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Mathématiques Sociales

DYNAMIQUE DES POPULATIONS | THÉORIE DES JEUX ET DE LA DÉCISION | ÉCONOMIE
TECHNIQUES DE GESTION
| MUSIQUE MATHÉMATIQUE

68. MUSIQUE MATHÉMATIQUE (ACOUSTIQUE)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:24:00 | {oUUID 1.808}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

La théorie de la musique est l'ensemble des aspects théoriques d'un système musical particulier. Il existe, non pas une, mais une infinité de théories musicales, chaque type de musique possédant la sienne. Tout système musical repose en effet sur un certain nombre d'usages, plus ou moins contraignants, susceptibles de faire l'objet d'une théorisation, orale ou écrite.

Une théorie de la musique possède fréquemment un point de départ religieux, philosophique ou magique ; d'autres fois, un point de départ arithmétique ou scientifique (acoustique). C'est à cette dernière que nous nous intéresserons ici évidemment...

Nous allons pour commencer considérer dans ce chapitre les ondes élastiques dans un gaz, résultant des variations de pression dans le gaz. Le son constitue l'exemple le plus important de ce type d'ondes qui fait partie de notre environnement quotidien.

ONDES SONORES LONGITUDINALES

Dans les milieux élastiques: les gaz et les liquides, des ondes sonores longitudinales se propagent suivant le mécanisme suivant (pour les solides il s'agit d'ondes transversales déjà étudiées dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus): une couche du milieu se déplace dans le sens de propagation de l'onde (d'où le nom de longitudinal) et comprime la couche suivante, laquelle sous l'effet de la pression avance et comprime la couche suivante et ainsi de suite. Cela fonctionne aussi pour une couche qui recule: la pression sur la couche suivante diminue ce qui a pour effet de faire reculer la couche suivante laquelle diminue à son tour la pression sur la suivante, etc.

La vitesse à laquelle se déplacent ces ondes longitudinales dépend comme souvent des caractéristiques, du milieu. En général, elle est plus faible dans les gaz que dans les liquides et plus faible dans les liquides que dans les solides. Par exemple equation dans l'air, equation dans l'eau et equation pour les ondes transversales dans l'acier.

En ce qui concerne les fréquences, il n'y a presque pas de limites. On peut générer des ondes sonores à des fractions de Hz jusqu'à des centaines de MHz. Par référence à la gamme de fréquences audibles à l'être humain, nous appelons "infrasons" des fréquences inférieures à 20 [Hz] et "ultrasons" des fréquences supérieures à 20 [KHz].

En général, les ondes sont produites par une source de dimensions limitées et, à partir de cette source, se propagent dans toutes les directions. Dans des milieux isotropes le front d'onde d'une perturbation est sphérique. Nous éviterons d'introduire des coordonnées sphériques en nous limitant à traiter des parties de fronts d'onde suffisamment éloignées de la source et suffisamment petites devant la distance à la source pour que nous puissions assimiler le morceau de sphère à une surface plane. Autrement dit, nous ne traiterons que les ondes planes longitudinales.

Il existe aussi une autre différence importante entre les ondes élastiques longitudinales dans un gaz ou liquide et les ondes élastiques transversales dans un barreau solide. Les gaz sont très compressibles, et si des fluctuations de pression s'établissent dans un gaz, sa densité subira le même type de fluctuation que la pression.

Considérons les ondes se propageant à l'intérieur d'un tuyau ou tube cylindrique (horizontal) de section S. Notons equation et equation la pression et la masse volumique à l'équilibre du gaz. Dans ces conditions d'équilibre, equation et equation sont les mêmes dans tout le volume gazeux du cylindre, c'est-à-dire indépendants de x.

Si la pression du gaz est perturbée par exemple à l'une des deux ouvertures de cylindre creux, un élément de volume de celui-ci Sdx sera intuitivement mis en mouvement parce que les pressions P et P' sur les deux faces S, S ' de ce petit volume seront différentes et produiront donc une force résultante.

