GÉNIE MARIN & MÉTÉO | GÉNIE
MÉCANIQUE | GÉNIE ÉLECTRIQUE
GÉNIE ÉNERGÉTIQUE | GÉNIE
CIVIL | GÉNIE BIOLOGIQUE | GÉNIE
AÉROSPATIAL
GÉNIE CHIMIQUE | GÉNIE INDUSTRIEL |
GÉNIE LOGICIEL
Dernière mise à jour de ce chapitre:
2017-12-31 17:59:35 | {oUUID 1.795}
Version:3.2 Révision 10| Avancement:
~70%
vues
depuis
le 2012-01-01: 11'087
LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Le Génie Civil représente
l'ensemble des techniques concernant les constructions civiles
et les outils qui y sont associés. Les ingénieurs
civils s'occupent eux de la conception, de la réalisation,
de l'exploitation et de la réhabilitation d'ouvrages
de construction et d'infrastructures urbaines dont ils assurent
la gestion afin de répondre aux besoins de la société,
tout en assurant la sécurité du public et la protection
de l'environnement en théorie. Très variées
et intéressantes, leurs réalisations
se répartissent principalement dans cinq grands domaines
d'intervention: structures, géotechnique, hydraulique,
transport, et environnement. Comme à l'habitude sur ce site,
nous allons nous concentrer uniquement sur la formalisation mathématique
de cas très courants et qui ont une application pratique
dans la vie de tous les jours
Signalons qu'en génie civil, il est parfois fait usage du
calcul des surfaces minimales. Ceci est déjà traité par
un exemple concret dans le chapitre de Mécanique Analytique.
En ce qui concerne les efforts des poutres à la chaleur, ceci est
déjà traité aussi dans le chapitre de Thermodynamique.
Nous allons nous limiter dans ce chapitre à des calculs
démontrables de manière précise et non à des
formules expérimentales afin d'avoir une introduction générale
aux techniques du génie civil et de se familiariser avec
le langage et certaines méthodes de calcul utilisées
par les ingénieurs dans
ce domaine. Dans la pratique, les ingénieurs
en génie
civil font usage d'un paquet de normes avec formules incluant des
coefficients
ou basées
sur des tables ou encore des cartes géographiques. Par exemple,
en Suisse, les ingénieurs en génie civil se réfèrent
aux normes SIA (Société suisse des Ingénieurs
et des Architectes) qui contiennent entre autres ces fameuses formules.
L'approche théorique est évidemment insuffisante
et toute formation dans ce domaine doit être complétée
par des travaux pratiques en laboratoire.
Remarque: Il serait prétentieux
de prétendre dans le présent chapitre vouloir faire
aussi bien et complet que le PDF gratuit de Statique de
Nicolet Gaston Raymond qui est inégalable en matière
de contenu et de qualité à ce jour (même comparés
aux ouvrages payants sur le sujet!). Il est donc fortement recommandé au
lecteur de s'y référer s'il veut une information
complète sur le génie civil (voir la section
de téléchargement du site).
STATIQUE
Le génie
civil utilise énormément la statique pour la construction. Nous n'allons donc
pas récrire ici tout le chapitre de Mécanique Classique avec le principe fondamental
de la statistique et tout ce qui va avec, ni l'analyse statique des poutres déjà
effectuée dans le chapitre de Génie Mécanique, mais
seulement
présenter
quelques
aspects
applicatifs du principe.
Pour commencer ce chapitre, intéressons-nous au moins au plus
petit cas non trivial que l'on rencontre dans la pratique. Nous
souhaiterions poser contre un mur un objet massif et nous souhaiterions
savoir la force que devra supporter ce mur. Nous pouvons représenter
cela basiquement par le schéma suivant:
Figure: 72.1 - Objet massif contre un mur
Pour que le mur tienne, il faut (mais n'est pas une condition
suffisante, elle est juste nécessaire) que le moment de force de
la gravité égalise le moment de force du mur. Nous avons alors:
(72.1)
d'où:
(72.2)
In extenso, il faut que les fondations du mur soient aptes à contrer
le moment de force opposé.
