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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Nous allons
voir dans ce chapitre l'étude
- sous son aspect mathématique - générale des circuits,
montages, puces, et machines, émetteur/récepteurs
que l'ingénieur
doit savoir formaliser, analyser, comprendre, fabriquer et simuler à la
suite de ses études. Pour cette raison, nous avons choisi
sur ce site de nous concentrer sur des cas mathématiques
d'applications pratiques (utiles!) dans la vie de
tous les jours
en mentionnant les éventuels pièges
et dangers du montage.
Nous traiterons ici dans l'électronique analogique, ensuite de
l'électronique de puissance (électrotechnique), de l'électronique
numérique ainsi de que la physique des semi-conducteurs pour bien
comprendre les fondements de certains éléments.
Le génie électrique est donc une hiérarchie
de modèles. C'est la
seule façon d'aborder la conception de systèmes complexes.
En principe, le fonctionnement de nombreux dispositifs peut, certes,
toujours
se ramener à l'application des équations de Maxwell
(cf.
chapitre d'Électrodynamique), mais il est cependant
humainement impossible de comprendre la conception de certains
systèmes
en ce cantonnant à un niveau
aussi théorique.
Il est alors d'usage dans l'industrie de hiérarchiser l'analyse
en 5 niveaux:
N0. Physique du solide: Ce modèle est essentiel pour l'analyse
des propriétés électriques et magnétiques de la matière. Il s'appuie
sur les lois de la physique quantique et mène essentiellement à
la description de bandes d'énergie et au calcul de leur degré d'occupation.
Ce modèle explique par exemple les propriétés fondamentales des
semi-conducteurs.
N1. Électromagnétisme: Ce modèle est essentiel
pour l'analyse des dispositifs travaillant aux hyperfréquences
et celle des dispositifs
électromagnétiques. Il s'appuie sur les relations
de Maxwell et fait appel à la théorie mathématique
des équations aux dérivées
partielles. Ce modèle ne permet plus d'analyser l'influence
d'un atome car les objets étudiés sont à un
niveau plus macroscopique, décrits par leurs dimensions,
leur permittivité, leur conductibilité,
etc.
N2. Théorie des circuits: Ce modèle est essentiel
pour l'analyse des dispositifs électroniques dans le cas
très courant où les dimensions
du dispositif sont largement inférieures à la longueur
d'onde du phénomène étudié. Ce modèle
s'appuie sur les lemmes de Kirchhoff et la définition d'une
demi-douzaine d'éléments discrets, résistance,
capacité, inductance, cours, etc... Il n'y a plus de géométrique
dans un tel modèle mais seulement une topologie. On peut
calculer le courant et la tension, grandeurs scalaires, alors que
les champs
n'ont plus de sens. Les techniques mathématiques sont celles
des
équations différentielles ordinaires, transformations
de Laplace, calcul complexe et matriciel, etc...
N3. Schémas fonctionnels: À ce niveau, nous ne tenons plus
compte de courants ou de tensions, in a fortiori de la géométrique
du système. Celui-ci est constitué par la connexion
de blocs remplissant des fonctions caractérisées
par des relations entre grandeurs de sortie et d'entrée.
N4. Systèmes: À ce niveau, nous schématisons
en bloc fonctionnel un ensemble de blocs du niveau 3. Un ordinateur
est
par exemple
une interconnexion de différents systèmes logiques
réalisant chacun
une fonction particulière.
N5. Logiciel: À partir de ce niveau, l'ingénieur
n'ajoute plus de dispositifs supplémentaires, ne les combine
plus en des systèmes
plus vastes, mais il programme la machine. Les méthodes
théoriques
se rapprochent alors plus souvent de la linguistique que de la
mathématique.
Ce chapitre doit permettre de se familiariser avec le langage
et certaines méthodes de calculs utilisées par les ingénieurs de
cette branche pour les 4 premiers niveaux. Cependant en toute rigueur
toute formation dans ce domaine doit être complétée par des travaux
pratiques en laboratoire!
Nous avons tenté de respecter aux mieux dans
les schémas la série de normes NF EN 60617 pour les
symboles des composants électriques. Comme ces derniers
sont très nombreux,
nous proposons ci-dessous un tableau uniquement des composants
utilisés ou mentionnés jusqu'à maintenant
dans ce chapitre. Ce tableau évoluera
donc au fil du temps:
|
|
Courant alternatif
|
|
Polarité positive
|
|
Polarité négative
|
|
Source idéale de tension
|
|
Liaison
|
|
Points de liaison
|
|
Liaison en T
|
|
Résistance |
|
Condensateur |
|
Inductance |
|
Contact à fermeture, à retour automatique |
|
Inductance à noyau magnétique |
|
Transformateur à deux enroulements
|
|
Tableau: 28.1 - Symboles utilisés de la norme NF EN 60617
COURANT ALTERNATIF VS COURANT CONTINU
Le lecteur va remarquer que tout au long de ce chapitre du site,
nous allons principalement travailler avec du courant alternatif.
