Sciences.ch (Génie Aérospatial)

Dans ce chapitre, nous allons voir quelques cas pratiques mathématiques utiles et simples de ce que nous avons étudié dans les chapitres de Géométrie Analytique, Mécanique Classique, d'Astronomie dans le cadre du Génie Aérospatial qui est donc la discipline scientifique qui rassemble les techniques de l'aéronautique de l'ingénieur (déplacement dans l'atmosphère, utilisant des avions ou des hélicoptère par exemple) et celles de l'astronautique (déplacements spatiaux, c'est-à-dire trajets hors atmosphère et interplanétaires, en utilisant des navettes spatiales ainsi que des fusées).

Le lecteur découvrira certainement qu'il s'agit au fait que d'exemples que nous trouvons souvent dans les livres scolaires en tant qu'exercices

Nous ne reviendrons pas ici sur la théorie des côniques (très importante pour la mise en orbite de satellites) vue dans le chapitre de Géométrie Analytique, ni la théorie du Gyroscope très utile pour orienter/forcer l'axe de rotation (spin) des satellites et déjà vue dans le chapitre de Mécanique Classique (par contre nous ne pourrons pas utiliser la théorique balistique se trouvant dans ce même chapitre puisque nous y avions supposé la vitesse initiale constante...) ou la théorie des points de Lagrange utile parfois pour mettre en orbite des satellites sur des astres lointains (ce qui ne veut pas dire que nous n'utiliserons pas les résultats théoriques des sujets que nous avions étudié). De plus par hypothèse nous considérerons les corps dans un mouvement non relativiste ce qui est à ce jour le cas le plus fréquent...

Dans ce chapitre nous négligerons en réalité pas mal de choses comme les frottements, les vibrations les cas à plus de deux corps (astres...) et autres nombreux facteurs. Nous ne verrons pas non plus les bricolages propres à l'ingénierie spatiale (comme le fait que certains satellites ont des poids attachés par des câbles réglables pour augmenter ou diminuer leur moment cinétique gyroscopique).

Remarque: Certains détails vous sembleront négligeables mais il faut savoir que le prix au kilo de l'ancement se situe entre 20'000 et 30'000$ sans compter les assurances... (du moins en ce début de 20ème siècle). Donc tout ce qui peut être optimisé sans accroître le risque doit pouvoir l'être!

Avant de commencer sur les sujets purement mathématiques, abordons quelques notions purement pragmatiques.

Le fait de placer le décollage proche del'équateur sera d'une aide non négligeables puisque la vitesse tangentielle (horizontale) de la rotation de la Terre est donnée par (application de la cinématique circulaire triviale étudiée dans le chapitre de Mécanique Classique):

Soit un peu plus de la vitesse du son au sol dans des conditions normales de température et de pression et qui représente environ 5% de la première vitesse cosmique que nous traiterons juste un peu après (c'est déjà ça de pris pour économiser du carburant!). Et puis évidemment, comme la Terre tourne sur elle-même d'Ouest en Est il vaut mieux faire partir la fusée vers l'Est plutôt que tout droit ou même pire encore... vers l'Ouest (signalons au passage que pour des raisons de sécurité des agents au sol ce serait encore mieux si elle part à l'Est au-dessus d'un océan).

Il faut aussi noter que nous cherchons bien sûr à acquérir de la vitesse verticale pour quitter rapidement les couches denses de l’atmosphère mais nous voulons aussi communiquer au lanceur une composante horizontale de la vitesse: c'est-à-dire celle-ci qui permet la mise en orbite des satellites (d'où une raison supplémentaire pour tirer vers l'Est).

Quant à la différence de l'accélération gravitationnelle elle est un facteur aussi à prendre en compte. Effectivement certains sites spécialisés donnent:

Ainsi, une différence d'environ 0.527% ce qui sur le poids d'une navette spatiale n'est pas négligeable pour une fois encore économiser du carburant.

