont les points d'intersection de la surface (S) et de la droite AB. Parmi ces points communs se trouvent, en particulier les points A et B.

2. Tous les points de la droite AB sont des points de la surface (S). Nous disons alors que la droite AB est sur la surface (S). 

Définition: Nous appelons "plan" la surface telle que toute droite AB qui joint deux points arbitrairement choisis sur la surface, soit sur la surface.

Nous admettrons qu'une pareille surface existe et que par trois points ABC, non alignés, il passe un plan et un seul. L'étude des plans sera faite ultérieurement: nous nous consacrons actuellement à l'étude des figures géométriques tracées dans un plan donné, figures dites "figures planes". Leur étude constitue la "géométrie plane".

Remarque: Dans la pratique, les figures sont tracées soit sur une feuille de papier, soit sur la surface du tableau noir.

Le plan étant défini, nous pouvons déjà nous intéresser à des opérations de base concernant les figures du plan que nous détaillerons plus tard rigoureusement.

DÉPLACEMENTS ET RETOURNEMENTS

Soit (F) un dessin effectué sur un tableau plan: effectuons sur un papier transparent, dont le recto est appliqué sur le plan du tableau, un calque equation du dessin (F). Effectuons, en appliquant ce calque en un autre point du tableau, un nouveau dessin (F') identique à (F). 

Deux cas sont à considérer:

1. Si le recto du papier transparent est demeuré appliqué sur le tableau, le dessin (F') se déduit de (F) par une opération appelée "déplacement" ou "translation".

2. Si, au contraire, le papier a été retourné, et si c'est le verso qui est appliqué sur le tableau, l'opération s'appelle "retournement" ou "symétrie".

A chaque point A du dessin (F), l'une quelconque de ces deux opérations fait correspondre un point A'  du dessin (F'), que nous appelons "l'homologue" de A. Un segment AB de (F) vient en coïncidence avec un segment A'B' homologue de (F'); ces deux segments sont par définition égaux et cela quels que soient A et B.

Définition: Nous disons communément que le dessin (F) est "superposable" au dessin (F') et que ces dessins représentent des figures égales.

ANGLES

Nous avons déjà brièvement défini le concept "d'angle" dans le chapitre précédent traitant de la trigonométrie. Nous avons maintenant en plus le quatrième postulat d'Euclide à notre disposition concernant ce concept.

Nous allons maintenant revenir plus en détails et en voir les concepts sous-jacents qui vont nous permettre d'aborder plus loin un objet particulièrement utile qu'est la bissectrice:

Définitions:

D1. Nous appelons "angle" (ou "angle plan") ou plus rigoureusement "angle rectiligne" la portion de plan limitée par deux demi-droites OA, OB, par exemple. Le point O s'appelle "sommet" de l'angle, les demi-droites OA, OB, s'appellent les "côtés" de l'angle.

D2. Nous appelons "angle formé par deux segments AB, AC", l'angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites AB, AC.

D3. Les demi-droites OA, OB divisent le plan en deux régions: elles définissent donc deux angles:

1. L'un constitué par la région couverte de hachures (voir la figure à l'extrémité gauche ci-dessous) s'appelle "angle saillant".

2. L'autre, constitué par la région couverte de hachures (voir la figure au centre ci-dessous) s'appelle "angle rentrant".

equation
Figure: 21.10 - Angle saillant, rentrant, angles adjacents

La notation equation ou equation désigne un de ces deux angles: la lettre qui indique le sommet doit être (normalement) écrite au milieu (souvent on ne mentionne pas le sommet si le contexte est évidente). Lorsqu'aucune précision n'accompagne cette notation, elle représente par définition l'angle saillant!!

D4. Nous appelons "angles adjacents" deux angles qui ont le sommet et un côté communs et qui sont placés de part et d'autre de ce côté commun. Sur la figure ci-dessus à l'extrême droite, les angles saillants equation, equation, sont adjacents.

Soit, equation et equation deux angles d'un même plan. Nous avons admis précédemment qu'il existe un déplacement qui amène O' en O et A' en un point A de la demi-droite OA; ce déplacement amène O'B' soit en equation, de manière que les deux angles equation, equation ne soient pas adjacents, soit en equation, de manière que equationet equation soient adjacents. Dans ce dernier cas, un demi-tour supplémentaire autour de OA amènera equation dans la position equation. Ce déplacement et ce retournement, s'il y a lieu, remplace equation par un angle equation, égal par définition.

equation
Figure: 21.11 - Représentation du déplacement de deux angles

Si equation est confondu avec OB, il y a des points de l'un des deux angles equation et equation qui sont égaux, tout point de l'un étant un point de l'autre: nous dirons, dans ce cas, que les angles equation, equation sont des "angles égaux", ce qui s'exprime par l'égalité:

equation   (21.32)

Si equation n'est pas confondu avec OB, il y a des points de l'un des deux angles equation, par exemple, qui ne sont pas des points de AOB. Sur la figure ci-dessus, l'angle equation est couvert de hachures, l'angle equation également; les points dont nous parlons sont ceux de l'angle equation couvert une seule fois de hachures. Nous conviendrons de dire que l'angle equation et, par conséquent, l'angle égal à equation sont, dans ce cas, plus grands que l'angle equation, ce qui s'exprime par l'inégalité:

equation   (21.33)

Maintenant que nous sommes en mesure de comparer des angles, étudions comment nous pouvons sommer (et donc respectivement soustraire) ceux-ci.

Etudions d'abord le cas de la somme de deux angles equation, equation adjacents. Deux cas peuvent se présenter suivant que les angles sont saillants ou rentrants:

1. Soient equation et equation les deux angles à additionner (voir figure ci-dessous à gauche). Par définition, la somme de ces angles est l'angle equation, ce que nous exprimons par l'égalité:

equation   (21.34)

2. Soit equation un angle saillant à additionner à l'angle rentrant equation . Si nous couvrons de hachures successivement les deux angles (voir figure ci-dessous à droite), l'angle saillant equation se trouve couvert deux fois:

equation
Figure: 21.12 - Somme de deux angles adjacents

Dans ce cas, la somme des angles equation  (saillant) et equation (rentrant) est donc égale à equation augmenté de deux "angles plats" (voir plus loin la définition), ce qui s'exprime en écrivant: 

equation   (21.35)

Remarque: Ceci peut paraître confus à certains mais ceux qui auront déjà parcouru le chapitre de Trigonométrie savent que les angles du cercle trigonométriques sont égaux à eux-mêmes modulo equation.

Étudions maintenant le cas de la somme de deux angles quelconques:

La somme de deux angles equation, equation est par définition, égale à la somme de l'angle equation et d'un angle equation égal à l'angle equation et adjacent à l'angle equation.

equation
Figure: 21.13 - Somme de deux angles quelconques

Un pareil angle est obtenu par un déplacement qui amène O' en O  et A' en un point OA, suivi ou non d'un retournement autour de OA.

Étudions comme dernier cas la somme de plus de deux angles:

La somme de plusieurs angles equation, equation, etc., est, par définition, égale à la somme obtenue en ajoutant le premier au second, cette somme au troisième, et ainsi de suite.

Soit equation le premier angle, equation le deuxième angle, equation un angle égal au dernier des angles à ajouter et adjacent au précédent. Le résultat de l'addition sera equation augmenté d'autant de fois deux angles plats que le plan a été recouvert au cours des opérations. On constate aisément que ce résultat ne dépend pas de l'ordre des angles à ajouter equation, equation, etc.

D5. Deux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont dits "angles alternes-internes" si :

1. ils sont situés de part et d'autre de la sécante;

2. ils sont situés entre les deux droites;

3. ils ne sont pas angles adjacents.

Dans l'exemple ci-dessous, les droites (X) et (Y) sont coupées respectivement en A et en B par la sécante (S).

equation
Figure: 21.14 - Exemple particulier d'angle alterne-interne

et les deux angles représentés sont les angles alternes-internes. Dans le cas où X et Y sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux. C'est par ailleurs ce qui aurait permis à Ératosthène de déduire la circonférence de la Terre d'une manière purement géométrique (comme quoi ce n'est pas inutile!).