Il nous semble important d'expliquer l'origine de cet attrait du
monde industriel contemporain pour le courant alternatif avant
d'aller plus loin.
Au fait, l'origine de cet attrait est relativement simple:
Quand des centrales électriques virent le jour, surtout
dans les régions éloignées des centres urbains,
il fallut transporter l'énergie électrique produite
sur des longues distances. Mais les câbles qui transportent l'électricité ont
une certaine résistance
et cela posa un problème majeur.
Effectivement, une ville moyenne peut largement avoir besoin
d'une puissance d'environ 10 [MW]. Si cette quantité devait être
transportée sous une tension modeste d'environ 100 [V],
comme (cf.
chapitre d'Électrocinétique), le courant devait être énorme: 100'000
[A] !
Mais l'effet Joule dans le cuivre de 1 [cm] de diamètre
a une résistance linéaire de .
Avec un courant de 100'000 [A], la perte d'énergie par effet
Joule serait d'environ (en négligeant la chute de potentiel):
(71.1)
... on voit très vite le problème!
Au prix de ,
cela représentant un coût (perte) d'environ:
(71.2)
humm...!
Il n'y avait d'autres choix économiques que de baisser
le courant. En clair, si la tension atteignait ,
la même puissance pourrait être transportée efficacement
par 100 [A]. Ainsi, en élevant la tension par un
facteur 1000, nous pouvons réduire le courant d'un facteur
1000 aussi, et donc la perte Joule par un facteur .
Comme il existait déjà un dispositif simple pour élever et abaisser
la tension alternative (les transformateurs) sans aucun dispositif
comparable pour la tension continue (du moins à l'époque), la course
a été gagnée par les adeptes du courant alternatif.
Il faut rajouter également comme deuxième intérêt
que certains composants électriques linéaires (voir
plus loin) n'ont pas beaucoup d'intérêt en courant
continu... nous y reviendrons!
Voyons un montage simple pour générer du courant alternatif monophasé:
Figure: 71.1 - Exemple de générateur de courant alternatif
La tension (respectivement le courant) est déterminée
par la loi de Faraday démontrée dans le chapitre
d'Électrocinétique:
(71.3)
qui donne donc la force électromotrice (ou tension dans le cas
d'un générateur sans résistance...) induite.
Nous avons bien évidemment dans la situation ci-dessus si l'aimant
est permanent et la longueur de la spire carrée est L:
(71.4)
Nous voyons déjà que pour obtenir une certaine force électromotrice,
il sera préférable de jouer avec la fréquence
de rotation plutôt
qu'avec la surface ou l'intensité du champ magnétique...
ou encore d'augmenter le nombre de spires par un montage permettant
d'arriver à la
relation suivante:
(71.5)
Il convient d'indiquer pour les sceptiques qu'il y a bien conservation
de l'énergie dans ce système! Effectivement, l'énergie nécessaire à faire
tourner la spire sera celle en partie utilisée par le système (et
c'est pourquoi les barrages font tourner des turbines avec de l'eau
et les centrales nucléaires avec de la vapeur et les éoliennes
avec du vent...).
Évidemment le cas inverse comme un courant alternatif
injecté dans
la spire la fera tourner dans le champ magnétique. Donc
dans une situation, nous avons un générateur électrique
et dans le cas inverse un moteur électrique.
Il est possible avec un appareillage similaire de produire une
tension continue à peu près fiable de la manière
suivante appelée "dynamo":
Figure: 71.2 - Exemple de générateur de courant continu
Le générateur simple donné en premier avec quelques aimants en
fer à cheval produisant le champ magnétique était très utilisé au
début de l'ère de la technologie électrique mais à des tensions élevées (plusieurs
[kV]) et des courants internes élevés aussi (plus de 50
[A]). Les balais métalliques et les bagues collectrices
produisaient alors des étincelles et s'abîmaient relativement vite.
Actuellement, cette machine à armature tournante n'est plus très
utilisée.
Pour éviter les difficultés associées aux
tensions dépassant
environ 600 [V], nous faisons aujourd'hui tourner des électroaimants
autour d'une armature immobile. Le courant qui alimente les électroaimants
tournants (qui peuvent aussi être des aimants permanents),
est relativement faible et il ne pose aucun problème
au fonctionnement des bagues et balais. Cette configuration est
appelée alors un "alternateur" (l'exemple
le plus commun étant
la vieille lampe à vélo abusivement appelée dynamo
alors que ce n'est pas une!).
Avec des composants linéaires électriques il est aussi possible
au besoin de redresser la tension (nous verrons cela beaucoup plus
loin). Nous avons alors une dynamo!
