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Attention! Les sujets traités relatifs à la thorie moderne des portefeuilles sont au niveau du nombre de définitions pire que la thermodynamique, il en va de même pour les hypothèses des modèles théoriques qui y sont utilisés. Signalons de plus qu'il existe souvent plusieurs termes de vocabulaire pour désigner la même chose dans le métier de la finance (nous n'avons pas connaissance d'une norme ISO dans la finance au niveau du vocabulaire bien qu'il en existe une pour standardiser la symbolique des instruments financiers) et qu'il arrive assez régulièrement que les banques elles-mêmes corrigent parfois des définitions mathématiques dans leurs brochures et logiciels pour s'aligner avec l'opinion majoritaire du moment... (convention de signe, convention de symboles, convention de quoi doit être divisé par quoi, convention de quoi doit être soustrait par quoi, etc.). Nous avons aussi, conformément aux autres chapitres, tenté de simplifier au maximum les démonstrations mathématiques (et en nous limitant de plus qu'aux modèles théoriques les plus simples de niveau licence...) quitte à parfois prendre des raccourcis qui vont faire grincer les dents de certains.... et nous avons aussi tenté de donner à chaque fois les différents termes d'usage existants ainsi que les notations mathématiques mutliples pour un même concept théorique. Alors bonne lecture et courage!

THÉORIE MODERNE DES PORTEFEUILLES

La théorie du marché des valeurs dite aussi "théorie moderne du portefeuille" est la théorie mathématique qui traite du prix, du choix, de la gestion et des opérations des échanges des emprunts, prêts et capitaux à travers le temps. Cette théorie fait très fortement appel aux modèles statistiques et il est donc important d'avoir lu et compris le chapitre y relatif sur le site au préalable. Nous verrons de fait que la majorité des modèes reposent sur une représentation probabiliste et le problème devient alors un problème de détermination du prix à une date future revient à déterminer la loi de probabilité du prix des actifs, ces derniers étant vus comme des variables aléatoires.

Il faut cependant savoir qu'en pratique, dans les instituts financiers privés ou publics, seule une infime minorité des acteurs du marché connaît, comprend et applique des modèles mathématiques et pour les autres ayant obtenu des certifications ou diplômes de formation continue (CFA, FRM, CAIA, etc.), le niveau est souvent affligeant. Effectivement la grande majorité des traders (opérateurs de marché) se limitent à l'analyse graphique de diagrammes de Bourse du type bougies en utilisant des analyses du type moyennes mobiles, limites basées sur les cartes de contrôles (cf. chapitre de Génie Industriel) avec bandes de Bollinger ou autres USL/LSL, régressions linéaires et une trentaine de techniques du même genre (le plus drôle étant les indices empiriques ayant des noms scientifiques comme "l'indice stochastique" et qui sont en fait de simples variations relatives...). La gestion financière n'est donc finalement souvent que l'application du bon sens (quand il est présent...) sur la variation des prix en fonction des quantités... en analysant des graphiques et en sachant retirer ou déplacer ses investissements au bon moment.

Cette situation s'explique aisément: les modèles théoriques actuels du 20ème siècle et du début du 21ème siècle sont incapables à ce jour de prendre en compte la complexité et l'interaction dans la complexité de notre monde moderne. Vous verrez effectivement dans cette section que la majorité des modèles mathématiques étudiés dans les grandes universités supposent des cas simplifiés et idéalisés (indépendance, distributions unimodales, variance finie, choix d'indicateurs statistiques empiriques, etc.). Donc dans la situation actuelle il vaut souvent mieux écouter un trader qui est informé des stratégies des États et des entreprises qu'un mathématicien pour lequel le monde se résume à un conte de fée (mais qui néanmoins lui permet de vendre des heures de conseil à un tarif très élevé et de rassurer des clients qui veulent à tout prix des prévisions qui n'ont quasiment aucun sens).

Il faut aussi savoir q'un certain nombre de personnes sont persuadées que tout est écrit quelque part, qu'une sorte de réalité assez abstraite existe en dehors de notre monde concret et que si nous étions assez malins, nous pourrions la formaliser mathématiquement et prévoir les évolutions futures sur le long terme. Au fait le scientifique sait lui que nous avons affaire dans ce genre de domaine à un chaos déterministe du marché et que la seule manière de gérer celui-ci est de corriger au jugé avec une vague idée de ce qui va se passer. En économie les spécialistes parlent de la "dictature des marchés", mais c'est reconnaître en un sens que nous ne savons rien prédire! Évidemment, certains, dans les milieux de la complexité, vendent aux banquiers et à d'autres l'idée qu'ils sauront prédire les fluctuations de la Bourse... mais il suffit d'observer le passé pour voir qu'aucun modèle moderne n'aurait su le prédire. La seule chose que la mathématique peut faire dans la gestion financière, c'est d'analyser le comportement d'un actif financier idéalisé dans un cadre qui l'est lui aussi et c'est déjà pas mal et force un peu au bon sens... (pour ceux qui savent faire des maths ce qui est très loin du cas du 99% des personnes travaillant dans la finance).

En finance, les modèles mathématiques serviraient donc à mesurer et quantifier le risque des investissements. À ce titre, ils jouent le rôle d'outils d'aide à la décision pour les gestionnaires, les investisseurs et les régulateurs. Mais, à de rares exceptions près, une banque ou un fonds d'investissement ne fonde pas une décision majeure d'investissement sur une équation mathématique. La décision, pour les banques d'investissement est souvent motivée par la recherche de rentabilités toujours plus grandes et pour cela elles ne s'appuient pas sur des modèles mathématiques. Par ailleurs, les personnes dirigeantes des banques privées ou d'état sont souvent des personnes issues du monde de la politique, du droit ou de la gestion d'entreprise avec peu de compétence pour comprendre réellement le fonctionnement des marchés (voir le programme des Master en trading de nombreux pays par exemple). Par ailleurs méfiez-vous des entreprises - particulièrement des multinationales - qui recherchent des spécialistes financiers maîtrisant Microsoft Excel ou Microsoft Access. Car cela signifiera qu'elles utilisent des outils non professionnels pour faire un travail qui lui devrait pourtant l'être avec des outils adaptés (et Microsoft Excel ou Microsoft Access ne le sont pas)!!! Donc en termes d'organisation interne, vous pouvez vous assurer que ces entreprises organisent et analysent n'importe quoi, n'importe comment, avec un outil non adapté et donc que c'est le bordel général en interne.

Cela n'empêche cependant pas que pour ceux qui considèrent la mathématique comme un art (ce qui est mon cas), les modèles théoriques financiers ont une certaine élégance et permettent de comprendre rigoureusement le mécanisme de fonctionnement à défaut de pouvoir le prévoir.

Il faudrait peut-être responsabiliser aussi ce domaine d'activité en mettant en place les mesures suivantes:

- Exiger la documentation publique détaillée des composants (sous-jacents), algorithmes et modèles mathématiques des produits financiers.

- Imposer un niveau de fonds propre dynamique (réserve fractionnaire) aux instituts financiers en fonction de leurs positions sur les marchés et du risque des classes d'actifs gérés.

- Obliger les acteurs sur un marché d'opérer dans un domaine d'activité ayant un certain niveau prédéfini de connexité avec la classe d'actifs gérée.

- Limiter le nombre de transactions pour un actif financier non limité dans le temps et imposer aussi pour cette même famille d'actifs un temps minimum de non-transaction.

- Éviter le front running ou spoofing- forme de délit d'initié consistant à prétendre vouloir acheter ou vendre un titre dans l'intention d'annuler cette opération au dernier moment - en obligeant les transactions automatisées (sans passer par des humains (brocker/trader)) et le cas échéant interdire de pratiquer à vie aux tricheurs et retirer leurs diplômes académiques.

- Obliger les personnes actives dans ce domaine d'activité de passer des examens régulièrement pour vérifier qu'ils comprennent bien ce qu'ils font et les hypothèses de travail y relatives (comme pour les actuaires dans certaines assurances).

- Surveiller de près tous ces certifiés "risk manager" qui sortent des centres de formations depuis ces 30 dernières années car au vu des événements durant ces mêmes années, il semblerait qu'ils ne fassent pas leur travail ou que si ils le font, que leurs recommandations ne sont pas appliquées au plus haut niveau de la direction des banques (et donc leur travail est totalement contre productif).

Il y aurait donc un grand nombre de propositions à mettre en place pour redonner son but et son éthique originelle au domaine de la gestion financière.

Définition: La "Bourse" ("Stock Exchange") est le marché public, organisé et en théorie... réglementé... où s'échangent des titres (actions, obligations, contrats, options, etc.) dont la valeur va fluctuer relativement à la "valeur fondamentale" (valeur de base calculée selon des modèles théoriques) au gré de l'offre ("ask" en anglais) et de la demande ("bid" en anglais). Lorsqu'un titre est beaucoup demandé, son prix monte, et inversement, lorsque personne n'en veut. La différence entre la valeur de l'offre et de la demande est appelée "spread" (en anglais mais c'est aussi le terme d'usage en français).

1. Pour les entreprises qui veulent investir (donc augmenter leur capital) d'obtenir des fonds afin de satisfaire la demande potentielle.

2. De rendre au plus stable l'économie en la rendant la plus dynamique et fluide possible (mais sous contrôle quand même...) dans le but qu'elle s'autorégule.

Le système cité ci-dessus fonctionne si et seulement s'il est transparent, rationnel, efficient, autorégulant et équilibré!

Définition: Nous appelons "marché de gré à gré" (ou "over-the-counter" (OTC) en anglais) une transaction entre deux parties libres (directement entre le vendeur et l'acheteur) de contracter et normalement informées hors de la Bourse et est donc privé, non organisé et non réglementé (ou de manière très souple...). Parfois, un courtier sert d'intermédiaire, mais ce dernier n'est pas une contrepartie: il n'interviendra pas dans le règlement de la transaction. Parfois, par contre, une banque propose elle-même ce type de transaction et en assure la contrepartie, mais souvent en couvrant son risque sur un autre marché.

Par exemple, le marché des devises ForEx (Foreign Exchange) ou des D.C.S. (Default Credit Swap) est essentiellement un marché de gré à gré (chiffres d'affaires quotidiens de plusieurs milliers de milliards de dollars!). Par exemple dans le cadre des devises, une entreprise ou une banque qui désire effectuer une opération de change va se mettre en relation directe avec une autre banque. Il existe cependant un marché organisé des devises.

Définition: Un investissement est dit "investissement liquide" si l'investissement porte sur des instruments financiers que l'on peut acheter ou respectivement vendre à tout moment. In extenso un portefeuille est dit "portefeuille liquide" s'il contient une majorité d'instruments liquides.

Définitions: Dans une institution financière nous parlons de "front-office" lorsque nous désignons les traders qui exécutent des transactions, prennent des positions, etc. Nous parlons de "middle office" lorsque nous désignons les gestionnaires de risque qui suivent les risques qui sont pris par le front-office. Enfin, nous parlons de "back office" pour tout la partie administrative restante (gestion des écritures, comptabilité).

Avant de commencer à s'attaquer à la mathématique pure et dure, il va nous falloir au préalable donner encore une fois un grand nombre de définitions pour s'habituer au vocabulaire usité par les analystes et ingénieurs financiers (attention c'est relativement long...).

ABSENCE D'OPPORTUNITÉ D'ARBITRAGE (A.O.A.)

L'une des hypothèses fondamentales des modèles financiers usuels est qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est appelée "absence d'opportunités d'arbitrage" (A.O.A.). Elle est justifiée théoriquement par l'unicité des prix caractérisant un marché en concurrence pure et parfaite.

Pratiquement, il existe des arbitrages mais qui disparaissent très rapidement du fait de l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage (son prix "réel").

Ainsi, si plusieurs actifs de même risque proposent des rendements différents, les investisseurs qui recherchent de nouvelles opportunités vont logiquement tourner leurs achats vers ceux dont le rendement est le plus élevé, ce comportement entrainant alors une baisse du rendement de ces actifs.

La mathématique financière reposant sur l'A.O.A. laisse ainsi ces arbitragistes gagner de l'argent et néglige ces apparitions d'opportunités qui de toute façon n'existent toujours que sur un temps supposé très bref (ce type de stratégie est mis à profit aujourd'hui avec l'informatique qui peut donner des ordres de vente et d'achat à la milliseconde près).

Un exemple royal pour illustrer ces propos est d'utiliser une version simplifiée du modèle élaboré par Cox, Ross et Rubinstein car il traduit explicitement le concept de l'A.O.A. et l'importance des modèles probabilistes.

L'exemple se base sur l'hypothèse que le marché est formé d'un actif risqué et d'un taux de placement constant r. Par exemple, une somme de 1 dollar aujourd'hui, placée au taux r, engendre un revenu certain et garanti de 1+r dollars au temps 1 quelle que soit l'évolution future du marché dans l'exemple considéré.

Nous commençons par étudier ce marché sur une seule période de temps telle que le temps initial sera noté

et l'instant final

(nous appelons une telle situation un "marché monopériodique"). Nous supposons parfaitement connaître le marché à l'instant initial. Dans notre contexte cela signifie que le prix de l'actif risqué est

fixé et l'actif non risqué est déterminé par son rendement

Quant à l'actif risqué, sa valeur à

n'est pas connue à l'avance. Afin de restreindre le champ des possibles, nous supposerons que le rendement de cet actif ne peut prendre que deux valeurs b (bas) et h (haut) avec:

Ainsi, l'actif risqué au temps

ne peut prendre que deux valeurs positives. La valeur basse:

Un investisseur peut ainsi acheter une quantité

d'actif risqué et placer une somme

au taux r . La valeur

au temps

du portefeuille de composition

est donc:

Comme nous l'avons expliqué plus haut,

peut prendre deux valeurs, il en est donc de même pour

. Ce qui signifie que le revenu de ce portefeuille est incertain.

Maintenant, pour montrer le concept de l'A.O.A. passons à une application numérique en considérant la situation particulière où il est plus avantageux, et à coup sûr, d'investir dans l'actif risqué que le non risqué.

Imaginons pour cela que nous empruntions 100.- à une banque au taux sans risque de 5% et que l'unité d'actif risqué que nous souhaitons acquérir avec cet argent soit cotée aujourd'hui à

celle-ci pouvant prendre deux valeurs futures:

Nous voyons alors de manière triviale que si

il existe une opportunité d'arbitrage puisqu'il devient possible de gagner de l'argent à coup sûr sans en dépenser! Pour éviter une A.O.A. dans cette situation, il faut donc que le marché s'équilibre et qu'il y ait:

Inversement, s'il est plus à coup sûr plus lucratif d'investir dans l'actif non risqué que dans l'actif risqué, le marché doit s'organiser pour éviter toute opportunité d'arbitrage de la sorte que:

Ainsi, dans les deux cas, il faut éviter à tout moment que dans le marché binomial nous ayons une A.O.A. Et cela est seulement possible si:

L'absence d'opportunité d'arbitrage à deux implications simples (il y en a des moins simples comme nous le verrons bien plus loin....). Considérons le cas où nous avons deux actifs respectivement de rendement i et j et que nous savons que l'actif de rendement i ne fera pas défaut dans le paiement de ses dividendes. Par contre l'actif de rendement j pourrait faire défaut avec une probabilité 1 - p. Alors, de par l'A.O.A nous devons avoir:

Donc nous pouvons en déduire la probabilité de non défaut de paiement de l'actif:

Ce type de raisonnement permet donc aussi d'exiger un rendement k d'un émetteur d'actifs (de type obligations typiquement) connaissant par expertise/audit la probabilité de défaut de paiement/remboursement par rapport à un actif sûr à 100% de rendement i.

PORTEFEUILLES

La majorité des transactions boursières concernent le contenu des "portefeuilles de titres" (security portfolio) qui sont l'ensemble des titres qu'un acteur du marché peut détenir. Gérer un portefeuille consiste donc (le plus classiquement...) pour un gestionnaire à chercher un retour sur investissement (RSI) maximal pour le client tout en minimisant les risques.

Les "titres financiers" (financial security) se dérivent sous la forme d'actions, d'obligations, d'options de devises et de matières premières tous appelés plus généralement "produits financiers" ou encore "actifs financiers" et dont les définitions (non exhaustives) seront données ci-dessous. Lorsque certains de ces produits sont mélangés, nous parlons alors de "produits structurés" (typiquement l'association d'un sous-jacent avec une option).

D1. Pour mesurer l'évolution générale d'un marché boursier, nous utilisons des "indices" reflétant la moyenne arithmétique (Down Jones Index ou S&P500 par exemple) ou la moyenne pondérée (Swiss Market Index par exemple) des cours (valeurs) d'un certain nombre de titres représentatifs. Cela permettant d'en connaître le rendement. Les fonds d'investissement monitorés sur le base d'indices boursiers sont nommés des "ETF" pour "Exchange Traded Funds" et c'est simplement des fonds qui répliquent le rendement des indices et qui n'essaient non pas de le superformer.

D2. Un "produit dérivé" est un produit/instrument financier, qui s'achète et se vend, et qui est toujours bâti sur la base d'un titre financier. Ce dernier est alors appelé "actif sous-jacent" ou "support" du produit dérivé. Ceux-ci peuvent donc être des actions, des obligations, des devises, ... et même des produits dérivés... Le danger avec les produits dérivés est, à force de les superposer de ne plus savoir exactement quels sont les sous-jacents, raison pour laquelle on les qualifie parfois d'arme de destruction massive de la finance (certains dirigeants les ont éliminé de leurs portefeuilles mais ceci peut avoir l'effet inverse: auggement le risque puisqu'à la base les dérivés ont justement été construits pour se couvrir des risques... bref ce n'est pas simple!).

D3. La "volatilité" mesure l'amplification de la variation d'un cours. Autrement dit, un titre financier dont la volatilité est élevée voit son cours varier fortement, voire de façon exagérée sur une période donnée. À l'inverse, un titre dont la volatilité est faible voit son cours varier peu et/ou de manière assez cohérente. La volatilité s'exprime souvent en pourcentage dans les modèles mathématiques simples (car il en existe plusieurs définitions dont nous en verrons certaines par la suite). Ainsi, la volatilité d'un titre sur une période donnée est basiquement définie par:

Dans des situations complexes, la volatilité est souvent assimilée à l'écart-type et nous verrons cela plus loin.

ACTIONS

Définition: Les "actions" sont des papiers-valeurs reconnaissant par contrat des droits de propriétés sur le capital d'une entité dite "société anonyme" (S.A.). Ce contrat a un prix et il est échangeable sur le marché.

L'action ou le portefeuille d'actions (en anglais: "equity portfolio") donne à son propriétaire des droits de différentes natures tels que les droits sociaux (droit de vote aux assemblées générales, droit d'élection et d'être élu au conseil d'administration) ou patrimoniaux (droit de recevoir une part du bénéfice net, sous forme de "dividende" variable représenté à l'époque du papier par un petit coupon numéroté à détacher/découper), ou une part du produit de la liquidation de la société si elle venait à tomber en faillite, ainsi qu'un droit préférentiel d'acheter de nouvelles actions en cas d'augmentation du capital.

- "L'action classique" qui donne donc un droit de vote lors des assemblées générales, un droit à l'information (...), une droit à des dividendes.

- "L'action privilégiée" qui offre un privilègre qui peut être une priorité lors des votes dans les assemblées générales ou une priorité lors de la distribution du dividende.

- "L'action à dividende prioritaire" qui donne uniquement un accès privilégié aux dividendes (donc pas de droit de vote!).

- Les "actions à bons de souscription d'actions" qui sont des actions qui donnent droit à leur détenteur de souscrire à de nouvelles actions à une date donnée.

Définition: Il y a plusieurs types de "rendement boursier" en fonction du contexte d'une discussion qui sont pour certains intuitifs et pour d'autres assez complexes. Voici trois des plus courants (nous en verrons d'autres par la suite...) à notre connaissance lorsque l'on aborde pour la première fois la mathématique financière:

- Il y a le rapport, exprimé en pourcentage et appelé "yield" ou "taux de rendement" (à ne pas confondre avec le "yield to maturity" ou "taux de rendement à maturité" que nous verrons plus loin), entre le dividende par action distribué par une société et le cours de l'action en circulation de cette société au moment du versement du dividende (certains prennent parfois la moyenne arithmétique des dividendes versés sur plusieurs périodes):

- Il y a le rapport, exprimé en numéraire par année et appelé "rentabilité de l'action", de la différence entre le cours de vente de l'action majoré par les dividendes et le cours d'achat de l'action de cette société sur le nombre de périodes (exprimé souvent en années):

Si nous divisons le résultat de ce dernier rendement numéraire annuel par le capital initial investi, nous obtenons le rendement en pourcentage.

- Il y a le "taux de rendement implicite" (et son inverse le PER: "Price Earning Ratio") qui est le rapport entre le bénéfice net de l'entreprise et la valeur de capitalisation boursière et dont l'abréviation peut être confondue avec le taux de rendement interne (cf. chapitre Techniques de Gestion):

Le TRI est donc une sorte de rendement entre le revenu potentiel de l'action et son prix (attention : il ne serait question du rendement réel que si l'on prenait en compte le rapport dividendes versés/cours de l'action qui peut être très différent). On suppose, à tort ou à raison, que l'entreprise a un meilleur usage à long terme à faire de ses bénéfices que de les distribuer sous forme de dividendes....

Le PER (l'inverse du TRI) généralement cité dans la presse est celui calculé sur le dernier bénéfice annuel publié. Toutefois les analystes se basent souvent sur le bénéfice anticipé pour l'année en cours.

E1. Prenons une action remboursable achetée il y a 6 ans au prix de 10.- (capital investi). L'investisseur la vend à 12.50.- L'investisseur a reçu 3 fois un dividende de 2.20.- plus une fois un de 1.-. Les deux types de rendements donnent alors respectivement:

et si nous divisons ce dernier par le capital initial investi (10.-), nous obtenons donc 16.8%.

E2. Le prix (frais compris) maximum que nous pouvons mettre pour acheter une action de 500.- rapportant un dividende de 12% à concurrence d'un placement identique avec un rendement de même périodicité de 5% est de 1'200.-. Effectivement, une telle action rapporterait 60.- de dividendes à chaque période (12% de 500.-). La somme qu'il faudrait placer pour avoir le même intérêt à 5% est 1'200.- (5% de 1'200.- faisant aussi 60.-).

E3. Le titre émis par une société (dont le capital est composé de 10 millions d'actions) cote 100.-, ce qui porte la valeur en Bourse de la société à 1 milliard. Le bénéfice net prévu est de 50 millions pour l'exercice en cours, soit 5.- par action. La division du bénéfice net prévu par la capitalisation donne donc un price earning ratio de 20.

Remarques:

R1. Nous différencions les "actions au porteur" négociables sans restrictions en Bourse des "actions nominatives" dont la valeur doit être négociée avec des restrictions juridiques plus ou moins complexes, car il y figure le nom de l'actionnaire qui doit être inscrit au registre des actionnaires.

R2. Lorsqu'une société anonyme veut augmenter son capital-actions, elle peut émettre des actions supplémentaires. Les nouvelles actions seront proposées aux actionnaires de la société à un cours fixe et en proportion des actions qu'ils détiennent ("droit de souscription") afin de ne pas les pénaliser contre une décote. Ceci leur permettra donc de maintenir le pourcentage de leur part dans le capital, ainsi que le poids de leurs droits de vote.

Pour clore cette petite introduction sur les actions, signalons qu'un modèle théorique d'évaluation actuelle (dans le sens "à la date du jour") des actions porte le nom de "modèle de Durand". Son idée est assez simple: le prix

d'une action aujourd'hui est égale à la somme de ses cash-flows (donc de ces dividendes

) actualisés au taux géométrique moyen du marché (ou attendu/exigé par l'actionnaire) de la période i correspondante

versés à chaque période k (donc on suppose être en avenir certain...) ainsi que de son prix de revente futur

actualisé lui aussi.

Si nous faisons l'hypothèse scolaire habituelle comme quoi le taux est toujours constant (sinon, nous utiliserons une moyenne géométrique des taux sur la totalité des périodes ou mieux encore une simulation de Monte-Carlo), nous avons alors:

Or le prix de revente en T sera égal à cette même relation et ce ainsi de suite jusqu'à l'infini, car une action n'a pas vocation à être remboursée! Nous avons alors:

Maintenant, considérons une simplification du modèle de Durand qui s'appelle le "modèle de Gordon et Shapiro" ou en anglais "Dividend Discount Model" (DDM). Celui-ci considère qu'à chaque période, les dividendes croissent selon un même taux noté d'où:

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Suites Et Séries, que pour toute suite géométrique de raison x est donnée pour rappel par:

c'est-à-dire que le taux de rendement attendu par les actionnaires est supérieur aux taux de croissance des dividendes, nous avons alors:

Le taux de croissance des dividendes

est déterminé soit à partir des données historiques de l'action, soit à partir des prévisions des analystes sur les futurs dividendes.

Notons que nous trouvons cette dernièr relations souvent sous les formes suivantes dans la littérature:

pour comparer le taux de rendement t% de plusieurs actions connaissant leur dividende, leur prix actuel et le taux supposé de croissance des dividendes par des prévisionnistes.

Nous souhaitons valoriser une action qui verse un première dividende de 5.- et dont la croissance est supposée constante (à l'infini...) à un rendement (moyen géométrique) de 14.87% en comparaison à un rendement géométrique moyen du marchée de 20%. Nous avons alors le prix de cette action qui peut être estimée par:

Signalons pour clore cette évaluation des actions une propriété importante, aussi applicable aux obligations que nous allons de suite voir, et qui est le "risque de défaut de crédit". Ce risque, qui doit être quantifié au mieux en termes de probabilités, consiste simplement dans le fait que l'émetteur de ces actions pourrait ne pas répondre à ses devoirs et verser l'argent qu'on est en droit d'attendre de lui pour la simple raison qu'il a fait faillite ou que le système économique ne s'y prête pas (crise économique majeure par exemple). L'État garantit normalement seulement une fraction du gain attendu (garantie qu'il s'agit aussi d'actualiser mathématiquement). Dès lors, il faut savoir que:

1. Le prix actualisé est toujours un peu plus faible que le simple modèle ci-dessus puisque celui-ci est lié à un événement n'ayant pas de probabilité égale à 100% (mais inférieure!).

2. Le prix actualisé est en réalité une espérance pondérée par les probalités des scénarios économiques.

3. Tous les modèles économiques algébriques sont idéalisés et il ne faut jamais oublier cela (ils ne prennenat pas en compte les phénomènes macro-économiques)!

OBLIGATIONS

Contrairement à l'emprunt individuel (emprunt indivis), l'emprunt dit "emprunt obligataire" fait appel à de nombreux prêteurs, appelés "souscripteurs", qui reçoivent, en échange de sommes prêtées, des titres appelés "obligations".

Définition: Les "obligations" sont des papiers valeurs (titres de créance d'un émetteur) établissant par contrat des droits de créance (capital prêté) à un investisseur et qui rapportent un intérêt fixe (en général annuel sous forme de coupons) au titulaire pendand une durée définie (la somme initiale investie étant remboursée à une échéance prévue par le contrat). Ce contrat a un prix (dépendant de la date!), il est échangeable sur le marché et le débiteur est obligé de payer les intérêts (rémunération par coupons). Par ailleurs si l'obligation est "convertible" elle donne droit au créancier d'obtenir soit le remboursement de l'obligation, soit sa conversion en actions, suivant des modalités fixées d'avance.

Remarque:

R1. Les actions et les obligations sont très différentes de par ce qu'elles représentent. Alors que l'action désigne un titre de propriété lié au capital social d'une société, cotée ou non, l'obligation est un titre de créances. L'obligation est donc basée sur les dettes d'une entreprise, d'un état, ou d'une collectivité locale alors que l'action est une part des capitaux propres d'une société par actions. Toute société composée d'actions n'est pas nécessairement cotée sur le marché boursier, et toute société n'est pas nécessairement une société d'actions. L'émission d'une obligation permet à l'émetteur de diversifier ses sources d'emprunts, et pour une action, de diversifier ses sources de financements. De plus en cas de faillite de l'émetteur, le détenteur d'une obligation est prioritaire sur l'actionnaire.

R2. Certains bonds ont leur coupons qui ne sont pas communiqués en numéraires mais sont basés sur le niveau d'indices économiques.

T1. "Obligation à taux fixe" ou "obligation ordinaire" qui est la plus classique des obligations (elle représente au début des années 2000 environ 85% du marché obligataire). Elle procure un flux d'intérêt définitivement fixé lors de son émission (coupons) selon une périodicité prédéfinie jusqu'à son échéance (ce qui est sécurisant) dont le taux d'intérêt mathématique correspondant à ce flux est appelé "taux de rendement à maturité" (Yield to Maturity). Les financiers la désignent souvent sous le nom anglophone de "plain vanilla bond". Lorsque la durée du flux peut être considérée comme infinie, nous parlons "d'obligation perpétuelles".Ce n'est cependant pas un investissement sans risque comme nous le verrons dans un exemple simple plus loin.