Il utilisa pour l'observation qu'il fit sur l'ombre de deux objets situés en deux lieux, Syène (aujourd'hui Assouan) et Alexandrie, considérés situés sur le même méridien, le 21 juin (solstice d'été) au midi solaire local. C'est à ce moment précis de l'année que dans l'hémisphère nord le Soleil détient la plus haute position au-dessus de l'horizon. Or, dans une précédente observation, Ératosthène avait remarqué qu'il n'y avait aucune ombre dans un puits à Syène. Ainsi, à ce moment précis, le Soleil était à la verticale et sa lumière éclairait directement le fond du puits. Ératosthène remarqua cependant que le même jour à la même heure, un obélisque situé à Alexandrie formait une ombre. Le Soleil n'était donc plus à la verticale et l'obélisque avait une ombre décentrée. Ératosthène considérait parallèles les rayons lumineux du Soleil en tout point de la Terre (considérée comme sphérique). Il en déduisit que l'angle entre les rayons solaires et la verticale était de 7.2 degrés.

Ératosthène évalua ensuite la distance entre Syène et Alexandrie en faisant appel à un bématiste qui se basa sur le temps en journées de marche de chameau entre les deux villes: la distance obtenue était 787.5 kilomètres (mesure très proche de la réalité).

Par la théorie géométrique des angles alternes-internes congrus, Ératosthène proposa une figure simple : elle était composée d'un simple cercle ayant un angle au centre de 7.2 degrés qui intercepte un arc (reliant Syène à Alexandrie) de 800 kilomètres.

equation
Figure: 21.15 - Principe d'utilisation des angles alterne-interne par Ératosthène

Par les rapports dans les cercles (déjà connus à l'époque), il calcula que la circonférence de la Terre était de par une simple règle de trois de 39'375 kilomètres. Ce qui était une mesure remarquablement précise pour l'époque (les mesures actuelles donnent 40'075.02 kilomètres).

MESURES DES ANGLES

Nous avons défini l'égalité et la somme de deux ou plusieurs angles. Ces définitions satisfont aux conditions de grandeurs de même espèce que nous avons déjà vues précédemment.

Choisissons donc arbitrairement un angle du plan equation, qui sera l'unité d'angle pour le plan: la mesure du rapport equation, effectuée comme il a été expliqué précédemment lors de notre discussion sur les grandeurs de même espèce, sera un nombre positif equation, appelé par définition "mesure de l'angle equation, avec l'unité choisie equation".

Nous désignons par la lettre grecque minuscule "pi" le nombre irrationnel:

equation  (21.36)

qui est par définition la mesure d'un "angle plat" (nous verrons qu'elle en est l'unité un peu plus loin).

Remarque: Comme tous les angles du plan sont plus petits que deux angles plats, le nombre equation (qui est la mesure de equation) doit être inférieur à equation.

Ayant défini l'angle plat, nous pouvons maintenant définir d'autres types d'angles d'usage courant:

Définitions:

D1. Nous appelons  "angle droit", tout angle égal à la moitié d'un angle plat.

D2. Nous disons que deux angles sont des "angles perpendiculaires", notés equation, lorsqu'ils sont tous les deux droits et adjacents.

D3. Nous appelons "angle aigu" tout angle inférieur à un angle droit et "angle obtus" tout angle supérieur à un angle droit.

D4. Nous appelons "angle orienté" ou "angle vectoriel", l'angle défini entre deux vecteurs ou droites (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de même origine et dont la valeur mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sera pris comme positif et négatif s'il est pris dans le sens des aiguilles d'une montre.

L'exemple le plus connu d'ongle orienté est celui du cercle trigonométrique:

equation
Figure: 21.16 - Angle orienté positif ou nul

equation
Figure: 21.17 - Angle orienté négatif ou nul

D5. Nous disons que deux angles sont des "angles supplémentaires" lorsque leur somme vaut deux angles droits (soit un angle plat).

D6. Nous disons que deux angles sont des "angles complémentaires" lorsque leur somme vaut un angle droit.

Considérons maintenant les symboles equation comme les mesures de plusieurs angles equation, equation, equation.

Nous n'insistons pas sur le fait évident que les égalités equation ou equation sont équivalentes, ainsi que les inégalités equation, equation. Ces remarques de bon sens s'imposeront chaque fois que des grandeurs de même espèce auront été mesurées, bien entendu avec la même unité.

En revanche, nous insisterons sur le fait que, d'après la définition même de la somme de plusieurs angles, equation est la mesure de l'angle equation augmentée d'autant de fois deux angles plats que le plan a été recouvert au cours des opérations d'addition.

equation   (21.37)

Le nombre entier n qui s'introduit dans ce calcul a une valeur qui pourrait être précisée, mais qui n'a pour le géomètre aucune importance, comme nous pourrons le constater ultérieurement. Nous décidons donc de ne pas écrire en géométrie le equation inutile (mais sous-entendu). Egalement, nous décidons par convention d'écrire:

equation   (21.38)

Ainsi, nous avons equation cette convention d'écriture signifie que equation est la mesure de l'angle equation si nous avons equation.

Si equation est supérieur à equation, l'égalité signifie que la mesure de l'angle equation  est equation, k étant un nombre entier positif ou nul choisi de manière que nous ayant equation.

Remarques:

R1. Il existe un nombre entier positif k et un seul, tel que nous ayons equation, c'est-à-dire:

equation   (21.39)

car les deux nombres equation et equation sont positifs et différents de 1.

R2. Dire que equation est la mesure de l'angle equation suppose que nous ayons equation et entraîne l'égalité equation. Mais écrire equation n'entraîne pas nécessairement, que equation soit la mesure de equation; il faut, en outre, que l'on ait equation.

UNITÉS DE MESURE DES ANGLES

Nous avons défini l'angle plat comme étant égal à equation sans spécifier l'unité. C'est ce que nous allons maintenant nous appliquer à faire. Il existe (encore) plusieurs unités de mesures d'angle dont voici la liste:

Définitions:

D1. Nous appelons "degré" la 180ème partie de l'angle plat.

Tous les calculs anciens sont effectués en degrés; les sous-multiples du degré sont: la "minute sexagésimale", égale au 60ème du degré, et la "seconde sexagésimale", égale au 60ème de la minute sexagésimale.

La notation equation se lit: trente degrés, dix-huit minutes, onze secondes. Ce type de mesure est courant encore en astronomie.

Remarque: Nous utilisons encore aujourd'hui couramment le degré dans les écoles mais sans la notation usant des minutes et secondes (pas commode pour la somme des angles). Nous notons alors l'angle en degrés avec une notation décimale comme par exemple equation.

D2. Nous appelons "grade" la 200ème partie de l'angle plat.

Le grade est également une ancienne unité d'angle. Ses sous-multiples sont: la "minute centésimale", égale au 100ème du grade, et la "seconde centésimale", égale au 100ème de la minute centésimale.

La notation equationse lit: quarante grades, dix-huit minutes, vingt-quatre secondes.

D3. Nous appelons "1 radian" (noté [rad]) l'angle plan décrit par une sécante à un cercle, passant par son centre, tel que l'arc de cercle ainsi défini par l'axe horizontal passant par le centre du cercle et la sécante soit d'égale longueur au rayon de ce cercle (cf. chapitre de Trigonométrie).

equation
Figure: 21.18 - Définition du radian

Ainsi, en radians, un angle plat est égal à equation et tous les autres angles sont des multiples réels de cette constante.

BISSECTRICE

Maintenant que nous savons comparer, additionner et mesurer des angles nous allons pouvoir nous pencher sur un concept important en géométrie qu'est celui de "bissectrice" et de quelques propriétés y relatives que nous réutiliserons plus loin pour des théorèmes importants.

Définitions:

D1. Nous appelons "bissectrice" la droite qui divise un angle en deux parties égales.

D2. Nous appelons "demi-bissectrice" la demi-droite qui divise un angle en deux parties égales.

Maintenant voyons quelques propriétés importantes de la bissectrice:

Deux droites AB et CD qui se coupent forment comme nous le savons déjà intuitivement, quatre angles: 

equation   (21.40)

Les angles equation ,equation de même que les angles equation dont les côtés sont opposés, sont dits "angles opposés par le sommet".

