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Ingénierie

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71. GÉNIE ÉLECTRIQUE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:23:43 | {oUUID 1.796}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Nous allons voir dans ce chapitre l'étude - sous son aspect mathématique - générale des circuits, montages, puces, et machines, émetteur/récepteurs que l'ingénieur doit savoir formaliser, analyser, comprendre, fabriquer et simuler à la suite de ses études. Pour cette raison, nous avons choisi sur ce site de nous concentrer sur des cas mathématiques d'applications pratiques (utiles!) dans la vie de tous les jours en mentionnant les éventuels pièges et dangers du montage.

Nous traiterons ici dans l'électronique analogique, ensuite de l'électronique de puissance (électrotechnique), de l'électronique numérique ainsi de que la physique des semi-conducteurs pour bien comprendre les fondements de certains éléments.

Le génie électrique est donc une hiérarchie de modèles. C'est la seule façon d'aborder la conception de systèmes complexes. En principe, le fonctionnement de nombreux dispositifs peut, certes, toujours se ramener à l'application des équations de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique), mais il est cependant humainement impossible de comprendre la conception de certains systèmes en ce cantonnant à un niveau aussi théorique.

Il est alors d'usage dans l'industrie de hiérarchiser l'analyse en 5 niveaux:

N0. Physique du solide: Ce modèle est essentiel pour l'analyse des propriétés électriques et magnétiques de la matière. Il s'appuie sur les lois de la physique quantique et mène essentiellement à la description de bandes d'énergie et au calcul de leur degré d'occupation. Ce modèle explique par exemple les propriétés fondamentales des semi-conducteurs.

N1. Électromagnétisme: Ce modèle est essentiel pour l'analyse des dispositifs travaillant aux hyperfréquences et celle des dispositifs électromagnétiques. Il s'appuie sur les relations de Maxwell et fait appel à la théorie mathématique des équations aux dérivées partielles. Ce modèle ne permet plus d'analyser l'influence d'un atome car les objets étudiés sont à un niveau plus macroscopique, décrits par leurs dimensions, leur permittivité, leur conductibilité, etc.

N2. Théorie des circuits: Ce modèle est essentiel pour l'analyse des dispositifs électroniques dans le cas très courant où les dimensions du dispositif sont largement inférieures à la longueur d'onde du phénomène étudié. Ce modèle s'appuie sur les lemmes de Kirchhoff et la définition d'une demi-douzaine d'éléments discrets, résistance, capacité, inductance, cours, etc... Il n'y a plus de géométrique dans un tel modèle mais seulement une topologie. On peut calculer le courant et la tension, grandeurs scalaires, alors que les champs n'ont plus de sens. Les techniques mathématiques sont celles des équations différentielles ordinaires, transformations de Laplace, calcul complexe et matriciel, etc...

N3. Schémas fonctionnels: À ce niveau, nous ne tenons plus compte de courants ou de tensions, in a fortiori de la géométrique du système. Celui-ci est constitué par la connexion de blocs remplissant des fonctions caractérisées par des relations entre grandeurs de sortie et d'entrée.

N4. Systèmes: À ce niveau, nous schématisons en bloc fonctionnel un ensemble de blocs du niveau 3. Un ordinateur est par exemple une interconnexion de différents systèmes logiques réalisant chacun une fonction particulière.

N5. Logiciel: À partir de ce niveau, l'ingénieur n'ajoute plus de dispositifs supplémentaires, ne les combine plus en des systèmes plus vastes, mais il programme la machine. Les méthodes théoriques se rapprochent alors plus souvent de la linguistique que de la mathématique.

Ce chapitre doit permettre de se familiariser avec le langage et certaines méthodes de calculs utilisées par les ingénieurs de cette branche pour les 4 premiers niveaux. Cependant en toute rigueur toute formation dans ce domaine doit être complétée par des travaux pratiques en laboratoire!

Nous avons tenté de respecter aux mieux dans les schémas la série de normes NF EN 60617 pour les symboles des composants électriques. Comme ces derniers sont très nombreux, nous proposons ci-dessous un tableau uniquement des composants utilisés ou mentionnés jusqu'à maintenant dans ce chapitre. Ce tableau évoluera donc au fil du temps:

Nom

Symbole

Courant alternatif

equation

Polarité positive

equation

Polarité négative

equation

Source idéale de tension

equation

Liaison

equation

Points de liaison

equation

Liaison en T

equation

Résistance

equation

Condensateur

equation

Inductance

equation

Contact à fermeture, à retour automatique

equation

Inductance à noyau magnétique

equation

Transformateur à deux enroulements

equation

Tableau: 28.1 - Symboles utilisés de la norme NF EN 60617

COURANT ALTERNATIF VS COURANT CONTINU

Le lecteur va remarquer que tout au long de ce chapitre du site, nous allons principalement travailler avec du courant alternatif. Il nous semble important d'expliquer l'origine de cet attrait du monde industriel contemporain pour le courant alternatif avant d'aller plus loin.