Figure: 66.2 - Exemple d'obligation à taux fixe avec coupons à l'époque du papier...

et versions informatique avec l'interface de Bloomberg pour une obligation OAT (Obligation Assimilable au Trésor):

Figure: 66.3 - Exemple d'obligation à taux fixe avec coupons à l'époque de l'informatique...

L'obligation à taux fixe est classiquement cotée en prix ou en taux. L'obligation à taux fixe est évaluée par actualisation des flux futurs qu'elle délivre.

T2. "Obligation à taux variable" dont les flux d'intérêt, mais pas le prix de remboursement, sont indexés sur un taux de référence comme le taux directeur d'une banque centrale, les résultats d'une entreprise, ou autre. Le risque associé à ce taux variable est appelé "risque de taux". Pour le détenteur d'un portefeuille obligataire qui souhaite protéger son capital, il suffit alors d'immuniser son portefeuille contre les variations ce taux. C'est ce que nous appelons cela la "couverture en duration".

T3. "Obligation zéro-coupon" (en anglais: "zero coupon bond" ou "discount bond") qui ne comporte que deux flux financiers: un flux initial (achat) et un flux final (coupon et norminal), sans aucun paiement intermédiaire (d'où son nom puisque qu'elle ne verse aucun coupon entre-temps ou des coupons à 0%... et que seul nominal est versé à l'échéance) et donc les calculs y relatifs de valorisation ne nécessitent de connaître que l'intérêt simple. C'est la moins risquée de toutes les obligations puisqu'elle ne verse qu'un seul coupon et que dès lors son taux de rendement effectif est égal à son taux actuariel d'origine (puisqu'il ne peut y avoir de réinvestissement entre temps). L'acquéreur souscrit l'obligation à un prix inférieur à sa valeur faciale, laquelle est payée à l'échéance du contrat. Le zéro-coupon est généralement indexé sur l'inflation.

Les investisseurs obligataires à taux variable de type zéro-coupon préfèrent généralement les maturités courtes car le taux de rendement ne reflète exactement l'enrichissement de l'investisseur que si celui-ci peut réinvestir chaque coupon détacé au même taux et conserve l'obligation jusqu'à son échéance. Or ce type de scénario est difficiele à garantir sur le long terme. De plus il y a le "risque de défaut", c'est-à-dire la mise en faillite de l'émetteur.

Inversement, les émetteurs ont habituellement une préférence pour les maturités longues, qui leur permettent d'étaler leur endettement dans le temps. La divergence entre la demande (les investisseurs) et l'offre (les émetteurs) se traduit par des rendements généralement plus faibles à court terme qu'à moyen et long termes. La "courbe des taux" qui est une fonction qui à une date donnée et pour chaque maturité en abscisse, indique le niveau du taux d'intérêt associé en ordonnée aux instruments financiers à terme et a donc typiquement une forme croissante

Par exemple la courbe des taux zéro-coupon U.S. au 5 septembre 2001 ci-dessous issue d'obligations zéro-coupon du trésor américain (le lecteur pourra observer) où il n'y a pas d'interpolation - ou de "stripping" comme disent les financiers... - mais seulement de simples droites entre les points alors que certains logiciels proposent des stripping variés basés sur les polynômes ou les splines):

À une date donnée et dans un pays ou une zone économique unifiée, il existe une multitude de courbes de taux: Quand la courbe des taux est plate, nous parlons alors logiquement de "flat curve", quand elle est croissante de "upward sloping curve" et quand elle est décroissante de "downward sloping curve".

Remarquons que le "taux zéro périodique", appelé aussi parfois "taux actuariel zéro coupon" (ou "yield to maturity" comme nous l'avons déjà mentionné), à échéance de n unités de période d'une obligation zéro-coupon de nominal C et de prix d'émission P peut être obtenu facilement à partir de la relation de l'intérêt composé:

Relation que nous retrouvons fréquemment dans la littérature spécialisée anglophone sous les formes suivantes:

avec PV qui signifie "Present Value", FV "Future Value" et le taux est noté y pour signifier "yield" en anglais... (évidemment lorsque nous inversons la parenthèse nous parlons comme à l'habitude de "facteur d'actualisation" ou de "coefficient d'actualisation" mais cela n'est pas nouveau pour nous car nous l'avons vu lors de notre étude des rentes et emprunts).

Ce que nous retrouvons parfois dans la littérature plutôt sous la forme traditionnelle suivante (vive l'absence de normes pour les notations...!):

Le taux zéro-coupon à 4 ans correspondant à un.... zéro-coupon de nominal 100.- et de prix d'émission 90.- (en-dessous du pair) est de:

Il existe une autre manière courant et très pratique d'écrire la valeur actuelle. Rappelons que nous avons démontré bien plus haut que sous certaines conditions:

Considérons une obligation zéro-coupon qui paie 100.- dans 10 ans et dont la valeur actuelle est de 55.3895.-. Ceci correspond à un taux acturial zéro-coupon de:

Et intérêt continu, cela donne (conformément à la démonstration déjà effectuée bie plus haut) le "taux actuarial continu zéro-coupon":

P2. Leur "date d'échéance" ou "date de maturité" qui permettra en fonction de leur date d'émission et du type de calendrier (échéancier) de connaître la valeur actualisée de l'obligation à tout moment.

P3. Leur "valeur nominale", appelée le "pair", désigne la valeur servant de base au calcul des intérêts.

P4. Leur "taux d'intérêt nominal" ou "taux facial" associé à la périodicité (souvent annuelle) permet de définir l'intérêt appelé "coupon" ou "coupon de dividende" appliqué sur la valeur nominale d'une obligation qui sera versée au souscripteur à la date dite "date de jouissance". Normalement le mode de calcul du taux d'intérêt doit être communiqué.

P5. Leur "prix d'émission" ou "prix de souscription" est le prix réellement payé par le souscripteur pour devenir propriétaire d'une obligation. L'émission des obligations se fait donc au pair si la valeur nominale est égale à la somme demandée pour son acquisition. Le prix de souscription se fait en-dessous du pair si la somme demandée est inférieure au nominal (cas le plus fréquent), mais le prix peut au-dessus du nominal! La différence entre nominal et prix de souscription est appelée "prime d'émission".

Le prix d'émission n'est pas toujours égal à la valeur nominale afin de donner envie au prêteur d'acheter sans forcéement proposer un taux d'intérêt nominal trop élevé. Ainsi, l'émission d'une obligation est un jeu subtil pour l'émetteur entre la valeur du taux facial et le prix d'émission.

P6. Leur "prix de remboursement" ou "valeur de remboursement" est la somme réellement versée à l'emprunteur lors du remboursement de l'obligation à l'échéance. Le remboursement peut être prévu au pair ou parfois au-dessus à l'échéance (in fine), par tranches, ou jamais (obligations perpétuelles). La différence entre la valeur de remboursement et le nominal est appelée "prime de remboursement".

Indiquons que les obligations à coupons multiples sont peu à la mode à cause du système d'imposition des États et aussi de par le coût des démarches administratives qu'elles génèrent. D'où le fait que les zéro-coupon sont préférées.

E1. Considérons un emprunt obligataire de 3'000'000.- divisé en 300 obligations de 10'000.- nominal émis en juin 2004 pour une durée de 10 ans. Souscription: 99.5% de la valeur au pair. Remboursement au pair à l'échéance. Intérêt annuel fixe: 4.5%.

La valeur nominale C de l'obligation est donc de 10'000.-. Le nombre N d'obligations est de 300. La durée n de l'emprunt est de 10 ans et le taux facial t% est de 4.5%. Le prix d'émission est de 99.5% de 10'000.- soit E = 9'950.- (en-dessous du pair!). Le coupon a donc une valeur c de 450.-.et le remboursement R s'effectue au pair et vaut donc 10'000-4500 = 5'500.-.

E2. Soit une obligation à taux fixe, émise au prix de 1'000.-, et versant un coupon annuel de 100.-. Le taux servi est donc de 100/1'000=10%.

Supposons que les taux du marché passent à 15%. Cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 150.- (car 150/1'000=15%).

La nouvelle obligation est donc plus intéressante que l'ancienne, et tout le monde va vouloir vendre l'ancienne pour acheter la nouvelle. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implicitement baisser, jusqu'à ce qu'il corresponde à celui d'un produit financier procurant du 15%, soit ici 666.-. Alors, nous aurons bien 100/666=15%.

De même, si les taux du marché baissent à 5%, cela signifie qu'une nouvelle obligation, qui est émise au prix de 1'000.-, sert un coupon de 50.- (car 50/1'000=5%).

La nouvelle obligation est donc moins intéressante que l'ancienne, et personne ne voudra l'acheter. C'est pourquoi le prix de l'ancienne obligation va implicitement monter, jusqu'à ce qu'il corresponde à celui d'un produit financier procurant du 5%, soit ici 2'000.-. Alors, on aura bien 100/2'000=5%.

Ainsi, le prix d'une obligation à taux fixe diminue implicitement lorsque les taux montent, et monte lorsque les taux baissent. C'est la raison pour laquelle un placement en obligationes n'est pas sans risques: on peut perdre une partie du capital. En fait, la seule stratégie sans risque consiste à acheter les obligations au moment de l'émission, et à les garder jusqu'à l'échéance.

À tout moment, la valeur sur le marché d'une obligation à taux fixe ou taux variable doit donc être égale à la somme des valeurs actualisées des coupons et du remboursement auxquels elle donnera encore droit. La valeur actuelle étant calculée au taux du marché obligataire en vigueur pour des obligations du même type et de même durée.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation à taux fixe (le cas étant facilement généralisable à un taux variable) doit être vue comme un capital initial dont on retire pendant n périodes restantes une certaine somme fixe, somme correspondante au prix du coupon (taux facial multiplié par le nominal):

avec C la valeur nominale de l'obligation et le tout cumulé étant périodiquement soumis à l'intérêt du taux du marché

(donc le "taux à maturité") constant dans le cadre d'une prise en considération d'un avenir certain.

Ainsi, la valeur actuelle d'une obligation à taux fixe est dans un premier temps constituée que de la valeur actuelle des coupons futurs (appelés aussi souvent "flux") restants pendant n périodes telle que:

Que l'on retrouve dans la littérature spécialisée parfois sous la forme suivante:

Cette partie du prix de la valeur de l'obligation correspond donc à la somme totale nécessaire telle que l'on peut solder

après avoir retiré n fois (le nombre de périodes restant) la valeur c à un taux d'intérêt

Ensuite, l'obligation est constituée de la valeur du remboursement R. Bien que celle-ci soit remboursée à terme, elle peut être vue comme un capital épargne à un taux correspondant à celui du marché

tel que:

ce qui correspond au capital actuel pour obtenir le remboursement R après les n périodes restantes.

Ainsi, le prix total d'une obligation à taux fixe, appelé aussi "prix obligataire de non-arbitrage" est:

c'est-à-dire la valeur actuelle des coupons futurs ainsi que la valeur actuelle du remboursement in fine. Cette relation à son importance en finance, il convient de s'en souvenir!! Dans le cadre ci-dessus, il faut savoir que le taux

est souvent appelé "taux actuariel au pair".

La valeur d'une obligation, au sens de son cours en Bourse, peut donc différer de sa valeur nominale fixée à l'émission si les taux d'intérêts changent sur le marché d'où l'intérêt de calculer sa valeur actuelle.

E1. Soit à calculer le prix actuel d'une obligation, ayant des coupons annuels de 450.-, avec un remboursement au pair dans 5 ans de 10'000.-.

La valeur actuelle pour un taux du marché compris entre 0% et 100% a la caractéristique suivante:

Figure: 66.5 - Valeur actuelle d'une obligation en fonction du taux du marché (rendement)

Ainsi, une propriété fondamentale du prix d'une obligation à taux fixe est qu'il s'agit d'une
fonction strictement décroissante du taux de rendement. Les financiers (et matématiciens) disent que la fonction est convexe: c'est-à-dire que lorsque les taux diminuent, le prix accélère à la hausse et inversement lorsque les taux augmentent, le prix décélère à la baisse.

Nous devinons également qu'à la vue de la relation du prix obligataire de non-arbitrage que les variations des prix des obligations augmentent avec la hausse de la maturité et avec la valeur des coupons.

E2. Aujourd'hui, nous achetons une obligation de maturité 3 ans, de montant principal 100.-, de taux de coupon 5% et de taux de rendement fixe 10%. Les flux perçus sont alors de 5, 5 et 105 au bout respectivement d'un an, deux ans et trois ans. Le prix de cette obligatione est alors égale à:

Que nous pouvons obtenir directement avec Microsoft Excel 14.0.6129 (version française) :

Évaluer une obligation revient donc à trouver ce qu'elle devrait valoir en principe dans les conditions actuelles du marché, donc son cours potentiel, par une opération mathématique dite "opération d'actualisation" déterminant sa valeur actuelle théorique. Il s'agit donc, comme nous le savons déjà, d'un calcul actuariel.

L'obligataire aura évidemment pour objectif de chercher le taux du marché qui permet de faire de son investissement une action rentable. Ainsi, nous définissons le " taux de rendement actuariel" (TRA) x comme étant l'intérêt du marché qui permet de satisfaire les relations suivantes, en fonction de la durée restante à courir n de l'obligation.

Le taux de rendement actuariel d'une obligation est donc le taux x qui annule la différence entre la valeur du prix d'émission E et la valeur actuelle des flux futurs qu'elle génère. Ce taux est calculé au jour du règlement et figure obligatoirement dans les brochures d'émission. Pour l'acheteur de l'obligation, le taux actuariel représente le taux de rentabilité qu'il obtiendrait en gardant l'obligation jusqu'à son remboursement et en réinvestissant les intérêts au même taux actuariel.

D1. Le "coupon échu" (C.E.) d'une obligation est payé à son propriétaire sous déduction de

d'impôts anticipés (IA étant l'abréviation de: Impôts Anticipés). Ainsi, le calcul du coupon net annuel d'obligations à X.- (valeur monétaire) à rendement de Y % est trivialement donné par :

D2. "L'intérêt couru" (I.C.) est le montant de l'intérêt qui s'est accumulé depuis la dernière date de paiement de l'intérêt, mais qui n'est pas encore dû. Il est gagné par une obligation depuis sa dernière échéance et est déterminé lors d'une vente ou d'un inventaire. Son calcul est trivialement donné par une application des règles de l'intérêt simple telle que:

où

est bien évidemment le nombre de jours compris entre la date de la dernière échéance et la date de jouissance (l'année commerciale étant définie comme ayant 360 jours).

D3. Par extension, si nous cherchons à calculer la valeur nette de X coupons à Y% dont la valeur nominale vaut Z avec un impôt anticipé de IA% , nous calculons le "coupon annuel net à l'échéance" (C.A.E.) par la relation triviale:

Contrairement au calcul de l'intérêt couru, le calcul du dividende couru est impossible. Le cours de l'action est toutefois influencé par la date plus ou moins proche du paiement du dividende.

Remarque: Indiquons que le marché sur lequel les émetteurs vendent leurs obligations (à neuf) par adjudication, par syndication, par placement direct à des invéstisseurs est appelé "marché primaire". Le marché sur lequel les investisseurs s'échangent entre eux des obligations (dont parfois les mêmes obligations sont proposées à des prix différents) déjà en circulation (marché de l'occasion) est appelé "marché secondaire".

Voici ci-dessous un exemple d'annone d'émission d'obligations par syndication sur Bloomberg:

equation

Sur le marché secondaire les obligations sont cotées en pourcentage de leur valeur nominale (donc quand elles sont cotées à 100% du nominal nous disons qu'elles sont "au pair") et le prix coté sur le marché est le prix "pied de coupon" ("clean price" en anglais ), pour obtenir le prix global ("dirty
price" en anglais ) de la transaction (achat ou vente) il faut ajouter le coupon couru.

BONS DE SOUSCRIPTION

Définition: Un "bon de souscription", également appelé "option de souscription" ou "stock-option", est un titre financier permettant (donc il n'y a pas obligation!) de souscrire pendant une période donnée, dans une proportion et a un prix fixé à l'avance (souvent une moyenne des cours de la Bourse avant l'émission des bons), à un autre titre financier sous-jacent (action, obligation, voire un autre bon...).

Le bon permet donc d'être intéressé à la hausse ou à la baisse d'une action sans avoir à y consacrer le même montant de capitaux qu'en achetant directement des actions. Ainsi, lors de l'acquisition, si le titre sous-jacent à une valeur plus élevée que sur le bon de souscription, l'acquéreur fera un bénéfice qui est appelé "plus-value d'acquisition". Ensuite, l'acquéreur qui possède maintenant les titres sous-jacents peut très bien vendre ceux-ci lorsque le prix est plus élevé que lorsqu'il en a fait l'acquisition et cela engendre alors un (pseudo) second bénéfice appelé "plus-value de cession".

Un bon de souscription peut être donc attaché à l'émission d'une action ou d'une obligation. Alors, selon les cas, nous parlons "d'actions à bons de souscription d'actions" (ABSA) ou "d'obligations à bons de souscription d'actions" (OBSA) mais également "d'obligations à bons de souscription d'obligations" (OBSO) ou "d'actions à bons de souscription d'obligations" (ABSO).

Dès l'émission de ces valeurs composées, le tout se scinde en parties: les actions ou les obligations redeviennent des titres classiques et les bons acquièrent une vie propre. Ils sont cotés séparément après l'émission.

Les "plans de souscription", plus connus sous le nom de "plan de stock-options", sont des paquets d'émission de bons de souscription (nominatifs) destinés aux employés méritant d'une entreprise et visent très souvent à renforcer l'association au développement entre cette même entreprise et ses salariés. Ainsi, ces derniers lors de l'acquisition des titres seront des actionnaires à part entière, recevant des dividendes et pouvant participer aux assemblées des actionnaires. Ce qui est censé accroître la motivation de l'employé (...). Cette motiviation se fait principalement par le fait que les options Call (voir plus loin) qui sont données aux employés seront très intéressantes à exercer si l'entreprise performe grâce à eux et que dès lors le prix du sous-jacent dépasse de loin le prix d'exercice du Call. Ainsi, les employés vont exercer leurs Call et revendre le sous-jacent en se faisant un bénéfice au passage (c'est une pratique courante dans les start-up américaines qui ont peu de ressources financières au début pour engager des spécialistes et qui font que certains employés - 10'000 dans le cas de Microsoft - sont devenus millionnaires après l'exercice des Call qu'ils possédaient).

Par ailleurs, les stock-options (données par l'entreprise), sont des actifs financiers sans risques puisqu'il n'y a aucune obligation de les appliquer et qu'ils ont été offerts... Précisons aussi que bon nombre d'entreprises annulent les bons de souscription des employés qui les quittent...

Le bon de la société X permet de souscrire à une action de cette société au prix de 500.- jusqu'au 30 avril 2004. Si l'action X dépasse le niveau de 525.-, le bon qui permet de se procurer une action à un coût inférieur au cours de Bourse se révèle un placement gagnant. Si l'action X vaut donc par exemple 525.- en avril 2004, le gain vaudra 25.-.

Remarque: Le développement de la liquidité sur les marchés d'actions et d'obligations a incité les établissements financiers à émettre des bons de souscription permettant de faire l'acquisition de titres financiers (sous-jacents) existants indépendamment des opérations financières de la société concernée. Sauf exception, ceux-ci ne concernent que les investisseurs et sont émis uniquement par les banques entre elles et ne permettent donc pas le financement d'entreprises (il s'agit donc de pure spéculation!). Ces bons (également cotés) sont fréquemment appelés "warrants" (Warrant Call ou Warrant Put) ou, plus précisément "covered warrants" (warrants couverts) car, dès l'émission, l'établissement financier se couvre en rachetant des titres sur le marché (les warrants sont basés sur le même principe que les options et utilisent à peu près les mêmes outils mathématiques).

D'un point de vue conceptuel, un bon est assimilable à une option d'achat (Call) vendue par une société sur des actions à émettre ou existantes (voir plus loin la définition détaillée de ce qu'est une option). Le prix d'exercice de cette option est le prix auquel le détenteur du bon peut acheter le titre financier correspondant et l'échéance de l'option est celle du bon.

Cependant, l'évaluation d'un bon présente quelques particularités par rapport à une option:

- Un bon a généralement une durée de vie longue (2 à 4 ans) et rend difficilement acceptable l'hypothèse de constance des taux d'intérêt utilisée par le modèle de Black & Scholes (voir la démonstration de ce modèle plus loin).

- Toute opération de l'entreprise émettrice qui modifie la valeur du titre sous-jacent affecte la valeur du bon. Effectivement, les entreprises ont le droit de réserve légal d'émettre un nouveau contrat pour les bons de souscription et d'en changer la valeur et la période de temps de validité!

- Si le titre sous-jacent est une obligation, son prix évoluant dans le temps et sachant que plus une obligation se rapproche de son échéance, plus sa valeur tend vers son prix de remboursement. Sa volatilité se réduit progressivement ce qui rend inapplicable le modèle de Black & Scholes qui postule la constance de la volatilité dans le temps!

Les opérateurs utilisent alors des modèles dérivés de Black & Scholes pour remédier à ces lacunes et évaluer le prix des bons de souscription.

CONTRATS À TERME

Définition: Un "contrat à terme", appelé "future" sur les marchés anglo-saxons (ou "forward" /"commodity forward" lorsqu'il s'agit de contrats non standardisés négociés hors des marchés organisés) est un contrat d'achat ou de vente d'un produit financier (sous-jacent), passé entre deux contreparties, dont toutes les caractéristiques sont fixées à l'avance: date de règlement, prix à terme, etc. Le prix conclu est appelé "prix à terme" ou aussi... "prix forward" ou encore "fair value" en anglais, et l'échange ainsi que le paiement se fera à ce prix obligatoirement quel que soit le prix courant du marché du sous-jacent (dit aussi "spot price") à la date de livraison (donc à maturité/terme)!

En 2003, il y aurait eu 2'848 millions de contrats à termes échagcés sur les marchés répartis respectivement en 2.06% pour les changes, 17.08% pour les matières premières (43.9% pour l'agro-alimentaire, 10% pour les métaux, 45.8% pour les carburants et 0.3% de divers), 25.48% pour les titres et obligations et 55.37% sur les taux d'intérêt.

Une différence majeure entre les futures et les forward est que les pertes et gains par rapport aux fluctuations du sous-jacent sont payés à la contrepartie au jour le jour pour les futures ("daily mark to market to margin" en anglais)!!! Ce qui veut dire que le gain ou la perte est déjà presque entièrement empochée/déboursée le jour de la date de réglement (ne reste qu'à régler la différence du dernier jour).

- Les "physical settlement" (règlement physique): le sous-jacent est effectivement échangé (ce qui est rare dans l'économie virtuelle mais devrait dans l'économie réelle être... une réalité).

- Les "cash settlement" (règlement numéraire): si le cours du sous-jacent est en-dessous du prix fixé, l'acheteur (du contrat à terme) se fournit sur le marché qu'il veut et verse la différence au vendeur et inversement.

Dans la pratique, les spéculateurs, appelés "gérants indiciels", pour lesquels la matière première représentant le sous-jacent n'est d'aucun intérêt, ont pour mission de repositionner leur portefeuille avant l'échance pour éviter la livraison physique. Cette procédure, appelée "roll-over", consiste à vendre le contrat que le gestionnaire détient en portefeuille et qui est en général le contrat d'échéance la plus proche pour acheter le contrat d'échaénce suivant. Le roll-over s'effectue normalement le dernier jour ou la dernière semaine du mois précédant le début de la période de livraison sur un critère de liquidité.

Un contrat à terme doit faire référence au rôle de chaque intervenant (acheteur ou vendeur), une référence officielle de marché (actions, indices, obligations, marché de changes, taux d'intérêt, etc.) dont le prix au temps t est noté

, la date future de référence notée T, le prix du contrat à terme K, le montant notionnel sur lequel porte la transaction du contrat à terme N (qui est donc la quantité mais qui mathématiquement est presque toujours ramenée à l'unité), les instructions de paiement (physical ou cash settlement).

L'intérêt des contrats à terme pour les intervenants est de figer des cours dans le futur: il s'agit dans ce cas d'une opération de couverture (hedging).

A l'échéance, le gain ou "pay-off" du contrat est dans les deux cas (que cela soit pour un forward ou un future):

Cette valeur correspond tout simplement aux pertes ou profits latents (nous inverserons le signe suivant que le trader est vendeur ou acheteur). Effectivement, cela peut se comprendre mieux en voyant la somme des cash-flows dans le tableau ci-dessous (cela aide aussi à comprendre pourquoi les pertes ou les gains sont journaliers et que cas de gains nous pouvons réinvestir ces derniers rapidement):

Un industriel suisse sait qu'il doit recevoir en euros une forte somme d'argent dans six mois. Pour se couvrir contre une baisse de l'euro, il achète un contrat de vente à terme, d'échéance six mois sur l'euro, en francs suisses (si les opérateurs financiers savent aussi que l'euro va baisser, le contrat de vente à terme aura un coût suffisamment élevé pour que l'achat du contrat ne soit pas intéressant). Notons que cette opération de couverture du risque de change peut lui être défavorable si dans six mois, le contrat cède moins que le taux de change.

Le pricing ("valorisation" en français....) des contrats de forward, dans le cadre d'une approche naïve, est assez simple si le rendement du sous-jacent est déterministe et le rendement géométrique moyen du marché comme souvent supposé connu.... Que nous soyons bien d'accord sur une chose...: le prix final d'un contrat forward ou de son équivalent future (du moins dans les conditions vues avant...) doit être constitué au final que de la prime de risque ("risk premium" en anglais) que va prendre sur lui le vendeur du contrat.

Commençons par le premier élément: il y a une première information nécessaire du point de vue du vendeur de contrats, il va déjà actualiser K (valeur à terme fixée du contrat) au rendement sans risque du marché pour savoir déjà la limite inférieure du prix qu'il va demander aujourd'hui pour avoir K le moment venu (si le vendeur ne le fait pas... d'autres vendeurs le feront et proposeront des prix plus intéressants à l'acheteur ou... l'acheteur s'en chargera lui-même). C'est-à-dire:

Et évidemment si la vente du contrat se fait un peu plus tard que sa date d'émission, nous avons:

Ce qui s'écrira dans le cas continu (et en adaptant la notation traditionnelle à celui du taux de rendement continu):

Donc il s'agit déjà de la limite inférieure à demander en tout temps t à un potentiel acheteur de contrat (en attendant la maturité cette somme d'argent sera placée dans un investissement considéré donc sans risque). Cependant, ceci n'est pas la prime de risque et donc à proprement parler le prix du contrat dans le sens où nous l'entendons d'habitude. Effectivement, le vendeur du contrat va devoir acheter le sous-jacent à terme. Si par exemple la vente du contrat se fait juste à son émission (donc un temps T avant la maturité), alors nous avons le prix actualisé de la valeur supposée (projetée) de ce sous-jacent à maturité sachant qu'il aura lui même un rendement intrinsèque (que le vendeur prendra dans le pire des cas: c'est-à-dire un rendement positif) que nous noterons y (le "spot-rate") et dans une cadre non stochastique nous pouvons faire ce calcul que sur la base de quelque chose de connu qui est le prix spot du sous-jacent:

Nous avons alors le pay-off actualisé du contrat à terme correspondant donc à la prime de risque qui est donné en tout temps sous les hypothèses que sous-tendent les relations ci-dessus par la différence (sous l'hypothèse que le sous-jacent sera d'un niveau supérieur au prix d'exercice et donc la différence est ainsi positive):

ce qui s'écrit par tradition dans le but de faire intervenir le prix du future à chaque jour t:

Il est intéressant de remarquer que y se soustrait au rendement sans risque et dès lors diminue le prix du contrat. Cela est valable si être en possession du sous-jacent nous fait gagner de l'argent mais si par contre cela nous en fait perdre (par exemple le stockage peut coûter très cher), alors y sera négatif et fera monter le prix du contrat forward (le marché est alors en "contango": le prix d'un forward ou d'un future s'échange à un prix supérieur au prix spot dans le contraire il est en "backwardation").