Trivialement, si equation est la mesure de l'angle equation, la mesure de l'angle adjacent equation est equation; celle de l'angle equation adjacent au précédent est equation; celle de equation est equation.

Soit OE la demi-bissectrice de l'angle equation, OG celle de equation, OF celle de equation, OH celle de equation, nous aurons:

equation   (21.41)

et, par conséquent:

equation   (21.42)

Nous aurions de même:

equation   (21.43)

Nous résumons ainsi tous ces résultats et propriétés de mesure:

P1. Deux angles opposés par le sommet sont égaux.

P2. Deux angles opposés par le sommet ont même bissectrice.

P3. Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires sont rectangulaires.

P4. Les bissectrices des angles formés par deux sécantes sont deux droites rectangulaires (à angle droit).

TRIANGLES

Nous avions étudié jusqu'à présent le concept de dimensions, de point, de segment, de ligne, d'angle et de plan ouvert (infini). Cependant un plan peut-être délimité par plusieurs lignes pour obtenir ainsi des formes géométriques (planes) dont les plus simples peuvent être considérées comme les triangles.

Définition: Nous appelons "triangle" la figure formée par trois segments AB, BC, CA, les points A,B,C n'étant pas alignés. Les segments AB, BC, CA,  sont les "côtés" du triangle. Les points A,B,C sont les "sommets" du triangle. L'angle saillant equation, qui contient tous les points du côté BC, s'appelle angle equation du triangle et BC est alors sont "côté opposé".

Remarque: Nous employons la notation equation lorsqu'aucune confusion n'est possible; à défaut, nous utilisons la notation equation avec le même sens.

Il y a six éléments dans un triangle, à savoir: trois angles equation,equation,equation et trois côtés AB, BC, CA.

Nous désignerons par equation, equation, equation les longueurs des côtés mesurées avec la même unité; par equation,equation,equation, les mesures des angles.

La somme des angles d'un triangle plan est toujours égale à 180° (ou equation radians). La démonstration est assez simple.

Démonstration:

Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle quelconque, et D la parallèle à (BC) qui passe par A. Nous observons:

1. Les angles bleus ont même mesure car ils sont alternes-internes (les droites (BC) et D étant parallèles).

Remarque: Pour la démonstration de l'égalité des angles alternes-internes voir plus loin le quatrième axiome d'Euclide.

2. De même, les angles verts ont même mesure car ils sont alternes-internes.

3. Nous remarquons que la somme des angles bleu + rouge + vert forme un angle plat en A, puisque D est une droite. Donc angle bleu + angle rouge + angle vert = 180°.

4. D'après les égalités d'angles constatées en (1) et (2), nous déduisons que:

 equation

equation
Figure: 21.19 - Somme des angles d'un triangle plan

Cette démonstration étant valable quel que soit le triangle tracé dans le plan.

equationC.Q.F.D.

TRIANGLES ÉGAUX

Définitions: Nous disons que deux triangles sont des "triangles égaux" lorsque nous pouvons par un déplacement soit par un retournement ou les deux combinés, superposer tous les sommets du premier triangle au deuxième. Nous disons alors aussi que les triangles sont des "triangles homologues" ou "triangles isométriques".

De cette définition, il vient que deux triangles sont égaux lorsque soit:

1. Ils ont un côté égal et deux angles égaux;

2. Ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.

Démonstrations:

Premier cas d'égalité: Deux triangles qui ont un côté égal BC=B'C', compris entre deux angles égaux equation, sont égaux.

En d'autres termes, si 2 triangles ont 2 angles égaux 2 à 2, alors les 3èmes angles le sont aussi. Ceci étant dit nous pouvons maintenant prendre comme côté égal celui qui est situé entre 2 angles égaux sans perte de généralité.

Puisque BC=B'C' (voir figure ci-dessous), il existe un déplacement qui amène B' en B et C' en C. Ce déplacement amène A' en equation situé du même côté par rapport à la droite BC, ou enequation symétrique de equation par rapport à cette droite.

Les deux demi-droites BA et equation font par hypothèse, avec BC le même angle equation. Comme elles sont par construction d'un même côté de BC, elles sont confondues. Les deux demi-droites CA et equation sont confondues pour la même raison et parce que equation. equation est donc confondu avec A. Les deux triangles ABC, A'B'C' sont donc égaux.

equation
Figure: 21.20 - Deux triangles ayant côté égal et deux angles égaux

Deuxième cas d'égalité: Deux triangles qui ont un angle égal equation compris entre deux côtés égaux AB=A'B', AC=A'C' sont égaux.

Puisque AB=A'B' (voir figure ci-dessous) il existe un déplacement situé par rapport à AB du même côté que le point.  S'il l'amenait en equation symétrique de equation par rapport à AB, un demi-tour autour de AB l'amènerait en equation. Les demi-droites equation situées d'un même côté de AB font, par hypothèse le même angle avec AB, puisque equation. Elles sont donc confondues. L'hypothèse equation entraîne alors que equation et equation sont confondus. Les deux triangles ABC, A'B'C' sont donc égaux.

equation

Figure: 21.21 - Déplacement montrant l'égalité des 2 triangles

equationC.Q.F.D.

TRIANGLES ISOCÈLES

Définition: Nous disons qu'un triangle ABC est un "triangle isocèle" lorsque deux de ses côtés sont AB et AC sont égaux ("iso" signifiant "même"). Le troisième côté BC est alors appelé la "base" de ce triangle.

Remarque: Nous disons qu'un triangle est "scalène" quand il possède 3 côtés inégaux.

Définition: Nous appelons "médiatrice" d'un segment BC, la perpendiculaire à la droite BC au point H de cette droite, milieu de BC.

equation
Figure: 21.22 -Représentation de la médiatrice

Théorème: Dans un triangle isocèle ABC comme représenté ci-dessus:

1. Les angles equation et equation opposés aux côtés égaux sont égaux.

2. La médiatrice de BC et la bissectrice de l'angle equation sont confondues (figure ci-dessus).

Démonstration:

Les deux triangles BAH, CAH définis par la bissectrice de equation ont un angle égal equation par construction compris entre deux côtés égaux: AH qui est commun et AB=AC par hypothèse. Comme les angles equation sont droits et égaux et que la somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat, alors les angles equation et equation sont donc égaux.

equationC.Q.F.D.

Cette dernière démonstration est celle à laquelle fait référence la bande-dessinée LOGICOMIX à la page 55 et c'est ce type de démonstration par induction logique qui aurait amené le jeune Bertrand Russell à s'intéresser à la logique pour devenir plus tard l'un des plus fameux logiciens de l'histoire.

Théorème: Le lieu géométrique des points M équidistants (à même distance) de deux points B et C donnés est la médiatrice (D) du segment BC.

Remarque: Nous appelons "lieu géométrique" d'un point M, assujetti à des conditions, l'ensemble des positions occupées par le point M.

Démonstration:

equation
Figure: 21.23 - Représentation du lieu géométrique

1. Tout point du lieu est sur la droite (D). Autrement dit, l'hypothèse MB=MC entraîne que M est la médiatrice de BC. En effet, si MB=MC, le triangle MBC est isocèle et le sommet M est sur la médiatrice de BC.

2. Tout point de (D) est un point du lieu. Ce qui revient à dire que si M est sur la médiatrice de BC, nous avons MB=MC. En effet, si M est sur la droite (D) qui rencontre en H, milieu de BC, la droite BC, les triangles MHB, MHC sont égaux (deuxième cas d'égalité: equation parce que ces angles sont droits, HM commun; HB=HC parce que H est le milieu de BC): les côtés MB, MC sont donc égaux et nous avons bien MB=MC. Le point M est un point du lieu.

equationC.Q.F.D.

A l'aide de ce théorème nous pouvons en énoncer un second: Par un point A pris hors d'une droite BC, nous pouvons mener à cette droite une seule et unique perpendiculaire:

Démonstration:

1. Soit un triangle ABC, faisons subir à ce triangle un demi-tour autour de BC (symétrie horizontale): A vient en A' symétrique de A par définition, par rapport à BC. Puisque les figures ABC, A'BC sont égales, AB=A'B et AC=A'C . BC est donc la médiatrice de AA' et les droites BC et AA' sont perpendiculaires. AA' est donc bien une perpendiculaire à BC menée par A.