Puissance moyenne
Nous avons défini dans le chapitre d'Électrocinétique
que la puissance joule était donnée par en régime constant pour
un conducteur par:
(71.6)
En régime alternatif périodique et à basse
fréquence (afin de
considérer la résistance comme constante) nous avons
dans le cas purement résistif:
(71.7)
Il vient alors (cf. chapitre de Calcul
Différentiel Et Intégral) pour la valeur moyenne d'un
signal périodique de période T:
(71.8)
Le terme entre parenthèses peut donc être comparé à la
valeur qu'aurait un courant continu produit la même puissance joule.
Donc:
(71.9)
Nous appelons ce courant équivalent la "valeur
efficace du courant" ou "courant
root mean square" (abrégé "courant
RMS") et la notons:
(71.10)
les valeurs RMS étant ce que mesurent les multimètres. Pour les
régimes sinusoïdaux, nous avons alors:
(71.11)
Dès lors nous avons:
(71.12)
Et, par la même méthode, en souhaitant calculer la puissance
moyenne, nous obtenons en régime sinusoïdal:
(71.13)
Donc pour une tension et un courant ayant même phase, nous pouvons écrire:
(71.14)
En toute rigueur il nous faut généraliser cette dernière relation
pour des situations où le courant et la tension sont déphasées
d'un angle (ou temps) .
Remarque: Malheureusement de nombreux
ouvrages d'électronique ou mêmes d'articles de recherche ont défini
une puissance qui n'a aucun sens physique et qui est appelée
la "puissance
RMS" et mesure des.... "Watts
RMS" définie par analogie de la manière
suivante:
(71.15)
Même si ce terme est utilisé par les annonceurs et certains
rédacteurs, il n'a pas sa place dans une publication technique
digne de ce nom. Il apparaît souvent pour donner un semblant
d'expertise technique...
Considérons maintenant une autre approche de la puissance cette
fois-ci du point de vue instantané dans un cas plus général que
purement résistif. Dans le cas général, nous avons en régime permanent
sinusoïdal le droit d'écrire la tension et le courant avec des
cosinus sous la forme suivante (forme qui implicitement prend aussi
en compte le déphasage du courant et de la tension):
(71.16)
Nous avons alors en utilisant les relations remarquables
trigonométriques:
(71.17)
où nous avons choisi de poser:
(71.18)
tel que ce terme soit positif ou nul (nous pouvons
toujours faire le choix de soustraire l'un des deux termes à l'autre
afin d'avoir une valeur de strictement
positive ou nulle sans que cela change les développements et conclusions
qui vont suivre!) et où nous
avons utilisé les
résultats
obtenus précédemment:
(71.19)
Ainsi, dans l'expression:
(71.20)
la puissance instantanée comprend donc une composant
constante (premier terme) et une composante pulsée et de fréquence
double de celle du courant et de la tension. En utilisant:
(71.21)
ainsi que la relation trigonométrique remarquable
suivante (cf.
chapitre de Trigonométrie):
(71.22)
Nous avons alors:
(71.23)
Cette dernière relation met en évidence que la puissance
instantanées peut toujours être ramenée en régime sinusoïdal permanent
à la somme de deux termes où:
- le premier est une composante pulsée,
toujours positive (par construction), qui oscille autour de la
valeur moyenne et
qui traduit un échange d'énergie unidirectionnel
entre une source et une charge.
- le deuxième est une composante alternative
qui varie sinusoïdalement avec une amplitude et
une valeur moyenne nulle. Elle est donc alternativement positive
et négative et traduit un échange oscillatoire d'énergie
entre une source et une charge.
Lorsque (charge
purement résistive parfaite), nous avons alors:
(71.24)
La valeur moyenne est
alors maximum et égal à ,
alors que le deuxième terme (la composante alternative)
est nul.
Par contre, lorsque (charge
purement réactive comme inductance ou capacité idéales),
alors:
(71.25)
et dans ce cas, la puissance instantanée
se réduit
à la seule composante alternative. De ceci il découle
les définitions
suivantes:
Définitions:
D1. Nous appelons "puissance
active" le terme:
(71.26)
mesurable par un wattmètre et qui correspond à une
fourniture réelle d'énergie convertible en travail ou en chaleur
et qui est donc maximale dans le cas d'une charge purement résistive
(idéale) et nulle en cas de charge purement réactive (idéale).
D2. Nous appelons "puissance
réactive" le terme:
(71.27)
qui n'est pas mesurable par un wattmètre puisque
nul par alternation.
D3. Nous appelons "puissance
apparente" le produit:
(71.28)
qui est en apparence une puissance, mais ne fournit
pas nécessairement un travail, d'où son nom... Par
tradition c'est la puissance apparente qui est indiquée
sur des grosses installations industrielles. On peut la reconnaître
car les unités sont souvent
indiquées en volts-ampères VA plutôt
qu'en watts W (car il ne s'agit pas totalement d'une puissance).