Si le sous-jacent verse des dividendes, alors évidemment la valeur ci-dessus est surestimée. Nous aurons logiquement les dividendes à actualiser et à soustraire tel que la valeur du future est à maturité:

Un client souhaite nous acheter dans 6 mois des dollars avec des euros (ou en d'autres termes il paie dans 6 mois en euros une machine qu'il a acheté aujourd'hui et nous, nous travaillons en dollars). Nous souhaitons alors nous protéger déjà maintenant contre les variations à la hausse du dollar (car si le dollar monte nous perdons alors in extenso de l'argent puisque l'euro vaut alors alors moins pour un 1.- $). Cependant, il existe sur le marché à disposition uniquement des contrats à terme émis il y a déjà 6 mois avec maturité de 12 mois. Sachant que le rendement sans risque du marché est de 3% (en taux continu constant...), que le taux du dollar est supposé au pire de +1.5% (en taux continu constant...) et que nous souhaitons savoir le prix du contrat à l'unité de numéraire et que les contrats d'il y a 6 mois avec maturité dans 6 mois avaient un prix d'exercice pour 1.00.- € de1.50.- $ et qu'aujourd'hui le coût de 1.00.- € est de 1.60.- $, la prime de risque que nous allons devoir payer est alors de:

dollars par unité de numéraire en euros désiré (donc nous payons 11% en tant que prime de risque ce qui est une valeur typique de ce qui se pratique empiriquement sur les marchées: ajouté de 5% à 15%). Cela paraître beaucoup mais cela limite notre risque et le transfère sur le vendeur du contrat. Par ailleurs, avant de vendre la machine nous pourrions tout à fait d'abord voir les primes des contrats à termes et adapter le prix de la machine en conséquence.

soit 1.612 $ pour 1.00.- € (ce qui correspond bien au résultat renvoyé par le package GUIDE de R). Donc nous ne pourrons pas obtenir évidemment 1.50.- $ pour 1.00.- € cette différence s'expliquant par la prise de risque du vendeur du future.

Donc le prix total au final future est de 1.612.- $ + 0.11.- $ alors que le prix spot est de 1.60$. La différence, en omettant la prime de risque, de -0.012$ est appelée la "base" ("basis" en anglais ou aussi "cost of carry") et elle indique à un acheteur de future que les acteurs du marché projettent une hausse si la base est négative ("under" en anglais) et une baisse si elle positive ("over" en anglais).

Nous n'étudierons pas plus la mathématique des opérations et de la détermination des prix ("pricing") des contrats à terme (futures) avec rendement stochastiques maintenant car comme ils ne sont qu'un cas particulier des options que nous verrons plus tard il serait redondant de présenter deux fois tous les théorèmes alors qu'il n'y a qu'une petite modification à faire par exemple dans le modèle de Black & Scholes pour obtenir l'un à partir de l'autre.

Effectivement, comme nous allons le voir une option est un produit dérivé optionel qui ne donne pas forcément lieu à une exécution de part son caractère optionel par rapport à un contrat a terme ferme (futur, forward...) ou l'exécution est fixée à l'avance.

Une entreprise va préférer des futures à des options si son but est de connaître ses coûts à l'avance alors qu'elle est certaine à 100% de consommer le sous-jacent. Alors que l''achat d'une option qui demande le paiement d'une prime de risque génère alors un coût d'opportunité. Dans le cas où l'entreprise n'est pas sûr de consommer le sous-jacent, elle devra préférer l'option qui peut être exécutée ou pas, ce qui fait que le management se réserve un bon résultat quoi qui ce passe mais alors paient la prime de risque de l'option.

Étudions maintenant un cas intéressant de couverture du risque de la variation des prix des matières premières. Imaginons pour cela qu'une entreprise à besoin d'acheter pour une somme totale S une matière première mais pour laquelle il n'existe malheureusement pas de contrats à terme (et aucun partenaire n'accepte de la faire gré à gré). Cette entreprise souhaite se protéger contre une variation haussière du prix de la matière première qui l'intéresse et alors deux stratégies s'offre à elle:

S1. Trouver des contrats à terme d'une commodity positivement corrélée à la matière première intéréssée. Dès lors, en espérant que la commodity réplique bien le comportement de la matière première d'intérêt et que si son prix augmente alors l'autre augmentera très probablement aussi (si possible dans les mêmes proportions).... et l'idée est d'avoir une position d'acheteur de contrats à terme afin d'acheter la commidity à une valeur inférieure à celle des prix du marché et espérer trouver quelqu'un afin de la revendre aux plus pressants et utiliser la différence du gain pour acheter la matière première qui nous intéresse en subissant une minimum de pertes (voir même une perte nul ou même un gain!).

S2. Trouver des contrats à terme d'une commodity négativement corrélée à la matière première intéréssée. Dès lors, en espérant que la commodity réplique bien de façon inverse le comportement de la matière première d'intérêt et que si son prix diminue alors l'autre augmentera très probablement aussi (si possible dans les mêmes proportions).... et l'idée est d'avoir une position de vendeurs de contrats à terme afin de vendre la commidity à une valeur supérieure à celle des prix du marché et utiliser la différence du gain pour acheter la matière première qui nous intéresse en subissant une minimum de pertes (voir même une perte nul ou même un gain!).

Mathématiquement la stratégie consiste donc à écrire dans les deux cas (nous verrons plus loin quel signe correspond à quelle stratégie):

où

est donc la variation du prix de la matière première d'intérêt sur le marché et

le gain des contrats à termes qui repliquent positivement ou négativement (suivant la stratégie S1 ou S2) l'augmentation du prix de S. Nous avons

qui est la différence de la bonne ou mauvaise réplication et qui idéalement doit tendre vers zéro. Une autre manière plus conforme de voir les choses relativement aux informations disponsibles du marché est de prendre la variance de cette dernière relation:

et de chercher la valeur de N qui minimise la variance de

en fonction de la corrélation des deux commodities et de leur volatilité. Nous avons alors en dérivant par rapport à N:

Ce qui donne en utilisant la relation entre la covariance et le coefficient de corrélation linéaire démontré dans le chapitre de Statistiques:

Comme les écart-types sont positifs et que N doit obligatoirement être positif (et arrondi à l'entier le le plus proche pour avoir une solution physique réaliste), il va de soi que le coefficient de corrélation doit toujours être de signe inverse au type de stratégie choisie. Raison pour laquelle finalement on a pour tradition (car cela revient toujours au même) de prendre que le signe positif tel que:

et de prendre toujours la coefficient de corrélation comme étant toujours positif. Donc N* est le nombre de contrats à terme qui quelle que soit la stratégie, minimisera la variance totale.

Figure: 66.6 - Matrice de corrélations pour des devises diverses dans Bloomberg

Il est cependant d'usage de ramener cette expression telle que nous ayons non pas les variance de la variation des prix, mais de la variation des taux. Ainsi, comme nous avons:

La variance de V devient alors en utilisant cet optimum (nous reprenons le double signe qui va à nouveau nous être utile):

Bien évidemment, le seul signe qui a ici un intérêt physique est le signe "-" qui va diminuer la variance globale (puisque c'est l'intérêt des deux stratégies). Nous avons alors:

Considérons qu'une compagnie d'aviation à besoin de 10'000 tonnes de carburant (dont le prix actuel est de 277.-/tonne) pour son parc de d'avions dans 3 mois et qu'elle souhaite se prémunir contre une éventuelle augmentation des cours de cette matière première transformée et qu'il n'existe pas de contrats à terme directement pour ce carburant.. L'entreprise souhaite alors se couvrir du risque en utilisant une autre commodity précise pour laquelle il existe des contrats à terme dont la quantité sous-jacente est de 42'000 tonnes (à 0.6903.-/tonne). Nous souhaiterions calculer la diminuation de la variance du carburant en ayant un position d'achat de contrats à terme (donc nous faisons un pari à la baisse pour la commodity répliquante) sachant que la variance à trois mois du carburant est estimée à 21.17% et celle de la commity répliquante de 18.59% sur évidemment la même période et que leur corrélation est en valeur absolue de 0.8242.

Donc la couverture par des contrats à terme permet de réduire la volatilité numéraire d'environ 43.38%.

est appliquée non pas avec un numérateur correspondant à une matière première mais à un portefeuille d'actions, cette technique est appelée "couverture de portefeuille d'actions par réplication" (en anglais: "hedging equity portfolio") et est alors plutôt notée sous la forme suivante:

où le V signifie "valeur" (aucune rapport avec la notation de la variance!). Ou encore sous la forme suivante (P étant la faveleur du portefeuille et F celle des Futures):

Un trader possède un portefeuille de 2'000'000.- actions d'IBM. Il souhetait se couvrir contre le risque en pensant que le marché sera à la baisse sur l'indice S&P 500 et vend ("short") alors des futures pour un montant de 225'000.- et que le bêta de correlation entre IBM et S&P 500 est de 1.1. Le nombre de contrats à vendre est alors de (ainsi si le portefeuille baisse avec la même amplitude que l'indice S&P le trader ne perdra ni ne gagnera quoi que ce soit):

Si le trader a fait l'acquisition de futures pour se protéger de la baisse qu'il préssentait (pari à la baisse et donc stratégie "short" pour rappel...) alors si les actions IBM perdaient 10% mais que l'indice S&P perdait plus que ce que dit le bêta comme par exemple 15%, alors bien que le portefeuille IBM ait perdu 200'000.- de sa valeur, le fait que le S&P 500 ait perdu 15% grâce aux futures, le trader aura fait un gain indirect de:

Donc un gain finalement pour le trader de 137'500.- (comme quoi parier à la baisse cela a du bon parfois).

OPTIONS

Les options sont des "actifs conditionnels" ("contingent claim"), c'est-à-dire une forme particulière d'un titre (contrat), donnant à son détenteur contre le paiement d'une somme d'argent le droit, et non l'obligation d'acheter ou de vendre une certaine quantité d'un actif financier (action ou obligation), à ou jusqu'à une date (échéance ou maturité) et à un prix fixé d'avance.

Il s'agit principalement d'un produit dérivé permettant de se couvrir des risques de variations des marchés. Par exemple, si Airbus vend un avion en dollars mais produit dans la zone euro. Le prix de vente est fixé aujourd'hui, mais la vente est réalisée à la livraison! Airbus doit alors se protéger contre le risque du taux de change (qui peut parfois être de 100% en quelques années seulement). En général, les entreprises se protègent de ces risques en achetant auprès des banques des produits dérivés comme des options.

En 2003 il y aurait eu 5'210 millions d'options échangées sur les marchés réparties respectivement en 0.98% pour les matières premières, 0.28% pour les changes, 5.80% pour les taux d'intérêt et 92.94% sur les titres et obligations.

D1. Une "option" est un produit dérivé qui donne le droit, et non l'obligation, d'acheter ("option d'achat", appelée aussi "Call") ou de vendre ("option de vente", appelée aussi "Put") une quantité donnée d'un actif sous-jacent S (action, obligation, indice boursier, devise, matière première, autre produit dérivé, etc.) à un prix fixé d'avance appelé "strike" K ou "prix d'exercice" E et durant (jusqu'à) un certain temps appelé "échéance" ou "maturité" T en échange d'une "prime" dépendante (C pour les Call ou P pour les Put) de la valeur intrinsèque à la maturité de l'option appelée "flux" ou plus souvent "pay off terminal" (et par certains "cible stochastique"). La détermination de la prime avec des modèles mathématiques est ce que nous appelons le "pricing" de l'option ("valorisation" en français...). Une option est donc une sorte de "contrat d'assurance" permettant de se prémunir contre les variations des coûts en transférant le risque sur une personne prête à vendre l'option contre une prime de risque... par ailleurs souvent appelée "prime d'assurance".

D2. Nous parlons de "cours spot" ou plus simplement "spot" pour désigner le cours en vigueur de l'actif sous-jacent S lors d'une transaction immédiate de l'option (Call ou Put). Si le sous-jacent consiste en un taux de change de devises, nous parlons alors de "cours du cross" ou plus simplement "cross".

D3. Nous parlons de "cours forward" ou plus simplement "forward" pour désigner le cours qui sera en vigueur de l'actif sous-jacent S lors d'une transaction à maturité de l'option (Call ou Put). Nous retombons alors sur la définition d'un contrat à terme telle que vue plus haut.

D4. Si la valeur intrinsèque d'une option est positive par rapport au spot, elle est dite "dans la monnaie". Dans le cas de l'achat d'un Call, cela signifie que le prix d'exercice est inférieur au cours spot. Il est donc possible dès lors d'acheter moins cher que le cours du moment à la date d'exécution de l'option (qui est une date comprise entre la date d'émission et de maturité de l'option pour rappel).

D5. Si la valeur intrinsèque d'une option n'est pas avantageuse par rapport au spot, elle est dite "en dehors de la monnaie". Dans ce cas, le prix d'exercice est supérieur au cours du spot pour un Call par exemple. Il ne serait dès lors pas judicieux d'exercer ce Call à la date d'échéance (ni avant non plus), car cela reviendrait à acheter plus cher que le cours spot à cette date!

D6. Si la valeur intrinsèque à ce jour du sous-jacent est égale à son cours du spot à maturité, la valeur intrinsèque est nulle et la valeur de l'option est dite "à la monnaie" (nous verrons plus loin les implications mathématiques de cela).

Il y a donc une différence mathématique d'une énorme importance entre les options et les actions/obligations. Effectivement, les options ayant une date d'exercice fixée, leur dynamique de prix peut être statistiquement prédictible et ceci d'autant mieux lorsque nous sommes proche de leur date d'exercice et ceci n'est pas applicable pour les actions/obligations car on ne sait jamais au niveau stratégique quand elles seront vendues ou respectivement achetées.

Alors que les modèles théoriques naïfs de valorisation des options (comme celui de Black & Scholes) supposent une volatilité constante qu'elle que soit le prix du sous-jacent dans la réalité le représentation graphique du prix d'une option en fonction de son sous-jacent n'est pas une droite horizontale mais une courbe qu'il est d'usage d'appeler le "smile de volatilité".

Remarques:

R1. L'utilité de l'existence des options peut être vue comme la création d'actifs (dérivées) financiers permettant d'accroître la volatilité (écart-type ou "loss/gain deviation") du marché et ainsi son équilibre.

R2. Pour des raisons évidentes, le détenteur ou acheteur d'un contrat d'option est dit être en position longue alors que sa contrepartie, l'émetteur ou vendeur du contrat, est en position courte.

R3. Si l'option peut être exercée à n'importe quel instant précédant l'échéance, nous parlons "d'option américaine", si l'option ne peut être exercée qu'à l'échéance, nous parlons "d'option européenne". Une option non exercée est considérée comme "abandonnée" (perdue). Ces deux familles d'options dans leur version Call/Put sont en pratique regroupées sous le terme "d'options vanilles" ("plain vanilla options" en anglais) car ce sont les plus courantes (comme les glaces à la vanille... qui sont tout sauf exotiques...)

R4. Parallèlement aux options classiques, apparaissent depuis les années 1990, sur les marchés des options dites "options exotiques" caractérisées parfois par le nom du lieu où elles ont été créées et la manière de calculer leur prix d'exercice à l'échéance (donc il existe au plus autant de modèles mathématiques qu'il y a de types d'options....) comme les "options asiatiques" dont le prix d'exercice est fonction de la moyenne des cours du sous-jacent durant la durée de vie de l'option, ou les "options parisiennes" qui peuvent être annulées ou activées si le cours reste dans une certaine zone plus d'un certain temps donné, les "options russes" qui sont des options américaines perpétuelles qui garantissent de toucher le maximum observé entre 0 et la date d'exercice, les "options binaires/digitales" qui donnent le droit à montant fixé à l'avance si le sous-jacent dépasse à maturité le prix d'exercice (donc outil à usage totalement spéculatif), les "options lookback" qui donnent le droit à échéance à la différence entre la valeur du cours à maturité et la valeur du minimum, ou du maximum pendant la durée de vie de l'option, les "options sur quantile" qui sont un rafinement des options lookback car la règle du jeu est basée sur un quantile et non sur le max ou min, les "options à barrière (knock out, knock in)" dont l'exercice est autorisé que si le cours du sous-jacent franchis ou ne franchis pas un certain seuil, les "options quanto" qui sont sur des sous-jacents étrangers, mais payés dans la devise locale (il faut alors prendre en compte le taux de change), les "options cliquet" qui permetttent à l'acheteur de bloquer ses gains réalisés sur le sous-jacent au cours d'intervalles déterminées pendant la durée de l'option, les "options doubles" qui permettent à l'acheteur de choisir à une certaine date avant l'échéance si l'option sera une option d'achat ou de vente (purement spéculatif aussi), les options sur options ("compounds" et "choosers" en anglais), etc.

R5. Comme nous le démontrerons plus loin, certaines options dites "options non-path-dependant" (O.N.P.D.) ont leur prix qui dépend (entre autres...) que du prix final à maturité du sous-jacent K, alors que d'autres options dites "options path-dependante" (O.P.D.) ont leur prix qui dépend de toutes les valeurs prises par le sous-jacent pendant la durée du contrat d'option.

Formalisons un peu plus les choses quand même... mais sans aller trop dans les détails dans un premier temmps(nous nous les gardons pour l'étude du modèle de Black & Scholes plus loin qui consiste à déterminer le montant de la prime selon certaines hypothèses). Ne considérons pour simplifier que des options portant sur un seul sous-jacent ne versant pas de dividendes.

Nous noterons

le prix (cours/taux de change) de l'actif sous-jacent de l'option au temps t et de maturité T et ferons abstraction de la différence de notation entre Puts et Calls continentaux (américains et européens).

Imaginons donc un Call, qui donne à son détenteur le droit (mais non l'obligation) d'acheter l'actif sous-jacent à tout moment entre aujourd'hui

au prix d'exercice K fixé à l'avance. Prenons le cas pratique courant d'une option d'achat (Call) qui protège une entreprise par exemple contre la hausse du taux de change euro/dollar. Acquise aujourd'hui par l'entreprise, elle va lui conférer donc le droit (mais pas l'obligation) d'acheter 1 dollar en échange de K euros (le prix d'exercice ou strike K est une caractéristique fixe du contrat) à la date future T fixée (date de maturité).

Si le taux de change en question vaut

à la date t (c.-à-d. 1 dollar =

euros), cette assurance revient du point de vue de l'entreprise à percevoir un montant (pay-off d'un Call du point de vue l'acheteur):

euros à la maturité T et noté traditionnellement

. À tout temps, deux cas se produisent dès lors pour notre acheteur du Call:

: dans ce cas, le Call donne le droit d'acheter au prix K le sous-jacent que nous pourrions acheter moins cher sur le marché. Dans le cas de notre Call pour le change dollar/euro nous aurons donc plutôt intérêt à faire le change au taux du marché plutôt que d'exercer notre Call puisque sinon nous aurons moins d'euros pour un même dollar (c'est pour cela que le Call a une valeur nulle dans cette situatio à maturité). Mais nous perdrons la somme déboursée (la prime) d'achat des Call.

: le Call permet d'acheter le sous-jacent moins cher que sur le marché. Nous exercerons donc très probablement le droit (le profit étant la différence entre ces deux prix). Dans le cas de notre Call pour le change dollar/euro nous exercerons notre droit au taux plus avantageux garanti par le contrat d'option (1 dollar = K euros) avec un gain noté traditionnellement:

Du point de vue de la contrepartie (vendeur du Call), dans le cas (1) elle ne verse rien à l'acheteur, et tout est oublié (le contrat expire; tout lien contractuel entre les deux parties disparaît). Dans le cas (2), le vendeur est assigné, il doit vendre à sa contrepartie l'action aux prix K. S'il ne détient pas cette action, il doit d'abord l'acheter sur le marché plus cher (au prix

). Dans les deux cas la contrepartie a encaissée par contre la prime par unité de Call.

Ainsi, dans le premier cas, l'acheteur et le vendeur ne reçoivent ni ne doivent rien. Dans le deuxième cas, tout se passe comme si l'acheteur de Call achetait l'action sur le marché et recevait au même moment la somme

(pour le vendeur c'est bien évidemment l'inverse). Donc avec ces produits dérivés c'est le vendeur du Call (ou du Put) qui endosse presque tout le risque du marché et évidemment l'intérêt est grand de neutraliser ce risque en utilisant un formalisme mathématique (le modèle de Black & Scholes).

Voyons un exemple maintenant du point de vue de l'investissement (la prise de risque est flagrante dans cet exemple):

Imaginons le cas d'une action valant actuellement 1'000.- (peu importe la devise) et qu'elle soit supposée augmenter de 12% en une année.

Imaginons aussi qu'un investisseur ait l'alternative d'acheter l'action à 1'000.- ou d'acheter l'option Call à un prix d'exercice de 1'000.- (donc supposé égal au prix de l'action, ce qui n'est pas nécessairement toujours le cas) pour une prime de 40.- (nous verrons plus tard comment calculer les primes). Évidemment, l'investisseur peut alors pour 1'000.- acheter 25 options Call plutôt qu'une seule action.

La question est de trouver l'investissement le plus intéressant: Ainsi, une augmentation de 120.- dans le cas de l'achat d'une action représente un retour sur investissement de 12% par année, alors que l'achat d'une option Call aura un retour sur investissement de 80.- (120.- de gains sur le prix de vente moins 40.- de la prime payée) soit de 200%.

Il apparaît clairement dans cet exemple que la rentabilité d'achat d'un Call à même investissement est nettement supérieure à l'achat de l'action tant que la prime d'option ne dépasse pas un certain seuil.

Maintenant abordons de manière détaillée et par l'exemple un autre concept que nous avons déjà implicitement présenté dans les paragraphes précédents et qui nécessite toute notre attention, car il en est souvent fait mention par les analystes. Il s'agit de "l'effet de levier" des options qui est une arme à double tranchant, une arme atomique de destruction massive de portefeuille (si le levien n'est pas calculé à l'avance et ce même approximativement).

Lorsque nous évoquons les options, nous ne retenons souvent que le droit d'acheter ou de vendre un bien ou un instrument financier (à un prix fixé d'avance et durant un certain temps), en négligeant l'obligation correspondante du vendeur de l'option. Or, l'effet de levier qui caractérise ces instruments financiers peut rendre cette obligation dévastatrice pour le vendeur.

L'acheteur d'un Call sur une action (par exemple) limite son risque à la prime de l'option pour un gain potentiel illimité. Le vendeur du Call se trouve dans la position exactement inverse: il encaisse la prime de l'option, mais prend un risque illimité.

Prenons une action X cotée 350.- à la mi-octobre. Un investisseur parie sur la hausse du titre et achète 12.50.- (la "prime") une option Call à échéance janvier de l'année suivante au prix d'exercice de 380.-. Une représentation graphique permet de mettre aisément en relation l'évolution du titre (en abscisse) et son effet sur l'acheteur ou vendeur du Call.

Tant que le cours de l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), prix d'exercice, l'acheteur du Call n'aura aucun intérêt à exercer son option, qui est dite "out of the money" (O.T.M.). Par contre, si le cours de l'action progresse et dépasse le prix d'exercice, l'option est dite alors "in the money" (I.T.M.) et il devient intéressant d'exercer l'option. Lorsque le prix d'exercice de l'option est égal au prix du sous-jacent en Bourse, nous disons que l'option est "at the money" (A.T.M.). Dès que le cours de l'action dépasse 392.50.-, soit l'addition du prix d'exercice et de la prime de l'option à la mi-octobre (380+12.50), le détenteur du Call commence à gagner de l'argent sur son investissement initial. Si le cours du titre monte tout à coup à 500.-, soit une augmentation d'un peu plus de 30%, le gain sera beaucoup plus que proportionnel: pour 12.50.- investis, l'acheteur réalisera un bénéfice de 107.50.- soit un gain de 860%: c'est le fameux "effet de levier".

Nous pouvons constater ci-dessus que le pay-off d'un Call du point de vue de l'acheteur est une fonction convexe (cf. chapitre Analyse Fonctionnelle).

Tant que l'action reste en dessous de 380.- ("valeur de levier"), le vendeur du Call fait un bénéfice de 12.50.-, représentant la prime de l'option. À partir de 380.-, le vendeur risque d'être obligé de livrer l'action au prix d'exercice, soit 380.-. À partir de 392.50.-, il commence à perdre de l'argent sur l'opération, puisque l'action qu'il devra sans aucun doute livrer vaudra plus chère que l'addition du prix d'exercice et de la prime encaissée. Si pour son malheur le titre monte effectivement à 500.- et qu'il ne le possède pas, il lui faudra aller le racheter en Bourse pour honorer la demande d'exercice du détenteur du Call, en perdant 107.50.- sur l'opération, soit plus de huit fois la prime encaissée au départ!!!!! Avec l'effet de levier, il est donc possible de perdre beaucoup plus que la prime encaisée. Nous disons alors que nous sommes en situation "d'appel de marge".

Nous pouvons constater ci-dessus que le pay-off d'un Call du point de vue du vendeur est une fonction concave (cf. chapitre Analyse Fonctionnelle).

Ainsi, si le prix du sous-jacent augmente de 3.29%, le vendeur du Call perd 100%. Nous parlons alors d'un lever de 3.29 pour 100 ou plus simplement d'un levier correspondant au rappot 100/3.29 soit un levier d'environ 30.39 (il est en de même évidemment pour le gain!).

L'acheteur d'un Put limite son risque au coût de la prime de l'option pour un gain potentiel beaucoup plus important. En face de lui, le vendeur du Put se trouve dans la position exactement inverse: il encaisse la prime de l'option mais prend un risque beaucoup plus grand. Si nous prenons la même action X cotée à 350.- à la mi-octobre, nous nous trouvons cette fois avec un investisseur qui parie sur la baisse du cours de l'action. Il achète donc pour 49.50.- (la "prime") un Put d'échéance décembre au prix d'exercice de 390.-.

L'acheteur du Put commence à réaliser un profit si le prix de l'action tombe en-dessous de 340.50.-, soit le prix d'exercice moins le prix de l'option (390-49.50). Entre 340.50.- et 390.- l'exercice n'est pas profitable mais permet de diminuer la perte. Au-dessus du prix at-the-money (390.-) l'exercice du Put n'offre vraiment plus aucun intérêt et nous disons alors que l'option Put est out of the money (O.T.M.).

Le vendeur du Put encaisse d'abord la prime de l'option soit 49.50.-. Tant que le cours se maintient au-dessus de 390.-. il est gagnant. Si le cours de l'option se situe entre 340.50.- et 390.- il perd un peu de sa prime mais reste gagnant. En-dessous de 340.50 le vendeur du Put sera obligé au moment de l'échéance de verser 390.- à l'acheteur du Put (en vendant le sous-jacent et en versant la différence d'une manière ou d'une autre). Bien évidemment si le prix du sous-jacent tombe à zéro, le vendeur du Put peut ainsi perdre jusqu'à 340.50.- de fonds propres.

Au niveau du vocabulaire voici un excellent schéma récapitulatif (en haut acheteur de Call, en bas achateur de Put) en sachant que la "moneyness" est par définition le rapport entre le prix du sous-jacent S et le strike K:

Figure: 66.11 - Vocabulaire de base d'une situation du porift option par rapport à son sous-jacent
(source: Fast Calibration in the Heston Model, BAUER Rudolf, p. 14)

Si nous réfléchissons un petit moment, une stratégie possible est d'acheter des Put et des Call du même sous-jacent avec le même strike et la même date d'expiration (échéance). Ce type de stratégie s'appelle un "straddle" ou "straddle purchase" ou encore "bottom straddle" (nous reviendrons sur ce type de stratégies dans partie qui y sera entièrement dédiée plus tard).

Ainsi, si le cours du sous-jacent est proche du strike K à la date d'expiration T alors le straddle engendre une perte nette (car nous n'utiliserons ni le Put, ni le Call et nous aurons perdu la somme équivalant à la prime des options). En revanche, si le cours du sous-jacent est assez loin du strike à l'échéance le profit peut être très important.

C'est de la pure spéculation des banques d'affaires et cela devrait être objectivement interdit mais voyons en quand même le principe via un exemple...

Considérons qu'un sous-jacent qui vaut actuellement 69.- va décaler violemment dans les trois mois qui viennent. Nous pouvons mettre en place une stratégie straddle en achetant à la fois un Call et un Put de strike 70.- et de maturité 3 mois. Supposons que le Call coûte 4.- et le Put 3.-.

Dans le cas où à échéance, la valeur du sous-jacent est celle du strike K, pour le spéculateur c'est la pire situation car il aura perdu la somme des deux primes, soit 7.- car il n'avait n'a aucun intérêt à exercer le Call en utilisant son Put (puisque la différence est nulle entre les deux).

Si le cours du sous-jacent reste à 69.-, nous perdons 6.- car le Call ne vaut plus rien à maturité (du moins comme il fait perdre de l'argent il serait peu judicieux pour un pur spéculateur de l'exercer) et le Put ne vaut plus que 1.- (car on va pouvoir vendre à 70.- quelque chose qui en vaut 69.- et cela fera un petit gain de 1.-). Donc:

Si le cours du sous-jacent monte à 90.- (ou descend à 50.-), nous réaliserons un profit de 13.- grâce au Put car:

Il faut espérer pour le spéculateur qu'il pariera correctement sur une forte variation ignorée de la majeure partie des acteurs du marché, sinon quoi les primes d'options seront suffisamment élevées pour que son gain soit dès lors quand même nul.... Graphiquement le stratégie Straddle est souvent représentée sous la forme suivante (l'axe verticle est le gain, l'axe horizontal est le prix du sous-jacent):

Nous pouvons résumer ces quelques propriétés sous la forme du tableau suivant:

FONDS DE PLACEMENT

Définition: Un "fonds de placement" est un véhicule d'investissement (portefeuille de titres, d'actions ou d'obligations par exemple) que les établissements financiers proposent à leurs clients.