2. Nous ne pouvons en mener plusieurs: soit AH une perpendiculaire menée de A à BC, elle rencontre la droite BC en H qui est différent soit de B, soit de C. Supposons que H soit différente de B. equation qui se déduisent l'un de l'autre par retournement, sont égaux, et, comme chacun d'eux est droit, l'angle equation est plat. La droite AH est confondue avec la droite AA' et est donc bien la seule perpendiculaire à BC qui passe par A.

equationC.Q.F.D.

Définitions:

D1. Nous appelons "projection orthogonale" d'un point A sur une droite BC le point H où la perpendiculaire menée par A à cette droite la rencontre. Le point H s'appelle aussi "pied" de cette perpendiculaire.

D2. Nous appelons "distance géométrique" du point A à la droite BC la longueur du segment AH.

Puisque BC est la médiatrice de AA', H est le milieu de AA'; donc: Un point A et son symétrique A' par rapport à une droite (D) sont caractérisés par les deux propriétés suivantes que nous ne démontrerons pas car suffisamment intuitives:

P1. AA' est perpendiculaire à (D).

P2. Le milieu de AA' est sur (D).

La droite AB, qui joint le point A à un point de la droite BC, autre que le pied H de la perpendiculaire menée de A à cette droite, s'appelle "droite oblique". Le point B s'appelant "pied l'oblique". 

TRIANGLES ÉQUILATERAUX

Définition: Nous disons qu'un triangle ABC est un "triangle équilatéral" lorsque tous ses côtés sont de longueur égales ou que tous ses angles equation sont égaux. Chacun de ces côtés est donc une base.

equation
Figure: 21.24 -Exemple de triangle équilatéral

Remarque: Nous prenons  pour habitude d'annoter les côtés égaux par deux traits parallèles disposés au milieu des côtés.

Comme la somme des trois angles de ce triangle doit faire 180° (en degrés) et que les trois angles ont même mesure, chacun d'eux mesure donc: 180°/3 soit 60°.

TRIANGLES RECTANGLES

Définition: Un "triangle rectangle" est un triangle ABC qui a un angle droit:

equation
Figure: 21.25 -Exemple de triangle rectangle

Dire que le triangle est rectangle en A signifie que c'est en equation que se trouve l'angle droit.

Remarque: Dans un triangle rectangle, le côté le plus grand est toujours le côté opposé à l'angle droit. Nous l'appelons "l'hypoténuse". Nous démontrons cette propriété avec le théorème de Pythagore (voir plus bas).

TRIANGLES RECTANGLES-ISOCÈLES

Définition: Un "triangle rectangle-isocèle" ABC est à la fois rectangle et isocèle, ce qui signifie qu'il a à la fois un angle droit et deux côtés de même longueur.

equation
Figure: 21.26 -Exemple de triangle rectangle-isocèle

Remarque: Le sommet principal correspond à l'angle droit. En effet, comme BC, l'hypoténuse, doit être le côté le plus grand, ce sont les côtés AB et AC qui ont même longueur (plus petite).

INÉGALITÉS DANS LES TRIANGLES

Voyons maintenant quelques inégalités (propriétés) intéressantes dans le triangle.

P1. Montrons d'abord que dans tout triangle, un côté opposé à un angle droit ou obtus (supérieur à 90° donc...) est supérieur à chacun des deux autres côtés du triangle.

Démonstration:

Considérons le triangle ABC ci-dessous dans lequel equation et soit Cx le prolongement du côté BC. Portons, sur la demi-droite Bx, une longueur equation pour construire un triangle isocèle dans le triangle initial:

equation
Figure: 21.27 - Construction d'un triangle isocèle

Le triangle BAD est donc un triangle isocèle de base AD dont l'angle à la base BAD est bien évidemment aigu (inférieur à 90°).

Donc par construction equation. La droite AD est intérieure par construction à l'angle equation et par suite:

equation   (21.44)

et comme equation par construction nous avons donc:

equation   (21.45)

Ce qui termine notre démonstration. Car la démarche est la même pour montrer que equation.

equationC.Q.F.D.

P2. Dans tout triangle dont les côtés ont des longueurs strictement croissantes, un côté est toujours inférieur à la somme des deux autres.

Démonstration:

Supposons que dans le triangle ABC ci-dessous les côtés equation soient tels que equation:

equation
Figure: 21.28 - Exemple de triangle avec côtés strictement croissants

Soit D le point du côté BC tel que equation soient les côtés du triangle isocèle construit ABD. Nous obtenons:

equation   (21.46)

Le triangle ABD étant isocèle, l'angle à la base equation est aigu et son supplément equation est obtus. Dans le triangle ADC, nous obtenons d'après la propriété P1 précédente que equation, c'est-à-dire:

equation   (21.47)

ou:

equation   (21.48)

il s'agit de la fameuse "inégalité triangulaire" sous forme géométrique. Nous la retrouverons dans de nombreux autres chapitres du site dans des espaces et des concepts mathématiques plus abstraits.

La propriété est alors immédiate pour les autres côtés b et c par permutation de la méthode:

equation   (21.49)

equationC.Q.F.D.

P3. Dans tout triangle un côté quelconque est supérieur à la différence des deux autres.

Démonstration:

Supposons que nous ayons equation. En retranchant c aux deux membres de l'inégalité:

equation   (21.50)

il vient immédiatement:

equation   (21.51)

La propriété est alors immédiate pour les autres côtés b et c par permutation de la méthode:

equation   (21.52)

En définitive puisque:

equation et equation   (21.53)

pour tout triangle à côtés croissants nous avons:

equation   (21.54)

equationC.Q.F.D.

THÉORÈME DE PYTHAGORE

Maintenant que nous avons vu ce qu'était le triangle et certaines de ses propriétés ainsi que le concept d'angle, nous pouvons démontrer le fameux "théorème de Pythagore" (qui donne donc la relation que doivent satisfaire trois nombres qui représentent les côtés d'un triangle rectangle) et faire de la trigonométrie du cercle (cf. chapitre de Trigonométrie).

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème dont en voici une parmi tant d'autres:

Démonstration:

Soit un carré (4 angles droit)  dans lequel est inscrit un autre carré, nous déterminons la surface du carré inscrit à partir des triangles rectangles résultants de l'espace vide entre les deux carrés tel que présenté sur la figure ci-dessous:

equation
Figure: 21.29 - Construction pour la démonstration du théorème de Pythagore dans le plan

La surface du carré blanc est bien sûr:

equation   (21.55)

Pour avoir la surface du carré gris on peut soustraire au carré blanc la surface des 4 triangles rectangles (d'une surface de moitié de celle d'un quadrilatère de même longueur et hauteur), chacun de surface: 

equation   (21.56)

La surface du carré gris est donc finalement: 

equation   (21.57)

Le résultat obtenu étant équivalent au carré du côté de la surface grise, nous avons au final le résultat du fameux "théorème de Pythagore":

equation   (21.58)

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

equationC.Q.F.D.

Dans le cas particulier où nous avons trois nombres entiers a, b et c qui satisfont le théorème de Pythagore (il existe une infinité de combinaisons de nombres entiers satisfaisant le théorème de Pythagore), nous parlons alors de "triplet pythagoricien".

Remarque: C'est au chinois Tchao Kiung K'ing (2ème siècle) que l'on devrait cette démonstration.

Il est souvent fait mention dans les petites classe de la réciproque du théorème de Pythagore qui nous dit: Dans un triangle, si le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l'hypoténuse sera alors le plus long côté du triangle.

THÉORÈME DE THALÈS

Ayant démontré le théorème de Pythagore et maintenant que les concepts de parallèles, segments, angles et autres nous sont connus, nous pouvons enfin démontrer le théorème de Thalès dont voici une possible démonstration qui nécessite d'abord le développement de deux lemmes:

L1. Triangles de même surface

Soit la figure:

equation
Figure: 21.30 - Construction pour la démonstration du théorème de Thalès

Nous avons:

equation   (21.59)

EFGH est un rectangle car ses côtés sont parallèles deux à deux et il a au moins deux angles droits. Donc ses côtés opposés ont même longueur: EH=FG.

equation est la hauteur relative à equation dans le triangle EAB et FG est la hauteur relative à equation dans le triangle FAB.