Au fait, l'origine de cet attrait est relativement simple:

Quand des centrales électriques virent le jour, surtout dans les régions éloignées des centres urbains, il fallut transporter l'énergie électrique produite sur des longues distances. Mais les câbles qui transportent l'électricité ont une certaine résistance et cela posa un problème majeur.

Effectivement, une ville moyenne peut largement avoir besoin d'une puissance d'environ 10 [MW]. Si cette quantité devait être transportée sous une tension modeste d'environ 100 [V], comme equation (cf. chapitre d'Électrocinétique), le courant devait être énorme: 100'000 [A] !

Mais l'effet Joule dans le cuivre de 1 [cm] de diamètre a une résistance linéaire de equation. Avec un courant de 100'000 [A], la perte d'énergie par effet Joule serait d'environ (en négligeant la chute de potentiel):

equation   (71.1)

... on voit très vite le problème!

Au prix de equation, cela représentant un coût (perte) d'environ:

equation   (71.2)

humm...!

Il n'y avait d'autres choix économiques que de baisser le courant. En clair, si la tension atteignait equation , la même puissance pourrait être transportée efficacement par 100 [A]. Ainsi, en élevant la tension par un facteur 1000, nous pouvons réduire le courant d'un facteur 1000 aussi, et donc la perte Joule par un facteur equation.

Comme il existait déjà un dispositif simple pour élever et abaisser la tension alternative (les transformateurs) sans aucun dispositif comparable pour la tension continue (du moins à l'époque), la course a été gagnée par les adeptes du courant alternatif.

Il faut rajouter également comme deuxième intérêt que certains composants électriques linéaires (voir plus loin) n'ont pas beaucoup d'intérêt en courant continu... nous y reviendrons!

Voyons un montage simple pour générer du courant alternatif monophasé:

equation
Figure: 71.1 - Exemple de générateur de courant alternatif

La tension (respectivement le courant) est déterminée par la loi de Faraday démontrée dans le chapitre d'Électrocinétique:

equation   (71.3)

qui donne donc la force électromotrice (ou tension dans le cas d'un générateur sans résistance...) induite.

Nous avons bien évidemment dans la situation ci-dessus si l'aimant est permanent et la longueur de la spire carrée est L:

equation   (71.4)

Nous voyons déjà que pour obtenir une certaine force électromotrice, il sera préférable de jouer avec la fréquence de rotation plutôt qu'avec la surface ou l'intensité du champ magnétique... ou encore d'augmenter le nombre de spires par un montage permettant d'arriver à la relation suivante:

equation   (71.5)

Il convient d'indiquer pour les sceptiques qu'il y a bien conservation de l'énergie dans ce système! Effectivement, l'énergie nécessaire à faire tourner la spire sera celle en partie utilisée par le système (et c'est pourquoi les barrages font tourner des turbines avec de l'eau et les centrales nucléaires avec de la vapeur et les éoliennes avec du vent...).

Évidemment le cas inverse comme un courant alternatif injecté dans la spire la fera tourner dans le champ magnétique. Donc dans une situation, nous avons un générateur électrique et dans le cas inverse un moteur électrique.

Il est possible avec un appareillage similaire de produire une tension continue à peu près fiable de la manière suivante appelée "dynamo":

equation
Figure: 71.2 - Exemple de générateur de courant continu

Le générateur simple donné en premier avec quelques aimants en fer à cheval produisant le champ magnétique était très utilisé au début de l'ère de la technologie électrique mais à des tensions élevées  (plusieurs [kV]) et des courants internes élevés aussi (plus de 50 [A]). Les balais métalliques et les bagues collectrices produisaient alors des étincelles et s'abîmaient relativement vite. Actuellement, cette machine à armature tournante n'est plus très utilisée.

Pour éviter les difficultés associées aux tensions dépassant environ 600 [V], nous faisons aujourd'hui tourner des électroaimants autour d'une armature immobile. Le courant qui alimente les électroaimants tournants (qui peuvent aussi être des aimants permanents), est relativement faible et il ne pose aucun problème au fonctionnement des bagues et balais. Cette configuration est appelée alors un "alternateur" (l'exemple le plus commun étant la vieille lampe à vélo abusivement appelée dynamo alors que ce n'est pas une!).

Avec des composants linéaires électriques il est aussi possible au besoin de redresser la tension (nous verrons cela beaucoup plus loin). Nous avons alors une dynamo!