POULIES
Dans le cadre de la statique des forces, il y
a un exemple industriel qui est fameux et que nous croisons quasiment
toutes les semaines en marchant ou en roulant devant des chantiers
(grues), des gares (tendeurs), des ports (bateaux) ou en allant
dans des salles de fitness ou garages: la poulie! Son origine est
encore une idée d'Archimède (paraît-il...) qui l'appliqua pour
le déplacement
de grosses masses nécessaires dans divers chantiers de son époque.
La relation avec le génie civil est donc toute justifiée! Voyons
donc cela de plus près (exceptionnellement il y a très peu d'équations).
Considérons la situation suivante appelée "poulie
simple fixe" avec une masse de 10 [Kg] (soit une force
de 100 [N] avec la gravité terrestre arrondie à la dizaine
la plus proche) accrochée une corde glissée dans la gouttière d'une
poulie:
Figure: 72.2 - Poulie simple fixe(source: Wikipédia)
Une poulie simple fixe n'a l'avantage mécanique
que de pouvoir exercer la force dans une direction différente à celle
du déplacement, la force qui doit être appliquée est la même que
celle qui est requise pour déplacer l'objet sans la poulie!
Le point d'ancrage de la poulie doit lui supporter
la force nécessaire au déplacement de l'objet plus la force de
traction, soit environ deux fois cette force au pire. Sinon le
charge totale que doit supporter le point d'ancrage est fonction
de "l'angle de tire" du cordage (compris entre 90° et
180°)
bien évidemment:
Figure: 72.3 - Angle de tire à 180°
Pour un angle de 180° le coefficient de charge
est de 200%. Une charge de 10 [Kg] sur le cordage représente
une charge de 20 [Kg] sur la poulie.
Figure: 72.4 - Angle de tire à 90°
Pour un angle de 90°, le coefficient de charge
est de 140%. Une charge de 10 [Kg] représente une charge
de 14 [Kg] sur la poulie.
Considérons maintenant une situation où nous
fixons une extrémité de la corde au support et de tirer avec l'autre
extrémité, pour déplacer à la fois la poulie et la charge de 10
[Kg]. Cette configuration est appelée "poulie
simple mobile" ou "poulie
inversée" (la légende veut dit
que c'est ce système qu'Archimède utilisa pour tirer un bateau):
Figure: 72.5 - Poulie simple mobile (source: Wikipédia)
Au fait dans ce système (mis en place à la verticale
ou à l'horizontale peu importe!) c'est comme s'il y avait deux
individus qui se partageaient l'effort du déplacement: le mur et
la partie libre de la corde (celle qui est tirée).
La poulie simple mobile permet donc de réduire
la force nécessaire au déplacement de moitié (le point d'ancrage
supportant l'autre moitié) et en rajoutant ainsi des poulies mobiles,
nous continuons à diviser l'action à exercer! C'est bête mais il
fallait y penser!
Ce système par contre nécessite un déplacement
de l'extrémité de corde tirée du double de la distance du déplacement
de la charge et ce indépendamment du rayon de la poulie.
Indiquons aussi que plus la poulie à un rayon
grand, plus le moment de force le sera aussi! Donc dans le
cas de très lourdes charges nous privilégieront de grands rayons
pour les poulies si le système qui tire ne peut fournir qu'une
faible force.
Une configuration plus réaliste (car nous allons
rarement nous placer au-dessus du point d'ancrage pour tirer la
corde et en plus le système précédent est peu stable mécaniquement
parlant...) de la poulie libre présentée ci-dessus est la suivante:
Figure: 72.6 - Poulie simple fixe et mobile mixte (source: Wikipédia)
Évidemment, quand nous représentons des systèmes
comme ceux-ci dans les cas scolaires, nous négligeons de manière
simplificatrice la masse des poulies elles-mêmes qu'il faudrait
en toute rigueur prendre en compte!