La surface du triangle ne dépend que de la longueur du côté et de la longueur de la hauteur relative à ce côté. Pour les deux triangles EAB et FAB, ces longueurs sont égales, donc ils ont la même surface.

Conclusion: Si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun, alors ils ont la même surface.

L2. Rapports égaux

Soit le rapport de proportions ("calcul proportionnel" ou "produit en croix"):

equation   (21.60)

alors:

equation   (21.61)

Si ad=bc, alors ad+cd=bc+cd (nous ajoutons un même nombre positif ou négatif aux deux membres). D'où après factorisation:

equation   (21.62)

et en appliquant inversement la règle des produits en croix:

equation   (21.63)

Exposons maintenant en quoi consiste le théorème de Thalès:

Soit la figure:

equation
Figure: 21.31 - Première approche du théorème de Thalès

Avec:

equation   (21.64)

Nous avons montré précédemment que si deux triangles ont un côté commun et si les troisièmes sommets sont sur une parallèle, alors ils ont la même surface. Donc les triangles ACD et BCD ont la même surface.

En ajoutant à chacune de ces deux surfaces celle du triangle OCD, nous obtenons que les triangles ODA et OCB ont la même surface.

Nous en déduisons qu'en utilisant à nouveau le rapport en croix:

equation   (21.65)

Soit equation la hauteur issue de D dans le triangle OCD et equation la hauteur issue de C dans le triangle OCD:

equation et equation   (21.66)

Conclusion:

equation   (21.67)

Soit maintenant la figure:

equation
Figure: 21.32 - Deuxième approche du théorème de Thalès

Les triangles IJD et IDB ont la même surface d'après le lemme 1, ainsi que les triangles OJD et OIB donc:

equation   (21.68)

d'où:

equation    (21.69)

et donc:

equation   (21.70)

De la même manière dans les triangles OIA et OCJ, nous obtenons:

equation   (21.71)

D'après le lemme 2, comme:

equation   (21.72)

alors:

equation   (21.73)

En appliquant au triangle OJB, ce que nous avons fait selon la première approche, nous avons aussi:

equation   (21.74)

Donc finalement en reprenant tous les résultats obtenus:

equation   (21.75)

qui constitue le "théorème de Thalès" des rapports.

PARALLÉLISME

Définition: Nous appelons "parallèles" deux droites également distantes l'une de l'autre sur toute leur longueur.

Ce concept est directement relié au cinquième postulat d'Euclide et est souvent considéré comme le plus important ayant été montré qu'il ne peut être considéré comme un axiome car n'étant pas respecté dans les géométries non-euclidiennes (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes)

Les conséquences de ce postulat sont les suivantes dans une géométrie euclidienne:

1. Si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, toute droite (E'F') qui coupe l'une coupe l'autre.

Démonstration:

Soit F le point commun à la droite (CD) et à la droite (E'F'): si la droite (E'F') ne coupait pas la droite (AB), elle lui serait parallèle, et par le point F passeraient deux droites (CD) et (E'F') parallèles à une même troisième (AB), ce qui n'est pas le cas. Donc, la droite (E'F'), coupe la droite (AB).

equationC.Q.F.D.

2. Deux droites (AB) et (CD) parallèles à une même troisième (E'F') sont parallèles entre elles.

Démonstration:

Si la droite (CD) n'était pas parallèle à la droite (AB), elle la couperait: elle couperait aussi la droite (E'F') parallèle à la droite (AB), elle ne serait donc pas parallèle à (E'F').

equationC.Q.F.D.

Théorème: Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante:

1. Les angles alternes-internes sont égaux;

2. Les angles alternes-externes sont égaux;

3. Les angles correspondants sont égaux.

Démonstration:

Soient deux parallèles AB et CD et la sécante EF:

equation
Figure: 21.33 - Deux droites parallèles coupées par une sécante

1. Par le milieu O de EF menons la perpendiculaire GH à AB, qui est aussi perpendiculaire à CD. Les triangles rectangles EOG et FOH ont un angle aigu égal à, equation et l'hypoténuse égale, OF=OE. Ils sont égaux, et les angles equation et equation sont égaux.

2. Les angles alternes-externes equation et equation sont égaux, car equation est opposé par le sommet à l'angle equation, qui est alterne-interne avec l'angle equation.

equationC.Q.F.D.

Réciproque: Si deux droites sont coupées par une sécante qui forme avec ces droites:

- Soit deux angles-alternes internes égaux;

- Soit deux angles-alternes externes égaux;

- Soit deux angles correspondants égaux, ces deux droites sont parallèles.

alors ces deux droites sont parallèles.

Remarque: Pour démontrer le parallélisme de deux droites, il faut et il suffit que les angles alternes-internes, alternes-externes ou correspondants, formés par ces deux droites avec une sécante, soient égaux.

CERCLES

Définition: Nous appelons "cercle" le lieu géométrique des points M du plan qui sont à une distance donnée R, appelée "rayon" de ce cercle, d'un point fixe O, appelé "centre" de ce cercle.

OM=R   (21.76)

Remarque: Le mot "rayon" désigne soit le segment OM, soit sa mesure R.

Les cercles sont directement concernés par le troisième postulat d'Euclide que nous avions énoncé plus haut.

Nous appelons "diamètre" d'un cercle toute droite qui passe par le centre O du cercle. Tout diamètre rencontre le cercle en deux points A et B, définis par OA=OB=R, que nous appelons "extrémités du diamètre". Nous réservons la notation "diamètre AB" pour le diamètre d'extrémités A et B. Nous disons que deux points d'un cercle sont "diamétralement opposés" quand ils sont les deux extrémités d'un même diamètre.

Un cercle divise le plan en deux régions: celle qui contient le centre, que nous appelons "région intérieure", et celle qui ne le contient pas, que nous appelons "région extérieure".

Théorème: La condition nécessaire et suffisante pour qu'un point P soit strictement intérieur à un cercle (O), de centre (O) et de rayon R, est equation.

Démonstration:

1. La condition est nécessaire: Si, par hypothèse, P est à l'intérieur du cercle (O), il est situé soit en O, soit entre les extrémités A et B du diamètre délimité par le lieu géométrique des points M. S'il est en O, la proposition est évidente, s'il n'est pas en O, il est entre O et A par exemple, et nous avons equation, c'est-à-dire equation.

2. La condition est suffisante: Si, par hypothèse equation, P se trouve entre les extrémités A et B des lieux géométriques définis par les points M, donc à l'intérieur du cercle (O).

equationC.Q.F.D.

Corollaire: la condition nécessaire et suffisante pour que P soit extérieur au cercle (O) est equation.

Nous appelons "corde" CD d'un cercle le segment dont les extrémités C et D sont sur ce cercle.

Théorème: La médiatrice d'une corde CD est un diamètre.

Démonstration:

La médiatrice equation de CD (voir figure ci-dessous), corde du cercle (O) de centre O et de rayon R , passe par le point O parce que comme nous l'avons démontré lors de notre étude des triangles nous avons equation.

equation
Figure: 21.34 - La médiatrice d'une corde

equationC.Q.F.D.

Corollaire: La perpendiculaire menée par le centre O d'un cercle à une corde CD passe par le milieu H de cette corde.

Théorème: Par trois points A, B, C non alignés, il passe un cercle et un seul. Ceci est le "théroème du cercle circonscrit".

Démonstration (voir figure ci-dessous):

Tracer la médiatrice (D) de AB et la médiatrice equation de AC. Si (D) et equation étaient parallèles, la perpendiculaire AB à (D) serait perpendiculaire à equation, donc confondue avec AC. ABC seraient alignés. Donc (D) et equation non parallèles se coupent en un point O:

equation
Figure: 21.35 - Triangle inscrit dans un cercle

1. Il passe un cercle par A, B, C: le point O étant sur (D), médiatrice de AB, OA=OB par définition: le point O étant sur equation, médiatrice de AC, OA=OC. Le cercle (O), de centre O et de rayon OA, passe par B (puisque OA=OB) et par C  (puisque OA=OC). Il passe donc par A, B, C.