Puissance moyenne

Nous avons défini dans le chapitre d'Électrocinétique que la puissance joule était donnée par en régime constant pour un conducteur par:

equation   (71.6)

En régime alternatif périodique et à basse fréquence (afin de considérer la résistance comme constante) nous avons dans le cas purement résistif:

equation   (71.7)

Il vient alors (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) pour la valeur moyenne d'un signal périodique de période T:

equation   (71.8)

Le terme entre parenthèses peut donc être comparé à la valeur qu'aurait un courant continu produit la même puissance joule. Donc:

equation   (71.9)

Nous appelons ce courant équivalent la "valeur efficace du courant" ou "courant root mean square" (abrégé "courant RMS") et la notons:

equation   (71.10)

les valeurs RMS étant ce que mesurent les multimètres. Pour les régimes sinusoïdaux, nous avons alors:

equation   (71.11)

Dès lors nous avons:

equation   (71.12)

Et, par la même méthode, en souhaitant calculer la puissance moyenne, nous obtenons en régime sinusoïdal:

equation   (71.13)

Donc pour une tension et un courant ayant même phase, nous pouvons écrire:

equation   (71.14)

En toute rigueur il nous faut généraliser cette dernière relation pour des situations où le courant et la tension sont déphasées d'un angle (ou temps) equation.

Remarque: Malheureusement de nombreux ouvrages d'électronique ou mêmes d'articles de recherche ont défini une puissance qui n'a aucun sens physique et qui est appelée la "puissance RMS" et mesure des.... "Watts RMS" définie par analogie de la manière suivante:

equation   (71.15)

Même si ce terme est utilisé par les annonceurs et certains rédacteurs, il n'a pas sa place dans une publication technique digne de ce nom. Il apparaît souvent pour donner un semblant d'expertise technique...

Considérons maintenant une autre approche de la puissance cette fois-ci du point de vue instantané dans un cas plus général que purement résistif. Dans le cas général, nous avons en régime permanent sinusoïdal le droit d'écrire la tension et le courant avec des cosinus sous la forme suivante (forme qui implicitement prend aussi en compte le déphasage du courant et de la tension):

equation   (71.16)

Nous avons alors en utilisant les relations remarquables trigonométriques:

equation   (71.17)

où nous avons choisi de poser:

equation   (71.18)

tel que ce terme soit positif ou nul (nous pouvons toujours faire le choix de soustraire l'un des deux termes à l'autre afin d'avoir une valeur de equation strictement positive ou nulle sans que cela change les développements et conclusions qui vont suivre!) et où nous avons utilisé les résultats obtenus précédemment:

equation   (71.19)

Ainsi, dans l'expression:

equation   (71.20)

la puissance instantanée comprend donc une composant constante (premier terme) et une composante pulsée et de fréquence double de celle du courant et de la tension. En utilisant:

equation   (71.21)

ainsi que la relation trigonométrique remarquable suivante (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (71.22)

Nous avons alors:

equation   (71.23)

Cette dernière relation met en évidence que la puissance instantanées peut toujours être ramenée en régime sinusoïdal permanent à la somme de deux termes où:

- le premier est une composante pulsée, toujours positive (par construction), qui oscille autour de la valeur moyenne equation et qui traduit un échange d'énergie unidirectionnel entre une source et une charge.

- le deuxième est une composante alternative qui varie sinusoïdalement avec une amplitude equation et une valeur moyenne nulle. Elle est donc alternativement positive et négative et traduit un échange oscillatoire d'énergie entre une source et une charge.

Lorsque equation (charge purement résistive parfaite), nous avons alors:

equation   (71.24)

La valeur moyenne equation est alors maximum et égal à equation, alors que le deuxième terme (la composante alternative) est nul.

Par contre, lorsque equation (charge purement réactive comme inductance ou capacité idéales), alors:

equation   (71.25)

et dans ce cas, la puissance instantanée se réduit à la seule composante alternative. De ceci il découle les définitions suivantes:

Définitions:

D1. Nous appelons "puissance active" le terme:

equation   (71.26)

mesurable par un wattmètre et qui correspond à une fourniture réelle d'énergie convertible en travail ou en chaleur et qui est donc maximale dans le cas d'une charge purement résistive (idéale) et nulle en cas de charge purement réactive (idéale).

D2. Nous appelons "puissance réactive" le terme:

equation   (71.27)

qui n'est pas mesurable par un wattmètre puisque nul par alternation.

D3. Nous appelons "puissance apparente" le produit:

equation   (71.28)

qui est en apparence une puissance, mais ne fournit pas nécessairement un travail, d'où son nom... Par tradition c'est la puissance apparente qui est indiquée sur des grosses installations industrielles. On peut la reconnaître car les unités sont souvent indiquées en volts-ampères VA plutôt qu'en watts W (car il ne s'agit pas totalement d'une puissance).

TRANSFORMATEUR

Un transformateur électrique statique est une machine électrique permettant de modifier les valeurs de tension et d'intensité du courant délivrées par une source d'énergie électrique alternative, en un système de tension et de courant de valeurs différentes, mais de même fréquence et de même forme.

Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre d'Électrocinétique que:

equation   (71.29)

Si nous arrivons d'une manière ou d'une autre à faire passer le flux d'un premier solénoïde, appelé alors "enroulement primaire", ayant:

equation   (71.30)

à un deuxième solénoïde, appelé alors "enroulement secondaire", et ce sans aucune perte (ou du moins une perte négligeable) tel que:

equation   (71.31)

Il vient alors par identification terme à terme:

equation   (71.32)

et si les résistances internes sont négligeables la force électromotrice induite est égale alors à la tension aux bornes, il vient alors:

equation   (71.33)

et si toute l'énergie du champ magnétique est transmise dans l'enroulement secondaire, nous avons:

equation   (71.34)

d'où:

equation   (71.35)

Ainsi, le rapport du nombre de spires primaires sur le nombre de spires secondaires détermine totalement le rapport de transformation du transformateur qui peut être utilisé alors comme station de transformation de la tension en montant ou abaissant celle-ci en fonction du nombre de spires de l'enroulement secondaire. Il convient aussi de noter qu'un transformateur qui augmente la tension diminue simultanément le courant et inversement.

Un instrument historique et pédagogique typique permettant de faire cela est le transformateur monophasé à noyau ferromagnétique:

equation
Figure: 71.3 - Exemple type de transformateur monophasé à noyau ferromagnétique

Dans la pratique, les transformateurs monophasés bas de gamme ont les enroulements qui sont concentriques pour minimiser les fuites de flux. Un isolant est inséré entre le circuit primaire et le secondaire:

equation
Figure: 71.4 - Transformateur monophasé concentrique type (source Wikipédia)

Les transformateurs de par leur possibilité d'augmenter la tension et de réduire le courant (économie au niveau de la perte Joule comme nous l'avons déjà mentionné) jouent un rôle important dans la transmission de l'électricité des infrastructures domestiques (basse tension: BT, moyenne tension: MT, haute tension HT). Ainsi nous retrouvons les transformateurs élévateurs (TE) et les transformateurs abaisseurs de tension (AT) dans la vie de tous les jours:

equation
Figure: 71.5 - Installation civile typique de transformation de tension

CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONSTANT

Nous allons voir ici des circuits composés d'éléments simples comme une résistance, une capacité et une impédance. Ces circuits, dont l'équation représentative est une équation différentielle linéaire, sont appelés "circuits linéaires". Par ailleurs, ils sont un excellent exemple pour voir la lourdeur des développements en utilisant des représentations mathématiques classiques à l'opposé d'autre s techniques beaucoup plus souples et puissantes (représentation par phaseurs et transformées de Laplace).

CIRCUIT RC SÉRIE

Tout circuit possédant un condensateur possède également une résistance, ne serait-ce que celle des fils de connexion. De tels circuits RC série sont très courants et parfois d'une grande importance (stimulateur cardiaque par exemple). Effectivement, quand nous fermons un circuit qui ne contient que des résistances (circuit purement résistif), le courant monte à sa valeur nominale dans un temps extrêmement bref, de sorte que nous pouvons considérer que le courant et la tension sont constants avec une excellente approximation. Ainsi, le régime permanent s'établit après un régime transitoire très bref. Au contraire, dans un circuit RC série, tension et courant prennent un certain temps pour atteindre leurs valeurs nominales. Cette dépendance en fonction du temps a de multiples applications et permet de produire toute une gamme de signaux modulables dans le temps en fonction des besoins.

equation
Figure: 71.6 - Circuit RC série

Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert):

equation et equation   (71.36)

Quand nous fermons l'interrupteur les électrons partent du condensateur C. Nous avons alors aux bornes de la résistance:

equation   (71.37)

aux bornes du condensateur:

equation   (71.38)

L'équation du circuit est alors:

equation   (71.39)

Soit:

equation   (71.40)

Équation différentielle triviale dont la solution est avec les conditions initiales:

equation   (71.41)

Soit:

equation   (71.42)

Le courant a alors la forme suivante:

equation   (71.43)

Il s'agit donc d'un système où le courant décroît exponentiellement et ce d'autant plus vite que le facteur RC appelé "constante de temps" est petit. Nous voyons ce genre de système lorsque la lumière à l'intérieur d'une voiture s'éteint document après fermeture des portes.