Quand nous utilisons des systèmes de plusieurs
poulies qui travaillent ensemble, nous disons que nous avons une
configuration de "poulies composées". La configuration
de ce type la plus commune est le "palan": les poulies
sont distribuées en deux groupes (ou moufle), l'un fixe, l'autre
mobile:
Figure: 72.7 - Système de poulies combinées fixes et mobiles (source:
Wikipédia)
Dans chaque groupe nous installons un nombre
arbitraire de poulies qui démultiplient donc d'un même facteur
la charge initiale. La charge est bien évidemment unie au groupe
mobile.
Nous avons donc 25 [N] au bout de la
corde. Le lecteur peut donc chercher à s'amuser à trouver les 4
points d'accroches dans l'illustration précédente et les deux poulies
qui divisent chacune par deux la force nécessaire... Si jamais
voici la même configuration mais représentée sous une formé "dépliée":
Figure: 72.8 - Système déplié de poulies combinées fixes
et mobiles
(source:
Wikipédia)
Nous voyons déjà que la grosse poulie supérieure
ne sert à rien excepté à changer la direction de la force de tirage.
Au fait, les deux poulies qui servent à diviser chacune la force
par deux sont les deux inférieures, le reste n'étant là que par
commodité pour le mouvement de la corde.
Rappelons au lecteur qu'en réalité il faudrait prendre
en compte les frottements de la corde sur la poulie (science de
la tribologie)
et que nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique
Classique que la force (tension) réelle d'une extrémité par
rapport à l'autre
était donnée par:
(30.3)
et donc que la force (tension) réelle utile pour
soulever un poids était donnée par:
(30.4)
Donc la force (tension) fourni pour soulever l'objet étant T2,
la force (tension réelle) soulevant le poids étant T1, la différence
donne la force (tension) faisant tourner la poulie par l'intermédiaire
du frottement. Nous avons alors:
(30.5)
Le moment de force de la poulie de rayon R est alors:
(30.6)
Voyons une application connue des poulies dans
certaines gares ferroviaires:
Figure: 72.9 - Système réel de poulies combinées fixes et
mobiles
Il s'agit d'un palan pour tendre les câbles électriques
avec un contrepoids non visible sur la photographie (en bas à droite)
qui assure une certaine force donc une certaine tension. L'avantage
de ce système est qu'il permet de rajouter des poids au fur et à mesure
que le câble se détend et ceux-ci sont alors quatre fois plus élevés
au niveau du câble électrique grâce aux deux poulies mobiles (à gauche).
Les poulies à droite ne sont là que par commodité pour le mouvement
de la corde et la direction de tirage en ce qui concerne la poulie à l'extrémité droite.
Dans le cas d'un levage horizontal ou vertical,
il est facile de déterminer le rapport de démultiplication D.
Effectivement, si nous considérons F la force nécessaire
pour soulever l'objet d'une hauteur h en tirant la corde
sur une longueur d et la
force de gravitation sur la masse tirée, nous avons alors en négligeant
les frottements et le poids des poulies mobiles:
(72.7)
Enfin, remarquons qu'il est possible de jouer
avec le rayon de la poulie de déviation pour diminuer la force à fournir
tout en gardant constant le moment de force (nous parlons alors
de "palan
différentiel") mais au final l'énergie dépensée restera
toujours la même pour soulever un objet à une même hauteur (et
il faudra tirer la corde encore plus pour soulever la charge à
la même hauteur).
SPIRALE DE CORNU
La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure
est proportionnelle à l'abscisse curviligne. Elle est également
appelée "spirale
de Cornu", en référence à Alfred
Cornu, le physicien français qui l'a inventée. Plus
rarement, elle peut apparaître sous le nom de radioïde aux
arcs, spirale d'Euler ou spirale de Fresnel.
Cette forme est également adaptée aux fins de courbes dans les
tracés des chemins de fer parce qu'un véhicule suivant ce tracé à une
vitesse constante subit une accélération angulaire constante, ce
qui réduit à la fois les efforts sur les rails et l'inconfort des
passagers dans les voitures.