TRANSFORMATEUR
Un transformateur électrique statique est
une machine électrique permettant de modifier les valeurs
de tension et d'intensité du courant délivrées
par une source d'énergie électrique alternative,
en un système de tension et de courant de valeurs différentes,
mais de même fréquence et de même forme.
Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre
d'Électrocinétique que:
(71.29)
Si nous arrivons d'une manière ou d'une autre à faire
passer le flux d'un premier solénoïde, appelé alors "enroulement
primaire", ayant:
(71.30)
à un deuxième solénoïde, appelé alors "enroulement
secondaire", et ce sans aucune perte (ou du moins une perte
négligeable) tel que:
(71.31)
Il vient alors par identification terme à terme:
(71.32)
et si les résistances internes sont négligeables
la force électromotrice induite est égale alors à la
tension aux bornes, il vient alors:
(71.33)
et si toute l'énergie du champ magnétique est transmise
dans l'enroulement secondaire, nous avons:
(71.34)
d'où:
(71.35)
Ainsi, le rapport du nombre de spires primaires sur le nombre
de spires secondaires détermine totalement le rapport de
transformation du transformateur qui peut être utilisé alors
comme station de transformation de la tension en montant ou abaissant
celle-ci en fonction du nombre de spires de l'enroulement secondaire.
Il convient aussi de noter qu'un transformateur qui augmente la
tension diminue simultanément le courant et inversement.
Un instrument historique et pédagogique typique permettant
de faire cela est le transformateur monophasé à noyau
ferromagnétique:
Figure: 71.3 - Exemple type de transformateur monophasé à noyau ferromagnétique
Dans la pratique, les transformateurs monophasés bas de
gamme ont les enroulements qui sont concentriques pour minimiser
les fuites de flux. Un isolant est inséré entre le
circuit primaire et le secondaire:
Figure: 71.4 - Transformateur monophasé concentrique type
(source Wikipédia)
Les transformateurs de par leur possibilité d'augmenter
la tension et de réduire le courant (économie au
niveau de la perte Joule comme nous l'avons déjà mentionné)
jouent un rôle important dans la transmission de l'électricité des
infrastructures domestiques (basse tension: BT, moyenne tension:
MT, haute tension HT). Ainsi nous retrouvons les transformateurs élévateurs
(TE) et les transformateurs abaisseurs de tension (AT) dans la
vie de tous les jours:
Figure: 71.5 - Installation civile typique de transformation de tension
CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONSTANT
Nous allons voir ici des circuits composés d'éléments
simples comme une résistance, une capacité et une
impédance. Ces circuits,
dont l'équation représentative est une équation
différentielle
linéaire, sont appelés "circuits
linéaires". Par ailleurs,
ils sont un excellent exemple pour voir la lourdeur des développements
en utilisant des représentations mathématiques classiques à l'opposé d'autre
s techniques beaucoup plus souples et puissantes (représentation
par phaseurs et transformées de Laplace).
CIRCUIT RC SÉRIE
Tout circuit possédant un condensateur possède également
une résistance, ne serait-ce que celle des fils de connexion.
De tels circuits RC série sont très courants et parfois
d'une grande importance (stimulateur cardiaque par exemple). Effectivement,
quand nous
fermons un circuit qui ne contient que des résistances (circuit
purement résistif), le courant monte à sa valeur nominale
dans un temps extrêmement bref, de sorte que nous pouvons considérer
que le courant et la tension sont constants avec une excellente
approximation. Ainsi, le régime permanent s'établit
après
un régime transitoire
très bref. Au contraire, dans un circuit RC série,
tension et courant prennent un certain temps pour atteindre leurs
valeurs nominales.
Cette dépendance en fonction du temps a de multiples applications
et permet de produire toute une gamme de signaux modulables dans
le temps en fonction des besoins.
Figure: 71.6 - Circuit RC série
Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et
qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert):
et
(71.36)
Quand nous fermons l'interrupteur les électrons partent du condensateur
C. Nous avons alors aux bornes de la résistance:
(71.37)
aux bornes du condensateur:
(71.38)
L'équation du circuit est alors:
(71.39)
Soit:
(71.40)
Équation différentielle triviale dont la solution
est avec les conditions initiales:
(71.41)
Soit:
(71.42)
Le courant a alors la forme suivante:
(71.43)
Il s'agit donc d'un système où le courant décroît exponentiellement
et ce d'autant plus vite que le facteur RC appelé "constante
de temps" est petit. Nous voyons ce genre de système lorsque
la lumière à l'intérieur d'une voiture s'éteint document après
fermeture des portes.