Remarque: Même si elles ont une très grande vitesse, dans un gaz les molécules subissent des chocs très fréquents les unes avec les autres. Elles parcourent au fait moins d'un micron en moyenne (libre parcours moyen), dans les conditions normales, avant d'en heurter une autre.

Il en résulte un déplacement de la section S d'une quantité equation et de la section S' d'une quantité différente equation nécessairement différente car l'équilibre de pression n'aura pas eu le temps de se faire.

Ainsi, l'élément de volume au début a une largeur dx mais après la variation de pression, il aura une largeur si les variations de pression sont petites en première approximation:

equation   (68.1)

Cependant, en raison de la variation du volume, il y a également à présent une variation de densité due à la compressibilité du gaz. La masse contenue dans le volume non perturbé est initialement:

equation   (68.2)

Si equation est la masse volumique du gaz perturbé, la masse du volume perturbé vaut au final:

equation   (68.3)

La conservation de la matière demande que ces deux masses soient égales, c'est-à-dire que:

equation   (68.4)

ou:

equation   (68.5)

En résolvant en equation nous obtenons:

equation   (68.6)

Comme nous considérons les variations de pression petites par rapport à la pression ambiante, equation est petit, nous pouvons remplacer:

equation   (68.7)

par son développement limité de Taylor (cf. chapitres de Suites Et Séries):

equation   (68.8)

Soit:

equation   (68.9)

En admettant maintenant que la pression est uniquement reliée à la masse volumique (pour faire simple) nous pouvons écrire:

equation   (68.10)

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

equation   (68.11)

Nous avons alors:

equation   (68.12)

La quantité:

equation   (68.13)

plus souvent notée:

equation   (68.14)

est appelée "coefficient de compressibilité" ou plus techniquement "coefficient de compressibilité isotherme".

Rappelons maintenant que nous avons démontré dans le chapitre de Génie Météo à partir de la loi de Laplace lors de notre étude du modèle atmosphérique adiabatique que:

equation   (68.15)

où pour rappel, equation est le "coefficient de Laplace", appelé aussi "coefficient adiabatique" défini par:

equation   (33.16)

Alors nous obtenons (relation que nous utiliserons plus loin):

equation   (68.17)

Le coefficient de compressibilité isotherme s'écrira bien évidemment dans le cas général:

equation   (68.18)

Au passage, remarquons qu'en passant de la masse volumique au volume, il vient:

equation   (68.19)

souvent notée equation dans le domaine de la Thermodynamique.

Revenons aux deux relations:

equation et   equation   (68.20)   (68.21)

et injectons les dans le développement de Taylor fait plus haut. Nous avons alors:

equation   (68.22)

Cette expression relie la pression en tout point du gaz à la déformation au même point.

Nous avons ensuite besoin de l'équation du mouvement de l'élément de volume. La masse de l'élément est equation et son accélération  equation.

Nous avons naturellement en termes de force (le signe moins indiquant que la force qui varie la pression s'oppose à la pression initiale dans le cylindre):

equation   (68.23)

soit:

equation   (68.24)

Dans ce problème, il y a deux champs, le champ des déplacements equation et le champ des pressions P. Nous pouvons les combiner de la manière suivante en prenant:

equation   (68.25)

et en dérivant par rapport à x et en nous rappelant que equation est indépendante de la position dans le gaz. Nous avons alors:

equation   (68.26)

Ce que nous pouvons combiner avec:

equation   (68.27)

Nous retrouvons donc au final une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation de Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

equation   (68.28)

Nous obtenons donc une relation similaire à ce que nous avons obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour les ondes mécaniques ou dans le chapitre d'Électrodynamique dans l'équation de propagation des ondes. Nous en concluons que le déplacement dû à une perturbation de pression dans un gaz se propage à la vitesse:

equation   (68.29)  

où pour rappel la constante des gaz parfaits vaut equation.

La relation:

equation   (68.30)

est parfois appelée "relation de Newton-Laplace".