Enfin, les sabots montés sur les pylônes
de téléphériques, et qui supportent le câble
porteur, adoptent cette forme. De fait, il est possible de faire
circuler la cabine à sa
vitesse maximale sur le pylône, sans incommoder les passagers.
De même cette courbe est utilisée
pour les boucles verticales ou loopings dans les montagnes russes
pour le confort des passagers, afin que l'accélération verticale
subie soit continue
Figure: 72.10 - Quelques photos de spirales de Cornu routières
Lorsqu'un véhicule aborde une courbe circulaire,, il va subir
une forme perpendiculaire à sa
direction (force centrifuge) donc de norme (cf.
chapitre de Mécanique
Classique):
(72.8)
dès le début de son entrée dans la courbe. Cet effet est problématique
car pour une voiture de poids moyen sur une autoroute, la force
centrifuge peut égaler la force de pesanteur (lorsque sa vitesse
est dans les valeurs légales!).
Ainsi, l'accélération passe brutalement de 0 à aussi,
les ingénieurs relèvent les courbes pour améliorer l'adhérence,
mais il est aussi possible d'essayer de trouver des courbes pour
lesquelles l'accélération sera plus progressive. Par exemple si
la courbure C donnée par (cf. chapitre
de Géométrie Différentielle):
(72.9)
est proportionnelle au trajet s (abscisse curviligne)
parcouru dans la courbe, nous aurons au début de la courbe donc
l'accélération sera nulle
Ce que nous cherchons est alors des courbes telles que:
(72.10)
Pour cela, rappelons que nous pouvons aussi écrire naturellement
pour un cercle, la courbure sous la forme:
(72.11)
Effectivement, si nous tournons d'un angle alors
nous nous déplaçons d'une longueur (cf.
chapitre de Trigonométrie).
Nous avons donc la relation:
(72.12)
Soit:
(72.13)
d'où:
(72.14)
De plus rappelons que l'équation paramétrique du cercle est:
(72.15)
Nous avons donc:
(72.16)
Soit:
(72.17)
Nous pouvons donc maintenant écrire:
(72.18)
Soit:
(72.19)
avec un petit changement de variables:
(72.20)
il vient:
(72.21)
en prenant (nous
pouvons toujours faire une translation par la suite).
Les deux intégrales s'appellent des "intégrales
de Fresnel" et
ne sont pas calculables directement. Nous pouvons cependant les
exprimer sous forme de développement de Taylor (cf.
chapitre Suites Et Séries) sous la forme:
(72.22)
Le plot de l'intégrale de Fresnel donne dans Maple 4.00b:
>plot([FresnelC(t),FresnelS(t),t=-5..5]);
Figure: 72.11 - Plot de l'intégrale de Fresnel sous Maple 4.00b
En zoomant sur la partie qui nous intéresse:
Figure: 72.12 - Zoom sur l'origine de l'intégrale de Fresnel
La même chose à une constante près en utilisant la série
de Taylor présentée antérieurement:
Figure: 72.13 - Développement en série de Taylor équivalant
Les bureaux d'ingénieurs utilisent des logiciels
spéciaux intégrant des spirales des clothoïdes
dans des environnements 2D ou 3D sur la base de relevés
topographiques fait par des géomaticiens.
CÂBLES SUSPENDUS
Galilée, fut sans doute le premier à s'intéresser à la chaînette
qu'il prit pour un arc de parabole. Jean Bernoulli, Huygens et
Leibniz trouvèrent (indépendamment) en réponse au défi lancé par
Jakob Bernoulli, sa véritable nature en 1691: engendrée par un
cosinus hyperbolique.
Figure: 72.14 - Câbles suspendus des lignes HT (source: chronomaths)
Figure: 72.15 - Câble suspendu pour gazoduc par-dessus une rivière
CÂBLE SUSPENDU LIBRE (CHAÎNETTE)
Considérons (source: ChronoMath) pour l'étude un
câble homogène libre,
flexible, attaché en deux points A et B. Dans
sa position d'équilibre, le câble pend dans un plan
vertical et semble prendre une forme parabolique. En fait, pas
vraiment...