2. Il ne passe A, B, C qu'un seul cercle: S'il passait par A, B, C un cercle différent du cercle (O) de centre O et de rayon OA, son centre O' se trouverait sur la médiatrice de AB et de AC qui sont deux cordes de ce cercle; il serait donc confondu avec O.

equationC.Q.F.D.

Remarque: La médiatrice de BC, corde du cercle (O), passe par le point O. Nous pouvons donc dire (résultat important) que les trois médiatrices des côtés d'un triangle ABC concourent en un même point appelé "orthocentre".

AXIOMES DE HILBERT

Euclide a rassemblé toutes les connaissances géométriques de son temps sous la forme de ces cinq postulats. Il a laissé son nom à la géométrie euclidienne qui utilise son cinquième postulat, à la géométrie non-euclidienne qui ne l'utilise pas, et aux espaces euclidiens.

Cette base postulée est néanmoins imparfaite, pour démontrer rigoureusement les théorèmes associés à cette géométrie, il est nécessaire d'admettre comme vrai des hypothèses supplémentaires implicites. David Hilbert construisit une axiomatique correspondante à l'idée que se faisait Euclide de la géométrie en ajoutant les hypothèses ad hoc.

Les axiomes de Hilbert sont eux regroupés en cinq catégories: l'association, l'ordre, la congruence, la continuité et les parallèles.

Trois concepts sont associés à cette axiomatique:

1. Celui de l'association définit le mot "contient", il correspond aux notions "est élément de" et "est inclus dans" de la théorie des ensembles.

2. Celui de "l'ordre" correspond à "une relation binaire" entre un couple de points et un point, il apparaît dans les expressions "entre" et permet de définir les segments.

3. La congruence, qui correspond à trois "relations d'équivalence" pour les couples de points, les triangles et les angles.

Remarque: Les points, droites et plans sont considérés comme distincts par défaut.

Voici donc les "axiomes de Hilbert":

AXIOMES D'ASSOCATIONS (A)

A.A1. Soient deux points, il existe une droite passant par ces deux points.

A.A2. Soient deux points, il n'existe qu'une unique droite passant par ces deux points (in extenso la droite décrite en A.A1) est unique.

A.A3. Une droite contient au moins deux points, et pour une droite donnée, il existe au moins un point non contenu dans la droite.

A.A4. Soient trois points non contenus dans une droite, il existe un plan contenant ces trois points. Tout plan contient au moins un point.

A.A5. Soient trois points non contenus dans une droite, il n'existe qu'un unique plan contenant ces trois points.

A.A6. Soient deux points contenus dans une droite D et dans un plan A, alors A contient tous les points de d.

A.A7. Si deux plans A et B contiennent tous deux un point C, alors l'intersection de A et B contient au moins un autre point.

A.A8. Il existe au moins quatre points non coplanaires.

AXIOMES D'ORDRE (O)

A.O1. Si un point B est entre les points A et C, B est aussi entre les points C et A, et il existe une droite contenant les trois points A,B,C.

A.O2. Soient deux points A et C, il existe un point B élément de la droite AC tel que C se situe entre A et B.

A.O3. Soient trois points contenus dans une droite, alors un et un seul se situe entre les deux autres.

A.O4. ("Axiome de Pasch") Soient trois points A, B, C non colinéaires, et soit une droite D contenue dans le plan ABC mais ne contenant aucun des points A, B, C: Si D contient un point du segment AB, alors D contient aussi soit un point du segment AC soit un point du segment BC.

AXIOMES DE CONGRUENCE (G)

Remarque: Intuitivement "congruent" signifie en géométrie "superposable".

A.G1. Soient deux points A, B et un point A' élément d'une droite d, il existe deux et deux uniques points C et D, tel que A' se situe entre C et D, et AB est congru à A'C et AB est congru à A'D.

A.G2. La relation de congruence est transitive, c'est-à-dire, si AB est congru à CD et si CD est congru à EF, alors AB est congru à EF.

A.G3. Soit une droite d contenant les segments adjacents [AB] et [BC], et soit une droite d' contenant les segments adjacents [A'B'] and [B'C'] . Si [AB] est congru à [A'B'] et [BC] est congru à [B'C'] alors [AC] est congru à [A'C'].

A.G4. Soit un angle ABC et une demi-droite B'C' , il existe deux et seulement deux demi-droites, B'D et B'E, tel que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à l'angle ABC.

Corollaire: Tout angle est congru à lui-même.

A.G5. Soient deux triangles ABC et A'B'C' tels que AB est congru à A'B', AC est congru à A'C' , et l'angle BAC est congru à l'angle B'A'C' , alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C' .

Remarque: Ces axiomes permettent de comparer les segments, et aussi les angles de définir le milieu d'un segment, les droites orthogonales, de parler de triangles équilatéraux, isocèles, etc... Ils permettent également de définir rigoureusement les déplacements dont Euclide faisait si souvent usage sans les avoir définis.

AXIOMES DE CONTINUITÉ (C)

A.C1. ("Axiome d'Archimède") Soient [AB] et [CD] deux segments quelconques. Alors il existe toujours une suite finie de points equation appartenant à la droite contenant le segment [AB] et tels que equation qui peuvent satisfaireequation.

A.C2. ("Axiome de Cantor") Si equation et equation sont deux suites infinies de points telles que equation et telles que equation, alors il existe un point X appartenant à tous les segments equation . En d'autres termes: soit une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0 alors il y a un point commun à tous les segments.

Remarque: Ces axiomes permettent d'établir une correspondance entre les points d'une droite et l'ensemble des nombres réels.

AXIOMES DES PARALLÈLES (P)

A.P1. Soit d une droite et P un point n'appartenant pas à d. Il passe une et une seule droite d' par P qui soit parallèle à d.

Autre formulation équivalente:

A.P1. Soit une droite d, un point P non inclus dans d, alors il existe un plan contenant d et P. Ce plan contient une et une unique droite contenant P et ne contenant aucun point de d.

Nous ne pouvons pas réellement démontrer la non-contradiction logique de l'ensemble de ces axiomes. Cependant nous savons deux choses si nous faisons un parallèle avec ce que nous avons étudié dans la section d'Arithmétique et d'Algèbre du site (en particulier les chapitres sur la Théorie Des Ensembles, l'Analyse Fonctionnelle, les Suites Et Séries):

1. Si ces axiomes sont contradictoires, alors la théorie des nombres réels est contradictoire.

2. Si le système d'axiomes obtenu en supprimant l'axiome de Cantor est contradictoire, alors la théorie des nombres rationnels est contradictoire.

Ainsi, la confiance qu'on a dans la solidité de ces axiomes repose sur celle qu'on a dans la théorie des nombres réels, qui est très grande.

BARYCENTRE

Maintenant que nous avons abordé le minimum de la construction d'Euclide et d'Hilbert de la géométrie, nous pouvons passer à un niveau supérieur pour faire de l'analyse de propriétés des formes géométriques. Nous commencerons donc par étudier le concept de "barycentre", appelé également mais plus rarement "centroïde" et très important non seulement en géométrie mais aussi mécanique classique, astronomie et bien d'autres domaiens ou des masses multiples doivent être ramenées à une seule entité virtuelle.

Remarque: La définition du barycentre nécessite certains des outils mathématiques définis dans le chapitre de Calcul Vectoriel . La lecture de ce chapitre est donc recommandée si le lecteur souhaite comprendre ce qui va suivre.

Définition: Nous appelons "barycentre" ou "centroïde" des points equation du plan ou de l'espace affectés respectivement des coefficients equation ( où les equation   sont des réels tels que equation) l'unique point G tel que:

equation   (21.77)

Le couple noté equation est appelé "point pondéré" ou "point massif" dans le contexte d'étude de la physique et quand equation représente une masse.

Remarques:

R1. En physique, le "centre d'inertie" d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question. Chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie. Si la densité est constante, le centre d'inertie se confond avec le barycentre.