VITESSES COSMOLOGIQUES

La "première vitesse cosmique" ou "vitesse de satellisation minimale" représente la vitesse minimale à laquelle doit être portée un corps pour se trouver en orbite basse autour autour de la Terre. Elle est déterminée par la relation qui équilibre force centrifuge et force centripète (cf. chapitre de Mécanique Classique):

En réalité dans nos temps actuels (...) une orbite échappe à l'usure de l'atmosphère terrestre que si elle est à une altitude supérieure à 200 kilomètres. Nous avons alors (vitesse qui correspondrait à peu près à celle de l'ISS d'après plusieurs recoupements):

La "deuxième vitesse cosmique" correspond à la vitesse de libération d'un corps quittant la Terre. C'est la vitesse minimale au-delà de laquelle un corps peut s'éloigner définitivement de la Terre, en tout cas tant que l'on néglige la présence du Soleil et de notre Galaxie... Nous avons déjà démontré la relation y relative dans le chapitre de Mécanique Classique donc inutile d'y revenir. Rappelons jusque que la relation obtenue était:

Ce qui donnait pour la Terre (en prenant le rayon moyen au niveau de la mer...):

Du fait de l'atmosphère terrestre, il est difficile (et peu utile) d'amener un objet proche de sa surface à cette vitesse, celle-ci étant située trop avant dans le régime hypersonique pour être réalisable par la plupart des systèmes de propulsion. En outre, elle provoquerait une destruction de la plupart des objets par friction ou compression atmosphérique. En pratique, un objet serait tout d'abord placé en orbite terrestre circulaire basse puis accéléré à partir de cette altitude puisque les frottements y sont quasiment nuls, la poussée a alors un très bon rendement. Par ailleurs, la table ci-dessous fournie par la NASA atteste de cette stratégie (vous pouvez remarquer qu'à partir de 105 kilomètres d'altitude le gain de vitesse est très efficace):

ÉQUATION FONDAMENTALE DE LA PROPULSION

Un lanceur spatial a pour mission de placer une charge en orbite, pour cela il doit fonctionner dans l'atmosphère et le vide. Les principes utilisés sont ceux de l'action et de la réaction de Newton, et de la conservation de la quantité de mouvement: grossièrement nous pouvons affirmer qu'une fusée accélère en éjectant des gaz à grande vitesse (le ballon baudruche qui se dégonfle donne une bonne idée du phénomène). Après une étude mécanique simple, nous pouvons obtenir l'équation fondamentale de la propulsion.

En considérant les différentes parties mobiles et indépendantes de la fusée (en fait la structure principale séparément des gaz éjectés), nous pouvons affirmer à l'aide du principe d'action et réaction (cf. chapitre de Mécanique classique) pour un système donné, la somme des forces extérieures est:

Le principe de la propulsion s'énonce alors grâce à la conservation de la quantité de mouvement, que nous avons établie.

Considérons une fusée de masse m et de vitesse

, la vitesse d'éjection des gaz étant

. Au temps t, nous avons:

mais le dm est une perte de masse donc il faut changer son signe sinon la relation précédente ne correspond pas à l'interprétation de la réalité. Ainsi:

ce qui par intégration donne "l'équation fondamentale de la propulsion" ou le "delta-v" comme on dit souvent dans la littérature américaine et ce pour une fusée (non-relativiste...) hors champ de gravité et dans le vide à vitesse d'éjection constante des gaz...:

La différence entre masse initiale et masse finale étant souvent appelée "poids mort" dans le domaine.

Nous comprenons alors aisément pourquoi les fusées sont composées de plusieurs éléments de propulsion dont elles se séparent. Cela leur permet d'accroître leur vitesse finale en se débarassant de la masse des réservoirs qu'elles emportent initialement avec elles.

Nous en déduisons donc qu'un lanceur accélère d'autant plus que la vitesse des gaz est grande, que la poussée dépend de la quantité de gaz fournis et de leur vitesse, et le rapport des masses initiale et finale doit être maximum pour favoriser la propulsion, c'est-à-dire que la structure du système est voulue négligeable (la masse finale est alors minimale).

Remarquons que nous avons par extension aussi la relation suivante entre l'accélération de la fusée et le débit de masse éjecté:

Cependant, dans un champ gravitationnel (bien évidemment il faut que l'accélération de la fusée soit supérieur à celle de la gravité à tout moment...) il faut ajouter le terme qui freine la fusée (la "perte par pesanteur") et qui donnera donc l'expression:

si nous supposons la gravité g comme constante pendant la phase d'accélération principale. Cette dernière relation serait parfois appelée "formule de Tsiolkovski". En notant par

le débit massique des propulseurs, nous retrouvons parfois cette dernière relation sous la forme suivante où le temps n'intervient plus explicitement:

Cependant, il faudrait aussi prendre en compte la variation de la gravité en fonction de la distance comme nous l'avons démontré dans le chapitre d'Astronomie. Nous avons alors:

Donc si nous supposons la vitesse d'éjection des gaz constante et la trajectoire en ligne droite depuis le corps d'attraction nous avons donc que plus le temps passe plus va vitesse de la fusée augmente à cause de la diminuation de sa masse (bien évidemment elle finira par être constante) mais en même temps moins l'influence de la gravité est grande.