Figure: 72.16 - Configuration pour l'étude des câbles suspendus
Créons dans ce plan un repère orthonormé ,
où O désigne le point le plus bas du câble et notons le
champ de pesanteur à son endroit.
Appelons la
tension (force) au point O faisant échec à la
tension en M de
sorte que la portion de câble [OM] de longueur L,
soumise à son poids linéique au
point G,
soit en équilibre
au sens statique:
(72.23)
Remarque: Le produit de
la masse linéaire avec la force gravitationnelle est aussi
très
souvent noté w comme nous l'avons fait dans le
chapitre de Génie Mécanique pour représenter
la charge linéique.
Projetons sur les axes de coordonnées en notant l'angle .
Nous avons alors les décompositions suivantes:
(72.24)
Nous pouvons alors écrire le système:
(72.25)
Soit après simplification:
(72.26)
Soit:
(72.27)
En calculant le rapport:
(72.28)
Pour obtenir une équation différentielle différentions... (là c'est
subtil...):
(72.29)
où dL est donc l'abscisse curviligne du câble
(souvent notée ds dans la littérature conformément
à ce qui se fait en géométrie différentielle).
Ensuite:
(72.30)
Mais la tangente c'est aussi la dérivée de la fonction décrivant
la chaînette. Donc:
(72.31)
Il vient alors:
(72.32)
Suite à l'intervention d'un lecteur, nous allons proposer
deux manières de résoudre cette équation différentielle.
La première
est celle d'origine et elle est un peu compliquée et la
deuxième (disponible beaucoup plus bas)
est celle proposée par un lecteur qui est peut-être
plus élégante
et simple.
Première approche:
Posons et
cherchons la primitive du membre de gauche dans un premier temps
(celle du membre droite étant évidente). Les calculs
faits dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral
dans la détermination
des primitives usuelles nous donnent:
(72.33)
Nous avons donc:
(72.34)
en passant à l'exponentielle:
(72.35)
en remarquant que dans notre problème en nous
avons bien .
Pour trouver y' nous utilisons une astuce: Nous savons
que la fonction est symétrique. Donc si nous remplaçons x par
-x la
tangente change aussi de signe et passe de y' a -y':
(72.36)
En soustrayant:
et
(72.37)
il vient:
(72.38)
Donc après intégration:
(72.39)
où l'expression après la première égalité est appelée "courbe
caténaire". Il vient au final:
(72.40)
où les constante seront déterminées par les conditions initiales.
Nous voyons bien avec Maple 4.00b la différence entre
une parabole et la chaînette:
> plot([x^2,cosh(x)],x=-4...4);
Figure: 72.17 - Plot entre une chaînette et parabole avec Maple 4.00b
Considérons maintenant deux points dans le plan , et
déterminons l'équation de la chaînette de longueur L ayant
ces deux points comme extrémités.
Nous avons les deux équations:
(72.41)
Nous obtenons une troisième équation à l'aide de la longueur L qui
est connue. En effet (cf. chapitre
de Mécanique Analytique):
(72.42)
où nous avons toujours:
(72.43)
Ainsi, nous obtenons un système non linéaire de
trois équations à trois
inconnues ():
(72.44)
Déterminons à titre d'exemple la chaînette de longueur
38 cm passant par les points, .
Il faut alors résoudre le système suivant:
(72.45)
Voici les commandes Maple 4.00b qui nous permettent d'obtenir le résultat.