Lorsque l'on met ce régime sous une tension permanente ,
nous avons alors une équation de la forme:
(71.44)
Une solution particulière évidente est alors:
(71.45)
Nous avons alors la solution générale:
(71.46)
soit pour le courant:
(71.47)
Et pour la tension aux bornes du condensateur:
(71.48)
ce qui représente donc la tension aux bornes du condensateur
lors de la charge. Donc au final nous avons les deux relations:
(71.49)
Ainsi, en posant nous
avons respectivement à la fermeture et ouverture du circuit:
Figure: 71.7 - Charge et décharge du condensateur lors de l'ouverture/fermeture
de
l'interrupteur
Étudions maintenant l'aspect énergétique
qui est important en ingénierie puisque la consommation
ou perte de puissance (rendement) est un facteur de vente important
dans certaines applications!
Pour cela reprenons la relation:
(71.50)
et multiplions par i:
(71.51)
Ce que nous écrivons:
(71.52)
Puisque:
(71.53)
où nous voyons donc que dès que le régime transitoire de charge
ou décharge est terminé, la tension aux bornes du condensateur étant
nulle alors le courant est nul.
Nous avons alors:
(71.54)
où le premier terme est la puissance fournie par le générateur
au circuit, le second est le terme d'effet Joule et le troisième
est la puissance stockée dans le condensateur:
L'énergie fournie par le générateur se retrouve stockée dans
le condensateur et dissipée par la résistance par effet Joule.
Ce qui est le plus important c'est de faire un bilan sur toute
la durée de charge du condensateur pour signaler la puissance
dissipée
dans les caractéristiques de vente (cela passe mieux que
de mettre des équations...). Pour cela, il suffit d'intégrer
la relation précédente
de 0 à l'infini pour obtenir l'énergie dissipée.
Le premier terme à gauche de l'égalité donne:
(71.55)
Le second terme s'intègre en utilisant i(t):
(71.56)
Le troisième terme s'intègre immédiatement puisque nous avons
déjà la primitive:
(71.57)
Nous obtenons finalement:
(71.58)
Ainsi, pour des durées grandes, la moitié de l'énergie fournie
par le générateur est dissipée par effet Joule et l'autre stockée
dans le condensateur.
CIRCUIT RL SÉRIE
Considérons le circuit suivant:
Figure: 71.8 - Circuit RL série
Quand nous fermons l'interrupteur, nous avons alors aux bornes
de la résistance:
(71.59)
et aux bornes de l'inductance:
(71.60)
et aux
bornes du générateur de tension continue.
L'équation du circuit est alors:
(71.61)
Soit:
(71.62)
En inversant:
(71.63)
Faisons un changement de variable:
(71.64)
Alors:
(71.65)
Il vient alors après intégration:
(71.66)
Multiplions les deux membres par -R, puis prenons l'exponentielle
des deux membres:
(71.67)
et:
(71.68)
Alors:
(71.69)
où nous avons la constante de temps définie par:
(71.70)
Ainsi, à la fermeture de l'interrupteur, le courant croît
de manière exponentielle avec une asymptote à la
valeur .
Donc contrairement à au circuit RC, le courant tend vers
une valeur fixe non nulle lorsque t tend vers l'infini!!!
Nous avons donc:
(71.71)
Donc au final nous avons les deux relations:
(71.72)
Étudions maintenant l'aspect énergétique
qui est important en ingénierie puisque la consommation
ou perte de puissance (rendement) est un facteur de vente important
dans certaines applications!
Comme pour le circuit RC, nous allons directement faire un bilan
sur toute la durée du régime transitoire pour signaler
la puissance dissipée dans les caractéristiques de
vente (cela passe mieux que de mettre des équations...)
(71.73)
Multiplions les termes de l'équation différentielle par i(t):
(71.74)
Ce que nous écrivons:
(71.75)
Pour calculer l'énergie dissipée, nous procédons de la même manière
que pour le circuit RC série. Nous avons après intégration:
(71.76)
soit:
(71.77)
Contrairement au cas du circuit RC, nous ne pouvons intégrer
ci-dessus avec les bornes données à cause du "1-" qui
est devant l'exponentielle car celui-ci fait tendre la puissance
consommée vers l'infini ce qui est logique, contrairement au circuit
RC qui finit lui par se bloquer une fois la capacité chargée (le
courant i tendant vers zéro très vite).
Donc soit, nous intégrons seulement jusqu'à un t temps
limite suffisamment grand par rapport aux valeurs des éléments
passifs (deux ou trois ),
soit nous nous intéressons à titre purement indicatif à la valeur
instantanée de la puissance. Nous avons alors:
(71.78)
Et donc à la fin du régime transitoire quand :
(71.79)
donc en régime stable la résistance est le seul élément
dissipatif d'énergie dans le circuit et il suffit de multiplier
alors la puissance dissipée par l'intervalle
de temps désiré pour avoir une estimation de l'énergie
dissipée.