R2. Le "centre de gravité" d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question, chaque particule étant pondérée par son poids propre! Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.

R3. Lorsque pour tout point massif equation nous avons equation, nous parlons alors de "isobarycentre".

Pour un point O arbitraire, nous avons bien évidemment par simple addition vectorielle:

equation   (21.78)

d'où le résultat majeur:

equation   (21.79)

En passant à la limite, si le domaine est continu, nous avons:

equation   (21.80)

Nous pouvons très bien également travailler avec les éléments de surface ou de volumes (pour ne faire mention que des plus triviaux) pour déterminer le barycentre:

equation et equation   (21.81)

exempleExemple:

Pour calculer le centre de gravité de la surface comprise entre l'axe Ox et la parabole de fonction equation pour equation nous avons (ne pas oublier que lorsque nous calculons le centre de gravité selon l'axe y qu'il faut prendre le bon côté de la courbe!):

equation
  (21.82)

Remarque: Lorsque nous calculons le centre de gravité d'une fonction, nous parlons alors de "courbe pesante".

Dans l'espace muni d'un repère  equation en notant equation les coordonnées du point pondéré equationet equation celles de G, nous avons alors:

equation   (21.83)

Voyons quelques propriétés du barycentre:

P1. Soit equationn points pondérés. Si equation, nous avons alors pour tout point M:

equation   (21.84)

Démonstration:

equation   (21.85)

Puisque par définition du barycentre:

equation   (21.86)

nous avons alors bien:

equation   (21.87)

equationC.Q.F.D.

P2. Pour equation, les points pondérés equation et equation ont même barycentre car (invariance du barycentre):

equation    (21.88)

La démonstration est évidente (si vous ne voyez pas, contactez-nous).

P3. Le barycentre G de n points pondérés est invariant quand on remplace p d'entre eux, par leur barycentre G', affecté de la condition equation  de leurs coefficients, G est alors le barycentre de:

equation   (21.89)

Démonstration:

Si G' est le barycentre des points pondérés equation alors:

equation   (21.90)

Pour le cas particulier où M = G:

equation   (21.91)

Or G étant le barycentre des n points pondérés equationdonc:

equation   (21.92)

Comme equation l'égalité précédente prouve bien que G est le barycentre des points pondérés:

equation   (21.93)

equationC.Q.F.D.

P4. Si equation, pour tous points M, N:

equation   (21.94)

Démonstration:

Pour equation calculons:

equation
  (21.95)

puisque equation, nous avons alors:

equation   (21.96)

equationC.Q.F.D.

Remarques: Quand un corps a une certaine symétrie, les calculs se simplifient car le barycentre doit coïncider avec l'élément de symétrie. Si un corps, comme une sphère, un parallélépipède, etc., a un centre de symétrie, le barycentre est confondu avec lui. Si le corps a seulement un axe de symétrie, le barycentre est alors sur cet axe.

TRANSFORMATIONS

Les transformations dans le plan (et plus) sont habituellement définies rigoureusement à l'aide de la théorie des groupes (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). Mais dans le cadre de la géométrie euclidienne, cette approche ne nous intéressera pas. Nous ferons donc dans ce chapitre uniquement une approche très peu formelle (donc plus intuitive) des transformations élémentaires dans le plan que sont: la translation, l'homothétie et la rotation.

Remarque: Par définition, "l'isométrie" est une transformation qui conserve les distances et les aires. Comme nous le verrons ci-après, la translation, la rotation et la réflexion sont des isométries, l'homothétie n'étant elle pas du tout une isométrie dans le plan.

TRANSLATION

Soit une droite dans un plan P sur laquelle deux points A et B définissent un segment de la droite noté equation

Définition: Une "translation" T ("déplacement" dans une direction donnée comme disait Euclide) de ce segment de droite associe à chaque point A et B de nouveaux points A'B' tels que equation. Nous pouvons donc restreindre la notion de translation à un point uniquement tel que nous puissions écrire mathématiquement:

equation   (21.97)

Autrement dit, une fonction de transformation de type translation de l'ensemble du plan dans lui-même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. La translation est donc une fonction bijective. Nous pouvons donc définir une application de transformation réciproque notée equation telle que (rappel de ce qui a été vu en arithmétique): 

equation   (21.98)

Nous disons par définition qu'un point est "invariant par translation" si et seulement si: 

equation   (21.99)

Dans un autre type de formalisme, le déplacement du point A au point B selon le vecteur equation est appelé "translation du vecteur" equation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel). Elle se traduit mathématiquement par la somme des coordonnées du point et de la matrice des coordonnées du vecteur.

Par exemple dans un espace à trois dimensions:

equation   (21.100)

La translation n'étant pas une transformation linéaire (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire), nous ne pouvons nous autoriser à la représenter par la multiplication d'une matrice carrée comme nous le verrons pour les autres transformations suivantes.

Il faut pour cela passer alors par un artifice consistant à utiliser un système appelé les coordonnées homogènes (cf. chapitre de Géométrie Projective) où les points du plan sont représentés par un vecteur à trois composantes (et respectivement ceux de l'espace par un vecteur à quatre dimensions):

equation avec equation   (21.101)

Dans le cadre de l'étude de la translation nous posons equation car dans ce cas:

equation   (21.102)

Ce système de coordonnées homogènes est applicable à toutes les autres transformations que nous verrons par la suite en rajoutant à chaque fois une coordonnée (cf. chapitre de Géométrie Projective).

Remarque: Une translation envoie une droite sur une droite parallèle (parallèle à l'originale bien évidemment!).

HOMOTHÉTIE

Soit une forme quelconque dans le plan (point, droite, ovale, polygone,...), un nombre R, et un point C placé à un endroit prédéfini. 

Définition: Une "homothétie" (appelée aussi "changement d'échelle") H de rapport R et de centre C est l'application qui à chaque point M de la forme associe au segment equation un nouveau point colinéaire à equation mais disposé à une distance supérieure ou inférieure de rapport R par rapport au centre C tel que  equation

Nous pouvons restreindre la notion d'homothétie à un segment de droite tel que nous puissions écrire mathématiquement:

equation   (21.103)

Autrement dit, une fonction de transformation de type homothétie de l'ensemble du plan dans lui-même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. L'homothétie est donc une fonction bijective. On peut donc définir une application de transformation réciproque notée equation telle que:

equation   (21.104)

Si equation, alors C est le seul point invariant. Si equation, alors tous les points sont invariants et l'homothétie est dite de type "homothétie identité". Si equation, alors nous disons alors que nous avons une "symétrie centrale". La symétrie centrale est donc une rotation de 180°.

Dans un autre type de formalisme, une homothétie de centre O et de rapport k, associe au point A un point B tel que equation. Le point B se trouvant sur la droite OA et à une distance equation. Le signe de k détermine la position de B par rapport à O:

equation

equation
Figure: 21.36 - Exemple d'homothétie de centre O

Nous nous permettons maintenant de faire un petit passage dans la géométrie spatiale (le saut n'étant pas bien grand et nécessitant juste la connaissance du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire):

Nous pouvons également remplacer le scalaire k par une matrice carrée telle que:

equation   (21.105)

Une solution triviale pour obtenir une homothétie est de poser que equation d'où la forme matricielle diagonale évidente de k:

equation   (21.106)

Cette matrice est appelée "matrice de transformation par homothétie de centre O (origine du repère) et de rapport k" et donc l'homothétie étant une matrice diagonale commute avec toute application linéaire.

Remarquons que comme nous évaluons la surface d'un polygone en divisant celui-ci en un certain nombre de surfaces de triangles qui n'empiètent pas les uns sur les autres (même dans le limite du disque circulaire), de par l'expression de la surface d'un triangle qui fait intervenir la multiplication de la base et hauteur, alors le rapport des aires de deux polygones homthétiques est égal au caré du rapport d'homothétie k (puisque respectivement la base et la hauteur de chaque triangle subira une homothétie de rapport k est comme la surface d'un triangle est proportionnelle à la multiplication des deux... c'est logique).

Dans ce cas présenté précédemment, l'homothétie conserve les formes dans tous les axes (sa géométrie est invariante par transformation) si nous utilisons en effet le même facteur k pour tous les axes. Mais nous pourrions également utiliser la matrice suivante:

equation   (21.107)

qui elle déformerait l'objet selon un facteur différent pour chaque axe.