>e1:=0=k*cosh(-9/k+c1)+c2;
>e2:=10=k*cosh(9/k+c1)+c2;
>e3:=38=k*(sinh(9/k+c1)-sinh(-9/k+c1));
>fsolve({e1,e2,e3},{k,c1,c2},{k=0..infinity});
Maple donne:
k
= 4.073758798, c1 = .2694982504, c2 = -14.46356329
Graphiquement nous avons alors:
Figure: 72.18 - Tracé d'une petite chaînette avec Maple 4.00b
Deuxième approche:
Pour cette deuxième approche de résolution de l'équation
différentielle,
nous allons garder la notation proposée par le lecteur qui
nous a contacté. Nous repartons de l'équation différentielle:
(72.46)
Nous faisons le changement de variable:
(72.47)
Il vient alors:
(72.48)
Puis:
(72.49)
L'intégration donne conformément à la primitive usuelle démontrée
dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:
(72.50)
Et la condition:
(72.51)
en (point
le plus bas de la chaînette) impose que la constante d'intégration
est nulle et donc que les points d'accroche sont par symétrie situés
à même hauteur. Nous avons alors:
(72.52)
Soit:
(72.53)
à comparer avec la méthode précédente
où nous avions obtenu:
(72.54)
La constante d'intégration est déterminée par les points d'attache
de la corde distants de D où nous avons en et
en (donc
les extrémités sont sur la même horizontale).
Nous avons alors:
(72.55)
C'est sous cette dernière forme que l'équation de la chaînette
a été obtenue
indépendamment par Leibniz, Huyghens et Bernoulli à la fin du 17ème
siècle.
On peut alors maintenant facilement calculer la déviation maximale
(le "flèche" comme
disent les ingénieurs en génie civil que nous noterons f comme
dans le chapitre de Génie Mécanique)
par rapport à l'horizontale
passant par les points d'attache:
(72.56)
Enfin il peut être intéressant de calcul la longueur
du câble
à l'équilibre. Pour cela, rappelons que nous avons
démontré plus haut que:
(72.57)
Dans le cas où les attaches sont à même hauteur,
la chaînette est symétrique et nous avons alors:
(72.58)
Reste à déterminer la constante! Si D est
nul alors L doit être nul. La constante vaut alors zéro
et il reste:
(72.59)
Dans le cas des lignes de chemin de fer électrifiées,
nous pallions à la flèche rédhibitoire par
un câble porteur principal de la caténaire: le câble
supérieur (ci-dessous à droite) subit une flèche
acceptée, ce qui diminue les tensions entre les pylônes.
La caténaire reste ainsi bien linéaire grâce
aux accroches auxiliaires multiples à un câble auxiliaire.
Figure: 72.19 - Chaînette des Chemins de Fer (source: Chronomaths)
Sinon signalons que nous retrouvons aussi les chaînettes
dans tous les endroits de la vie de tous les jours où un câble
est suspendu entre deux points sur une même horizontale.
Exemple:
Considérons
un câble suspendu avec les données suivantes:
(72.60)
Nous avons puisque la charge linéique du câble est
constante (en reprenant la notation du chapitre de Génie Mécanique
au passage):
(72.61)
et donc:
(72.62)
Ainsi la flèche du câble est 6 mètres en-dessous
de l'horizontale des deux accroches.
CÂBLE SUSPENDU PORTEUR (PONT SUSPENDU) Considérons le pont suspendu suivant portant
une charge linéique constante, donc la flèche h est
imposée par l'architecte, ainsi que la distance D entre
les 2 piliers:
Figure: 72.20 - Pont suspendu (source: ISBN 0-13-814929-1)
La subtilité de cas d'étude réside dans le
fait que la charge linéique n'est plus dans le câble
lui-même mais dans la travée
du pont qui est de masse linéique bien supérieur.
Nous ne pouvons plus alors utiliser les analyses faites plus haut.