Bien qu'un fonds de placement réunisse divers actifs financiers, les clients peuvent acheter les parts émises à une faible valeur par rapport à l'achat d'actifs individuels. Chaque part contient théoriquement une proportion de chacun des actifs se trouvant dans le fonds de placement. Elles garantissent un droit de participation à la fortune globale du fonds sans toutefois donner de droit sur les sociétés inclues dans le fonds.

Un fonds de placement peut investir les montants de diverses manières dont les plus communément pratiquées sont les papiers-valeurs (actions, obligations), papiers monétaires, valeurs immobilières, régions (pays, continents), secteurs d'activité ou encore selon des objectifs personnels. Il existe en ce début de 21ème siècle à peu près 30'000 fonds de placement à travers le monde.

Les fonds de placement rendent souvent service aux petits portefeuilles: avec des montants relativement modestes, il est possible de bénéficier d'une bonne répartition des risques et aussi de prix de gros accordés sur les transactions effectuées par les gestionnaires de fonds.

RETOURS ET TAUX D'INVESTISSEMENTS

Pour définir l'objectif poursuivi par le possesseur d'actifs financiers, nous nous référerons à la motivation économique de tout acte d'investir. Celle-ci consiste concrètement à consentir présentement à une dépense, en vue d'un accroissement de patrimoine espéré dans le futur.

De deux ou plusieurs stratégies d'investissements, la meilleure au niveau individuel est celle qui maximise le capital final de l'investisseur.

Il existe alors différents types de retour sur investissements suivant l'objet d'étude. Ainsi, nous différencions en finance (avant d'en voir les détails):

1. Les retours d'actifs financiers sur un horizon économique (return on investment) et leurs taux de rendement respectifs (rate of return).

2. Les retours sur des investissements en comparaison à un taux géométrique moyen du marché et la limite du taux de rentabilité correspondante (internal rate of return).

Ensuite, il faut considérer d'autres approches de taux de rentabilité. Outre les deux mentionnés ci-dessus les deux autres grands classiques sont (avant d'en voir les détails):

1. Le taux de retour pondéré par les capitaux investis (M.W.R.R.) qui a l'avantage par rapport au taux de rendement interne de prendre en compte les investissements faits en dehors des périodes temporelles classiques.

2. Le taux de retour pondéré dans le temps (T.W.R.R.) qui est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables.

RETURN ON INVESTMENt

En pratique, nous définirons l'objectif de l'investisseur comme consistant à maximiser l'accroissement de sa fortune initiale, quelles que soient les modalités de cet accroissement. Cet accroissement appelé donc en anglais "return on investment" (R.O.I.) ou, plus brièvement, "return" est défini par la relation (logique) dans le cadre de la gestion d'actifs par:

où

est donc le return de l'actif financier pour la période (se terminant au temps) t,

le prix du marché au temps t de l'actif financier et

le revenu liquide attaché à la détention de l'actif financier durant la période (se terminant au temps) t.

Le revenu

est supposé perçu au temps t, ou, s'il est perçu entre

et t, il est supposé ne pas être réinvesti avant le temps t. Le prix de marché P au temps

est une valeur "ex-coupon" c'est-à-dire une valeur enregistrée immédiatement après (le détachement du coupon donnant droit à) la perception, au temps

, du revenu liquide afférant à la période

. Sur le plan empirique, l'hypothèse de non-réinvestissement jusqu'à la période élémentaire de temps utilisée est courte (un mois maximum), afin d'éviter des distorsions statistiques trop importantes dans le traitement des données chronologiques.

Pour faciliter les comparaisons entre investissements, nous utilisons une mesure exprimée en termes relatifs le "taux de rentabilité" ou "rate of return" défini assez logiquement par:

Nous reviendrons lors de notre étude du modèle mathématique d'évaluation des actifs financiers sur ces outils.

INTERNAL RATE OF RETURN

La mise en oeuvre d'un capital financier pour permettre la réalisation d'opérations d'économie réelle (c'est-à-dire le fait de consacrer, directement ou indirectement, ce capital financier à l'acquisition ou à la constitution de moyens de production, au sens le plus large de ce terme) peut donc produire à travers le temps des retours d'argent sous la forme de flux nets de liquidités appelés "flux net de trésorerie" (F.N.T.) ou encore "cash-flows" (C.F.) (cela fait toujours mieux en anglais....).

Le calcul actuariel permet de construire formellement un critère de décision. En effet, nous définissons (logiquement mais sans toutefois être complètement réaliste) la prise de risque par le "goodwill" celui-ci étant donné par la relation démontrée dans le chapitre de Techniques De Gestion sous la démination de "valeur actuelle nette" (le terme "goodwill" étant souvent utilisé par les comptables):

Le deuxième terme à droite de l'égalité nous est déjà connu (nous en avons démontré l'origine dans le chapitre de Technique De Gestion) mais pour rappel sous la forme:

Dans un contexte de certitude de l'avenir (...) il nous donne donc l'investissement initial à effectuer à un pourcentage donné constant (...) pour avoir un retour sur investissement (cash-flow)

à un taux d'intérêt périodique moyen géométrique t% (taux du marché) avec T étant l'horizon de l'opération (nombre de périodes),

étant la dépense initiale d'investissement.

En d'autres termes, le goodwill de l'opération représente les flux excédentaires actuels obtenus après avoir remboursé la somme initiale investie sur sa durée d'utilisation et après avoir rémunéré le capital encore investi au début de chaque période au taux d'actualisation.

A la formulation du critère de décision telle qu'elle vient d'être présentée, nombreux sont ceux, notamment les praticiens, qui préfèrent la méthode dite du "taux de rentabilité interne" (TRI) ou "internal rate of return" (I.R.R.). Celle-ci n'est en apparence qu'une variante de la première formulation. Elle consiste à calculer un taux déterministe généralement symbolisé par la lettre grecque

, qui annule la valeur du goodwill (il s'agit donc de déterminer le taux de rentabilité tel que la somme des flux nets de trésorerie soit égale au montant du capital investi):

Nous voyons que le taux interne de rentabilité intervient dans le processus de décision de manière à première vue équivalente à celle dont il est utilisé dans le calcul d'une valeur actuelle nette. En outre, l'expression du résultat du calcul est indéniablement plus parlante que le montant absolu (goodwill) obtenu dans la première formulation. Nous inclinerions donc à adopter la seconde formulation si celle-ci ne présentait, à l'examen approfondi, l'inconvénient majeur que le calcul du taux interne de rentabilité comporte dans certains cas plusieurs solutions. La relation est en effet une équation polynomiale dont nous avons démontré, dans le chapitre d'Algèbre, qu'elle a autant de racines que le polynôme présente de changements de signe.

Nous verrons après notre étude du modèle de Black & Scholes des manières beaucoup plus perfectionnées de considérer des stratégies d'investissements qui ne sont pas purement déterministes comme précédemment mais stochastiques.

MONEY WEIGHTED RATE OF RETURN

Nous allons maintenant introduire un type de taux interne de rentabilité différent de celui lié au goodwill et qui s'applique mieux à la gestion de portefeuilles que le taux interne de rentabilité vu plus haut (qui rappelons-le se base sur l'hypothèse que les cash-flows sont déboursés à intervalles périodiques).

3. Une valeur monétaire totale nette

investie durant la période [0,1] versée en deux moitiés en début et fin de période (pour simplifier l'exemple...).

1. La valeur

qui représente la valeur totale du fonds et d'une partie de l'investissement au moment 0.

2. La valeur

qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler au temps 0 pour arriver en fin de période à la valeur N/2 lorsque le taux du marché est à un taux t%.

3. La valeur

qui représente au temps 0 la valeur du fonds à laquelle on voudrait arriver pour arriver en fin de période à

lorsque le taux du marché vaut aussi t%.

Ce qui est trivialement intéressant pour un investisseur est alors de connaître le taux

tel que le premier investissement égalise son objectif annuel. C'est-à-dire:

Si cette relation se vérifie pour

connus et déterminés et un

supposé, un investisseur n'aura rien à gagner ni à perdre à investir dans le fonds ou de capitaliser au taux du marché

Si l'équation de Hardy n'est pas non nulle, mais positive alors l'investissement dans le fonds n'est pas intéressant. Si elle est négative, il vaut alors mieux investir dans le fonds.

Le taux

est souvent nommé en gestion de fortune le "Money Weighted Rate of Return " (M.W.R.R.). ou "Taux de Retour Pondéré par les Capitaux Investis" (T.R.P.C.I.) et représente donc la performance d'un fonds (portefeuille) avec prise en compte des entrées et sorties de capitaux au cours de la période d'évaluation.

Nous avons alors comme données initiales

ce qui donne si nous assumons les hypothèses de départ concernant N :

Considérons maintenant que nous savons que les investissements ont eu lieu la 3/8ème part de l'année et les retraits la 3/4ème part de l'année.

Nous voyons qu'en considérant les cash-flows et les moments où ils ont lieu (donc une analyse plus fine et rigoureuse) nous réduisons le M.W.R.R. Par ailleurs, le dernier calcul étant plus rigoureux que le premier, c'est celui que l'investisseur voudra connaître en fin d'année.

Ce taux est donc une mesure effective du taux d'accroissement du fonds, donnant l'impact du poids des cash-flows sur la valeur du fonds. Il s'agit aussi au fait d'une simple généralisation du de l'IRR (Internal Rate of Return).

TIME WEIGHTED RATE OF RETURN

Nous allons maintenant nous intéresser à un autre outil financier de la gestion de portefeuilles utilisé également pour juger du rendement d'un investissement.

	Décembre 31. 2000	T1 2001	T2 2001	T3 2001	T4 2001
Valeur de début du fonds		1000	370	81	7.8
Gain ou (perte) pour le trimestre en %		10%	3%	(4%)	6%
Gain ou (perte) pour le trimestre .-		100	11.1	(3.2)	0.5
Cash-flows trimestriels entrées/(sorties)		(730)	(300)	(70)	0
Valeur du fonds	1000	370	81.1	7.8	8.3

Tableau: 66.3 - Time Weighted Rate Of Return

Le 31 décembre 2000, le fonds a une valeur de 1000.-. Durant le premier trimestre 2001 il a un retour de 10% mais nous imaginons que cette valeur est loin de celle qui était attendue alors l'investisseur retire 730.- du fonds (portefeuille basé sur le fonds). Lors du second trimestre, le fonds a gagné 3% et 300.- supplémentaires ont été retirés par l'investisseur. Lors du troisième trimestre le fonds a perdu 4% et 70.- ont été retirés. Le dernier trimestre, le fonds a gagné 6% et aucun fonds n'a été retiré.

Nous avons alors l'accroissement (retour) global sur l'ensemble de la période (année) qui est donné par:

Nous voyons bien que cette valeur est indépendante des flux monétaires du portefeuille de l'investisseur. Nous appelons la valeur de 15.3% le "Time Weighted Rate of Return" (T.W.R.R) ou "Taux de Retour Pondéré dans le Temps" (T.R.P.T.) sur une base trimestrielle.

En d'autres termes, le T.W.R.R. indique la performance d'un portefeuille sans prise en compte des entrées et sorties de capitaux au cours de la période d'évaluation.

Il convient de se rappeler que si nous avions voulu calculer la moyenne du rendement du fonds par trimestre, nous aurions simplement utilisé la moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques)!

Le T.W.R.R. est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds, car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables. Ainsi, nous avons une mesure de la qualité de la dynamique des fonds indépendante du choix des investisseurs qui pourraient considérer les retraits ou investissements comme des cash-flow qui serviraient à calculer un I.R.R. qui n'aurait plus ou moins aucune signification par rapport à la dynamique du fonds.

MODÈLE SPÉCULATIF DE BACHELIER

Après ces nombreuses définitions contextuelles, le but maintenant est d'introduire les techniques mathématiques spéculatives stochastiques de base utilisées en finance. En effet, la finance étant devenue au fil du temps un domaine de plus en plus concurrentiel, les marges sur les produits standards ont tendance à se réduire, la prime est donc donnée à l'innovation. Cette évolution a conduit à une sophistication croissante des produits financiers, faisant ainsi appel à des notions mathématiques poussées, basées principalement sur des modèles de probabilités, introduits par Louis Bachelier dans sa "Théorie de la spéculation" mais réellement utilisées que depuis 1973 grâce aux différents travaux de Black & Scholes et Merton (qui ont valu à leurs auteurs un Prix Nobel d'économie).

Regardons pour commencer quels sont les développements proposés par Louis Bachelier dans sa thèse pour déterminer l'espérance mathématique prévisionnelle et l'écart-type prévisionnel d'un actif financier (résultat que nous utiliserons dans le cadre de l'étude du modèle d'évaluation de Black & Scholes).

Désignons par

la fonction de densité de probabilité que le cours d'un actif soit x au temps t. Dès lors, la probabilité cumulée que la valeur du cours se trouve comprise dans l'intervalle élémentaire [x, x + dx] au temps t est de la forme:

En vertu du quatrième axiome des probabilités (voir chapitre du même nom), la probabilité que le cours évolue d'une certaine valeur à une autre (chaîne de Markov temporelle à temps continu), sera égale au produit de la probabilité cumulée pour que le cours soit coté x dans un intervalle donné à l'époque

, c'est-à-dire:

multipliée par la probabilité cumulée pour que, le cours étant coté x à l'époque

, le cours soit coté z dans un intervalle donné à l'époque

, c'est-à-dire, multipliée par:

Cette écriture suppose donc que les cours sont des variables aléatoires indépendantes...

Le cours pouvant se trouver à l'époque

dans tous les intervalles dx compris entre

, la probabilité cumulée pour que le cours soit coté z à l'époque

sera:

telle est l'équation à laquelle doit satisfaire la fonction de distribution de probabilité p que nous recherchons. Cette équation est vérifiée, comme nous allons le voir, par la fonction:

Mais il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'une solution particulière (raison pour laquelle ce modèle est parfois appelé "modèle gaussien de Bachelier")... et de plus rien ne dit que les deux variables aléatoires indépendantes suivent la même loi de probabilité...

Les deux hypothèses de construction du modèle vues jusqu'à maintenant (indépendance et distribution identique) sont souvent indiquées en finance sous l'appellation des "hypothèses d'indépendance et de stationnarité".

Ceci étant dit, nous devons alors bien évidemment imposer (axiomes des probabilités obligent!):

L'intégrale classique qui figure dans le deuxième terme a pour valeur (cf. chapitre de Statistiques):

En posant

, nous obtenons

c'est-à-dire que A égale la probabilité du cours coté actuellement. Il faut donc établir que la fonction:

Soient

les quantités correspondant à

et relatives aux temps

, il faut donc prouver que l'expression:

peut se mettre sous la forme

où A,B ne dépendent que du temps! Cette intégrale devient en remarquant que z n'est pas une variable d'intégration (nous supposons qu'il est indépendant de x comme vous l'aurez compris depuis le début)

Nous allons maintenant changer la forme de l'intégrale (nous changeons aussi de notation pour l'exponentielle sinon cela devient illisible):

Cette relation exprime le fait que la probabilité cumulée totale que la variable aléatoire z puisse prendre n'importe quelle valeur est égale à l'unité.

Nous devons en conclure que la probabilité que le titre soit coté z au temps

s'exprime bien par la relation:

Nous voyons que la probabilité est régie par une loi de distribution de type loi Normale centrée réduite (cf. chapitre de Statistiques)! Ceci constitue un résultat remarquable obtenu par Louis Bachelier en 1900 et qui avait été déjà spéculé par Jules Regnault au milieu du 19ème siècle.

Effectivement, Regnault compare la spéculation à un jeu de pile ou face dans lequel les deux côtés de la pièce correspondent aux deux possibilités, hausse ou baisse du cours. Sous l'hypothèse qu'à quelque moment que ce soit, il n'y a jamais plus d'avantages pour une chance que pour l'autre. Autrement dit, à chaque cotation, le cours a une chance sur deux d'augmenter et une chance sur deux de diminuer. Mais chaque spéculateur a son opinion sur la question. Sans cette diversité d'opinions, il n'y aurait par conséquent ni échanges ni variations des cours. Les opérateurs se répartissent donc en deux groups (haussiers, baissiers) qui font des évaluations subjectives de la valeur future du cours qui comportent forcément une marge d'erreur. Cependant, pour Regnault, les erreurs des spéculateurs ne sont pas quelconques, elles obéissent à une distribution Normale. Effectivement, comme l'a démontré Laplace, si la probabilité d'erreur est petite et qu'elles sont nombreuses et indépendantes alors les résultats des erreurs suivent une loi Normale (cf. chapitre de Statistiques).

Figure: 66.13 - Analyse de distribution des rendements dans le terminal Bloomberg

La relation antéprécédente nous montre que les paramètres

satisfont à la relation fonctionnelle:

Différentions par rapport à

, puis par rapport à

. Le premier membre ayant la même forme dans les deux cas, nous obtenons:

Cette relation ayant lieu, quels que soient

, la valeur commune des deux rapports est constante et nous avons donc:

Nous avons donc pour expression finale de la fonction de densité de probabilité de la valeur du cours x:

Le lecteur remarquera donc que pour une valeur de H et t fixées nous avons toujours ici la forme d'une loi Normale centrée (cf. chapitre de Statistiques)!! Les financiers disent alors que nous avons affaire à un "hasard sage", sous-entendu que les variations sont faibles et régulières.

ESPÉRANCE ET VARIANCE POSITIVE

Comme le cours ne peut pas être négatif, nous nous restreignons au calcul de l'espérance positive comme étant alors (cf. chapitre de Statistiques):

le "coefficient d'instabilité" (sur lequel nous ne savons rien) nous avons ainsi l'espérance positive du cours qui est au final:

l'espérance mathématique du cours est donc proportionnelle à la racine carrée du temps comme l'est le mouvement brownien que nous avons étudié dans le chapitre de Mécanique Statistique!!

Il découle aussi immédiatement de ce résultat que l'écart-moyen de la valeur du cours à deux instants différents consécutifs est lui aussi proportionnel à la racine carrée du temps écoulé entre les deux instants!

Nous remarquons aussi qu'à l'instant où t est égal à 0, l'espérance positive du gain est nulle, car la valeur y est connue de manière sûre (c'est ainsi qu'il faut l'interpréter).

Or, dans le chapitre de Statistiques, nous avons démontré par intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) que:

Donc l'écart-type positif est lui aussi proportionnel à la racine carrée du temps (et le résultat serait le même si nous calculions l'écart-type total)!

Donc par stabilité de la loi Normale (cf. chapitre de Statistiques) nous avons:

Donc les variations du prix du cours d'un actif financier entre deux instants successifs ont une loi de probabilité bien évidemment aussi décrite par une loi Normale centrée (découlant donc de la stabilité de cette loi) caractérisée elle aussi par une espérance positive et un écart-type positif proportionnels à la racine carrée du temps.

Ce résultat démontré mathématiquement avait été mesuré par Regnault une cinquantaine d'années auparavant (~1850) en observant que l'écart-moyen de titres obligataires français était proportionnel à la racine carrée du temps.

Ceci dit il faut accepter les limites de cette approche. Prenons par exemple les rendements journaliers de l'indice Dow Jones en 2008 et 2009. D'après les spécialistes possédant les détails de ces données, elles suivraient plutôt une loi de Student de paramètre 3 qu'une loi Normale...!

Pour donner une comparaison flagrante de la limite de ces approches rappelons (cf. chapitre de Statistiques) que la probabilité cumulée qu'une variable aléatoire suivant une loi Normale soit au-delà de 4 écart-types est de 1-99.99366% soit 0.00634%. Cela signifie, si la Bourse a 252 jours ouvrés, une certitude d'avoir une grande déviation tous les:

où nous considérons donc (cf. chapitre de Probabilités) les événements comme disjoints deux à deux.

Or la réalité montre, par exemple, que l'indice Dow Jones a eu entre 2008 et 2009 en moyenne 8 déviations au-delà de 4 écarts-types par année… et ce n'est guère qu'un peu mieux si nous faisons une approche avec la loi de Student.

Au final trois résultats majeurs sont à retenir ici sous les hypothèses fortes de normalité centrée et d'indépendance:

1. Que la fonction de distribution de probabilité que le cours d'un actif financier soit x à un instant t donné suit une loi Normale centrée...!!

2. Que l'espérance positive et l'écart-type positif de la valeur d'un actif financier sont proportionnels à la racine carrée du temps avec un facteur dont nous ne savons rien!!

3. Que l'espérance de gain est globalement nulle (ce qui rend le modèle peu réaliste mais donne déjà une base de travail).

C'est le premier modèle de base à connaître en finance (qui ne devrait plus être utilisé dans les entreprises en ce début de 21ème siècle mais qui l'est malheureusement encore en majorité...) et nous réutiliserons donc ces démarches lors de notre introduction au modèle de Black & Scholes.

Enfin, il convient de préciser que c'est un modèle théorique! Il faut donc le confronter à la pratique pour voir s'il est valide ou non. En l'occurrence l'observation des marchés financiers montre que ce n'est que hors des bulles spéculatives que les variations peuvent être modélisées par un mouvement brownien. Il faut donc chercher des modèles plus puissants et nous verrons un jour (...) que le mouvement brownien (appelé également "processus brownien") qui est lisse (continu) et donc sans sauts brusques (donc incapable de modéliser certains événements brusques des marchés comme les crash ou les corrections) est un cas particulier des processus de Lévy.

MODÈLE DE DIVERSIFICATION EFFICIENTE DE MARKOWITZ

Les travaux de Markowitz en 1954 ont constitué la première tentative de théorisation de la gestion financière de portefeuilles et son modèle suggère une procédure de sélection de plusieurs titres boursiers, à partir de critères statistiques, afin d'obtenir des portefeuilles optimaux. Plus précisément, Markowitz a montré que l'investisseur cherche à optimiser ses choix en tenant compte non seulement de la rentabilité attendue de ses placements, mais aussi du risque de son portefeuille qu'il définit mathématiquement par la variance de sa rentabilité. Ainsi, le "portefeuille efficient" est le portefeuille le plus rentable pour un niveau de risque donné. Il est déterminé au mieux par application de méthodes de programmation quadratique (cf. chapitre de Méthodes Numériques) ou sinon de manière heuristique en les étapes suivantes:

1. Nous fixons une espérance de rentabilité et nous trouvons tous les portefeuilles de variance minimale satisfaisant l'objectif de rentabilité. Nous obtenons ainsi un ensemble de portefeuilles de variance minimale.

2. Nous gardons de ces portefeuilles celui qui pour une variance donne le rendement le plus élevé.

En procédant ainsi pour plus plusieurs valeurs de l'espérance, nous nous retrouvons avec un ou plusieurs portefeuilles efficients. Ainsi, entre deux portefeuilles (ensemble d'actifs) caractérisés par leur rendement (supposé aléatoire!), nous ferons les hypothèses suivantes:

H1. À risque identique, nous retenons celui qui a l'espérance de rendement la plus élevée (gain maximal)

H2. À espérance de rendement identique, nous retenons celui qui présente le risque le plus faible (aversion au risque)

Ce principe conduit à éliminer un certain nombre de portefeuilles, moins efficients que d'autres.

Il existe un grand nombre de modèles complémentaires empiriques. Citons les plus connus:

- Portefeuille à variance globale minimale (PVGM) que nous allons étudier ici
- Portefeuille à variance robuste globale minimale (PVRGM)
- Portefeuille à semi-variance robuste globale minimale (PsVRGM)
- Portefeuille à ratio de Sharpe maximum (PRSM)
- Poretefeuille à erreur de suivi (tracking error) minimale (PESM)
- Portefeuille à poids identiques (P1/N)
- Portefeuille à index nul (PIN)
- Portefeuille d'arbitrage (dollar-neutre: somme des poids nulle) (PH)
- Portefeuille à moyenne unique (PG)
- Portefeuille zéro bêta (PZb)
- Portefeuille tangent (PT) que nous allons étudier ici
- Portefeuille à utilité maximale (PA)
- Portefeuille de diversification maximale (PDM)
- Portefeuille de Black-Litterman (PBL)
- Portefeuille draw-down (PDD)
- Portefeuille à VaR minimale (PVaR)
- ...

Passons maintenant à la théorie (un exemple pratique du modèle de Markowitz sera donné après les développements mathématiques).

Soit

le rendement d'un portefeuille composé de n actifs caractérisés par leur rendement respectif

. Nous posons, en outre, que chaque actif i entre pour une proportion X_i dans la composition du portefeuille P tel que:

où l'espérance de R_iest souvent prise comme étant simplement la moyenne arithmétique.

Maintenant, nous supposerons que les return des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres: ils sont corrélés ou, ce qui revient au même, ont des covariances non nulles (cf. chapitre de Statistiques):

Dès lors, la variance du portefeuille est donnée par (cf. chapitre de Statistiques):

Avant d'aller plus loin, précisons (car c'est important dans la pratique) que nous pouvons également écrire cette dernière relation sous forme matricielle (le lecteur peut facilement vérifier en ne prenant par exemple que deux titres que les deux écritures donnent un résultat identique) si nous notons X le vecteur des parts d'actifs et

le même vecteur transposé:

et finalement

la matrice des covariances (rappelons qu'il existe une méthode simple pour passer de la matrice des covariances à la matrice des corrélations et inversément):

nous obtenons finalement la relation de la variance sous forme matricielle condensée:

Pour en revenir à la forme algébrique du modèle, puisque la covariance est symétrique (cf. chapitre de Statistiques):

telle que nous la voyons souvent dans la littérature spécialisée d'une certaine époque...

Sélectionner un portefeuille revient donc à résoudre le problème de maximisation sous contrainte suivant:

en utilisant la programmation quadratique (cf. chapitre de Méthodes Numériques).

Dans la pratique, nous cherchons non pas un, mais tous les portefeuilles qui pour une espérance donnée minimise la variance. Nous obtenons alors une fonction de l'espérance en fonction de la variance pour les portefeuilles optimaux si nous traçons cela sur un graphique (voir plus bas). Cette fonction est souvent assimilée par les financiers (à juste titre!) à une frontière comme le précise la définition qui suit.

Définition: La frontière qui caractérise le polygone ou la courbe des contraintes s'appelle dans cette situation la "frontière efficiente (de Markowitz)" et dans le polygone/courbe se situent tous les portefeuilles à rejeter dits "portefeuilles dominés". Une autre manière de formuler ceci consiste à dire que les combinaisons (rendement, risque) de cette frontière forment un ensemble d'optima de Pareto (cf. chapitre de Théorie Des Jeux et de la Décision), c'est-à-dire que si l'un des éléments augmente, l'autre doit augmenter aussi.

Maintenant, formalisons l'optimisation comme cela était fait à l'époque où les gens devaient encore développer les algorithmes eux-mêmes...

qui doit être maximisée sous la contrainte que

et où

est un paramètre qui représente le degré d'aversion au risque des investisseurs (histoire aussi d'homogénéiser la relation...).

Le problème de maximisation sous contrainte consiste à déterminer le maximum de la fonction économique Z définie par:

Cette fonction de n + 1 variables (

) est maximisée si sa dérivée (partielle) par rapport à chacune de ces variables est nulle, ce qui revient à poser le système suivant:

Dans ce cas, le système d'équations à résoudre peut se résumer sous la forme matricielle:

La détermination du poids de chacun des n actifs susceptibles d'entrer dans la composition d'un portefeuille passe donc par l'inversion d'une matrice carrée de n + 1 lignes et n + 1 colonnes comportant

covariances (la diagonale comportant des variances seulement et la matrice étant symétrique!). Ce qui est relativement long à calculer pour de gros portefeuilles.

Cependant, même une fois la pondération des actifs terminée, le problème lui ne l'est pas complètement. Effectivement, nous pouvons donc connaître la frontière efficiente mais le client va lui imposer une contrainte bien logique au niveau du risque nul de son portefeuille et du rapport rendement/risque maximum.

Compte tenu de la lourdeur des calculs nécessaires à l'inversion de la matrice A, Sharpe a proposé un modèle simplifié que nous verrons après un exemple pratique du modèle de Markowitz.

Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales (que nous supposerons dans des proportions égales dans le portefeuille) et les n observations de leur rendement

saisis dans Microsoft Excel 11.8346 (la composante j pouvant être vue comme une période temporelle):

Le but est donc de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille selon le modèle de Markowitz ainsi que la C.M.L. et la pondération des actifs (poids optimaux) qui minimise la variance pour une espérance maximum pour un portefeuille composé d'un actif sans risque d'un rendement R_f de 0.22.

Au-dessous de la table donnée précédemment nous allons créer dans Microsoft Excel le tableau contenant les proportions

des titres (que nous supposerons équidistribuées, soit 1/3), nous afficherons la moyenne du rendement

calculée bien évidemment selon l'estimateur:

Figure: 66.15 - Proportions, estimateurs de l'espérance et de la variance des 3 titres

Soit sous forme détaillée dans la version française de Microsoft Excel 11.8346:

Figure: 66.16 - Formules explicites pour le calcul des estimateurs de l'espérance et de la variance des 3 titres

Cette relation est un peu longue à saisir, et le sera davantage si nous avons un nombre bien plus important de titres.