CIRCUIT RLC SÉRIE
Un fil électrique (une antenne par exemple) n'est pas
un conducteur parfait. En réalité il peut être assimilé à une
résistance, une
capacité et une inductance interne en série. Si nous
prenons le cas par exemple des générateurs, souvent
on ne considère que la résistance
interne comme non négligeable et celle-ci fait bien évidemment
diminuer la tension nominale du générateur d'un facteur
en première
approximation proportionnel au courant qui le traverse.
Pour étudier le comportement d'un tel élément souvent appelé "circuit
RLC" nous le représentons d'abord sous la forme suivante:
Figure: 71.9 - Circuit RL série
Nous supposons qu'initialement le condensateur est chargé et
qu'il ne circule aucun courant (interrupteur ouvert):
et
(71.80)
Quand nous fermons l'interrupteur les électrons partent du condensateur C.
Nous avons alors aux bornes de la résistance:
(71.81)
aux bornes du condensateur:
(71.82)
aux bornes de la bobine:
(71.83)
La somme des différences de potentiel du circuit est égale à la
différence initiale de potentiel d'où:
(71.84)
ou autrement écrit:
(71.85)
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire
du second ordre très connue en physique (nous la retrouvons à l'identique
dans d'autres domaines avec juste des constantes différentes).
Pour la résoudre
il faut chercher les racines de l'équation caractéristique
associée (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral):
(71.86)
Celle-ci a pour discriminant:
(71.87)
La valeur de la résistance pour laquelle ce discriminant est
nul est appelée "résistance critique":
(71.88)
Nous pouvons ceci dit écrire le discriminant sous la forme suivante:
(71.89)
Les solutions de l'équation différentielle sont différentes selon
le nombre et le type des racines de l'équation caractéristique.
RÉGIME CRITIQUE
Il s'agit du cas où .
L'équation caractéristique admet alors une racine double réelle
puisque:
(71.90)
Nous avons alors:
(71.91)
avec:
(71.92)
L'équation différentielle admet alors une solution du type suivant
lorsque le discriminant est nul (cf. chapitre
de Calcul Différentiel
et Intégral):
(71.93)
en omettant le retard.
Ce qui donne pour l'intensité:
(71.94)
Les constantes sont définies par les conditions initiales:
(71.95)
Nous obtenons donc pour la solution globale:
(71.96)
Donc au final, nous avons les deux relations:
(71.97)
Les figures suivantes illustrent l'allure de l'évolution
temporelle de la charge du condensateur et de l'intensité au
travers de l'inductance. L'intensité est maximale pour dans
l'inductance:
Figure: 71.10 - Comportement du courant dans le circuit lors de la décharge du
condensateur
RÉGIME APÉRIODIQUE (OU HYPERCRITIQUE)
Il s'agit du cas où .
L'équation caractéristique admet alors deux racines réelles distinctes:
(71.98)
Soit:
(71.99)
Les deux racines sont de même signe, car en utilisant les relations
de Viète (cf. chapitre de Calcul Algébrique)
nous avons:
(71.100)
Les deux racines sont donc obligatoirement négatives. Nous notons
leurs valeurs absolues:
Ces deux racines sont donc négatives. Nous notons leurs
valeurs absolues:
(71.101)
qui vérifie donc:
(71.102)
Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral
qu'à ce moment la solution (sans déphasage) est de la forme:
(71.103)
Ce qui donne pour l'intensité:
(71.104)
Les constantes A et B sont définies par les conditions
initiales:
(71.105)
Ce qui nous donne:
(71.106)
Soit sous forme conventionnelle:
(71.107)
Soit en reportant dans les expressions de la charge et de l'intensité:
(71.108)
Les figures suivantes illustrent l'évolution temporelle de ces
fonctions (se rappeler que les racines sont négatives!).
Figure: 71.11 - Comportement du courant dans le circuit lors de la décharge du
condensateur
RÉGIME PSEUDO-PÉRIODIQUE (OU DES OSCILLATIONS AMORTIES)
Il s'agit du cas où .
L'équation caractéristique admet alors deux racines complexes conjuguées:
(71.109)
qui sont assimilées à la résistance du circuit. Nous l'appelons "impédance
complexe".
Nous allons voir que contrairement à l'intuition de l'époque,
les racines complexes ont une signification physique réelle.
Notons pour cela et les
valeurs absolues des parties réelle et imaginaire de ces
racines:
(71.110)
avec:
(71.111)
et:
(71.112)
Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral
que la solution de l'équation différentielle s'écrit
alors:
(71.113)
Ce qui nous donne pour l'intensité:
(71.114)
Les constantes C' et sont
déterminées par les conditions initiales:
(71.115)
Ce qui nous donne:
et
(71.116)
Soit:
et
(71.117)
Soit en reportant dans les expressions de la charge q et
du courant i:
(71.118)
et:
(71.119)
Cherchons à simplifier un peu cette dernière égalité.