La valeur théorique de l'altitude atteinte, même si son expression est très simple à déterminer, est tellement fausse que cela ne vaut même pas la peine d'en faire mention.

Les navettes ne vont donc pas à la vitesse de libération avec qu'un seul étage de propulsion et même... elles n'ont souvent comme seul objectif d'aller seulement à la vitesse de mise en orbite basse... (première vitesse cosmique). La navette n'est donc dans la pratique pas libérée de l'attraction terrestre, loin de là!

Calculons la vitesse finale de la première phase de lancement d'Ariane 5 en supposant la gravité constante, en connaissant la vitesse d'échappement des gaz (supposée constante), la masse totale initiale de la fusée, la masse éjectée et le débit massique (supposé aussi constant...). Nous avons alors:

Alors que la valeur réelle est comprise entre 2'000 et 2'800 mètres par seconde d'après le recoupement de plusieurs sites Internet et vidéos du centre de contrôle de lancement d'Ariane (donc nous sommes très loin de la première vitesse cosmique!). Si nous ajoutions la variation de la gravité avec l'altitude le résultat calculé serait encore plus proche des 2'800 mètres par seconde (pour information la séparation des boosters de la première phase se ferait environ à 80 kilomètres d'altitude d'après le recoupement de plusieurs sources environ 132 secondes après l'allumage).

Cela reste cependant un ordre de grandeur convenable (et de plus similaire aux décollages des navettes américaines) compte tenu de la non prise en compte des frottements de l'air (qui pour rappel à ce que nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus sont proportionnels au carré de la vitesse dans le cas subsonique pour le moins...!!!).

Déterminons maintenant la distance atteinte après un temps t donné dans le cas de l'approximation à champ de pesanteur constant. Nous avons alors bien évidemment dans un premier temps (nous changeons un peu la notation afin de la condenser)

Déterminons la constante d'intégration avec le fait qu'au temps t = 0, nous devons avoir z(t) qui est nul. Il vient alors immédiatement que:

où nous pouvons à nouveau nous débarasser de la variable explicite du temps en réutilisant le fait que:

mais dont nous changeons la notation sous la forme plus condensée et simple suivante:

Calculons la hauteur de la première phase de lancement d'Ariane 5 en supposant la gravité constante avec les mêmes données numériques que l'exemple précédent. Cela donne alors:

Ce qui d'après le recoupement de plusieurs site Internet et vidéos du centre de contrôle de lancement d'Ariane ne serait pas trop faux car les propulseurs principaux (EAP: étages accélérateurs à poudre) seraient largués à environ entre 70 et 125 kilomètres d'altitude (entre 132 secondes et 205 secondes après leur allumage) et même la coiffe qui protège les satellites ainsi que l'étage à propulsion (EPC: étage principal cryotechnique) sont parfois largués juste quelques secondes après (cela fait toujours quelques tonnes de moins!).

Donc comme nous l'avons vu avec les calculs de l'exemple précédent, il reste encore environ 100 kilomètres avant d'atteindre l'orbite basse et sa vitesse cosmique correspondante à l'aide de l'étage à propergols stockables (EPS).

Remarquons que si nous faisions décoller la fusée avec une accélération égale à celle de la pesanteur (en supposant de plus cette dernière constante), nous obtiendrions une hauteur égale à:

Donc nous pouvons approximativement en conclure que la pousée d'Ariane 5 est significativement supérieur à celle opposée de la pesanteur.

Nous pouvons aussi calculer la variation de l'intensité de la pesanteur à l'altitude de 100 kilomètres pour voir si sa variation est significative ou non en % de celle au sol:

Par ailleurs, voici un graphique soit disant tiré d'un ouvrage d'Arianespace montrant l'accélération horizontale du lanceur Ariane 5 en multiple de la pesanteur locale au pas de tir:

nous savons la masse totale éjectable limité. Nous aurons alors aussi le temps de combustion qui sera limité. Notons cela:

En utilisant les relations obtenus plus haut dans le cas à champ gravitationnel constant, nous avons alors bien évidemment:

Après avoir atteint la vitesse finale, la vitesse de la fusée sera donnée par la relation classique de la cinématique rectiligne (cf. chapitre de Mécanique Classique):

En y injectant les relations obtenues plus haut, nous avons d'abord pour la vitesse:

Mais lorsque la hauteur maximale est atteinte, la vitesse est nulle, nous avons alors:

Les deux premiers termes sont positifs. Les troisième et dernier terme est négatif. Dès lors, nous voyons que pour maximiser la hauteur atteinte, le mieux est de faire tendre le débit massique vers l'infini (soit: donner toute l'impulsion dès le début!). Dès lors, nous avons:

Calculons la hauteur maximale de la première phase de lancement d'Ariane 5 en supposant la gravité constante avec les mêmes données numériques que l'exemple précédent. Cela donne alors:

Donc il s'agit de l'altitude à partir de laquelle la fusée aurait une vitesse ascenionelle nulle et commencerait à retomber. Comme nous pouvons le constater, c'est largement au-dessus de l'orbite basse mais aussi très en-dessous de l'orbite géostationnaire comme nous allons le calculer par la suite.

ORBITE GÉOSTATIONNAIRE

L'orbite géostationnaire est une orbite située à 35'786 kilomètres d'altitude au-dessus de l'équateur de la Terre, dans le plan équatorial et d'une excentricité orbitale nulle. C'est un cas particulier de l'orbite géosynchrone (dans le cas contraire la période orbitale correspond toujours à la durée de la révolution de la Terre mais l'orbite s'écarte également au Nord et au Sud de l'équateur en décrivant un analemme dans le ciel lorsqu'il est observé depuis un point fixe de la surface de la Terre).

Cette caractéristique est particulièrement importante pour les satellites de télécommunications ou de diffusion de télévision. La position du satellite semblant immobile, un équipement de réception muni d'une antenne fixe pointant dans la direction du satellite géostationnaire suffira pour capter ses émissions. Cette orbite est également utilisée pour l'observation de la Terre depuis une position fixe dans l'espace comme c'est le cas pour les satellites météorologiques géostationnaires.

Les satellites géostationnaires sont donc nécessairement situés à la verticale ou au zénith d'un point de l'équateur ou, en d'autres termes, situés dans le plan équatorial de la Terre.

Pour calculer la position de l'orbite géostationnaire, nous allons d'abord utiliser la seconde loi de Newton (cf. chapitre de Mécanique Classique):

et nous avions démontré dans le chapitre de Mécanique Classique que lorsque le mouvement est circulaire, nous avons:

Et nous allons utiliser la loi de la gravitation présentée dans le chapitre de Mécanique Classique (et démontrée dans le chapitre de Relativité Générale):

Nous allons utiliser ces relations avec la masse de la Terre

la masse du satellite, le rayon de la Terre

à l'équateur en moyenne, h la hauteur du satellite par rapport au sol et v la vitesse du satellite.

Sur l'orbite géostationnaire, il y a donc équilibre entre les forces de gravitation et la force centrifuge du satellite et la force d'attraction gravitationnelle de la planète:

Nous voyons que la masse du satellite se simplifie. Donc l'orbite géostationnaire en est indépendante! Il est important aussi de noter que puisque la vitesse v est après simplification indépendante la masse du satellite pour une orbite circulaire, alors un astronaute à l'intérieur de celui-ci aura la même vitesse et sera donc en apesanteur à l'intérieur de celui-ci (il en va de même pour tous les objets proches à l'intérieur ou à l'extérieur du satellite).

La vitesse pour une trajectoire circulaire est le rapport de la circonférence du cercle sur la période de temps nécessaire pour le parcourir en entier. Nous avons donc:

Donc T étant égal par définition dans ce contexte particule d'orbite géostationnaire à la durée de la journée sur Terre, nous avons en prenant les tables disponibles:

Remarquons qu'en utilisant les relations précédents, si le rayon de l'orbite d'un satellite non géostationnaire nous est donné ainsi que la masse de la Terre, nous pouvons alors aussi déterminer sa période de révolution sans avoir à connaître sa vitesse.

La force centrifuge est souvent utilisée dans le calcus de génie spatial. Par exemple pour calculer le vitesse de rotation que devrait avoir une laboratoire circulaire spatial de rayon r pour simuler la gravité terrestre comme ci-dessous:

Le reste (trajectoires des sondes spatiales) viendra quand j'aurais du temps à disposition...

- Guide de localisation des astres, C. Gentili, Éditions EDP Sciences, 1ère édition
ISBN13: 9782759800599 (286 pages) - Imprimé en 2008

- Orbital Mechanics for Engineering Students, Éditions Elsevier, Howard Curtis
ISBN10: 0750661690 (692 pages) - Imprimé en 2005