Dans notre cas, il s'agit de faire la somme des produits terme à terme de deux plages de cellules (

) ayant la même dimension (même nombre de lignes et même nombre de colonnes). Nous pouvons alors utiliser la fonction suivante dans la version française de Microsoft Excel 11.8346:

Pour la variance du portefeuille, c'est un peu plus compliqué puisqu'il s'agira de calculer:

L'astuce pour appliquer ceci dans un tableur Microsoft Excel consiste à utiliser l'algèbre linéaire et écrire cette relation sous forme matricielle comme nous l'avons démontré:

Ce qui équivaut dans la version française de Microsoft Excel 11.8346 à écrire:

En se basant sur les tableaux précédents, il est simple dans Microsoft Excel d'obtenir la matrice de covariance (dans la pratique il est souvent considéré comme difficile d'obtenir une estimation robuste de la matrice des covariances):

Soit sous forme détaillée dans la version française de Microsoft Excel 11.8346:

Rappel: La matrice des covariances est symétrique... (cf. chapitre de Statistiques).

Et pour l'espérance et la variance du portefeuille, nous aurons donc le tableau suivant:

Figure: 66.20 - Formules explicites pour l'espérance et variance du portefeuille

Le problème maintenant est de déterminer pour un rendement du portefeuille fixé (B20), les proportions des différents titres qui minimisent le risque.

Après avoir ajouté les deux cellules B24 (rendement espéré/attendu du portefeuille) et B25 (nombre total des parts du portefeuille):

Nous devons donc maintenant résoudre le problème d'optimisation non linéaire:

Ce que nous allons faire à l'aide du solveur est de chercher et reporter les solutions pour des rendements de 0.2 à 0.245 par pas de 0.05. À chaque résultat, nous noterons le numéro de l'itération, la variance du portefeuille

et l'espérance de rendement

qui était exigée. Cela devrait donner (bon il faudrait automatiser dans l'idéal la procédure par du VBA):

Ce qui donne la frontière efficiente de Markowitz suivante sous forme graphique, appelé "plan de Markowitz", dans Microsoft Excel 11.8346:

Figure: 66.24 - Plan de Markowitz correspondant aux solutions du tableau précédent

Maintenant il est aisé avec Microsoft Excel 11.8346 de déterminer une équation approchée et approximative de cette frontière par l'équation d'une parabole (mais attention se n'en est pas une en réalité puisqu'il s'agit d'une relation plus complexe qu'une simple parabole comme nous l'avons vu plus haut) en utilisant l'outil d'interpolation (nous sommes obligés dans Microsoft Excel 11.8346 de tourner la parabole pour cela...):

Figure: 66.25 - Rotation du plan de Markowitz pour déterminer l'équation de la parabole

Évidemment avec l'équation de cette parabole (approximation grossière de la vraie frontière efficiente pour rappel!), en cherchant où sa dérivée s'annule, nous obtenons alors ce qu'il est d'usage d'appeler dans la finance le "portefeuille global de variance minimum" (en anglais: "Global Minimum Variance Portfolio"). Les poids des actifs de ce portefeuille sont donnés évidemment directement par les résultats affichés par le solveur.

Maintenant, nous allons déterminer la "capital market line" abrégée C.M.L (voir le modèle des actifs financiers - MEDAF - plus bas pour les détails mathématiques), et plus rarement en français "droite des marchés des capitaux", qui est la droite formée par l'ensemble des portefeuilles composés de l'actif sans risque, d'une part, et du portefeuille de marché, d'autre part. Par construction, elle associe à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la plus élevée.

Nous allons pour déterminer cette droite avec Microsoft Excel 11.8346 nous fixer dans un premier temps un taux de rendement sans risque que nous noterons

et que nous prendrons arbitrairement comme valant 0.22 (en Suisse en 2011, le rendement sans risque était estimé à 1% par exemple).

Nous avons alors deux équations à deux inconnues pour résoudre ce problème (l'intersection de la droite et de la parabole pour la première et l'égalité de la pente de la parabole et de celle de la droite au point d'intersection pour la deuxième):

Si nous résolvons ce polynôme du deuxième degré nous avons deux solutions réelles (Microsoft Excel n'arrive pas à déterminer les racines de ce polynôme mais pour Maple 4.00b c'est très simple):

>a:=18.795;
>b:=-8.3892;
>c:=0.9384;
>f:=a*(((-d/0.22)-b)/(2*a))^2+b*(((-d/0.22)-b)/(2*a))+c
=(-d/0.22)*(((-d/0.22)-b)/(2*a))+d;
>solve(f,d);

La solution 2 est à éliminer (nous le savons en essayant de la prendre comme solution). Nous avons donc:

Ainsi, en réutilisant le solveur comme plus haut mais avec cette nouvelle valeur pour l'espérance, nous obtenons pour un portefeuille du marché composé d'un actif sans risque de rendement 0.22, un rendement global efficient de 0.2314276... avec la composition suivante du portefeuille donnée par le solveur:

Il s'agit donc par construction du portefeuille qui, parmi l'ensemble des portefeuilles comportant uniquement des actifs risqués, maximise le rendement alors qu'il comporte un actif sans risque tout en minimisant le risque!!! Encore une fois, rappelons que ce portefeuille est appelé "portefeuille de marché" ou "portefeuille tangent".

Voilà donc un sympathique petit exemple applicatif dans un logiciel accessible à presque tout le monde mais qui est en réalité relativement faux (mais au moins c'est pédagogique)!

Cependant rappelons deux hypothèses de construction de ce modèle qui font que son utilisation est limite....:

H1. L'optimisation moyenne-variance revient à modéliser les actifs du portefeuille par des variables aléatoires pour lesquelles ces deux moments existent. Or dans la réalité, rien ne nous dit que c'est le cas.

H2. Le modèle est basé sur des rendements moyens estimés pour une période d'allocation pouvant évoluer à court-terme. Or un changement très faible de la moyenne des rendements peut avoir des conséquences démesurées sur l'allocation.

De plus dans la pratique il faut faire attention à une chose. Rebalancer un portefeuille suite à une optimisation peut coûter très cher en frais de transactions. Un cas d'école souvent cité est celui d'un fond de pension américain constitué de plus de 2'000 types d'actifs différents dont le rebalencement en octobre 2000 impliqua 40 gestionnaires de portefeuilles, 500 millions d'actifs pour une somme totale de 17.5 milliards de dollars. Le coût de ce rebalancement en termes de transactions seules serait monté à 120 millions de dollars!

MODÈLE DE DIVERSIFICATION EFFICIENTE DE SHARPE

L'utilisation du modèle de Markowitz, tel qu'il le proposait dans son ouvrage de 1959, soulevait de nombreux problèmes dès qu'il s'agissait d'utiliser des algorithmes à partir d'une liste de base comportant un nombre élevé de valeurs. Ces problèmes étaient de deux ordres:

1. L'ampleur des matrices requérait à l'époque un calculateur de grande capacité et un temps de calcul assez long!

2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice des covariances. Le principal problème qui se pose à ce propos réside tant dans le nombre des estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout cohérentes.

Si nous voulons que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de l'application, il faut de toute évidence trouver le moyen d'alléger notablement la procédure tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode.

En 1963, William Sharpe a proposé une solution dont la caractéristique essentielle consiste à faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur commune relation avec un facteur de base sous-jacent (indice boursier typiquement) qui permet de déterminer un coefficient appelé le "bêta" (corrélation entre le rendement d'un titre et celui du portefeuille de marché).

Cette hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" (ou "modèle unifactoriel", "modèle monofactoriel") a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été, comme on le verra dans les développements ultérieurs, à la base de la théorie de la formation des prix des actifs financiers dans un univers incertain.

Le terme "unifactoriel" vient donc du fait qu'à la base le but du modèle de Sharpe est de définir le rendement d'un placement financier en fonction de son risque non diversifiable, assimilé au seul risque de marché (ou "risque systématique") donné par un nombre appelé "coefficient bêta".

1. Le "risque spécifique" relatif (implicite) au titre lui-même (sa variance) appelé aussi "risque non systématique" ou "risque idiosyncratique".

2. Le "risque systématique/non diversifiable" relatif à l'économie/marché au sens le plus large (variance du portefeuille de référence du marché).

3. Le "risque global" qui est en quelque sorte la somme des deux (c'est un peu plus subtil qu'une simple somme...).

Comme vous l'aurez probablement deviné, le facteur risque est difficilement quantifiable. L'élément qui aidera à le déterminer est la variation du rendement de l'actif financier par rapport à la variation du rendement du marché dans sa globalité. Un actif financier dont le cours fluctue souvent et dont la volatilité est grande présente donc certainement un risque élevé.

Voici par exemple les distributions des rendements de fonds de placements du deuxième pilier (LPP) en Suisse en fonction de la stratégie de diversification d'un portefeuille (les chiffres après LPP représentent la part en % d'actions):

Figure: 66.29 - Effets de la diversification sur la distribution du rendement (source: PPC Metrics)

Vous remarquerez sur la figure précédente que les distributions sont centrées (donc de moyenne nulle), symétriques et que l'écart-type (volatilité) est d'autant plus grand que la part d'actions dans le portefeuille est élevée.

Définition (simpliste): Le "coefficient bêta" mesure la dépendance entre le rendement d'un portefeuille ou d'un actif financier et le rendement d'un indice de référence et constitue la pente d'une droite appelée "security characteristic line" (S.C.L.):

ce coefficient est bien évidemment d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est éloigné et que la fréquence d'observation est petite. Ce coefficient est aussi parfois appelé "volatilité relative".

Ou un exemple plus réaliste (certains éléments indiqués seront étudiés plus loin):

Figure: 66.31 - Principe de régression linéaire du coefficient bêta avec exemple dans Bloomberg

Une simple analyse du graphique (c'est de l'analyse fonctionnelle élémentaire) montre donc qu'un coefficient bêta égal à 1 pour un titre/actif donné signifie qu'une augmentation (respectivement: diminution) de 10 % du rendement des titres sur le marché pendant une certaine période se traduira par une augmentation (respectivement: diminution) de 10 % en moyenne du rendement de ce titre. Donc la volatilité de l'actif est égale à celle de l'indice.

Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile (ou plutôt, était volatile, puisque ce coefficient se réfère généralement à une période passée) que celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Ainsi, un fonds ayant un bêta de 1.15 est de 15% plus volatile que l'indice. Inversement, un fonds ayant un bêta de 0.70 est 30% moins volatile que l'indice.

1. Un investissement ne présentant aucun risque (par rapport à l'indice de référence) afficherait donc un bêta égal à 1.

2. Un bêta inférieur à 1 indique que si le marché (indice de référence) est à la baisse, le titre sera susceptible de baisser moins que le marché.

3. Un bêta supérieur à 1 indiquera que si le marché (indice de référence) est à la hausse, le titre sera susceptible de suivre moins rapidement la tendance à la hausse.

Le concept de bêta ayant été introduit, passons maintenant à la théorie du modèle qui a donc pour objectif de simplifier celui de Markowitz en utilisant ce fameux coefficient.

Par définition, le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêtas pondérés respectifs de chacun des titres ou bêtas sous-jacents qui le composent tel que:

avec

étant le bêta du portefeuille global, X_i la proportion du titre i dans le portefeuille P,

le bêta du titre i et n le nombre d'actifs financiers présents dans le portefeuille (le bêta est donc additif lorsque pondéré).

Sharpe suggère donc que le rendement R_i de chaque actif i à un instant t est donné par la régression linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques) déterminant la "security characteristic line" vue plus haut (il s'agit donc d'un modèle de régression linéaire avec un facteur explicatif mais dans la pratique il existe bien évidemment des modèles linéaires multiples ou non linéaires):

- I est le rendement d'un indice économique donné supposé de référence... (indice boursier, indice du produit national brut, indice des prix ou voire même le rendement du portefeuille du marché lui-même...) au temps t et est la variable expliquée de la régression (selon la terminologie utilisée dans le chapitre de Méthodes Numériques) considérée comme une variable aléatoire.

sont des estimateurs non biaisés (cf. chapitre de Statistiques) des paramètres propres à cette valeur. Le premier terme appelé en finance "coefficient alpha" est simplement l'ordonnée à l'origine de la régression (le rendement de l'actif lorsque le rendement de l'indice de référence est nul soit lorsque le marché a un rendement nul appelée souvent "rendement résiduel") et le deuxième paramètre est pour rappel simplement le bêta du titre risqué i. Le coefficient alpha n'étant pas une source de risque, il est souvent ignoré dans les calculs.

est une variable aléatoire supposée caractérisée par une espérance nulle, une variance égale à une constante et les différents

sont supposés non corrélés entre eux (covariance nulle).

Quant au niveau de l'indice I, il sera caractérisé par la relation (afin de simplifier les développements plus tard):

où

est un paramètre non biaisé supplémentaire pour caractériser l'indice I et

une variable aléatoire caractérisée par une espérance nulle et une variance égale à une constante.

Notons déjà que (en adoptant au passage une notation fréquente pour le rendement de l'indice de marché) pour un actif:

Ce qui se généralise facilement à une somme d'actifis pondérés pour un portefeuille:

et où nous obtenons allors aussi un écart-type du portefeuille qui est la somme des deux termes du risque systématique et risque spécifique (diversifiable). Bien évidemment si le nombre d'actifs tend vers l'infini et donc les poids vers zéro, alors le risque total tend lui aussi vers zéro!

Pour résumer les points principaux, le modèle de régression linéaire simple des rendements des actifsfinanciers est basé sur les hypothèses majeures suivantes:

en supposant que nous n'avons pas fait d'erreur sur la forme linéaire du modèle, ni sur la liste des régresseurs.

H2. Nous supposons que la perturbation de la régression est d'espérance nulle telle que (hypothèse sous-jacente d'un effet brownien!):

ce qui constitue ceci dit une hypothèse simplificatrice dangereuse mais pratique pour être utilisable (et compréhensible) par les praticiens de la finance...

H3. Pour n'importe quel échantillon de taille n, nous utilisons les estimateurs du maximum de vraisemblance (cf. chapitre de Statistiques) pour l'espérance et variance des rendements des actifs financiers du portefeuille de référence:

Ces hypothèses posées, nous utilisons aussi les résultats obtenus dans le chapitre de Méthodes Numériques sur la régression linéaire pour obtenir le bêta. Nous y avons démontré qu'il existait plusieurs manières de faire une régression linéaire dont une consiste à utiliser la covariance et l'espérance. En adoptant les notations de l'économétrie, la pente de la régression peut alors s'écrire:

ce qui donne la définition rigoureuse du coefficient bêta selon le modèle de Sharpe où R_i est le rendement de l'actif financier et R_I le rendement du marché (ou du portefeuille du marché/référence).

Définition (rigoureuse): Le "coefficient bêta" est donné par le rapport de la covariance des rendements et indices des actifs sur l'écart-type de l'indice du marché du portefeuille.

Maintenant, en considérant la même hypothèse que dans le modèle de Markowitz, le rendement

d'un portefeuille est défini à nouveau assez logiquement par:

Si les rendements ne sont pas explicitement connus dans la pratique, nous utilisons alors le modèle linéaire:

Si les rendements sont explicitement donnés et donc connus l'espérance se calculera avec:

Cette relation est souvent appelée "weighted average return" ou "rendement moyen pondéré".

Comme le client va souvent chercher à maximiser l'espérance tout en minimisant la variance (le risque) il nous reste à déterminer cette dernière. Étant donné que maintenant nous supposons explicitement connus les rendements des actifs financiers du portefeuille et les rendements du portefeuille (indice) du marché nous avons:

Hypothèse: Si l'indice I est correctement choisi, lorsque

nous devons avoir

ce qui implique

(c'est une hypothèse forte qui amène à avoir une approximation!).

Nous pouvons condenser l'écriture de la variance en utilisant la formulation matricielle en notant d'abord respectivement le vecteur transposé et le vecteur-colonne des poids des actifs du portefeuille par:

Pour un portefeuille de deux titres cette dernière relation se réduit donc à:

Si nous ne connaissons pas explicitement les rendements, l'étude de la variance est un peu plus délicate. Il faut alors utiliser le modèle linéaire tel que:

Et toujours sous l'hypothèse déjà précisée plus haut comme quoi l'indice I est correctement choisi ce qui implique

Dans ce contexte le problème revient toujours à maximiser la fonction économique Z:

La résolution de ce système passe alors par l'inversion d'une matrice plus simple que celle du modèle de Markowitz mais nécessite cependant des hypothèses relativement contraignantes.

Pour finir, signalons que les financiers utilisent souvent les indicateurs de rendement pondéré par le risque, le plus répandu au niveau international étant le "ratio de Sharpe". Il est déterminé par le rapport entre le (pour être plus exact il s'agit de son espérance) différentiel du rendement d'un placement (actif) sans risque

(ce différentiel étant appelé par la praticiens "rendement actif") et le rendement du marché (appelé le "benchmark")

et la déviation standard du placement au taux du marché (nous déterminerons rigoureusement l'origine de cette relation plus loin lors de notre étude du MEDAF):

Relation qui exprime donc le niveau de rendement pur par unité de volatilité (ou par unité de risque). Pour simplifier, c'est un indicateur de la rentabilité (marginale) obtenue par unité de risque pris dans cette gestion. Il permet de répondre à la question suivante: le gestionnaire parvient-il à obtenir un rendement supérieur au référentiel, mais avec davantage de risque?

- Si le ratio est négatif, le portefeuille a moins performé que le référentiel et la situation est très mauvaise.

- Si le ratio est compris entre 0 et 0.5, le surrendement du portefeuille considéré par rapport au référentiel se fait pour une prise de risque trop élevée. Ou, le risque pris est trop élevé pour le rendement obtenu.

- Si le ratio est supérieur à 0.5, le rendement du portefeuille surperforme le référentiel pour une prise de risque ad hoc. Autrement dit, la surperformance ne se fait pas au prix d'un risque trop élevé.

Signalons également un autre indicateur courant qui est le "tracking error" défini comme étant l'écart-type de l'écart de performance entre le portefeuille et le benchmark. Plus le tracking error est faible, plus le fonds ressemble à son indice de référence en termes de risque:

Ces modèles sont relativement complexes. Raison pour laquelle quelques années plus tard, Sharpe et Lintner ont créé un nouveau modèle qui leur a valu le prix Nobel d'économie et que nous allons étudier de suite après un exemple pratique de ce que nous venons de voir.

Considérons trois titres composants un portefeuille en proportions égales et les n observations de leurs rendements

saisis dans Microsoft Excel 11.8346. Ces rendements seront comparés à un indice de référence I qui sera le rendement d'un portefeuille de marché de référence

Figure: 66.32 - 3 titres avec leurs rendements comparés à un portefeuille de marché de référence

Le but est de déterminer la frontière d'efficience du portefeuille avec le modèle de Sharpe.

En détail sous forme graphique voici d'abord les bêtas (rendement de l'actif en fonction du rendement du portefeuille de marché/indice de référence) obtenus avec Microsoft Excel 11.8346:

et le tableau de construction suivant pour le calcul des bêtas, la variance et l'espérance du portefeuille du marché et des différents titres:

Figure: 66.34 - Indicateurs-clés correspondants du portefeuille de référence et des 3 titres

Voici les détails des formules (remarquez que les bêtas sont obtenus à l'aide d'une simple régression linéaire avec l'indice de référence qui est le portefeuille et les autres paramètres avec les estimateurs non biaisés):

L'espérance du rendement du portefeuille composé des trois titres est facile à calculer puisque nous avons leurs rendements. Donc:

Figure: 66.36 - Espérance de chacun des titres et de l'ensemble du portefeuille

Maintenant, il nous faut calculer la variance en utilisant la relation démontrée dans la partie théorique des paragraphes précédents:

Une fois ceci fait, nous procédons comme pour la frontière de Markowitz. Nous utilisons le solveur en minimisant la variance tout en imposant une espérance et une contrainte comme quoi la somme des parts des actifs financiers est égale à l'unité:

Ce qui donne le tableau variance/rendement suivant (à comparer avec le même tableau de Markowitz):

La suite de l'exercice (C.M.L.) se fait de la même manière que dans le modèle de Markowitz.

MODÈLE D'ÉVALUATION DES ACTIFS FINANCIERS (MEDAF)

Comme nous l'avons vu, Markowitz (1959) a développé la théorie du choix optimal d'un portefeuille par un individu sur la base de la variance du rendement espéré. Plus tard (1963), Sharpe élabore un modèle de choix d'actifs basé sur des indices de risques comme les coefficients bêta.

Sharpe, Lintner et Mossin (1965) ont ensuite étudié les conséquences de ces théories pour mettre en place une théorie extrêmement simple permettant d'évaluer les coefficients bêta, les rendements espérés et les variances d'actifs financiers d'un portefeuille à partir de données statistiques sur le marché global et de la spécificité de la composition d'un portefeuille.

Cette théorie basée encore une fois sur le problème moyenne-variance est appelée "modèle d'évaluation des actifs financiers" (MEDAF) ou encore "modèle d'évaluation des actifs financiers à l'équilibre" (MEDAFE) (en anglais: "capital asset pricing model" (C.A.P.M.)). C'est donc un modèle très souvent utilisé, aussi bien par les praticiens que par les académiciens, pour évaluer les rendements anticipés d'équilibre de n'importe quel actif risqué sur le marché.

Pour commencer, rappelons que nous avons vu plus haut lors de notre étude du return que le taux de rentabilité périodique (quotidien, hebdomadaire, mensuel, annuel) d'un actif se calcule comme suit:

avec

qui est le prix d'un actif à la fin de la période t,

le prix de ce même actif à la fin de la période t-1 et finalement

le flux monétaire payé par l'actif pendant la période de détention allant de t-1 à t.

Cette relation sert à calculer le "rendement réalisé" (ex post) d'un titre alors qu'au fait c'est le "rendement espéré" qui intéresse un investisseur donné.

À la date de la prise de la décision, le rendement que va réaliser l'investisseur en détenant un actif donné est incertain, c'est pour cette raison que l'on parle de rendement espéré: il s'agit d'un rendement que l'on cherche à évaluer et que l'on espère recevoir au cours de la prochaine période d'investissement.

Pour calculer le rendement espéré, comme nous l'avons déjà vu, il convient d'attribuer à chaque valeur possible du rendement une probabilité de réalisation, puis de calculer une moyenne pondérée de ces différentes valeurs possibles en utilisant les probabilités

comme pondérations:

Or, il est clair que dans une économie donnée, l'investisseur sera tenté de détenir plusieurs actifs financiers et cherchera donc à composer des portefeuilles. Le rendement (moyen) espéré d'un portefeuille peut être calculé en utilisant la relation connue:

avec n qui est le nombre de titres inclus dans le portefeuille,

le rendement de l'actif i inclus dans le portefeuille et

la proportion de la richesse totale de l'investisseur investie dans l'actif i.

Le taux de rendement espéré est cependant insuffisant pour caractériser une opportunité d'investissement et il faut tenir compte également du risque, c'est-à-dire de la variabilité du rendement de cet investissement sur l'actif financier. La variance est comme nous l'avons déjà vu utilisée comme mesure du risque et donnée pour un actif financier par:

Le calcul du risque d'un portefeuille fait donc intervenir deux concepts importants: la variabilité du rendement de chacun des actifs, mesurée par les variances de ces derniers, ainsi que les relations existantes entre les différents actifs composant le portefeuille.

La dépendance entre deux actifs est souvent mesurée, comme nous en avons déjà fait mention lors de notre étude des return, par la covariance ou encore le coefficient de corrélation linéaire.

Soit comme nous le savons si les probabilités sont équiprobables (et que nous ne travaillons pas sur un échantillon sinon quoi nous devrions avoir n -1 au lieu de n au dénominateur de facteur de la somme):

La covariance entre les rendements de deux titres peut être positive ou négative et sa valeur n'a aucune signification économique comme nous le savons (cf. chapitre de Statistiques).

Le coefficient de corrélation entre deux actifs i et j quant à lui se calcule comme suit (cf. chapitre de Statistiques):

Une fois les variances et covariances des différents actifs calculées, nous serons en mesure de calculer la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs. Cette variance est donnée par la relation suivante (cf. chapitre de Statistiques):

La relation ci-dessus de la variance de rendement d'un portefeuille montre clairement que même dans le cas où les rendements des différents actifs détenus dans le portefeuille sont totalement non corrélés, la variance de ce dernier peut encore être réduite en ajoutant plus d'actifs.

Pour comprendre ceci, nous noterons que pour n actifs non corrélés, la variance se réduit à (puisque la covariance est alors nulle):

En simplifiant davantage, si toutes les variances sont supposées égales et si tous les actifs sont détenus dans les mêmes proportions (1/n), nous avons (cf. chapitre de Statistiques):

Ainsi, quand n tend vers l'infini, la variance du portefeuille s'approche de zéro. Ainsi, si des risques non corrélés sont réunis en portefeuille, le risque total peut être éliminé par diversification, nous parlons alors naturellement de "risque diversifiable". Dans le cas où les risques sont corrélés, la diversification ne permettra d'éliminer que les risques spécifiques aux actifs alors que le risque de marché continuera d'exister. Notons que la réduction du risque serait plus importante lorsque les différents actifs détenus sont négativement corrélés. En effet, plus le coefficient de corrélation entre les rendements des titres est petit, plus les bénéfices inhérents à la diversification sont substantiels. Dans le cas où le coefficient de corrélation est égal à 1, il n'y a aucun bénéfice lié à la diversification, puisque le risque du portefeuille sera égal à la moyenne pondérée des risques le composant. Par contre, la diversification est à son maximum lorsque le coefficient de corrélation est égal à -1. Dans cette situation, il est possible de combiner deux actifs risqués pour former un portefeuille sans risque.

D'après ce qui précède, il est clair que tout investisseur désirant former un portefeuille cherchera à détenir un ensemble d'actifs risqués qui lui permettra de recevoir un rendement donné avec un minimum de risque. En d'autres termes, il cherchera à minimiser la variance pour un niveau de rendement espéré tout en respectant une contrainte budgétaire. Nous savons que le rendement espéré et la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs risqués s'écrivent comme suit:

Par ailleurs, nous savons qu'à partir de ces n titres, il est possible de construire une infinité de portefeuilles en faisant varier les pondérations X_i. Or, les portefeuilles les plus intéressants pour un investisseur donné sont ceux qui permettent de minimiser le risque qu'il doit supporter pour obtenir un niveau de rendement donné. Ces portefeuilles sont le résultat du problème de minimisation suivant qui est un problème d'optimisation non linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques):

Il est donc possible de constituer une infinité de portefeuilles en faisant varier les proportions investies dans chacun des titres. La prochaine étape consiste à sélectionner, parmi l'ensemble des portefeuilles disponibles, un portefeuille donné. Pour ce faire, on doit considérer les préférences individuelles de l'investisseur.

Un investisseur rationnel ne devrait donc considérer que les portefeuilles se trouvant sur la frontière efficiente pour ses choix d'investissement. Son portefeuille optimal se situera au point de tangence entre la frontière efficiente et sa courbe d'indifférence la plus haute qu'il serait capable d'atteindre. En procédant ainsi, chaque investisseur maximisera son utilité espérée. En présence d'une économie ne contenant que des actifs risqués, la composition du portefeuille d'actifs risqués varie d'un individu à un autre.

En pratique, les investisseurs ont également la possibilité d'investir dans des actifs financiers sans risques. Nous allons donc chercher à déterminer la nouvelle frontière efficiente en tenant compte de cette nouvelle opportunité d'investissement.

Considérons alors un portefeuille qui est une combinaison de l'actif sans risque et d'un portefeuille de marché (à risque). Nous avons alors:

où

est la fraction du portefeuille investie dans le portefeuille du marché (m) et

est le "taux de rendement certain" ou "taux de rendement sans risque".

Rappel: L'espérance d'une constante est égale à cette constante (cf. chapitre de Statistiques).

Cette équation est l'équation d'une droite appelée "capital market line" (C.M.L.). L'ordonnée à l'origine est évidemment

et sa pente est une variable fonction de l'espérance et de l'écart-type type du portefeuille du marché (reliés entre eux par la "parabole de Markowitz" vue plus haute ) et nous retrouvons en facteur de l'écart-type de

le coefficient appelé "Sharpe ratio" (ou "ratio de Sharpe") dont nous avions parlé plus haut mais sans en démontrer la provenance.

Ceci est donc l'équation centrale du modèle C.A.P.M. Tout portefeuille mesuré sur le marché ne se trouvant pas sur l'équation de la droite du modèle est considéré (du moins dans la théorie) comme n'étant pas à l'équilibre.

Par construction, cette droite associe donc à chaque niveau de risque, la rentabilité espérée la plus élevée. Ainsi, étant donné le rendement d'un actif sans risque il devient facile à partir de cette équation de déterminer le point de tangence avec la frontière d'efficience de Markowitz ou de Sharpe pour obtenir le portefeuille le plus efficient sur la base du rendement sans risque!!