Le développement fait pour le câble suspendu normal reste valide
jusqu'à la relation:
(72.63)
Maintenant, il faut se rappeler que nous avons aussi:
(72.64)
en réarrangeant et en dérivant encore par dx:
(72.65)
Sur le pont cependant chaque portion dL du
câble
est négligeable devant la portion dx du pont. Ceci
marque toute la différence entre le pont suspendu et la
simple chaînette tel que nous devons remplacer dL par dx
(c'est assez subtile avec cette démarche mais il y a plusieurs
approches possible à ce développement). Nous avons alors la relation
précédente
qui devient:
(72.66)
Soit après réarrangement:
(72.67)
En intégrant une première fois il vient alors:
(72.68)
et une deuxième et dernière fois:
(72.69)
Les constantes sont déterminées par
les conditions initiales. L'endroit où nous
avons posé
le repère impose que y =
0 en x =0
et que
dy/dx = 0 en x = 0, nous avons les deux
constante qui sont nulles et il reste alors:
(72.70)
Il s'agit donc de l'équation d'une parabole
et non plus d'une chaînette! Un petit souci est que nous
ne connaissons pas la tension dans le câble. Il faudrait
nous en débarrasser. Or du fait que l'architecte impose
que la flèche soit h en x = D/2,
il vient alors:
(72.71)
et donc:
(72.72)
Encore une fois cela reste une parabole et ce
indépendamment du poids porté! Cela étant dû au
fait qu'il soit uniforme.
Il nous reste alors à déterminer la longueur du
câble.
Pour cela nous reprenons la relation déjà rappelée plus haut (démontrée
dans le chapitre de Mécanique Analytique ou de Formes Géométriques):
(72.73)
Par symétrie de la fonction du pont suspendu nous pouvons écrire:
(72.74)
Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral lors de nos
démonstrations des primitives usuelles, nous avons démontré que:
(72.75)
Il vient alors:
(72.76)
Exemple:
Considérons les caractéristiques du Golden Bridge
de San Francisco. Sa flèche h est d'environ 230 mètres
et sa portée principale
est de 1280 [m]. Nous avons alors:
(72.77)
CÂBLE TRÈS TENDU
Rappelons que dans le cas général nous avions obtenus la relation
suivante:
(72.78)
Prenons-en la différentielle:
(72.79)
Soit pour la composante y:
(72.80)
Mais nous avons aussi:
(72.81)
Donc injecté dans la relation précédente
cela donne:
(72.82)
Soit:
(72.83)
Et sous l'hypothèse que le câble est très tendu:
(72.84)
Il vient alors:
(72.85)
Après une première intégration il vient:
(72.86)
Avant d'aller plus lois remarquons que la constante est facile
à déterminer puisque en x = L/2, la dérivée
doit être nulle. Nous avons alors:
(72.87)
Après une deuxième intégration (où la constante
d'intégration est nulle):
(72.88)
Nous avons alors pour la déformation de la corde:
(72.89)
Ainsi, au milieu de la corde la flèche est alors de:
(72.90)
Ou respectivement si on connaît la flèche et qu'on cherche à
déterminer la tension:
(72.91)
et nous pourrions aussi calculer la longueur de la corde en utilisant
la même technique que pour le pont suspendu.
BARRAGES
Considérons le barrage (constitué d'un solide à rigidité
infinie et parfaitement étanche...) hauteur z,
de longueur L et
stockant de l'eau de densité ci-dessous:
Figure: 72.21 - Approche simplifiée pour l'étude de pression sur un barrage
Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus
que la pression hydrostatique était donnée par:
(72.92)
mais dans cette situation, nous avons évidemment:
(72.93)
Ainsi lorsque nous nous plaçons à la surface de l'eau en :
(72.94)
soit la pression de l'air à la surface du lac de barrage...
Sur un élément de surface dS il s'exerce une force élémentaire:
(72.95)
Or:
(72.96)
Ainsi:
(72.97)
d'où après intégration
(72.98)
Il s'agit donc de la force exercée sur la face immergée.
La force sur la face émergée (à gauche sur
l'illustration) est simplement donnée en posant .
Nous avons donc pourla partie due à la pression atmosphérique seule:
(72.99)
et pour la partie due à l'eau seule:
(72.100)
Remarque: En
moyenne entre l'état à vide et à plein (selon
ce qui se lit sur Internet) la voute d'un barrage de hauteur certaine
se déplacerait
parfois avec une amplitude de l'ordre de 80 [cm].
|