Lorsque l'on met ce régime sous une tension permanente equation, nous avons alors une équation de la forme:

equation   (71.44)

Une solution particulière évidente est alors:

equation   (71.45)

Nous avons alors la solution générale:

equation   (71.46)

soit pour le courant:

equation   (71.47)

Et pour la tension aux bornes du condensateur:

equation   (71.48)

ce qui représente donc la tension aux bornes du condensateur lors de la charge. Donc au final nous avons les deux relations:

equation   (71.49)

Ainsi, en posant equation  nous avons respectivement à la fermeture et ouverture du circuit:

equation
Figure: 71.7 - Charge et décharge du condensateur lors de l'ouverture/fermeture de l'interrupteur

Étudions maintenant l'aspect énergétique qui est important en ingénierie puisque la consommation ou perte de puissance (rendement) est un facteur de vente important dans certaines applications!

Pour cela reprenons la relation:

equation   (71.50)

et multiplions par i:

equation   (71.51)

Ce que nous écrivons:

equation   (71.52)

Puisque:

equation   (71.53)

où nous voyons donc que dès que le régime transitoire de charge ou décharge est terminé, la tension aux bornes du condensateur étant nulle alors le courant est nul.

Nous avons alors:

equation   (71.54)

où le premier terme est la puissance fournie par le générateur au circuit, le second est le terme d'effet Joule et  le troisième est la puissance stockée dans le condensateur:

L'énergie fournie par le générateur se retrouve stockée dans le condensateur et dissipée par la résistance par effet Joule.

Ce qui est le plus important c'est de faire un bilan sur toute la durée de charge du condensateur pour signaler la puissance dissipée dans les caractéristiques de vente (cela passe mieux que de mettre des équations...). Pour cela, il suffit d'intégrer la relation précédente de 0 à l'infini pour obtenir l'énergie dissipée.

Le premier terme à gauche de l'égalité donne:

equation   (71.55)

Le second terme s'intègre en utilisant i(t):

equation   (71.56)

Le troisième terme s'intègre immédiatement puisque nous avons déjà la primitive:

equation   (71.57)

Nous obtenons finalement:

equation   (71.58)

Ainsi, pour des durées grandes, la moitié de l'énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule et l'autre stockée dans le condensateur.

CIRCUIT RL SÉRIE

Considérons le circuit suivant:

equation
Figure: 71.8 - Circuit RL série

Quand nous fermons l'interrupteur, nous avons alors aux bornes de la résistance:

equation   (71.59)

et aux bornes de l'inductance:

equation   (71.60)

et equation aux bornes du générateur de tension continue.

L'équation du circuit est alors:

equation   (71.61)

Soit:

equation   (71.62)

En inversant:

equation   (71.63)

Faisons un changement de variable:

equation   (71.64)

Alors:

equation   (71.65)

Il vient alors après intégration:

equation   (71.66)

Multiplions les deux membres par -R, puis prenons l'exponentielle des deux membres:

equation   (71.67)

et:

equation   (71.68)

Alors:

equation   (71.69)

où nous avons la constante de temps définie par:

equation   (71.70)

Ainsi, à la fermeture de l'interrupteur, le courant croît de manière exponentielle avec une asymptote à la valeur equation. Donc contrairement à au circuit RC, le courant tend vers une valeur fixe non nulle lorsque t tend vers l'infini!!!

Nous avons donc:

equation   (71.71)

Donc au final nous avons les deux relations:

equation   (71.72)

Étudions maintenant l'aspect énergétique qui est important en ingénierie puisque la consommation ou perte de puissance (rendement) est un facteur de vente important dans certaines applications! Comme pour le circuit RC, nous allons directement faire un bilan sur toute la durée du régime transitoire pour signaler la puissance dissipée dans les caractéristiques de vente (cela passe mieux que de mettre des équations...)

equation   (71.73)

Multiplions les termes de l'équation différentielle par i(t):

equation   (71.74)

Ce que nous écrivons:

equation   (71.75)

Pour calculer l'énergie dissipée, nous procédons de la même manière que pour le circuit RC série. Nous avons après intégration:

equation   (71.76)

soit:

equation   (71.77)

Contrairement au cas du circuit RC, nous ne pouvons intégrer ci-dessus avec les bornes données à cause du "1-" qui est devant l'exponentielle car celui-ci fait tendre la puissance consommée vers l'infini ce qui est logique, contrairement au circuit RC qui finit lui par se bloquer une fois la capacité chargée (le courant i tendant vers zéro très vite).

Donc soit, nous intégrons seulement jusqu'à un t temps limite suffisamment grand par rapport aux valeurs des éléments passifs (deux ou trois equation), soit nous nous intéressons à titre purement indicatif à la valeur instantanée de la puissance. Nous avons alors:

equation   (71.78)

Et donc à la fin du régime transitoire quand equation:

equation   (71.79)

donc en régime stable la résistance est le seul élément dissipatif d'énergie dans le circuit et il suffit de multiplier alors la puissance dissipée par l'intervalle de temps désiré pour avoir une estimation de l'énergie dissipée.