Si nous considérons l'air comme un gaz parfait diatomique alors (cf. chapitre de Thermodynamique) nous avons equation... de masse molaire equation (moyenne pondérée des masses molaires de equation et equation) il vient à une température de 300 [K]:

equation   (68.31)

Ce qui est en parfait accord avec l'expérience! Par contre, lorsque l'on dit qu'un avion vole à Mach 2 (le Mach est le rapport entre la vitesse d'un avion et celle du son), on ne connaît pas vraiment la vitesse du son (ni de l'avion) ni la température.

Or, nous avons aussi le résultat suivant (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

equation   (68.32)

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Génie Mécanique que le coefficient de Poisson equation respectait:

equation   (68.33)

En prenant l'approximation que pour un gaz equation... nous avons alors:

equation   (68.34)

et donc:

equation   (68.35)

La vitesse du son est alors donnée par le même type d'expression pour les fluides ou les solides! Ainsi, la propagation d'une déformation longitudinale dans un solide est donnée par:

equation   (68.36)

et la déformation transversale (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

equation   (68.37)

Nous avons aussi:

equation   (68.38)

En divisant ces deux égalités membre à membre, nous obtenons:

equation   (68.39)

Soit après simplification:

equation   (68.40)

Pour l'usage en laboratoire, ce modèle d'onde sonore est plus pratique que le précédent, car nous mesurons plus facilement des variations de pression dans un liquide ou un gaz, que des déplacements de molécules. Il est intéressant de savoir alors que toutes les analyses que nous avons faits avec l'équation d'onde des cordes (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) ou des ondes (cf. chapitre d'Électrodynamique) peut alors s'appliquer aussi à l'équation ci-dessus (aspect énergétique, solutions particulières, diminution de l'amplitude en fonction de la distance à la source, etc.).

Le mouvement des ondes dans les gaz est un processus adiabatique (cf. chapitre de Thermodynamique) donc il n'y a aucun échange d'énergie sous forme de chaleur par élément de volume du gaz.

PUISSANCE TRANSPORTÉE PAR UNE ONDE SONORE

Nous avons vu plus haut que:

equation   (68.41)

Notons les variations de densité dues à l'onde sonore par:

equation   (68.42)

Nous ne ferons le calcul de la puissance transportée que pour le cas des ondes sinusoïdales. Dans ce cas equation sera de la forme:

equation   (68.43)

Comme equation est connu, nous pouvons calculer la pression correspondante en utilisant:

equation   (68.44)

En introduisant les variations de pression dues à l'onde sonore:

equation   (68.45)

et en utilisant:

equation   (68.46)

Il vient:

equation   (68.47)

Nous avons alors:

equation   (68.48)

Pour calculer la puissance transportée par une onde sonore, nous allons calculer le travail effectué, pendant une période, sur une surface S située sur un plan perpendiculaire à l'axe des x et de coordonnées x.

La force exercée sur cette surface sera:

equation   (68.49)

Le travail effectué quand cette surface se déplace de equation sera:

equation   (68.50)

Comme nous faisons un calcul pour les déplacements equation d'une couche dont la position d'équilibre x ne varie pas, seule la variable t varie:

equation   (68.51)

En remplaçant nous obtenons:

equation   (68.52)

Le travail exercé pendant une période:

equation   (68.53)

sera:

equation   (68.54)

Nous avons déjà démontré l'expression de ce type d'intégrale dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

equation   (68.55)

d'où:

equation   (68.56)

En remplaçant il vient:

equation   (68.57)

Pour calculer la puissance, il faut diviser ce travail par le temps dans lequel il a été effectué:

equation   (68.58)

et pour calculer la puissance transmise par unité de surface, il faut diviser par la surface:

equation   (68.59)

Si nous remplaçons k par:

equation   (68.60)

Nous obtenons:

equation   (68.61)

Avant de continuer, signalons qu'il existe plusieurs façons de mesurer l'amplitude d'un son, et par extension, d'un signal quelconque de nature ondulatoire:

- l'amplitude moyenne (la valeur moyenne arithmétique du signal positif)

- l'amplitude efficace (amplitude continue équivalente en puissance)

- l'amplitude crête (maximale positive)