D'abord nous avons démontré juste avant que:
(71.120)
d'où:
(71.121)
Ce qui nous donne:
(71.122)
Or, nous avons aussi:
(71.123)
et:
(71.124)
Nous avons alors:
(71.125)
Nous avons au final les deux relations suivantes:
(71.126)
Donc un tracé de i dans l'inductance
et de q de la capacité donnera:
Figure: 71.12 - Comportement du courant dans le circuit lors de la décharge du
condensateur
où:
(71.127)
est le "facteur d'amortissement". Si nous voulons avoir
de belles oscillations peu amorties, il y a intérêt à avoir ce
terme le plus petit possible donc une valeur de R petite.
Lorsque R est nul nous avons alors:
(71.128)
avec donc:
(71.129)
que nous appelons la "pulsation propre".
Soit une période de:
(71.130)
Il faut donc jouer alors avec C ou L pour obtenir
la période désirée dans le cas où la résistance est nulle. Signalons également
que cette situation particulière est appelée "oscillateur
harmonique".
Enfin, de par les résultats obtenus, nous avons donc la
généralisation
des circuits RC, RL ou LC série.
Maintenant, supposons que dans le circuit nous posions une alimentation
continue en série dans le circuit. Nous avons alors:
(71.131)
L'équation différentielle linéaire à coefficients
constants a maintenant un second membre (constant dans ce cas).
Nous trouvons alors immédiatement
une solution particulière qu'il suffit ensuite d'ajouter à toutes
les solutions que nous avons obtenues précédemment.
Une solution particulière est donc:
(71.132)
Donc:
(71.133)
Soit:
(71.134)
Cette solution particulière qui est à ajouter aux solutions précédentes,
n'a aucune influence sur les équations du courant (sa dérivée étant
nulle). Par contre, elle décale sur les graphiques le tracé de q(t)
vers le haut. Voilà donc l'effet qu'il y a à rajouter une source
de tension constante (comme une simple pile par exemple).
CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME FORCÉ
L'objectif sera pour commencer, d'étudier le comportement d'un
circuit linéaire
RLC série excité par un générateur de tension sinusoïdale puisqu'il
est une généralisation des circuits RL ou RC (il suffit d'annuler
L ou C respectivement pour tomber sur les solutions d'un circuit
RC ou RL).
Nous avons alors:
(71.135)
qui est une équation différentielle de forme connue
et donc importante dans le domaine de l'acoustique car nous l'y
retrouvons identiquement
pour l'étude des haut-parleurs.
Nous pourrions très bien rajouter un déphasage au terme sinus à droite
de l'égalité (arbitraire de phase). Cela ne changerait rien aux
développements qui vont suivre et rappelons aussi que le cosinus
n'est qu'un sinus avec un déphasage bien précis!
Enfin, le plus important, c'est que si nous trouvons une solution
particulière à l'E.D. ci-dessus, alors puisque l'amplitude
et la pulsation peuvent prendre n'importe quelle valeur à un déphasage
arbitraire près alors nous avons donc une infinité de
solutions particulières. Et comme nous avons démontré lors
de notre étude
des équations différentielles que la somme de solutions
particulières
est aussi solution alors cela signifie qu'une excitation obtenue
avec une série de Fourier aura aussi une solution et en
passant à la
limite nous avons une transformée de Fourier!
Donc passons à notre étude. Pour cela, dérivons cette relation
par rapport à t:
(71.136)
Cherchons alors une solution particulière de la forme:
(71.137)
Nous remarquons que cette proposition de solution est en tout
point identique à la fondamentale d'une série de Fourier dont le
terme est
nul (qui est la moyenne du signal ou la composante continue si
elle existe)!
Puis injectons ces relations dans:
(71.138)
en regroupant les termes trigonométriques de même nature:
(71.139)
Ce qui est équivalant à:
(71.140)
d'où en identifiant les termes:
(71.141)
Nous pouvons factoriser:
(71.142)
Et en simplifiant par :
(71.143)
et en changeant de signe la deuxième ligne:
(71.144)
Il s'agit donc d'un système de deux équations à deux inconnues a, b que
nous résolvons en posant:
(71.145)
où nous retrouvons donc la réactance inductive et
la réactance
capacitive introduits dans le chapitre d'Électrocinétique.
Ce qui nous donne immédiatement:
(71.146)
d'où:
(71.147)
et donc:
(71.148)
Nous posons de plus traditionnellement que (nous verrons plus
tard que cette expression pourra être assimilée au
concept d'impédance par analogie avec la norme d'un vecteur):
(71.149)
Ce qui donne la solution particulière suivante:
(71.150)
à l'arbitraire de phase près.