CIRCUIT RLC SÉRIE

Un fil électrique (une antenne par exemple) n'est pas un conducteur parfait. En réalité il peut être assimilé à une résistance, une capacité et une inductance interne en série. Si nous prenons le cas par exemple des générateurs, souvent on ne considère que la résistance interne comme non négligeable et celle-ci fait bien évidemment diminuer la tension nominale du générateur d'un facteur en première approximation proportionnel au courant qui le traverse.

Pour étudier le comportement d'un tel élément souvent appelé "circuit RLC" nous le représentons d'abord sous la forme suivante:

equation
Figure: 71.9 - Circuit RL série

Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert):

equation et equation   (71.80)

Quand nous fermons l'interrupteur les électrons partent du condensateur C. Nous avons alors aux bornes de la résistance:

equation   (71.81)

aux bornes du condensateur:

equation   (71.82)

aux bornes de la bobine:

equation   (71.83)

La somme des différences de potentiel du circuit est égale à la différence initiale de potentiel d'où:

equation   (71.84)

ou autrement écrit:

equation   (71.85)

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre très connue en physique (nous la retrouvons à l'identique dans d'autres domaines avec juste des constantes différentes). Pour la résoudre il faut chercher les racines de l'équation caractéristique associée (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (71.86)

Celle-ci a pour discriminant:

equation   (71.87)

La valeur de la résistance pour laquelle ce discriminant est nul est appelée "résistance critique":

equation   (71.88)

Nous pouvons ceci dit écrire le discriminant sous la forme suivante:

equation   (71.89)

Les solutions de l'équation différentielle sont différentes selon le nombre et le type des racines de l'équation caractéristique.

RÉGIME CRITIQUE

Il s'agit du cas où equation. L'équation caractéristique admet alors une racine double réelle puisque:

equation   (71.90)

Nous avons alors:

equation   (71.91)

avec:

equation   (71.92)

L'équation différentielle admet alors une solution du type suivant lorsque le discriminant est nul (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (71.93)

en omettant le retard.

Ce qui donne pour l'intensité:

equation   (71.94)

Les constantes sont définies par les conditions initiales:

equation   (71.95)

Nous obtenons donc pour la solution globale:

equation   (71.96)

Donc au final, nous avons les deux relations:

equation   (71.97)

Les figures suivantes illustrent l'allure de l'évolution temporelle de la charge du condensateur et de l'intensité au travers de l'inductance. L'intensité est maximale pour equation  dans l'inductance:

equation
Figure: 71.10 - Comportement du courant dans le circuit lors de la décharge du condensateur

RÉGIME APÉRIODIQUE (OU HYPERCRITIQUE)

Il s'agit du cas où equation. L'équation caractéristique admet alors deux racines réelles distinctes:

equation   (71.98)

Soit:

equation   (71.99)

Les deux racines sont de même signe, car en utilisant les relations de Viète (cf. chapitre de Calcul Algébrique) nous avons:

equation   (71.100)

Les deux racines sont donc obligatoirement négatives. Nous notons leurs valeurs absolues:

Ces deux racines sont donc négatives. Nous notons leurs valeurs absolues:

equation   (71.101)

qui vérifie donc:

equation   (71.102)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral qu'à ce moment la solution (sans déphasage) est de la forme:

equation   (71.103)

Ce qui donne pour l'intensité:

equation   (71.104)

Les constantes A et B sont définies par les conditions initiales:

equation   (71.105)

Ce qui nous donne:

equation   (71.106)

Soit sous forme conventionnelle:

equation   (71.107)

Soit en reportant dans les expressions de la charge et de l'intensité:

equation   (71.108)

Les figures suivantes illustrent l'évolution temporelle de ces fonctions (se rappeler que les racines sont négatives!).

equation 
Figure: 71.11 - Comportement du courant dans le circuit lors de la décharge du condensateur

RÉGIME PSEUDO-PÉRIODIQUE (OU DES OSCILLATIONS AMORTIES)

Il s'agit du cas où equation. L'équation caractéristique admet alors deux racines complexes conjuguées:

equation   (71.109)

qui sont assimilées à la résistance du circuit. Nous l'appelons "impédance complexe".

Nous allons voir que contrairement à l'intuition de l'époque, les racines complexes ont une signification physique réelle.