Ou encore faire un cisaillement dans le plan qui déforme la géométrie selon l'axe x, par exemple avec equation:

equation

equation
Figure: 21.37 - Homothétie avec cisaillement

La transformation inverse de l'homothétie est bien évidemment l'homothétie de centre O et de rapport equation soit sous la forme d'une matrice:

equation   (21.108)

Lorsque le centre d'homothétie ne coïncide pas avec l'origine du repère choisi (ce qui arrive quasiment tout le temps), la procédure de calcul des coordonnées du point image est très simple. Il faut:

1. Réaliser une translation pour faire correspondre le centre de l'homothétie avec l'origine du repère et appliquer cette translation à tous les points en jeu.

2. Réaliser l'homothétie proprement dite comme décrit précédemment (le centre est l'origine du repère).

3. Réaliser la translation inverse pour ramener le centre et l'image à sa place.

Pour clore, signalons que les opérations successives de translation et d'homothétie ne sont pas commutatives dans le cas général. Dans la pratique, on effectue souvent d'aborde l'homothétie et ensuite la translation.

ROTATION

Soit une forme quelconque dans le plan (point, droite, ovale, polygone), un nombre equation, et un point C placé à un endroit prédéfini.

Définition: Une "rotation" R d'angle equation et de centre C est l'application qui à chaque point M de la forme associe au segment equation un nouveau point mais ayant subi une rotation positive ou négative d'angle equation et de centre C telle que equation et equation ont même longueur mais pas même direction.

De cette définition, il ressort que l'axe de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui restent immobiles.

Remarque: La rotation est également, de manière plus savante, une application bijective dans le plan, nous pouvons donc également définir une application de transformation réciproque notée equation.

Si equation, alors C est le seul point invariant. Si equation (avec equation), alors tous les points sont invariants et la rotation est dite de type "rotation identité". Si nous choisissons un système d'axes perpendiculaires adéquat tel que leur intersection se confonde avec C et que equation alors R est dite une "rotation de symétrie centrale".

Dans un autre type de formalisme, la rotation s'exprime de manière beaucoup plus rigoureuse. Nous allons nous aider du dessin d'un cercle de rayon unité (donc dans le plan) pour étudier ce type de transformation. Nous allons considérer le premier cas où l'origine du repère et de la translation sont confondus:

equation
Figure: 21.38 - Exemple de rotation dans le plan

A' est l'image A par la rotation de centre O et d'angle equation.

Nous avons dans le plan pour le point A (cf. chapitre de Trigonométrie):

 equation  (21.109)

et identiquement pour le point A':

equation  (21.110)

avec equation.

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (21.111)

Identiquement (en se basant sur le fait que les relations trigonométriques élémentaires présentées dans le chapitre de Trigonométrie du site sont connues), nous trouvons:

equation   (21.112)

ce qui nous permet d'écrire la matrice de rotation dans le plan (en s'imaginant que l'axe Z sort de la feuille):

equation   (21.113)

La transformation inverse consiste très simplement en la rotation de centre O (le même qu'auparavant) et d'angle equation soit (nous utilisons à nouveaux les relations trigonométriques évidentes des angles opposés):

equation   (21.114)

Lorsque nous souhaitons procéder à une rotation autour d'un point quelconque, tout comme pour l'homothétie, il convient de réaliser une translation de vecteur equation (H étant l'origine du repère de l'homothétie ) pour faire confondre O et H, puis de réaliser la rotation simple autour de H, et enfin de ramener O (confondu alors avec H) à son point de départ.

Lors de la rotation d'un objet dans l'espace (nous profitons de la lancée... car nous en aurons besoin dans plusieurs chapitres relatifs à la physique), la transformation est assez similaire à la précédente à la différence que le produit de deux rotations ne donne pas une rotation et que celle-ci n'est plus commutative lorsque le nombre de dimensions est strictement supérieur à 2 (nous pouvons faire le détail du calcul sur demande).

Effectivement, lors d'une rotation d'angle equation, autour de l'axe Z la coordonnée z ne change pas. Ce qui nous amène à écrire la matrice de rotation dans l'espace tridimensionnel par rapport au plan x, y comme étant:

equation   (21.115)

equation

La philosophie est ensuite toujours la même relativement aux autres axes:

Rotation autour l'axe X d'angle equation:

equation   (21.116)

equation

Rotation autour de l'axe Y d'angle equation:

equation   (21.117)

equation

Nous avons donc finalement trois matrices de rotation correspondant chacune à un des plans equation de l'espace tridimensionnel. Les trois angles mentionnés ci-dessus sont parfois appelés "angles d'Euler".

Ces trois matrices font partie du groupe des matrices d'ordre trois, noté "SO(3)" et appelé par les physiciens et mathématiciens "groupe de rotations spatiales SO(3)". Une rotation quelconque peut donc être représentée par la matrice produit résultant du produit de ces trois matrices.

Toute rotation consiste ensuite en une composition de ces trois rotations mais il est important que le lecteur se souvienne du chapitre d'Algèbre Linéaire où nous avions vu que la multiplication matricielle n'est pas commutative. Ainsi, tourner autour de l'axe X de 90° et ensuite autour de l'axe Z de 90° n'est pas équivalent à faire tourner d'abord selon l'axe Z et ensuite selon l'axe X du même angle comme le montre l'image ci-dessous:

equation
Figure: 21.39 - Exemple de non commutativité de la matrice de rotation

Enfin, pour obtenir la matrice qui compose un cas particulier des trois rotations voici par exemple les commandes à fournir dans Maple 4.00b:

>X:=array([[1,0,0],[0,cos(theta),sin(theta)],[0,-sin(theta),cos(theta)]]);
>Y:=array([[cos(lambda),0,-sin(lambda)],[0,1,0],[sin(lambda),0,cos(lambda)]]);
>Z:=array([[cos(phi),sin(phi),0],[-sin(phi),cos(phi),0],[0,0,1]]);
>evalm(X&*Y&*Z);

Si nous cherchons à réaliser la composition d'une rotation R et d'une homothétie d'échelle H (dans cet ordre) la matrice de transformation sera: 

equation   (21.118)

Remarques:

R1. Nous rappelons (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) que la multiplication de 2 matrices n'est en général pas commutatif.

R2. La similitude directe de centre C, de rapport R et d'angle equation est la composée de l'homothétie de centre C et de rapport R et de la rotation de centre C et d'angle equation. Nous renvoyons le lecteur au chapitre sur les Nombres pour revoir que les nombres complexes permettent formellement d'opérer avec les opérations d'addition et de multiplication à des similitudes (directes ou rétrogrades).

R3. Nous pouvons faire des rotations beaucoup plus puissantes et variables à l'aide des nombres quaternions (ou "hypercomplexes"). Pour plus d'informations le lecteur se reportera au chapitre sur les Nombres.

RÉFLEXION

Définition: La "réflexion", appelée également "symétrie axiale", notée equation (en géométrie), par rapport à la droite equation est l'application qui associe à chaque point M extérieur à equation le point M' telle que equation soit la médiatrice de MM '. Si M appartient à equation, alors equation.

Mathématiquement cela s'écrit:

equation   (21.119)

Autrement dit, une fonction de transformation de type réflexion de l'ensemble du plan dans lui-même associe à chaque pré-image au plus une seule et unique image. La réflexion est donc une fonction bijective. Nous pouvons donc définir une application de transformation réciproque notée equation telle que:

equation   (21.120)

Remarque: Tous les points de equation sont trivialement invariants par la réflexion dans le plan.

Sous forme matricielle les réflexions du plan sont extrêmement simples à formaliser en utilisant l'algèbre linéaire (voir chapitre du même nom) comme le montrent les exemples ci-dessous:

- Réflexion par rapport à l'axe des Y:

equation   (21.121)

equation

- Réflexion par rapport à l'axe des X:

equation

equation
  (21.122)

- Réflexion par rapport à l'origine:

equation

equation
  (21.123)

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TRIGONOMETRIEGEOMETRIES NON-EUCLIDIENNES


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