Il est possible de trouver tel
que:
(71.151)
Ou autrement écrit (ainsi on voit mieux que l'on balaie
toues les valeurs possibles hors singularités):
(71.152)
Nous avons alors en utilisant les relations trigonométriques
remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie):
(71.153)
est
donc la phase du courant, soit l'avance ou le retard du courant
sur la tension. Si alors
nous avons:
(71.154)
et donc:
(71.155)
nous disons alors qu'il y a résonance du circuit avec
donc:
(71.156)
Soit lorsque la réactance inductive est égale à la
réactance capacitive.
FILTRE PASSE-BAS PASSIF
Considérons le cas où L est nul. Nous avons alors:
(71.157)
Donc:
(71.158)
D'où:
(71.159)
Soit:
(71.160)
Nous avons alors aux bornes du condensateur:
(71.161)
Nous voyons donc que la tension aux bornes du condensateur fait
office de ce que nous appelons un "filtre
passe-bas".
C'est-à-dire que l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur
par rapport à la tension d'excitation du circuit sera amoindrie
et ce d'autant plus que la fréquence sera grande.
Ce genre d'outil est très pratique pour par exemple éliminer
les harmoniques à haute fréquence d'un signal périodique obtenu
par série de Fourier ou pour nettoyer un bruit à haute fréquence.
On peut également utiliser des filtres passe-bas en cascade afin
de réaliser des analyseurs de spectre.
Voici le tracé du facteur:
(71.162)
Nous voyons bien qu'aux basses fréquences (à gauche) l'amplitude
est conservée (le filtre passe-bas laisse donc passer les
basses fréquences). Au-delà, le signal est coupé.
Le rapport:
(71.163)
est souvent exprimé en décibels soit par définition en utilisant
la mesure:
(71.164)
et porte alors le nom de "fonction
de transfert" du
filtre.
FILTRE PASSE-HAUT PASSIF
Pour ce qui est de la tension aux bornes de la résistance, nous
avons:
(71.165)
ce qui est traditionnellement remanié sous la forme suivante:
(71.166)
Nous voyons donc que la tension aux bornes de la résistance fait
office de ce que nous appelons un "filtre
passe-haut".
C'est-à-dire que l'amplitude de la tension aux bornes de la résistance
par rapport à la tension d'excitation du circuit sera amoindrie
et ce d'autant plus que la fréquence sera faible.
Voici le tracé du facteur:
(71.167)
Nous voyons bien qu'aux basses fréquences (à droite) l'amplitude
est conservée (le filtre passe-haut laisse donc passer les
hautes fréquences). Au-delà le signal est coupé.
Le rapport:
(71.168)
est souvent exprimé en décibels soit par définition en utilisant
la mesure:
(71.169)
et porte alors aussi le nom de "fonction
de transfert" du
filtre.
Avec différents types de filtres assemblés nous
pouvons ainsi supprimer (mais jamais complètement) des plages
de fréquences.
Nous parlons alors de filtre coupe-bandes. C'est la technique utilisée
par exemple pour la réception d'une certaine radio ou chaîne
de télévision
se trouvant dans une plage de fréquence bien précise.
Ou encore en musique électronique pour atténuer sons
graves ou aigus. Ou encore pour séparer le signal ADSL de
la voix d'une ligne téléphonique.
Un filtre passif se caractérise donc par l'usage exclusif
de composants passifs linéaires (résistances, condensateurs,
bobines couplées
ou non). Par conséquent, leur gain (rapport de puissance
entre la sortie et l'entrée) ne peut excéder l'unité.
Ils ne peuvent donc qu'atténuer en partie des signaux, mais
pas les amplifier, car cela nécessiterait un apport d'énergie
(ce qui est le rôle
des "filtres actifs").
INTÉGRATEUR ET DÉRIVATEUR
Nous avons donc aux bornes du condensateur:
(71.170)
Maintenant, si ,
nous avons:
(71.171)
Si nous faisons en sorte que nous
devons avoir:
(71.172)
Soit:
(71.173)
Dès lors:
(71.174)
Le circuit est alors ce que nous appelons assez logiquement...
un "intégrateur".
Regardons maintenant du côté de la résistance:
(71.175)
Or, nous avons:
(71.176)
Donc:
(71.177)
Comme:
(71.178)
Nous avons alors:
(71.179)
Si alors:
(71.180)
Si nous nous arrangeons pour avoir:
(71.181)
alors:
(71.182)
Le circuit est alors ce que nous appelons assez logiquement...
un "dérivateur".
L'utilité d'un circuit intégrateur est par exemple de transformer
un signal périodique en une constante (puisque la moyenne temporelle
d'un signal périodique ayant un offset ne sera jamais nulle).
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