Notons pour cela equation et equation les valeurs absolues des parties réelle et imaginaire de ces racines:

equation   (71.110)

avec:

equation   (71.111)

et:

equation   (71.112)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la solution de l'équation différentielle s'écrit alors:

equation   (71.113)

Ce qui nous donne pour l'intensité:

equation   (71.114)

Les constantes C' et equation sont déterminées par les conditions initiales:

equation   (71.115)

Ce qui nous donne:

equation  et   equation   (71.116)

Soit:

equation  et   equation   (71.117)

Soit en reportant dans les expressions de la charge q et du courant i:

equation   (71.118)

et:

equation   (71.119)

Cherchons à simplifier un peu cette dernière égalité. D'abord nous avons démontré juste avant que:

equation   (71.120)

d'où:

equation   (71.121)

Ce qui nous donne:

equation   (71.122)

Or, nous avons aussi:

equation   (71.123)

et:

equation   (71.124)

Nous avons alors:

equation   (71.125)

Nous avons au final les deux relations suivantes:

equation   (71.126)

Donc un tracé de i dans l'inductance et de q de la capacité donnera:

equation
Figure: 71.12 - Comportement du courant dans le circuit lors de la décharge du condensateur

où:

equation   (71.127)

est le "facteur d'amortissement". Si nous voulons avoir de belles oscillations peu amorties, il y a intérêt à avoir ce terme le plus petit possible donc une valeur de R petite.

Lorsque R est nul nous avons alors:

equation   (71.128)

avec donc:

equation   (71.129)

que nous appelons la "pulsation propre". Soit une période de:

equation   (71.130)

Il faut donc jouer alors avec C ou L pour obtenir la période désirée dans le cas où la résistance est nulle. Signalons également que cette situation particulière est appelée "oscillateur harmonique".

Enfin, de par les résultats obtenus, nous avons donc la généralisation des circuits RC, RL ou LC série.

Maintenant, supposons que dans le circuit nous posions une alimentation continue en série dans le circuit. Nous avons alors:

equation   (71.131)

L'équation différentielle linéaire à coefficients constants a maintenant un second membre (constant dans ce cas). Nous trouvons alors immédiatement une solution particulière qu'il suffit ensuite d'ajouter à toutes les solutions que nous avons obtenues précédemment.

Une solution particulière est donc:

equation   (71.132)

Donc:

equation   (71.133)

Soit:

equation   (71.134)

Cette solution particulière qui est à ajouter aux solutions précédentes, n'a aucune influence sur les équations du courant (sa dérivée étant nulle). Par contre, elle décale sur les graphiques le tracé de q(t) vers le haut. Voilà donc l'effet qu'il y a à rajouter une source de tension constante (comme une simple pile par exemple).

CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME FORCÉ

L'objectif sera pour commencer, d'étudier le comportement d'un circuit linéaire RLC série excité par un générateur de tension sinusoïdale puisqu'il est une généralisation des circuits RL ou RC (il suffit d'annuler L ou C respectivement pour tomber sur les solutions d'un circuit RC ou RL).

Nous avons alors:

equation   (71.135)

qui est une équation différentielle de forme connue et donc importante dans le domaine de l'acoustique car nous l'y retrouvons identiquement pour l'étude des haut-parleurs.

Nous pourrions très bien rajouter un déphasage au terme sinus à droite de l'égalité (arbitraire de phase). Cela ne changerait rien aux développements qui vont suivre et rappelons aussi que le cosinus n'est qu'un sinus avec un déphasage bien précis!

Enfin, le plus important, c'est que si nous trouvons une solution particulière à l'E.D. ci-dessus, alors puisque l'amplitude et la pulsation peuvent prendre n'importe quelle valeur à un déphasage arbitraire près alors nous avons donc une infinité de solutions particulières. Et comme nous avons démontré lors de notre étude des équations différentielles que la somme de solutions particulières est aussi solution alors cela signifie qu'une excitation obtenue avec une série de Fourier aura aussi une solution et en passant à la limite nous avons une transformée de Fourier!

Donc passons à notre étude. Pour cela, dérivons cette relation par rapport à t:

equation   (71.136)

Cherchons alors une solution particulière de la forme:

equation   (71.137)

Nous remarquons que cette proposition de solution est en tout point identique à la fondamentale d'une série de Fourier dont le terme equation est nul (qui est la moyenne du signal ou la composante continue si elle existe)!

Puis injectons ces relations dans:

equation   (71.138)

en regroupant les termes trigonométriques de même nature:

equation   (71.139)

Ce qui est équivalant à:

equation   (71.140)

d'où en identifiant les termes:

equation   (71.141)

Nous pouvons factoriser:

equation   (71.142)

Et en simplifiant par equation:

equation   (71.143)

et en changeant de signe la deuxième ligne:

equation   (71.144)

Il s'agit donc d'un système de deux équations à deux inconnues a, b que nous résolvons en posant:

equation   (71.145)

où nous retrouvons donc la réactance inductive et la réactance capacitive introduits dans le chapitre d'Électrocinétique.

Ce qui nous donne immédiatement:

equation   (71.146)

d'où:

equation   (71.147)

et donc:

equation   (71.148)

Nous posons de plus traditionnellement que (nous verrons plus tard que cette expression pourra être assimilée au concept d'impédance par analogie avec la norme d'un vecteur):

equation   (71.149)

Ce qui donne la solution particulière suivante:

equation   (71.150)

à l'arbitraire de phase près.