Intéressons-nous maintenant à déterminer une équation pour le rendement espéré de n'importe quel actif individuel.

Considérons un nouveau portefeuille de rendement

qui est une combinaison d'un actif sans risque quelconque A et du portefeuille de marché, où

est la fraction du portefeuille investie dans l'actif sans risque A.

Ce que nous souhaiterions évaluer est la pente de la courbe des combinaisons espérance/écart-type lorsque nous combinons le portefeuille de marché (qui contient déjà l'actif A) avec l'actif A.

Nous souhaitons évaluer la valeur de la pente de l'équation tangente à la frontière efficiente telle que la pondération de l'actif sans risque A soit nulle.

Dérivant le rendement espéré de ce nouveau portefeuille par rapport à

, nous obtenons:

Dérivant l'écart-type du rendement de ce nouveau portefeuille par rapport à

, nous obtenons:

La contribution de Sharpe et Lintner a été de dire qu'il faut évaluer ces dérivées au point où

c'est-à-dire où la pondération de l'actif A dans le nouveau portefeuille est nulle.

Ce faisant, nous obtenons, l'expression suivante pour l'écart-type du nouveau portefeuille (bien sûr, l'expression pour le rendement espéré ne change pas):

Avec les deux dérivées, nous pouvons obtenir une expression pour la courbe de combinaisons espérance/écart-type pour le nouveau portefeuille. Nous avons alors:

Cette pente doit être égale à celle de la C.M.L. En égalisant, nous obtenons:

En posant ce que nous avons déjà vu lors de notre étude du modèle de Sharpe, c'est-à-dire le risque non diversifiable sous forme de facteur bêta:

c'est donc la volatilité de la rentabilité de l'actif considéré rapportée à celle du marché.

Cette expression permet donc d'exprimer le rendement excédentaire d'un actif comme le produit du rendement excédentaire du portefeuille de marché et le facteur bêta du titre.

Le rendement excédentaire d'un actif ne dépend pas directement que de sa variance, qui est souvent une mesure intuitive du risque d'un actif. Ce qui compte est son facteur bêta, qui dépend de sa covariance avec le portefeuille de marché.

Plus classiquement, la dernière relation est utilisée graphiquement sous forme de droite:

Cette droite est appelée la "security market line" (S.M.L.), et plus rarement en français "droite de marché des titres", elle est extrêmement importante en finance, car elle donne donc le rendement moyen d'un titre A en fonction du bêta, du rendement du marché et du taux sans risque. Ce modèle est dit "monofactoriel" en ce sens qu'il ne distingue qu'un seul facteur explicatif du risque d'un titre.

Il existe évidemment des modèles plus complexes prenant en compte d'autres facteurs explicatifs supplémentaires comme le modèle de Fama-French par exemple qui à trois variables explicatives.

Le taux sans risque est de 5% et la rentabilité espérée du marché est de 8%. Une action A est deux fois plus ensible aux mouvement de marché que l'indice de référence, in extenso lorsque l'indice enregistre une hausse de 1%, l'action A montre de 2%. D'après la S.M.L, la rentabilité espérée est alros de:

avec

qui est appelé la "prime par unité de risque" ou plus simplement "prime de risque" (surplus de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marché plutôt que dans un actif sans risque) et l'ordonnée à l'origine est le taux d'intérêt sans risque (généralement des emprunts d'État).

mais dans la pratique avec les valeurs numérique du marché le résultat peut être différent de zéro. Cette "anomalie" du marché est alors appelée "alpha de Jensen":

Si l'alpha de Jensen est supérieur à 0, cela signifie bien évidemment que le portefeuille bat son marché de référence. S'il est inférieur à 0, le portefeuille fait moins bien que ce qui est prévu dans le modèle du C.A.P.M.

Le MEDAF stipule donc que le taux de rendement espéré (ou que devrait exiger un investisseur rationnel ayant une aversion pour le risque) d'un actif risqué doit être égal au taux de rendement de l'actif sans risque, plus une prime de risque appelée parfois "spread de crédit". Dans ce cas, la relation entre le risque systématique et le rendement espéré demeure linéaire et seul le risque systématique doit être rémunéré par le marché puisque le risque spécifique peut être éliminé grâce à la diversification.

Il est peut-être intéressant d'expliciter les hypothèses sur lesquelles reposent mathématiquement les développements que nous avons faits. Ce sont donc les hypothèses du MEDAF dont certaines semblent difficilement acceptables. Il ne faut cependant pas oublier que la validité d'un modèle ne dépend pas du réalisme de ses hypothèses mais bien de la conformité de ses implications avec la réalité.

H1. Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se préoccupant exclusivement de l'espérance et de la variance de rendement de ces derniers

H2. Les investisseurs ont une aversion pour le risque: ils n'aiment pas le risque

H3. Il n'y a pas de coût de transaction (ce qui est un gag dans le cas du delta-hedging...)

H6. De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le marché et aucun d'entre eux ne peut avoir d'influence sur les prix.

H7. Tous les investisseurs peuvent prêter ou emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux sans risque.

D'autres modèles plus modernes et complexes ont été développées depuis prenant en compte par exemple l'asymétrie de la distribution des rendements (non-normalité) ou basé sur la semi-variance plutôt que sur la variance.

MODÈLE D'ÉVALUATION DES OPTIONS DE BLACK & SCHOLES

C'est au génie de trois célèbres mathématiciens que le marché des dérivés (qu'il est d'usage de classer en trois grandes familles: Dérivées sur titres, Dérivés sur taux, Dérivés sur devises) doit son succès, grâce à l'équation de Black & Scholes conçue dans les années 1970 (et publiée en 1973) qui permet de déterminer théoriquement la prime exacte (sous plusieurs hypothèses) que doit payer un client pour acquérir un Call ou un Put et la stratégie que devra suivre le vendeur de ces options pour se couvrir du risque (pour ne citer que l'exemple le plus connu). Évidemment ce modèle ne fonctionne que si les périodes temporelles considérées sont relativement courtes (de l'ordre de la semaine ou de quelques mois au mieux). Au-delà l'utilisation de ce modèle théorique particulier est une farce!

Black, Scholes et Merton sont les ancêtres d'une génération de produits dérivés sophistiqués, donnant droit de cité à tout un lexique de termes aussi exotiques que Butterflies, Rainbows, Knock-in, Knock-out, Barrières, Swaps, Calls, Puts, Baskets, Swings. Ce modèle est aussi considéré ceci dit comme un des facteurs principaux du crash boursier de 1987 par certains spécialistes...

Il existe bien évédiemment cependant de nombreux modèles empirique plus perfectionnés comme:

- Modèle de Black & Scholes & Barenblatt
- Modèle de diffusion à sauts de Merton
- autres...

Ce que nous aimerions dans ce qui va suivre est déterminer la valeur théorique de la prime d'une option à partir des cinq données suivantes:

1. La valeur actuelle de l'actif financier sous-jacent de l'option (déterminée par la spéculation du marché).

2. Le temps qui reste à l'option avant son échéance (choisie par la société émettrice).

3. Le prix d'exercice (strike) fixé par l'émetteur subjectivement ou après modélisation.

4. Le taux d'intérêt sans risque (supposé comme étant le taux de rendement attendu du sous-jacent).

5. La volatilité (écart-type) du prix du sous-jacent de l'option (mesurée sur le marché).

La prime de l'option ainsi déterminée sera unique et équitable pour les deux parties. Effectivement, le système des options permettrait de faire payer un prix d'option (prime) majoré par rapport aux prévisions du marché et donc de générer à coup sûr et à partir de rien un profit mais les nombreux acteurs du marché vont faire jouer la concurrence pour être au plus juste et attirer le client sur leurs options plutôt que sur celles de la concurrence.

La modélisation du cours des options (Black & Scholes) repose sur l'utilisation du calcul différentiel stochastique. Ainsi, l'approche de Black et Scholes suppose que l'évolution du cours de l'action définit un mouvement brownien géométrique (dans le sens que les mouvements possibles du prix tendent vers l'infini) et que son rendement définit un processus de Wiener généralisé (concept que nous allons définir un peu plus loin).

ÉQUATION DE PARITÉ CALL-PUT

Avant de nous attaquer à des calculs stochastiques un peu ardus, il est utile d'établir au préalable une équation dite de "parité Call-Put" qui nous servira de sorte d'équation de conservation pour vérifier la validité des résultats que nous établirons par la suite sur l'évaluation des prix des options.

L'objectif va être de répondre à la question suivante: Quelle somme M devons-nous payer maintenant pour recevoir une somme garantie correspondant au prix "prix d'Exercice" E (qui est la notation française du "strike price" K utilisée jusqu'à maintenant) à un temps futur T ?

Pour réponde à cette question, rappelons que nous avons vu lors de notre étude du calcul d'intérêts qu'en considérant un capital C et un intérêt r constant nous avions dans un cas de capitalisation continue:

Dès lors, en posant

nous avons alors dans un univers sans risque, c'est-à-dire en delta-neutre (le cas avec risque sera le sujet du modèle de Black & Scholes que nous verrons plus loin):

Mais cette relation n'est pas tout à fait juste. Effectivement, nous devons avoir M = E assuré au temps T = t . Dès lors nous sommes naturellement amenés à poser:

Ce petit rappel élémentaire étant fait, nous allons maintenant supposer pour la suite que le Call et le Put possèdent les propriétés suivantes:

et les hypothèses suivantes (qui sont à la base du modèle de Black & Scholes que nous détaillerons plus loin):

H1. Il n'existe pas de coûts de transaction (ce qui est un gag pour le delta-hedging)

H3. Le support n'est pas un instrument à terme (possible d'effectuer des ventes à découvert)

H4. Le support ne verse pas de dividendes pendant la durée de vie de l'option (c.-à-d. entre [0,T] ).

H6. Le taux sans risque du marché est supposé connu à l'avance et considéré comme constant

H7. Il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage (mais bon dans la pratique... il n'y a presque que cela)

En nous reposant maintenant la question initiale: Quelle somme devons-nous payer maintenant pour un portefeuille afin de recevoir une somme garantie E (prix d'exercice) à un temps futur T ?

Le portefeuille pouvant être considéré comme une boîte noire, rien ne nous empêche dès lors de répondre en écrivant avec S le prix du jour du sous-jacent, P celui du Put et C celui du Call:

qui n'est rien d'autre que "l'équation de parité Call-Put" ou autrement écrite si nous adoptons la notation anglo-saxonne K au lieu de E et nous prenons comme début le temps zéro, alors:

En toute rigueur, il vaudrait cependant mieux écrire cette dernière écriture sous la forme suivante:

Quel que soit le réarrangement des termes dans cette dernière égalité, il doit toujours y avoir égalité sinon quoi il y a opportunité d'arbitrage. Cette relation montre aussi que la valeur d'un Call européen avec prix d'exercice K et maturité T peut être déduite de celle d'un Put européen avec le même prix d'exercice K et la même maturité T.

Voyons plus en détails suite à la demande d'un lecteur que cette dernière relation découle de l'absence d'opportunité d'arbitrage (O.A.O.):

Considérons la configuration fréquente et naturelle d'un premier agent économique ayant un portefeuille A contenant une option d'achat (Call) européenne de prix C et une somme

investie dans un placement sans risque. La valeur initiale de ce portefeuille sera donc:

Considérons la deuxième configuration naturellement opposée à la première d'un portefeuille contenant une option de vente (Put) européenne de prix P et le sous-jacent de prix S. La valeur initiale de ce portefeuille sera donc:

S1. À l'échéance (maturité) T, si le sous-jacent a une valeur inférieure ou égale au prix d'exercice (soit

), le portefeuille A vaudra K car l'option Call ne sera très probablement pas exercée et donc sa valeur financière devient nulle mais l'actif sans risque (placé au rendement sans risque) aura lui rapporté K. Le portefeuille B quant à lui vaudra

où le terme entre parenthèse représente le gain généré par le Put.

S2. À l'échéance (maturité) T, si le sous-jacent a une valeur supérieure au prix d'exercice (soit

) nous sommes donc une situation contraire à celle du premier scénario. Le portefeuille A vaudra alors

. Le portefeuille B vaudra lui

car la vente ne sera pas effectuée et l'option de vente sera alors considérée comme ayant une valeur nulle.

Donc les deux portefeuilles sont toujours égaux à maturité sinon quoi il y a opportunité d'arbitrage. Ce que nous pouvons écrire (l'indice T pour le cours du sous-jacent à maturité est souvent omis):

HYPOTHÈSE D'EFFICIENCE DU MARCHÉ

Le modèle de Black & Scholes (et beaucoup d'autres modèles financiers) se base sur le postulat que le marché est "efficient".

Définition: Un "marché efficient" ("Efficient Market Hypothesis" en anglais... - abrégé E.M.H) est un marché où les prix reflètent complètement toute l'information disponible. Ainsi, si le marché est efficient, il n'est pas possible de faire des profits anormaux.

Nous pouvons distinguer trois types de marchés efficients qui sont fonction du type d'information disponible:

2. L'hypothèse de marché efficient en "forme semi-forte" établit que les prix reflètent toute l'information publique disponible.

Plusieurs études ont essayé de tester l'hypothèse de l'efficience des marchés des actifs. Pour tester la forme faible de l'hypothèse, on a utilisé l'analyse des séries temporelles (voir plus loin) en testant spécifiquement l'hypothèse d'une marche au hasard (mouvement brownien - nous y reviendrons). Plus spécifiquement, ces tests ont essayé de tester si les accroissements des prix sont indépendants des accroissements passés. Si l'hypothèse d'une marche au hasard est rejetée, alors le marché n'est pas efficient, car les accroissements de prix passés pourraient aider à anticiper les prix futurs des actifs. L'évidence empirique soutient l'hypothèse de marché efficient en forme faible. Pour tester la forme semi-forte de l'hypothèse, on a évalué la vitesse d'ajustement des prix de marché à l'arrivée de nouvelles informations; l'évidence en faveur d'un rapide ajustement des prix de marché est dominante. La forme forte de l'hypothèse de l'efficience des marchés, consiste à tester s'il est possible de tirer profit d'une information privilégiée (information accessible à un petit groupe d'agents économiques). Étant donné qu'on ne peut pas identifier l'information non publique, un type de test de forme forte considère l'examen de la performance d'investissement des individus ou groupes qui pourraient avoir de l'information privée. Elton et Gruber (1984) signalent que l'analyse de la performance des fonds mutuels, après déduction des coûts, soutient la forme forte de l'efficience.

H1. L'histoire passée du cours de l'actif est complètement réfléchie dans le prix présent qui ne contient lui pas d'autres informations sur l'actif.

H2. Le marché incorpore immédiatement toute nouvelle information dans le prix d'un actif.

Le paradoxe du postulat des marchés efficients tient à ce que si chaque investisseur pensait vraiment que le marché était parfaitement efficient, alors personne n'étudierait les sociétés, leurs bilans, etc. Il suffirait d'acheter de l'indice. En vérité, les marchés efficients dépendent d'individus actifs sur le marché parce qu'ils pensent que ce marché est "inefficient" et qu'ils peuvent faire mieux que le marché !

Rappel: Un processus de Markov est un processus dont l'évolution future ne dépend de son passé qu'à travers son état à l'instant présent. Or, le cours d'une action n'est vraisemblablement pas un processus de Markov (la "mémoire" du processus est probablement plus longue - par exemple une tendance saisonnière).

PROCESSUS DE WIENER

Soit

la variation de la valeur non tendancière d'un actif sur un petit intervalle de temps noté

À l'aide de la connaissance des deux résultats majeurs du modèle de Bachelier vu plus haut nous avons donc pour les variations de la valeur de l'actif une espérance positive dépendante de manière proportionnelle à la racine carrée du temps selon:

où nous posons comme hypothèse (acceptable... car nous travaillons sur de petites variations pour rappel!) que le coefficient d'instabilité est une fonction:

où rappelons-le, N(0,1) est la notation de la loi Normale centrée réduite telle que nous l'avons établie dans le chapitre de Statistiques.

Ceci dit, la relation antéprécédente est souvent notée de manière généralisée:

et définie comme étant un "mouvement brownien standard" avec "bruit blanc" (loi marginale de type Normale), ou "mouvement brownien arithmétique", où le W est là par hommage à Wiener! Il est intéressant de remarquer que le mouvement brownien est supposé indéfiniment divisible (ce qui signifie que la période temporelle prise n'influe pas sur la loi de probabilité qui reste toujours la même... c'est une propriété fractale du mouvement brownien qui a été creusée par Mandelbrot aussi!).

Ne pas oublier pour une démonstration que nous ferons plus loin que nous en déduisons:

Il est possible de produire un graphique de ce mouvement brownien dans la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346 avec dans la colonne A le temps avec un pas

typique de 0.01 [s] (colonne qui sera là uniquement par souci de confort de lecture et par tradition) et dans la cellule B2 la formule suivante:

Nous obtenons alors pour 4 colonnes du même type les variations de valeurs suivantes:

Les mouvements browniens standards ont certaines propriétés remarquables comme nous pouvons le voir: la trajectoire a tendance à alterner au-dessus et en dessous de l'axe des abscisses. Cela provient de ce que la loi Normale considérée est d'espérance nulle, autrement dit qu'il n'y a pas de tendance générale à la hausse ou à la baisse des variations (pour le vérifier faites au moins 30'000 points dans Microsoft Excel et vous verrez....).

donc nous pouvions nous attendre à ce résultat d'absence totale de tendance générale (c'était quasi-intuitif!).

Finalement (au fait ce résultat découle de manière immédiate de la propriété de linéarité de la loi Normale):

Il est d'usage de parler de "processus de Gauss-Wiener" ou plus simplement ou plus simplement de "processus de Wiener".

1. Nous savions avec le modèle de Bachelier que l'espérance positive et l'écart-type positif de la valeur sont proportionnels à la racine carrée du temps. Nous avons utilisé ces deux résultats ici.

2. Nous savons maintenant (sous l'hypothèse bien précise d'un coefficient de type Normal) que les variations ont une espérance (tendance) nulle et un écart-type proportionnel à racine carrée de la variation temporelle.

La propriété qui vient d'être établie reste valable pour un grand intervalle de temps noté T correspondant à n petits intervalles

!!! En d'autres termes:

Comme dans l'hypothèse d'une évolution du cours sur un petit intervalle de temps, il est possible de caractériser

à l'aide de son espérance et de son écart-type:

que nous pouvons aussi écrire sous la forme suivante en utilisant les propriétés de la loi Normale:

résultat auquel nous pouvions raisonnablement nous attendre avec les hypothèses susmentionnées...

Ce dernier résultat est écrit sous la forme explicite suivante dans les tableurs:

et nous voyons que c'est peu réaliste car cela signifierait que tout actif financier suit la même loi (quelle que soit sa volatilité....) et n'aurait aucune tendance générale à la baisse ou à la hausse. Nous verrons de suite comment améliorer cette approche.

Pour clore cette approche, remarquons que si

tend vers 0 (ce qui revient à considérer une subdivision du temps T en intervalles extrêmement petits) le cours subit sur la période T un nombre infiniment grand de variations. En d'autres termes, le processus d'évolution du cours de l'actif est continu, ce qui conduit à remplacer

par dt,

par dx et

par dz.

ce qui définit un "processus de Wiener" (nous reviendrons là-dessus lorsque nous aurons établi l'équation différentielle stochastique).

Mais évidemment ceci n'est pas vraiment conforme à la réalité comme nous l'avons déjà mentionné... Nous préférons alors ajouter un décalage constant dans le temps ce qui donne le mouvement brownien que nous allons voir maintenant.

MOUVEMENT BROWNIEN GÉNÉRALISÉ

Dans ce cas (généralisation un peu plus réaliste), l'évolution du cours dépend non seulement d'un processus aléatoire brownien standard (deuxième terme ci-dessous à droite de l'égalité), mais également d'un paramètre de tendance centrale, ou "drift" (premier terme ci-dessous à droite de l'égalité):

Nous avons donc un mouvement brownien généralisé, constitué d'un mouvement brownien standard (dz représenté par une loi Normale d'espérance nulle et de variance dt comme nous l'avons vu plus haut) et d'un drift. Dans ce scénario, a et b sont imposés comme constants contrairement au cas encore plus général que nous verrons un peu plus loin.

La relation antéprécédente est souvent représentée dans la littérature sous la forme différentielle suivante:

Donc graphiquement cela donne, en rajoutant ce drift et en prenant une valeur positive et non nulle pour a, un mouvement brownien standard qui aura tendance à alterner au-dessus et en-dessous du drift:

Figure: 66.46 - Exemple de mouvement brownien standard avec drift (et décomposition)

Sur un petit intervalle de temps

, le processus, en temps discret s'écrit bien évidemment:

En subdivisant une période T en n intervalles de temps

(soit

), la variation du cours devient sur cette période T:

Il est alors aisé de comprendre pourquoi nous disons que la loi Normale régit la variable aléatoire obtenue en arrêtant un processus brownien à un instant donné: c'est une photo instantanée du mouvement brownien simple ou généralisé!

Nous avons alors la relation antéprécédente qui s'écrit traditionnellement sous la forme explicite suivante dans les tableurs:

où

est le rendement moyen en % de l'actif financier et

la volatilité du rendement en %. Soit écrit autrement:

Dans la pratique c'est le taux sans risque qui est choisi pour représenter les rendements des sous-jacents à cause du fait que nous supposons toujours travailler en probabilité risque neutre (absence d'opportunité d'arbitrage).

Il est alors intéressant pour le financier de visualiser l'espérance en fonction de t et la valeur x(t) correspondante à une probabilité cumulée de 2.5% et de 97.5% sur un graphique pour avoir une idée de l'évolution de l'intervalle de confiance à 95% de son x(0). Ceci est très facile à obtenir dans Microsoft Excel et l'on tombe typiquement en jouant avec plusieurs types de graphiques dans le même diagramme sur un résultat comme celui visible ci-dessous pour un portefeuille de 500 MF avec rendement de 5% et écart-type de 20%:

Figure: 66.47 - Tracé du mouvement brownien standard avec intervalle de confiance

Figure: 66.49 - Formules explicites pour le mouvement brownien et l'intervalle de confiance

Évidemment, dans la pratique il est possible de faire ce type de graphique avec n'importe quelle donnée comportant un drift linéaire et dont l'écart-type est connu.

PONT BROWNIEN

Voyons maintenant un cas d'application du mouvement brownien qui va nous être utile plus tard! En refaisant les développements vus plus haut, il vient immédiatement que:

Bref, ceci étant dit, nous souhaiterions construire un mouvement brownien qui partant au temps

de zéro (ce qui impose

) fluctue pendant une période T donnée et revient à zéro comme le montre les deux figures ci-dessous:

Si nous voulons que le mouvement brownien s'annule au moment T, il suffit de faire une simple soustraction du type suivant:

où BB signifie "Brownian Bridge" ou "pont brownien" en français. Si nous nous arrêtons ici, nous avons bien:

et pour s'assurer que la différence est bien nulle, l'astuce naturelle consiste à écrire:

fonctionne pour tous les processus de Wiener, raison pour laquelle vous verrez parfois dans la littérature tantôt des ponts avec:

PROCESSUS D'ITÔ

Considérons maintenant un processus brownien correspondant à une variation de x en temps continu définie par:

a et b étant alors des fonctions des 2 variables x et t. Cette considération est ce que nous appelons un "processus d'Itô". Il s'agit donc d'une généralisation du cas précédent où a et b ne sont plus constants.

Il est possible de calculer l'espérance et la variance de dx exactement de la même façon que pour le processus de Wiener et nous obtenons très facilement par analogie:

où a(x,t) correspond au drift instantané et b(x,t) à la variance instantanée.

Le "mouvement brownien géométrique" qui permet de définir théoriquement une prédiction possible d'évolution du rendement d'un actif est un cas particulier de processus d'Itô (parmi tant d'autres modèles...) où nous supposons que:

Donc la variance et le drift est indépendante du temps! L'avantage de poser ceci est que contrairement au mouvement brownien arithmétique nous verrons que le rendement suit alors une loi log-normale et ne peut dès lors être négatif. Cependant les deux processus ont deux faiblesses communes: le prix de l'actif associé peut tendre vers l'infini en un temps infini (ce que corrige le processus de Vasicek) et les deux considèrent la volatilité comme constante dans le temps...

Dès lors nous pouvons écrire l'expression du mouvement brownien géométrique de la valeur de l'actif notée:

Le fait de considérer le rendement de l'actif et sa variance comme des constantes dans le temps sont des choix basés sur l'observation empirique des marchés quand les actifs sont actions. Cela n'empêche cependant certains modèles plus élaborés d'avoir le rendement de l'actif et la variance qui dépendendt du niveau de ce dernier et du temps.

ce qui correspond au taux de rentabilité de l'actif sur une période infinitésimale dt.

Le mouvement brownien géométrique est donc a priori un bon candidat pour modéliser l'évolution du prix de certains actifs financiers à partir de son taux de rentabilité.

Dans la littérature spécialisée, le return (rendement) est aussi parfois noté (notation justifiée) sous la forme de l'équation différentielle stochastique (E.D.S.) suivante:

où

est bien évidemment le prix du sous-jacent appelé "stock price" au temps t,

est appelé la "dérive" (assimilé souvent au rendement) et

la "volatilité" (la volatilité du rendement). C'est la notation et le vocabulaire que nous adopterons pour la suite. Remarquons qu'écrit ainsi nous voyons mieux que cela suppose que la dérive est indépendante de la valeur du sous-jacent (ce qui est une observation vérifiée pour certains actifs).

Dans le cas de versement continu de dividendes, soit q le taux de dividende, la dynamique du prix s'écrit assez intuitivement:

Nous pouvons donc aussi écrire (nous poursuivons avec le cas sans dividendes!):

Au cas où

(processus de Wiener, autrement dit le prix du sous-jacent est parfaitement connu à un temps donné et sans risques), nous nous retrouvons avec une équation différentielle (connue dans le domaine) que nous pouvons de suite résoudre:

Il s'agit donc d'une exponentielle (comme l'intérêt continu que nous avons vu au début de ce chapitre). Cette relation n'étant valable que si l'intervalle de temps est donc très petit.

Nous allons voir maintenant à l'aide du "lemme d'Itô", qu'il est possible (ce qui n'est pas une possibilité unique!) d'établir qu'un tel processus peut définir une loi log-normale (cf. chapitre de Statistiques).

Le lemme d'Itô est établi à partir du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries) à 2 variables x et t donné par :

En considérant

, et en ne prenant les termes que jusqu'au deuxième ordre (approximation formelle périlleuse mais numériquement non obligatoire grâce à la puissance de calcul des ordinateurs), nous avons:

Nous avons aussi en considérant une subdivision du temps en intervalles

extrêmement petits (approximation qui va nous être utile un peu plus loin):

donc en se plaçant en temps continu (donc un modèle continu avec intervalles de temps extrêmement petits), l'application du développement de Taylor discrète vue plus haut:

En revenant à l'hypothèse de mouvement brownien géométrique, nous savons que nous devons considérer que:

et nous obtenons finalement l'équation différentielle stochastique à coefficients constants:

Une approche triviale de la résolution de cette intégrale est (on considère toujours dans ce modèle que la volatilité est indépendante du temps...):

dF définit alors un mouvement brownien géométrique avec drift particulier dont nous pouvons maintenant mesurer les paramètres (c'est ce que nous voulions obtenir). Par conséquent, les résultats que nous avions obtenus pour le mouvement brownien peuvent être récupérés et nous permettent d'écrire au final:

ce qui revient dire que dF suit une loi log-normale (cf. chapitre de Statistiques) de paramètres:

Un petit pic de rappel avec ce qui a été vu dans le chapitre de Statistiques mai appliqué à la finance de la loi log-normale peut être la bienvenue. Considérons la valeur présente d'un actif donnée (intérêt composé) dont le taux varie à chaque période:

Et donc si le taux de rendement est une varaible aléatoire et indépendante de période en période et identiqument distributé, nous avons alors ci-dessus une expression qui va donner selon le théroème central limite (cf. chapitre de Statistiques) une distribution Normale. Donc une variable aléatoire est distributé de façon log-normale lorsque son logarithme est Normalement distribué.

E1. Considérons un titre avec un prix actuel de 40.-, avec un rendement moyen supposé de 16% par année et une volatilité annuelle de 20%. Dans 6 mois (T = 0.5) nous avons alors:

Donc il y a 95% de probabilité cumulée que dans 6 mois que la valeur du titre soit comprise entre 32.55.- et 56.56.-.

Nous avons alors pour le rendement la possibilité d'appliquer le même type de calcls qu'avant:

Allons maintenant un peu plus loin en intégrant l'élément différentiel. Nous avons donc:

La deuxième primitive est simple (pas de constante d'intégration car au temps zéro l'espérance de gain est nulle):

La troisième primitive vaut (pas de constante d'intégration car au temps zéro la valeur du gain est parfaitement connue comme valant 0):

Pour trouver la signification du premier facteur, il suffit de poser la condition initiale:

Nous avons alors immédiatement pour l'expression finale du brownien géométrique qui est donc une variable aléatoire:

obtenue par P. Samuelson en 1965 et qui est parfois appelée "modèle de Bachelier-Samuelson" ou "représentation log-normale de la valeur de l'actif" ou encore "solution d'Îto".