Il est possible de trouver equation tel que:

equation   (71.151)

Ou autrement écrit (ainsi on voit mieux que l'on balaie toues les valeurs possibles hors singularités):

equation   (71.152)

Nous avons alors en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (71.153)

equation est donc la phase du courant, soit l'avance ou le retard du courant sur la tension. Si  equation alors nous avons:

equation   (71.154)

et donc:

equation   (71.155)

nous disons alors qu'il y a résonance du circuit avec donc:

equation   (71.156)

Soit lorsque la réactance inductive est égale à la réactance capacitive.

FILTRE PASSE-BAS PASSIF

Considérons le cas où L est nul. Nous avons alors:

equation   (71.157)

Donc:

equation   (71.158)

D'où:

equation   (71.159)

Soit:

equation   (71.160)

Nous avons alors aux bornes du condensateur:

equation   (71.161)

Nous voyons donc que la tension aux bornes du condensateur fait office de ce que nous appelons un "filtre passe-bas". C'est-à-dire que l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur par rapport à la tension d'excitation du circuit sera amoindrie et ce d'autant plus que la fréquence sera grande.

Ce genre d'outil est très pratique pour par exemple éliminer les harmoniques à haute fréquence d'un signal périodique obtenu par série de Fourier ou pour nettoyer un bruit à haute fréquence. On peut également utiliser des filtres passe-bas en cascade afin de réaliser des analyseurs de spectre.

Voici le tracé du facteur:

equation   (71.162)

equation

Nous voyons bien qu'aux basses fréquences (à gauche) l'amplitude est conservée (le filtre passe-bas laisse donc passer les basses fréquences). Au-delà, le signal est coupé.

Le rapport:

equation   (71.163)

est souvent exprimé en décibels soit par définition en utilisant la mesure:

equation   (71.164)

et porte alors le nom de "fonction de transfert" du filtre.

FILTRE PASSE-HAUT PASSIF

Pour ce qui est de la tension aux bornes de la résistance, nous avons:

equation   (71.165)

ce qui est traditionnellement remanié sous la forme suivante:

equation   (71.166)

Nous voyons donc que la tension aux bornes de la résistance fait office de ce que nous appelons un "filtre passe-haut". C'est-à-dire que l'amplitude de la tension aux bornes de la résistance par rapport à la tension d'excitation du circuit sera amoindrie et ce d'autant plus que la fréquence sera faible.

Voici le tracé du facteur:

equation   (71.167)

equation

Nous voyons bien qu'aux basses fréquences (à droite) l'amplitude est conservée (le filtre passe-haut  laisse donc passer les hautes fréquences). Au-delà le signal est coupé.

Le rapport:

equation   (71.168)

est souvent exprimé en décibels soit par définition en utilisant la mesure:

equation   (71.169)

et porte alors aussi le nom de "fonction de transfert" du filtre.

Avec différents types de filtres assemblés nous pouvons ainsi supprimer (mais jamais complètement) des plages de fréquences. Nous parlons alors de filtre coupe-bandes. C'est la technique utilisée par exemple pour la réception d'une certaine radio ou chaîne de télévision se trouvant dans une plage de fréquence bien précise. Ou encore en musique électronique pour atténuer sons graves ou aigus. Ou encore pour séparer le signal ADSL de la voix d'une ligne téléphonique.

Un filtre passif se caractérise donc par l'usage exclusif de composants passifs linéaires (résistances, condensateurs, bobines couplées ou non). Par conséquent, leur gain (rapport de puissance entre la sortie et l'entrée) ne peut excéder l'unité. Ils ne peuvent donc qu'atténuer en partie des signaux, mais pas les amplifier, car cela nécessiterait un apport d'énergie (ce qui est le rôle des "filtres actifs").

INTÉGRATEUR ET DÉRIVATEUR

Nous avons donc aux bornes du condensateur:

equation   (71.170)

Maintenant, si equation, nous avons:

equation   (71.171)

Si nous faisons en sorte que equation nous devons avoir:

equation   (71.172)

Soit:

equation   (71.173)

Dès lors:

equation   (71.174)

Le circuit est alors ce que nous appelons assez logiquement... un "intégrateur".

Regardons maintenant du côté de la résistance:

equation   (71.175)

Or, nous avons:

equation   (71.176)

Donc:

equation   (71.177)

Comme:

equation   (71.178)

Nous avons alors:

equation   (71.179)

Si equation alors:

equation   (71.180)

Si nous nous arrangeons pour avoir:

equation   (71.181)

alors:

equation   (71.182)

Le circuit est alors ce que nous appelons assez logiquement... un "dérivateur".

L'utilité d'un circuit intégrateur est par exemple de transformer un signal périodique en une constante (puisque la moyenne temporelle d'un signal périodique ayant un offset ne sera jamais nulle).


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