Remarquons que si nous écrivons (de par l'inégalité de Jensen démontrée dans le chapitre de Statistiques):

cela nous donne l'espérance des écarts-positifs par rapport au strike (prix d'exercice). Et si nous actualisons cette valeur dans l'idée que cette somme d'argent pourra être investie à un rendement sans risque, nous obtenons alors la version Monte Carlo de l'évaluation d'une option de type Call:

et général la même forme de relation écrite pour un Put s'appelle la "relation fondamentale d'évaluaton des options". Dans la réalité il faut prendre garde au fait que le "fondamental" signifie qu'il faut faire cependant attention à choisir le bon processus stochastique, c'est la raison pour laquelle dans la littérature nous avons plus souvent l'expression suivante qui généralise la relation précédente:

où f est une fonction d'un mouvement (processus) stochastique donné (puisque pour rappel il y en a plusieurs en fonction du type de sous-jacent) et la fonction D est appelé "discount factor". Pour cette dernière relation, nous trouvons presque autant d'écritures différentes qu'il y a d'ouvrages sur le sujet...

Nous pouvons classifier la dynamique de cette fonction en trois cas particuliers:

Suite à la demande d'un lecteur, bien que nous ayons vu que le mouvement géométrique brownien a été construit plus haut à partir d'une loi log-Normale dont nous connaissons l'espérance, faisons le calcul inverse, c'est-à-dire de calculer l'espérance du mouvement géométrique Brownien pour évidemment à la fin retomber sur nos pattes:

Donc le terme entre parenthèses suit par définition (ou par construction si vous préférez) une loi log-Normale. L'espérance de cette dernière est alors:

Pour pricer ("valoriser" en français...) un actif suivant ce modèle sur un horizon, t nous pouvons utiliser la fonction VBA de Monte-Carlo suivante:

Nous avons au final une formulation (sous forme de fonction de distribution probabiliste) d'une variation temporelle et du return intrinsèque d'une action qui peut être utilisée à des fins décisionnelles d'investissements sur une prévision. Mais ce modèle est quand même trop lisse en n'arrive pas à modéliser les krachs boursiers (il en est de même pour rappel avec le mouvement brownien standard) pouvant arriver sur le long terme. Raison pour laquelle certains modèles plus récents que nous n'étudierons pas ici ajoutent un processus de Poisson (discret et à événements rares par construction) à celui de Wiener.

Il existe d'autres modèles que la log-normale mais celle-ci de par sa facilité est la plus répandue. Il faut cependant encourager d'autres méthodes plus généralistes!

Pour terminer cette partie résumons par une comparaison le mouvement brownien standard et le mouvement brownien géométrique qui régissent donc la dynamique des cours lorsque les paramètres (rendement et volatilité instantanés) sont donnés en %:

et rappelons que l'avantage du mouvement brownien géométrique est qu'il élimine (grâce à l'exponentielle) les valeurs négatives du cours que nous pouvions obtenir avec le mouvement brownien standard de Bachelier.

Il est alors intéressant pour le financier de visualiser l'espérance en fonction de T et la valeur x(T) correspondante à une probabilité cumulée de 2.5% et de 97.5% sur un graphique pour avoir une idée de l'évolution de l'intervalle de confiance à 95% de son x(0). Ceci est très facile à obtenir dans Microsoft Excel et l'on tombe typiquement en jouant avec plusieurs types de graphiques dans le même diagramme sur quelque chose du genre (portefeuille de 500 MF avec rendement de 5% et écart-type de 20%):

Figure: 66.51 - Tracé du mouvement brownien géométrique avec intervalle de confiance

Utilisant donc les relations démontrées plus haut (la cellule $B$2 contient la valeur 500):

Il est intéressant de comparer l'évolution de portefeuilles ayant les mêmes paramètres (volatilité et rendement) sur la même période de temps. Cela donne alors graphiquement:

Donc dans 6 mois, nous voyons que le portefeuille a 95% de probabilité cumulée de se situer entre 404.49 et 885.90 millions avec une espérance de 662.54 millions.

Enfin, le lecteur remarquera que l'on peut généraliser l'écriture des deux mouvements browniens (en prenant le logarithme népérien en ce qui concerne le mouvement brownien géométrique) en les écrivant sous une forme proposée par Mandelbrot en 1962:

où

et c sont respectivement les paramètres de localisation (rentabilité moyenne) et de dispersion (volatilité non gaussienne) du processus, et où

désigne le mouvement

-stable standard de Lévy.

Le problème avec ce modèle c'est la perte de l'existence, pour certaines lois de probabilité qui marchent très bien, du deuxième moment (la variance) si important en termes de communication et d'images pour les professionnels dans les années 1970 car il leur servait d'unique mesure du risque. L'absence de variance finie constitua vraisemblablement l'une des causes les plus puissantes du rejet.

ÉQUATION DE BLACK & SCHOLES

Nous avons obtenu lors des développements précédents, sous la contrainte d'une loi log-normale et d'un mouvement brownien, l'équation différentielle suivante pour la marche aléatoire de la valeur de l'action:

Si nous construisons maintenant un portefeuille delta neutre (donc non risqué pour rappel) consistant en une option en position short et un nombre

de titres sous-jacents (souvent aussi noté

dans la littérature) en position long (ou inversement peu importe!).

L'idée de l'égalité ci-dessus est la même que lorsque nous avons un portefeuille avec un montant numéraire S d'un titre (donc la montant numéraire total des titres dans le portefeuille de titres) et que nous nous protégeons par exemple d'une tendance baissière avec l'acquisition d'un certain nombre de Put à la différence qu'ici c'est le montant numéraire total d'options qui est fixé à F (donc le montant numéraire total des options dans le portefeuille d'options) et nous cherchons le nombre de sous-jacents à acheter (d'où le signe négatif) dans le cas d'une tendance supposée baissière.

Le différentiel temporel du portefeuille s'écrit alors (ce qui suppose que nous faisons du delta hedging en instantané ce qui dans la pratique est difficile à réaliser!):

Vous remarquerez que nous supposons constant le nombre

durant le différentiel de temps...

En réunissant les relations précédentes et (nous adoptons ici la notation traditionnelle usitée dans le domaine) l'équation de l'actif risqué donnée donc par:

où nous avons dans le crochet tout à droite le mouvement brownien géométrique.

Ce qui donne après réarrangement des termes l'équation différentielle du portefeuille:

Considérons maintenant que

est lié par la relation de dépendance spéculative (dont nous prenons la valeur entière) qui élimine de la relation précédente la partie aléatoirement risquée du portefeuille (c'est le dz qui génère le risque de manière aléatoire pour rappel!) tel que (nous retrouvons cette expression du delta lors de notre étude des grecques):

Nous pouvons alors écrire le varationnel infinitésimal sans risque suivant de notre portefeuille:

Or, nous avons aussi pour un portefeuille placé dans un investissement sans risque (puisque nous venons d'éliminer le risque aléatoire nous pouvons l'écrire ainsi):

qui n'est autre que "l'équation différentielle partielle parabolique linéaire (sans second membre) du second ordre de Black & Scholes" (à coefficient S non constant). Cette relation n'étant donc valable que sous l'hypothèse, de par la présence de r, que le rendement est celui sans risque du marché et donc que le mouvement brownien est un mouvement brownien en risque neutre!!! De même cette dernière relation suppose aussi que la variance est indépendante du temps!!

Le fait de poser que le drift µ est égal au rendement sans risque r a un impact important aussi sur l'interprétation de cette équation différentielle. Cela suppose effectivement indirectement que deux options ayant des drifts différents ont leur rendement implicite qui est égal et qui est pris comme celui sans risque du marché!!! Raison pour laquelle en finance si nous avons deux options dont le drift diffère et que la variance et maturité sont identiques, l'équation de Black & Scholes donne le même pricing par construction!!!

Cette dernière équation est plus souvent notée sous la forme relative à la référence implicite d'un Call telle que:

et encore plus condensée... (mais là cela devient franchement abusé comme notation...):

Le lecteur aura noté que le paramètre

(dérivation) est absent de cette équation! En d'autres termes, la valeur d'une option est indépendante de la vitesse de variation des valeurs des titres sous-jacents. Le seul paramètre qui affecte le prix de l'option est la volatilité

du sous-jacent. Une conséquence de cela est que deux personnes ayant des opinions divergentes quant à la valeur de

sont toujours en entente sur la valeur de l'option.

L'objectif bien évidemment est de résoudre cette équation différentielle afin de déterminer le return F(S, t). Celle-ci ne se laisse par ailleurs pas résoudre en deux lignes.

Avant de nous attaquer à cette tâche quelques définitions et indications pratiques préalables concernant certains paramètres sont utiles et nécessaires (nous déterminerons leur forme explicite après la résolution de l'équation différentielle):

PORTEFEUILLE AUTOFINANçANT SUR SOUS-JACENT RISQUÉ

Une stratégie de portefeuille autofinançant est une stratégie dynamique d'achat ou de vente de titres et de prêts ou d'emprunts à la banque, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le retrait de cash (nous aurions pu introduire ce sujet dès le début du chapitre mais nous avons jugé plus opportun de ne le faire que maintenant).

Nous supposerons ici pour l'exemple que nous ne pouvons investir que dans un seul titre (placement risqué), et dans du cash (placement supposé non risqué), c'est-à-dire en plaçant ou empruntant de l'argent à une banque.

Nous désignons par

le prix à la date t du titre, par le taux d'intérêt pour un placement entre

à la banque.

Soit

la valeur de marché, ou encore valeur liquidative, ou encore "Mark to Market" (M.t.M.) du portefeuille à la date t. Après renégociation, le nombre d'actions

du portefeuille est constant jusqu'à la prochaine date d'échéance de gestion. Pour simplifier, nous supposons pour le moment que le gestionnaire ne prend en compte dans sa règle de décision la valeur du cours du sous-jacent qu'au moment de renégocier.

Dans un temps très court, la variation de valeur du portefeuille n'est due qu'à la variation de la valeur du sous-jacent et à l'intérêt versé par la banque sur le cash, soit, puisque le montant investi dans le cash est:

Ainsi, pour un vendeur de Call (par exemple...), il s'agit de trouver le coût initial

et la stratégie

qui permettent d'obtenir (les financiers parlent de "réaliser l'actif financier"):

dans tous les scénarios de marché. S'il existe une telle stratégie de couverture, nous disons alors que nous avons affaire à un "marché complet".

LES GRECQUES ET AUTRES...

Dans la réalité ces modèles théoriques sont bien jolis (pour l'honneur de l'esprit humain) mais toutefois très peu réalistes. Raison pour laquelle les traders font (comme en ingénierie) appel à des indicateurs simples et parlants appelés "les grecques" pour prendre leurs décisions de vente ou d'achat. Cependant on peut, avec un peu de créativité, utiliser ces mêmes indicateurs dans de nombreux autres domaines (industriel, gestion de projets, chimie, etc.).

Voici la liste des plus connus (nous calculerons leur expression explicite pour certains modèles que nous développerons par la suite):

D1. Le "delta" d'une option, qu'il est important de comprendre (ou de savoir), est donné par:

et représente le taux de changement de la valeur des options du portefeuille dépendamment des valeurs des titres sous-jacents S (mathématiquement parlant c'est donc la dérivée première de la prime de l'option sur le prix du sous-jacent). Ce terme est fondamental dans la théorie (c'est une hypothèse dans la construction du modèle de Black & Scholes comme nous l'avons vu plus haut) et dans la pratique et nous en ferons fréquemment usage. C'est donc une mesure dans la corrélation entre le mouvement de l'option ou autres actifs financiers et dérivés et les sous-jacents.

Considérons par exemple qu'un Call sur l'action ABC est de delta 0.25 avec un cours du support (spot) à 90.- et une prime à 5.-. Lorsque le cours de l'action ABC passe de 90.- à 91.-, la prime de l'option va augmenter alors de 1 delta, et devient alors 5.25.-. Lorsque le cours de l'action ABC passe de 90.- à 88.-, la prime de l'option va diminuer de 2 fois delta, et devient 4.50.-. Cette variation en termes de delta (nombre entier) est alors notée

Le delta est donc un paramètre important pour un praticien qui veut se couvrir contre le risque. Effectivement, afin d'obtenir le delta global d'une position, il suffit de multiplier la valeur du delta de chaque option par sa position. Puis on fait la somme de tous ces deltas.

Par exemple, si sur un même sous-jacent nous sommes vendeur de 5 calls C₁ et acheteur de 7 Call C₂ alors notre delta global sera égal à:

La valeur de ce paramètre nous informe sur la quantité de sous-jacents à acheter ou vendre (position opposée sur le sous-jacent) afin d'immuniser la valorisation de notre portefeuille aux variations du cours de ce sous-jacent. Nous disons alors qu'il s'agit d'une "stratégie en delta-neutre" ou de "delta-hedging". Plus exactement il s'agit d'une stratégie dynamique ("dynamic hedging") car il faut maintenir un portefeuille delta-neutre tout au long de la vie de l'option (en théorie de façon instantanée pour rappel!) contrairement aux stratégies statistiques ("static hedging"). Par exemple, une stratégie statique pour couvrir la vente d'un Call de strike de 125.- sur 1'000 actions (prix spot 100.-), peut consister à acheter immédiatement 1'000 actions sur le marché contre 100'000.-, et attendre l'échéance. Dans cette situation, si l'acheteur exerce le Call le vendeur est en mesure de lui livrer les 1'000 actions contre 125'000.-. Mais s'il ne l'exerce pas, le vendeur reste avec 1'000 actions. De même, si le cours final s'établit par exemple à 80.-, le vendeur enregistre une perte de 20'000.-. Le delta-hedging permet d'éliminer ce risque.

Cependant, la stratégie de hedging dynamique à un côté vicieux car si la majorité des acteurs du marché achètent des sous-jacents pour se couvrir d'une hausse, alors cela aura pour effet d'augmenter encore plus la valeur du sous-jacent (loi de l'offre et de la demande) et ainsi ils vont acheter encore plus de sous-jacents, ce qui aura pour effet d'augmenter encore plus sa valeur et ainsi de suite et nous tournons alors en rond jusqu'à arriver à un potentiel crash des marchées (le crash de 1987 serait soit disant à l'origine dû à ce type de dynamique perverse). L'effet sera le même (mais opposé) pour se protéger d'une baisse... C'est pour cette raison qu'il est fortement recommandé de faire du delta hedging avec d'autres actifs financiers diversifés que le sous-jacente lui-même!!!!!

Ainsi, les gestionnaires, vont entre la date à laquelle ils ont encaissé la prime (en ayant vendu un contrat d'option) et sa maturité T, tout naturellement gérer en delta-neutre au fil du temps un portefeuille autofinancé constitué de

actifs sous-jacents S à chaque instant t, afin de disposer de façon certaine (donc sans risque) de la cible stochastique à la maturité. Nous parlons aussi de "portefeuille de couverture". Cependant cette stratégie masque une terrible faille au niveau global, effectivement si un acteur du marché applique cette stratégie en vendant massivement (par exemple pour se protéger de la baisse), alors tous les autres acteurs vont vendre peut-être aussi augement par extension le delta et amplifiant donc la volatilité et ainsi de suite jusqu'au crash.

D2. Le "thêta" d'une option donne la sensibilité du prix de l'option par rapport à sa maturité et est donné par:

Appliqué à notre portefeuille, le thêta nous donne simplement la valeur perdue ou gagnée suite à l'écoulement d'une journée par exemple.

D3. Le "rhô" calcule la sensibilité du prix de l'option par rapport à la varation au taux d'intérêt géométrique moyen sans risque du marché et est donné par:

D4. Le "véga", représenté par la lettre nu minuscule car le nom véga n'est pas lui-même un nom de lettre grecque, mesure la sensibilité de l'option par rapport à la volatilité et est donné par:

La volatilité est le paramètre déterminant du prix d'une option. L'impact de la variation de ce paramètre sur la valorisation de notre portefeuille est donc très important pour les traders sur options.

Une lecture possible du gamma est le sens d'évolution du delta en fonction du prix du sous-jacent. Un gamma positif indique que prix du sous-jacent et delta évoluent dans le même sens, alors qu'un gamma négatif montre le contraire.

Afin d'éviter de réajuster le delta en stratégie delta-neutre, et donc de payer les frais de transactions mais aussi les spreads inhérents, un bon moyen est d'avoir le delta le plus stable possible. Avoir le delta le plus stable signifie pas ou peu de modification de sa valeur initiale, donc avoir une stratégie "gamma-neutre" en plus d'avoir une stratégie "delta-neutre". Cependant, comme la stratégie delta-neutre fait que l'on joue déjà avec le sous-jacent pour rendre le delta constant, alors on ne peut utiliser le même sous-jacent pour rendre le gamma neutre. Le principe de gamma hedging d'un portefeuille contenant au moins un option est alors de trouver une autre option sur le marché dans des proportions qui permettent de compenser le gamma de la position originelle.

Considérons comme résumé un Call dont sur sous-jacent dont le prix spot est de 100.-, le strike de 100.-, la volatilité du rendement de 24% et le taux d'intérêt géométrique moyen du marché de 5%. Considérons que nous avons les valeurs suivantes:

La valeur du delta nous indique donc que si le prix du sous-jacent montre de 1.-, la valeur de l'option augmentera de 0.62.-. Le gamme nous indique que si le prix du sous-jacent montre de 1.-, le delta de l'option passera de 0.62 à 0.64. La valeur du thêta nous indique en fin de journée que la valeur de l'option aura diminué de 0.02.-. La valeur du vega nous indique que si la volatilité du sous-jacent passe de 24% à 25%, la valeur de l'option augmentera de 0.37.-. Enfin la valeur du rhô nous indique si la valeur du taux moyen géométrique sans risque du marché passe de 5% à 5.5%, la valeur de l'option augmentera de 0.25.-.

aurait une interprétation financière comme mesure de la différence entre le retour d'une option (les deux premiers termes) et l'ensemble d'un portefeuille de rendement sans risque r contenant cette option (les deux derniers termes).

Bref, ceci étant dit, nous pouvons donc avoir l'écriture technique suivante de l'E.D.P. de Black & Scholes (à coefficient S non constant) en utilisant les grecques:

RÉSOLUTION DE L'E.D.P. DE BLACK & SCHOLES

Avant de nous attaquer à la résolution de l'équation B.S. donnons déjà les solutions avec un rappel des termes (cela permettra d'avoir une idée préalable des concepts utilisés lors des développements et de plus je ne risque pas d'écrire ceux-ci avant quelques années faute de temps...):

Soient F(S,t) la valeur d'une option Call C(S,t) ou Put P(S,t),

la volatilité du sous-jacent, E le prix d'exercice (strike), T la date d'expiration et r l'intérêt et S le prix du sous-jacent. Nous allons résoudre l'équation différentielle de BS (à coefficient S non constant) écrite la forme suivante:

L'astuce (qui a menée à l'obtention d'un prix Nobel d'Économie pour rappel) est de voir qu'il s'agit d'un équation différentielle aux dérivées partielles et plus particulièrment avec des différentielles du premier ordre en t et en deuxième ordre en S. Or, il existe une équations différentielle de ce type qui est très connue en physique: l'équation de le chaleur (cf. chapitre de Thermodynamique). L'idée est alors par des changements de variables de s'y ramener. Toute la difficulté était de trouver les bons changements de variable et nos prédécesseurs se sont occupés de ce tatonnement... pour nous (merci à eux!). Nous commencors alors par poser (ce choix permet aussi de se ramaner à des conditions initiales similaires à celles de l'équation de la chaleur):

À toute fin utile, écrivons la transformatin inverse (qui nous sera utile beaucoup plus tard) qui en découle:

Une partie de l'idée sous-jacente à ce choix de changement de variables est de transformer le fait que dans l'équation différentielle de Black & Scholes, nous connaissons les conditions finales (puisqu'à maturité le prix de l'option est parfaitement déterminée) alors qu'avec l'équation de la chaleur il nous faut des conditions initiales et non finales! Nous allons de suite voir que ce choix de changement de variables permet cela. Effectivement, rappelons qu'à maturité nous savons que:

Pour transformer notre équation différentielle aux dérivées partielles (à coefficient S non constant):

avec ces nouvelles variables il nous faut calculer quelques dérivées partielles de C. Nous avons alors:

Il vient alors l'équation différentielle (à coefficient constants cette fois-ci!):

La suite toute aussi astucieuse, consiste à faire encore un changement de variable en posant:

Nous allons déterminer les deux paramètres

qui permettent d'écrire l'équation différentielle partielle à coefficients constants sous forme d'équation de la chaleur!

Nous allons procéder d'abord comme plus haut en déterminant l'équivalence des différentes dérivées partielles de u. Nous avons alors:

Ensuite vient une astuce très difficile à deviner (du moins a priori car je n'ai pas trouvé plus simple...). Effectivement avant de substituer ces trois dernières relations dans l'E.D., rappelons que:

Donc les trois dernières relations peuvent s'écrire (retrouver un mélange fonction de u et de v est très contre-intuitif):

et maintenant seulement faisons la substitution (partielle!) dans l'E.D.! Nous passons alors de:

Écrivons cette derinière égalité un peu différemment en mettant en factorisant à gauche et à droit ce qui contient u:

Nous reconnaissons donc ici l'équation de la chaleur (ou "équation de diffusion") démontrée dans le chapitre de Thermodynamique mais où le coefficient de dilatation thermique vaut 1/2.

Soit en injectant la deuxième égalité dans la première et après quelques simplifications élémentaires:

La suite (la résolution de l'équation différentielle) viendra dans un proche avenir... sauf accident (pas le temps de la rédiger...).

- Pour le Call européen (valeur de l'option d'achat de maturité T et de strike K) la solution (dont la démonstration doit encore être rédigée dans ce chapitre...) est alors pour un sous-jacent de type action ne payant pas de dividendes et pour un mouvement brownien géométrique:

nous déduisons évidemment qu'une option d'achat ne peut valoir plus que le sous-jacent (sinon quoi il y aurait alors une opportunité d'arbitrage consistant à acheter le sous-jacent et à vendre l'option Call - du moins si nous trouvons un acheteur assez idiot... - et in extenso cela nous ferait gagner à tous les coups).

- Pour le Put européen (valeur de l'option de vente de maturité T et strike K) pour un sous-jacent de type action ne payant pas de dividendes et pour un mouvement brownien géométrique:

De cette dernière relation nous concluons qu'une option de vente ne peut jamais valoir plus que le strike K (prix d'exercices) sinon quoi il y aurait aussi une opportunité d'arbitrage en vendant le Put et en achetant le sous-jacent.

Si jamais pour les curieux voici un exemple de valorisation d'une option Call vanille sur un terminal Bloomberg:

Figure: 66.56 - Valorisation d'une option vanille Call sur 1 sous-jacent du S&P 500

Dès lors, le "delta du Call" que nous avions déjà introduit plus haut est donné dans ce modèle par l'expression exacte (c'est immédiat):

Il est relativement facile de vérifier que ces solutions satisfont l'équation de parité Put-Call:

où rappelons que E est juste une autre manière traditionnelle de noter la valeur de strike K des deux options P et C (la variation des écritures vous permet ainsi de vous familiarises et avec le passage des notations françaises et anglaises).

Voici les commandes intégrées à la version anglaise de Microsoft Excel 14.0.6129 pour faire le calcul avec des valeurs d'entrées arbitraires:

Figure: 66.57 - Application de Black & Scholes dans la version anglaise de Microsoft Excel 14.0.6129

Remarque: Il est sûr que les équations de Black & Scholes ont permis l'essor des marchés aux options, en permettant une spéculation sécurisée. Cela reste de la spéculation (les acteurs spéculent les uns par rapport aux autres sur la volatilité des actions), mais cette spéculation reste sécurisée par l'équation de couverture, qui évite que les pertes ne soient trop importantes. Il existe néanmoins des inconvénients à leur utilisation. Le plus important est sûrement l'effet d'emballement qu'elles provoquent. Supposons par exemple que vous êtes le vendeur d'une option sur l'action d'une société S. Celle-ci annonce des résultats légèrement inférieurs à ceux attendus. Son cours baisse, et c'est normal. L'équation de couverture de Black & Scholes vous recommande alors de diminuer le nombre d'actions de cette société dans votre portefeuille, ce que vous faites. Mais tous les acteurs du marché font le même raisonnement, engendrant une nouvelle baisse du cours de l'action. L'équation de couverture de Black & Scholes vous recommande de vendre encore des actions, etc.... Cela peut déclencher un véritable emballement du marché, à la baisse comme à la hausse. Ceci est accentué par le fait que bien souvent, les ordres d'achat ou de vente sont automatisés, implémentés directement dans les logiciels, et ne nécessitent plus d'interventions humaines. D'autre part, l'équation de couverture de Black & Scholes est efficace pour de petites variations de cours, mais pas pour des "dévissages" brutaux et importants. Ainsi, un an à peine après avoir reçu leur prix Nobel d'Économie, Robert Merton et Myron Scholes furent impliqués dans la déconfiture du fonds d'investissement américain LTCM à l'automne 1998, à la suite de la grave crise russe de l'été 1998.

Dans les faits, les prix des options ne sont pas calculés avec la formule de Black & Scholes (d'autant plus que le rendement y est supposé constant... d'où l'utilisation des techniques de Monte-Carlo). La plupart du temps, ces prix résultent simplement de la loi de l'offre et de la demande, laquelle règne sur la plupart des marchés (raison pour laquelle, sur les marchés, des Call pour un sous-jacent de spot donné et même strike et maturité n'ont pas le même prix). Quand nous regardons alors l'expression non réduite:

Il s'agit donc d'une équation à une inconnue, puisque la seule valeur qui manque alors dans la pratique des marchés est la volatilité que nous appelons alors "volatilité implicite" (à l'opposée de celle utilisée lorsque nous valorisons les options et que nous appelons alors classiquement "volatilité empirique (observée)") et qui devrait (...) en théorie être égale sur les marchés pour un Call et un Put ayant même maturité et même prix d'exercice.

Ainsi, dans la pratique, le calcul de la volatilité implicite est effectué, à sous-jacent donné, pour plusieurs valeurs de K et de T au spot et rendement donnés par le marché à l'instant présent ou futur. Au final, au lieu de n'avoir qu'un seul point, nous obtenons une nappe comme celle ci-dessous:

où pour rappel la "moneyness" représente le rapport entre S et K. Si l'équation de Black & Scholes était respectée, nous devrions avoir ci-dessus un plan (donc quelque chose de totalement plat)...

Figure: 66.59 -Profil type d'une nappe de volatilité implicite dans le terminal Bloomberg

Sur les marchés, les agents (surtout les traders) regardent en permanence les surfaces de volatilités implicites (dont les interprétations peuvent être multiples!). Le souci, c'est que ces surfaces ne sont pas statiques: elles bougent tous les jours. La connaissance (en fait plutôt l'approximation) de la dynamique des nappes de volatilité est donc un sujet crucial et sujectivement complexe...

Une approche classique consiste à faire des hypothèses sur le comportement du sous-jacent. Parfois il existe des formules fermées (comme dans le modèle de Black & Scholes), mais souvent il faut faire appel à des méthodes numériques pour obtenir le prix l'option correspondante et ensuite inverser le problème pour trouver la volatilité locale.

D1. Nous appelons "volatilité historique" ou "volatilité statistique" ou encore "volatilité réalisée", la volatilité passée d'un instrument financieer sous-jacent à une option.

D2. Nous appelons "volatilité implicite" ou "volatilité forward", la volatilité injectée dans le modèle de Black & Scholes qui est une estimation de la moyenne de la projection future de la volatilité sur une période donnnée.

D3. Nous appelons "volatilité locale", la volatilité d'une option a posteriori calculée à partir du modèle de Dupire (inversion de la relation de Black & Scholes) en quelque sorte.

D4. Nous appelons "volatilité observée", la volatilité vraie d'une option telle qu'observée sur les marchés financiers.

Maintenant parlons du cas des sous-jacents qui paient des dividendes! Si le sous jacent dont le prix spot dont nous injectons dans le relation d'évaluation des options est S c'est sa valeur estimée actuelle par les agents économiques. Si le sous-jacent paie des dividendes alors ce prix n'est en réalité pas sa valeur faciale réelle puisqu'elle contient implicitement les valeurs actualisées des dividendes! Pour obtenir sa vraie valeur, il faut soustraire alors à S les valeurs actualisées des dividendes avant d'en injecter la valeur des les relations d'évaluation.

Considérons un Call sur 1 an d'une action BMW avec un prix d'exercice de 40.-. Supposons que le prix spot actuel de l'action BMW est de 35.-, le taux d'intérêt continu annuel sans risque du marché est de 5%, la volatilité de 20% par an et qu'il y a deux dividendes pendant la période d'un an de respectivement 1.- à 2 mois et 0.5.- à 8 mois.

Et donc cette somme déterministe est implicitement inclue dans le prix spot actuel du marché. Dès lors, la valeur spot S qu'il faut injecter dans la relation d'évaluation du Call est 35-1.4753 = 33.5247.- et non 35.-.

Dans le cas où le sous-jacent paie des dividendes qui en taux continu constant q alors sa vraie valeur faciale actualisée sur le temps T sera donnée en utilisant le taux continu (si jamais revoir la construction du concept de taux continu!):

En injectant cette dernière relation dans l'évaluation des options, nous avons par exemple pour le Call:

Il est évident que cette dernière égalité est une généralisation des options sur sous-jacent de type titres ne payant pas de dividendes. Nous pourrions, par ailleurs, là aussi encore une fois calculer les grecques correspondant...

VALUE AT RISK

Les mesures du risque ont bien évolué depuis que Markowitz a avancé sa célèbre théorie de la diversification de portefeuille à la fin des années 1950, théorie qui devait révolutionner la gestion de portefeuille moderne. Le risque d'un portefeuille était alors relié à la matrice des covariances-variances comme nous l'avons démontré théoriquement et par l'exemple plus haut.

Dans les années 1960, Sharpe a proposé le modèle unifactoriel d'évaluation des actifs financiers où le bêta est le facteur explicatif principal du risque d'un portefeuille via la matrice des bêtas.

Au début des années 1990, une nouvelle mesure du risque a fait son entrée (la banque JP Morgan en serait à l'origine). En effet, on reconnaissait de plus en plus les limites des mesures traditionnelles du risque. Il fallait se donner des mesures du risque de baisse de la valeur des actifs. Pour ce faire, il fallait trouver des mesures davantage reliées à l'ensemble de la distribution des flux monétaires d'un portefeuille. C'est dans ce contexte qu'une mesure nominale du risque a été proposée: la VaR (notée V@R en gestion de projets). Dont l'idée est en gros de pouvoir dire que nous avons X% de probabilité cumulée de ne pas perdre plus de Y en numéraires dans les N prochains jours.

Cette nouvelle mesure a d'abord servi à quantifier le risque de marché auquel sont soumis les portefeuilles bancaires. En effet, l'Accord de Bâle a recommandé aux banques, en 1997, de détenir un montant de capital réglementaire pour pallier aux risques standards de marché. Or, ce capital est depuis lors calculé à partir de la VaR et celle-ci est devenue de plus en plus populaire pour évaluer le risque de portefeuilles institutionnels ou individuels (et pas que!). Il n'existe pas cependant une mesure unique de la VaR. En effet, elle repose sur le concept de volatilité, qui est essentiellement latent. C'est pourquoi les banques se doivent de recourir à plusieurs modèles de VaR de manière à définir la fourchette de leurs pertes éventuelles. Ces calculs sont d'autant plus complexes que la distribution des rendements des titres mesurés à haute fréquence s'éloigne sensiblement de la Normale (donc pour de longs intervalles de temps on se rapproche par contre assez souvent d'une loi Normale).

Définition: La "Value at Risk" (VaR) est la perte maximale théorique que peut subir un gestionnaire d'un portefeuille (dont la valeur est forcément implicitement variable) et pour une certaine période de temps avec une probabilité cumulée donnée (l'utilisation de la VaR n'est pas limitée aux instruments financiers, elle est utilisée dans beaucoup d'autres domaines de la gestion du risque en général).

VAR RELATIVE

Dans le modèle classique de la VaR relative (appelée aussi parfois "VaR Paramétrique"), nous supposerons que la distribution statistique des résultats d'un portefeuille obéit à chaque instant à une loi Normale... que nous noterons par la suite:

L'idée suivante est que la variable aléatoire X peut donc être réécrite avec une variable aléatoire Normale centrée réduite (cf. chapitre de Statistiques) en posant:

et cette écriture est donc utilisée dans énormément d'autres domaines que la finance (gestion de projets, assurance qualité, logistique, etc.).

Soit

le seuil critique (quantile de seuil alpha) associé à la probabilité cumulée visée. Nous pouvons alors écrire:

qui est une forme intéressante car elle reporte l'analyse du risque et de la variabilité sur l'estimation de l'écart-type seul (ce que les financiers apprécient bien...)! Cette notation est cependant un abus très courant de l'écriture rigoureuse suivante (qui indique plus clairement que nous utilisons le quantile de

Ce qui s'écrirait en utilisant la même notation que dans le chapitre de Statistiques lorsque la distrubion est Normale:

Cette forme d'écriture se vérifie aisément avec la version anglaise de Microsoft Excel 11.8346 pour les sceptiques... Considérons un portefeuille P ayant un écart-type annuel de 10% (qu'il faudra exprimer en numéraire) et supposons que nous possédons 1'000.- en actifs de ce portefeuille (en moyenne). Nous avons alors à la première année:

=NORMINV(99%;1000;10%*1000)=1000+NORMSINV(99%)*10%*1000
=1000+2.326*10%*1000 =1'232.6

Soit 99% de probabilité cumulée d'avoir un portefeuille valant entre 0 et 1'232.6.- à tout moment (nous considérons comme négligeable la probabilité cumulée que le portefeuille ait une valeur négative avec cette écriture...).

Mais ce qui intéresse le gestionnaire n'est pas de se couvrir du risque de l'espérance (car il est nul) mais de la volatilité seule! Dans le cas précédent elle est donc de 100.- et suit une loi Normale centrée réduite. D'où la raison de définir la VaR formellement comme étant la relation mathématique qui donne un intervalle de confiance (ou une quantile selon le point de vue) de l'écart-type:

Ainsi, pour une probabilité cumulée de 99% les logiciels nous donnent en valeur absolue (voir le traitement des intervalles de confiance dans le chapitre de Statistiques):

où par tradition les financiers prennent l'alpha (et donc la VaR) comme étant positif. D'où le fait qu'ils parlent de risque couvert à 99% (sous-entendu pendant un certaine période!) alors qu'en réalité il s'agit de couvrir un risque qui a 1% de probabilité cumulée d'avoir lieu (mais strictement parlant c'est la même chose simplement que le premier est plus facile à faire comprendre à un client...!!!). Raison pour laquelle nous trouvons parfois aussi la VaR sous la forme suivante:

Signalons que le résultat du calcul peut être désigné aussi sous le nom de "réserve fractionnaire" (bien que cela n'ait aucun rapport avec la façon dont les États imposent une réserve fractionnaire aux banques) ou encore "réserve mathématique" (bien que cela n'ait aucun rapport avec la manière dont les assurances calculent la réserve mathématique).

Si cela n'est pas très clair, rappelons le schéma suivant vu dans le chapitre de Statistiques:

qui était au tableau suivant pour quelques valeurs choisies courante dans l'ingénierie (nous verrons plus loin quelqus valeurs typiques en finance):

Donc quand nous prenons une valeur du quantile

cela correspond toujours à un Z donné et donc à un nombre d'écarts-types Z

Petite information intéressante: Si nous nous couvrons du risque à 2

par exemple en journalier (ce qui est très peu au passage...) cela signifie qu'en unilatéral gauche, nous supposons donc environ 5% de probabilité cumulée par jour que l'événement indésirable ait lieu. In extenso si les événements indésirables sont indépendants alors nous pouvons utiliser la loi géométrique dont nous avons démontré dans le chapitre de Statistiques que l'espérance de la première survenue de l'événement (indésirable dans le cas présent) était égale à l'inverse de la probabilité. Donc avec l'étendue choisie, nous avons l'événement en question qui apparaîtra en moyenne environ une fois tous les 20 jours (1/5%).

Un portefeuille P de valeur 1'000.- a une volatilité annuelle de 10%. La volatilité journalière (instantanée) du rendement est alors de (nous utilisons ici la propriété du mouvement brownien standard où pour rappel les rendements sont supposés indépendants d'un jour là l'autre...):

où 252 est le nombre de jours de Bourse dans l'année dans un pays donné. Soit en numéraires:

De même sur un an nous aurions la VaR relative annuelle au seuil de 99% suivante:

Soit une VaR relative de 23.26% (juste histoire de la donner en pourcents comme il est d'usage dans le domaine financier).

Ainsi, en ce qui concerna la VaR annuelle relative, nous avons alors 99% de probabilité cumulée de gagner 232.60.- mais aussi de les perdre! Effectivement nous avons 1% de probabilité cumulée d'avoir une perte annuelle de:

donc il faudrait au moins un capital risque (fonds propres) de 232.6.- pour couvrir 99% des risques (couvrir cette probabilité cumulée de 1% d'être dans une mauvaise année respectivement). Nous pouvons aussi dire que nous avons 99% de probabilité cumulée de ne pas perdre plus 232.6.-. Nous retrouvons donc le même résultat numérique qu'avec l'exemple précédent.

Le lecteur remarquera que nous avons donc dans le domaine de la Bourse (ceci découle donc du mouvement brownien standard) pour passer d'un horizon temporel journalier à un annuel:

Les financiers appellent cette propriété du mouvement brownien dans le cadre de l'utilisation de la VaR la "scaling law". Elle est autorisée par les accords de Bâle en 1996 qui présupposent une distribution Normale et conseillent un horizon temporel de 10 à 30 jours. Nous avions vu cependant lors de notre démonstration du modèle du mouvement brownien standard que nous sous-estimons sous cette hypothèse le risque réel et que ce réflexe de changement d'échelle via la racine carrée est très critiquée par les spécialistes.

Donc la VaR bien qu'étant un montant placé dans les capitaux propres (provisions pour risques et charges) afin de faire face à un décrochage violent mais temporaire du marché, ne suffit pas à se protéger d'un retourenement puissant et durable du marché... Raison pour laquelle les banques provisionnent souvent le minimum minimorum...

Dans le cas où les rendements ne sont pas indépendants mais sont décrits pas un processus autorégressif d'ordre 1 (voir les séries temporelles plus loin dans ce chapitre) tel que:

Nous avons alors en considérant la variance résiduelle comme négligeable et que les rendements ont une variable égale d'un jour sur l'autre:

Si la corrélation est nulle nous retrouvons bien le facteur d'échelle temporelle de racine carrée de 2. Il est intéressant de remarquer que dans le cas général (voir l'étude des AR(1) plus loin) où la rendement a une tendance à la hausse, la VaR AR(1) est toujours plus élévée que la VaR classique.

Le but ici va être de démontrer pourquoi les accords de bâle recommandent de multiplier la VaR par un facteur de 3.03.

Rappelez-vous d'abord que dans le chapitre de Statistiques une variante d'écriture de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev:

Faisons maintenant l'hypothèse forte comme quoi la distribution sous-jacente est symétrique. Dès lors, il est quasi immédiat que nous sommes amenés à écrire:

Supposons que nous imposons cet écart à la moyenne d'avoir une probabilité cumulée de 1%. Cela revient alors à écrire:

Soit l'écart à la moyenne au seuil de probablité cumulée de 1% s'écrit alors:

Or, rappelons que dans le cas d'une loi Normale, nous venons de voir plus haut que:

Nous retrouvons alors le multiplicateur proposé dans les premières accords de Bâle concernant les meilleures pratiques de la VaR. Bien évidemment, il est tout à fait justifié que le lecteur s'interroge sur grande différence entre les deux approches (presque 300%!!!). Eh bien c'est simple: il faut d'abord se rappeler que l'inégalité de BT est une... inégalité valable pour toute fonction de distribution symétrique et la valeur de 7.071 est donc la borne supérieure aux pire (max) pour le cas général alors que la valeur de 2.326 est uniquement pour la loi Normale qui est une gentille distribution (avec pour rappel la probabilité qui décroît exponentiellement alors que pour certaines lois symétriques la décroissance est juste de type puissance comme c'est le cas pour la fonction de distribution de Pareto).

VAR ABSOLUE

La mesure de VaR que nous venons de donner est une mesure relative car elle ne tient pas compte de la moyenne des pertes et gains futurs.

Si la volatilité est de 100.- dans l'exemple qui vient d'être donné, la VaR relative est donc 232.6.- Mais comme le profit moyen est généralement non nul sur une longue période de temps, nous devons la plupart du temps utiliser la mesure absolue de la VaR (sur une très courte période le profit étant considéré comme parfois nul, on s'en tient au calcul de la VaR relative).

Rappelons d'abord que suite à notre étude du modèle de Bachelier nous avons démontré que l'espérance positive de la valeur (ou rendement) ainsi que l'écart-type positif d'un portefeuille sont proportionnels à la racine carrée du temps.

Supposons que la période d'observation t soit en mois. Le rendement mensuel espéré pour le portefeuille de valeur initiale S est alors de

(son espérance donc..!.) et la variance mensuelle de son rendement de

Sa VaR relative au seuil de confiance

est donc après t mois donnée par (vous pouvez vérifier que la relation est bien homogène!):

comme nous avons pu le vérifier dans l'exemple précédent (donc jusqu'ici rien de nouveau...). La racine carrée du temps provient, pour rappel, du modèle de Bachelier (mouvement brownien standard).

En version de Monte-Carlo avec du VBA (car la version ci-dessus est dite "ponctuelle") cela donne:

Si nous reprenons le même exemple que précédemment (portefeuille de 1'000.- avec 10% de volatilité annuelle). La VaR relative est donc sur une projection de 30 jours de:

Mais cette dernière relation ne tient pas compte du rendement moyen espéré

du portefeuille dans le temps. La VaR absolue est donc obtenue en retranchant ce rendement à la VaR relative sur la même période temporelle, c'est-à-dire:

où nous faisons l'hypothèse particulière que le rendement est donc linéairement dépendant du temps (conformément à la construction semi-empirique du mouvement brownien standard). La VaR absolue est donc bien évidemment inférieure à la VaR relative de ce montant.

Mentionnons que le calcul de la VaR absolue peut être considéré comme vicieux ou ayant peu d'intérêt car il suppose que le gain obtenu grâce au rendement sera placé dans les fonds propres pour financer la VaR relative. Or, dans la majeure partie des cas les gains seront replacés autrement.

Reprenons quand même notre exemple habituel sous cette hypothèse (portefeuille de 1'000.- avec 10% de volatilité annuelle) avec un rendement annuel de 15%. Nous avons alors:

Concrètement, si nous finançons la VaR avec les gains alors sur une année il suffit d'avoir 82.6.- de fonds propres. Dans la pratique il peut être intéressant de savoir à partir de combien de temps les gains couvrent la totalité de la VaR. Dans ce cas il s'agit d'une simple équation du deuxième degré telle que:

et nous trouverions dans notre exemple 2.4 années. Concrètement après 2.4 années les gains auront couvert la totalité des risques selon les hypothèses de construction...

VAR delta-normale

Nous venons donc de voir que lorsque nous travaillons avec un actif et que l'écart-type est exprimé en numéraires (ou en % ensuite transformé en numéraire), la valeur numéraire de la VaR relative était donc donnée sous hypothèse de normalité par:

Mais qu'en est-il de la VaR d'un dérivé (option typiquement) sachant que celui-ci dépend indirectement de la valeur du sous-jacent et que seule celle-ci est mesurable sur l'ensemble du marché (afin d'obtenir une distribution statistique)? Eh bien pour cela nous allons reprendre le développement de Taylor utilisé plus haut lors de notre étude des processus d'Itô:

Ainsi en en ne prenant qu'au premier ordre nous avons l'approximation affine suivante (donc approximation grossière valable que dans le domaine linéaire):

et en laisant de côté la variation temporelle (...) et en prenant qu'une variation infiniment petite (ce qui permet toutefois de rendre l'approximation un peu plus réaliste):

Et en écrivant avec la notation d'usage du sous-jacent telle qu'utilisée lors de notre études du pricing ("valorisation" en français pour rappel) des options et en utilisant la notation des grecques telle que définie plus tôt:

Ainsi, la variation d'un dérivé supposé dépendant uniquement des variations du sous-jacent au premier ordre est directement proportion à la variation marginale du prix de l'option multiplié par la variation du sous-jacent. Ainsi, si nous supposons la distribution des prix du sous-jacent comme étant Normale - raison pour laquelle nous parlons alors de "VaR delta-normale", une approche grossière consiste alors naturellement à écrire si la volatilité du sous-jacent est donnée en %:

VAR HISTORIQUE

Une troisième manière pragmatique de calculer la VaR relative est basée sur les données historiques. Il s'agit de la manière la plus simple de faire le calcul avec la facilité d'utilisation des tableurs existant aujourd'hui.

Supposons pour l'exemple que nous ayons les cent dernières performances journalières d'un portefeuille. Les dix plus mauvaises performances journalières sont données ci-contre par ordre croissant:

La VaR relative à 95% pour 1 jour consiste alors à déterminer le 5ème centile. Comme nous avons 100 échantillons, il est facile de déterminer qu'il s'agit de la 5ème valeur dans l'ordre croissant des valeurs. Donc:

Comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de Statistiques, dans les tableurs nous utilisons la fonction CENTILE( ) qui n'est pas forcément calculée de la même manière d'un logiciel à l'autre.

VAR DE CRÉDIT

Pour introduire ludiquement la VaR de crédit Considérons trois portefeuilles, A, B et C dont les probabilités de défaut de crédit suivent une loi de Bernoulli (donc pour rappel c'est un événement binaire) de valeurs respectives 5%, 10% et 20% et dons les valeurs numéraires sont en millions de francs de 25.-, 30.- et 45.-.

Pour l'exemple qui suivra, nous ferons les hypothèses (qui sont souvent implicites même dans tout ce que l'on a vu jusqu'à maintenant) que l'exposition au risque est constante, que les portefeuilles sont indépendants et qu'en cas de défaut de crédit nous perdons tout.

Comme les trois portefeuilles sont donc indépendants, l'espérance de perte (notée "L" pour Loss) est facilement calculable à l'aide de la propriété de linéarité de l'espérance:

Comme la perte de crédit est considérée comme une variable aléatoire de Bernoulli (et que les portefeuilles sont toujours indépendants), nous avons alors toujours en millions de francs (se référer au calcul de la variance d'une variable aléatoire de type Bernoulli dans le chapitre de Statistiques):

Bon ceci étant fait pour le plaisir... Comme déterminer le plus finement possible la distribution des pertes pour avoir la VaR de crédit à un seuil donné? Eh bien pour cela il va nous falloir construire le tableau de toutes les issues possibles.

Scénario perte	Perte associée	Probabilité	Probabilité cumulée
Aucun	0.-	(1-0.05)×(1-0.1)×(1-0.2)=68.40%	68.40%
A	25.-	0.05×(1-0.1)×(1-0.2)=3.60%	72.00%
B	30.-	(1-0.05)×0.1×(1-0.2)=7.60%	79.60%
C	45.-	(1-0.05)×(1-0.1)×0.2=17.10%	96.70%
A, B	55.-	0.05×0.1×(1-0.2)=0.40%	97.10%
A, C	70.-	0.05×(1-0.1)×0.2=0.90%	98.00%
B, C	75.-	(1-0.05)×0.1×0.2=1.90%	99.00%
A, B, C	100.-	0.05×0.1×0.2=0.1%	100%

Tableau: 66.7 - Scénarios de pertes et probabilités associées

Ainsi, la VaR de Crédit la plus proche de 95% est de 45 millions de francs. Puisque nous pouvons nous attendre à une perte de 13.25 millions de francs, la partie non attendue sera donc considérée comme étant de 31.75 millions de francs.

VAR OPÉRATIONNELLE

Nous avons déjà rencontré le concept de convolution plusieurs fois dans le chapitre de Statistiques mais pour des lois continues connues explicitement sous leur forme algébrique.... Dans la pratique il en est tout autre! Ainsi, les actuaires on souvent à leur disposition pour une période donnée (souvent sur une année), une distribution expérimentales des fréquences des événements d'intérêt (accidents, décès ou autre) et une distribution expérimentales des coûts des événements d'intérêt. Par exemple, considérons le cas très simplifié (en taille!) suivant:

Distribution Fréquence (pertes)		Distribution des coûts de perte
Probabilité	Fréquence	Probabilité	Perte
0.6	0	0.5	1'000.-
0.3	1	0.3	10'000.-
0.1	2	0.2	100'000.-
Espérance:	0.5	Espérance:	23'500.-

Tableau: 66.8 - Fréquence d'événements de pertes et probabilités et probabilités de perte

Si nous souhaitons à partir de ces valeurs expérimentales et discrètes déterminer la distribution empirique des coûts, nous allons devoir faire une convolution discrète dont le principe est le suivant:

Nombre de pertes	Première perte	Deuxième perte	Perte totale	Probabilité
0	0	0	0	=0
1	1'000	0	1'000	=0.3×0.6=0.150
1	10'000	0	10'000	=0.3×0.3=0.090
1	100'000	0	100'000	=0.3×0.2=0.060
2	1'000	1'000	2'000	=0.1×0.5×0.5=0.025
2	1'000	10'000	11'000	=0.1×0.5×0.3=0.015
2	1'000	100'000	101'000	=0.1×0.5×0.2=0.010
2	10'000	1'000	11'000	=0.1×0.3×0.5=0.015
2	10'000	10'000	20'000	=0.1×0.3×0.3=0.009
2	10'000	100'000	110'000	=0.1×0.3×0.2=0.006
2	100'000	1'000	101'000	=0.1×0.2×0.5=0.010
2	100'000	10'000	110'000	=0.1×0.2×0.3=0.006
2	100'000	100'000	200'000	=0.1×0.2×0.2=0.004

Tableau: 66.9 - Convolution distribution des événements de pertes et valeurs associées

L'espérance des pertes est alors égale à 11'750.-, ce qui équivaut aussi à calculer simplement (l'espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes étant égal au produit des espérances comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Statistiques):

Perte	Probabilité cumulée
0	60%
1'000	75%
2'000	77.5%
10'000	86.5%
11'000	89.5%
20'000	90.4%
100'000	96.4%
101'000	98.4%
110'000	99.6%
110'000	100%

Tableau: 66.10 - Combinaison des calculs

Du côté de la VaR opérationnelle, si on la pose à 95% (les accords de Bâle II propose plutôt de prendre 99.9%), la valeur la plus proche est alors:

Il est au passage très intéressant de remarquer comment deux simples tables produisent une quantité de calculs en convolution relativement conséquent. Raison pour laquelle dans des cas pratiques réels, il faut faire appel à l'informatique.

VAR VARIANCE-COVARIANCE

La VaR variance-covariance est basée sur un cas plus réaliste du calcul de la VaR pour un portefeuille composé de plusieurs actifs financiers corrélés ou non (contrairement aux cas précédents où nous n'avions qu'un seul actif).

Considérons pour introduire ce concept un portefeuille P1 de 5'000'000.- et de volatilité journalière de 2% (soit de 100'000.-/j.) et un deuxième portefeuille P2 de 7'000'000.- et de volatilité journalière de 1% (soit de 70'000.-/j.).

Nos mesures montrent que leur coefficient de corrélation

est de 0.6. L'écart-type global journalier est alors de (cf. chapitre de Statistiques):

où comme à l'habitude nous voyons que si la corrélation est négative cela diminue la volatilité globale.

Ainsi, la VaR relative journalière à 99% pour le portefeuille global est de (pas de scaling law à appliquer ici puisque l'écart-type est journalier et que nous voulons la VaR relative journalière):

Il est intéressant de comparer la VaR relative journalière à la somme des VaR relatives des deux portefeuilles:

De nombreux praticiens font le même calcul avec le rendement plutôt qu'avec les valeurs numéraires. Ainsi nous obtenons la VaR exprimée en terme de rendement.

Si nous avions un unique portefeuille composé de plusieurs instruments financiers telle que la proportion totale est égale à l'unité, nous devrions alors conformément à ce que nous avons vu lors de notre étude du modèle de Markowitz travailler avec la relation suivante si nous travaillons avec les rendements:

Ainsi, si nous considérons le premier portefeuille dans une proportion de 75% (et donc in extenso le deuxième dans une proportion de 25%). Nous avons alors:

Qui représente donc en % le montant que nous pouvons perdre de la valeur du portefeuille.

VAR MARGINALE

Lors de notre étude du modèle de diversification efficiente de Markowitz, nous avons montré que la variance d'un portefeuille composé de plusieurs investissements en proportions données s'écrivait:

La variation de cette variance par rapport à une variation d'une des proportions

seule donne:

Rappelons la propriété de bilinéarité de la covariance démontrée dans le chapitre de Statistiques:

Le lecteur remarquera que nous retrouvons à peu de choses près le coefficient bêta. Dès lors, nous pouvons écrire (au passage je préfère écrie les pois selon la notation la plus usitée):

Ce qui donne donc pour un actif donné ayant un poids donné dans un portefeuille donné l'augmentation en % de sa contribution au risque du portefeuille lorsque l'on augmente son poids de 1%.

Rappelons pour clore à quoi sert la VaR? Mentionnons d'abord qu'elle se révèle d'une grande utilité puisqu'elle est mesurée en termes nominaux. Une fois qu'une institution financière a calculé sa VaR globale, c'est-à-dire la perte maximale qu'elle peut encourir sur l'ensemble de son bilan pour une probabilité prédéterminée, il lui est loisible de se servir de ce montant pour déterminer le capital (avoir propre) minimal qu'elle doit détenir pour ne pas s'exposer à la faillite. Si en effet elle détient un capital moindre et que la perte maximale probabiliste se produit, son avoir propre sera négatif et elle devra peut-être déposer son bilan.

La VaR est donc très utile pour une institution financière, car elle lui permet de déterminer le niveau du capital qu'elle doit maintenir pour survivre. Quand la VaR est utilisée à cette fin, nous l'appelons plus communément CaR pour "Capital at Risk", c'est-à-dire que le capital que doit détenir une institution financière est calculé ou évalué selon les risques auxquels elle est exposée. Plus le risque est important, plus elle devra maintenir un capital élevé. Cela apparaît bien raisonnable, car le capital détenu par une institution financière est d'abord et avant tout un filet de sécurité. Pour une banque, il vise à protéger les dépôts à son passif. La VaR se présente donc comme une mesure appropriée pour définir le capital réglementaire que doit détenir une institution financière. C'est pourquoi le Comité de Bâle, chapeauté par la Banque des Règlements Internationaux, retenait cette mesure pour calculer le capital réglementaire d'une institution de dépôts en 1995 et qui est devenue effective en janvier 1998. Celles-ci doivent maintenant calculer leur exposition au risque en recourant à la VaR et tester sa justesse en faisant des "stress tests" (confronter les calculs à des variations extrêmes ) ainsi qu'à des "back testing" en vérifiant que les grandes déviations (en dehors de l'intervalle de confiance) n'ont pas lieu plus de 5 fois par année boursière (donc par comparaison aux données historiques).

BACK-TESTING DE LA VAR (MODÈLE BINOMIAL)

Comme mentionné précédemment, le "back-testing" est une méthode très fréquente utilisée par les traders pour contrôler a posteriori de l'efficacité d'un modèle prévisionnel ou d'un stratégie de trading.

Nous allons voir ici un modèle naïf de back-testing de la VaR (il en existe un grand nombre) mais lorsque le lecteur parcourra plus loin les modèles prévisionnels (moyenne mobile, lissage exponentiel, ARIMA, etc.) nous verrons que nous comparerons ces modèles avec les mêmes valeurs en utilisant des mesures d'erreurs (ME, MAD, MDS, MPE). Ces comparaisons sont considérées alors aussi comme une forme de "back-testing".

Donc pour en revenir à la VaR, il est relativement évident que lorsque l'on vient de mettre en place un modèle de VaR par exemple annuel et que l'on a peu d'historique il vaut mieux la ramener à une VaR journalière et faire le back-testing sur la base d'une plus petite unité.

Rappelons l'exemple du début où nous avions une VaR relative journalière et respectivement annuelle au seuil de 1% (donc couverture à 99%) de:

Supposons que nous faisons un back-testing de ce modèle en le comparant aux données de 600 journées que nous avons en notre possession. Nous observons 9 valeurs au-dessus de 14.65.-. Que pouvons-nous en conclure???

Eh bien il faut d'abord savoir que si les N journées sont indépendantes et que nous notons par p la probabilité qu'un des journées soit hors de la VaR (donc valeur associée égale à 1% dans notre exemple!), alors nous avons affaire à une expérience de N épreuves de Bernoulli. Il s'agit donc d'une loi Binomiale dont la probabilité cumulée associée est pour rappel (cf. chapitre de Statistiques):

Dès lors, l'espérance est déjà donnée par (c'est sympa de la calculer mais en réalité ce n'est pas très utile):

Cependant pour connaître la probabilité cumulée associée à 9 événements, nous calculons par exemples avec Microsoft Excel 14.0.6129 en anglais:

Soit une p-value de 8.29%. Donc que ce soit en unilatéral ou bilatéral, ce test d'hypothèse nous amène à ne pas rejeter le modèle de la VaR. Il ne faut pas oublier que si N est très grand et que la probabilité est petite, la loi binomiale tend vers une loi Poisson (cf. chapitre de Statistiques) qui est plus simple à manipuler (c'est la recommandation du standard CreditRisk+).