- l'amplitude crête à crête (l'écart maximal d'amplitude positive et négative)

equation
Figure: 68.1 - Types d'amplitudes

Dans la pratique, l'amplitude moyenne présente peu d'intérêt et n'est pas utilisée. En revanche, la valeur efficace ou RMS, pour Root Mean Square en anglais, soit la racine carrée de la valeur quadratique moyenne du signal est universellement adoptée pour mesurer la valeur des tensions alternatives, dans le cadre général autant qu'en acoustique. Un amplificateur qui est donné pour 10 watts RMS fera 14 watts en crête et 28 watts en crête à crête (aussi noté cc). Les mesures de puissance crête à crête sont assez souvent appelées "watts musicaux" par les vendeurs de matériel audiovisuel, car les chiffres sont plus flatteurs.

L'unité de mesure de l'amplitude dépend de la grandeur physique mesurée:

- Pour une corde vibrante, c'est une distance.

- Pour une onde sonore, c'est la pression de l'air, ou des mouvements du diaphragme

- Pour le rayonnement électromagnétique, l'amplitude correspond au champ électrique.

- Pour un signal électrique, cela  correspond à la valeur maximale.

Pour les régimes sinusoïdaux (ou plus généralement périodiques!), il est facile de démontrer que quel que soit le domaine de la physique la valeur efficace (racine carrée de la moyenne du carré du signal) est la valeur de crête divisée par la racine carrée de deux:

equation   (68.62)
 

Dons en valeur efficace (il s'agit uniquement d'un choix arbitraire et rien d'autre il faut juste savoir de quoi on parle par la suite!!), la relation antéprécédente s'écrit:

equation   (68.63)

Comme nous avons l'amplitude de la pression qui est égale à:

equation   (68.64)

et sa valeur efficace par:

equation   (68.65)

Finalement, nous avons pour la puissance (que nous représenterons par la suite par un P majuscule stylisé afin de ne pas confondre avec la pression):

equation   (68.66)

MESURE DE L'INTENSITÉ DU SON

Pour caractériser le son, on a inventé une unité de mesure: le "Bel" et son sous-multiple le "décibel" qui vaut 1/10 de Bel. Cette intensité acoustique, assimilée à la "sonie" ou "force sonore", a été définie à partir de la pression sonore efficace (le equation donné plus haut) et de la pression sonore d'une onde (à une fréquence précise!) à la limite du seuil auditif d'une petite élite de l'humanité (environ 10%).

Cette pression efficace de référence vaut:

equation   (68.67)

L'intensité sonore d'une onde dont la pression acoustique efficace est equation vaut par définition et par convention:

equation   (68.68)

et est souvent notée simplement S dans la littérature spécialisée pour signaler qu'il s'agit de la "sensation physiologique" de l'oreille humaine. Comment est-on arrivé à cette relation? Eh bien en constatant sur un panel d'individus que la sensation physiologique de l'oreille n'était pas linéaire mais que les variations absolues de la sensation sont proportionnelles aux variations relatives de pression telles que:

equation   (68.69)

Soit après intégration:

equation   (68.70)

où par convention la sensibilité minimale est posée comme étant nulle et pour des raisons historiques on prend les logarithmes décimaux au lieu des népériens. Il vient alors:

equation   (68.71)

Dans certaines sources, nous trouvons la définition du Bel à partir d'une intensité de référence de (à 1 [KHz]):

equation   (68.72)

Il vient alors (la définition est équivalente puisqu'il s'agit d'un rapport et que la puissance est directement proportionnelle au carré de la pression comme nous l'avons démontré plus haut):

equation   (68.73)

En réalité, le Bel est rarement utilisé et on lui préfère le décibel (la plupart des êtres humains peuvent à ce jour déceler une différence d'intensité entre deux sons dont l'intensité diffère de 1 [dB]):

equation   (68.74)

Le décibel est donc par construction un dixième de Bel... d'où son nom...

La raison de ce choix logarithmique est que la sensation auditive est aussi logarithmique: on a la même impression d'augmentation du son quand celui-ci passe de 1 à 10 que quand il passe de 10 à 100.

Pour donner une idée de la valeur d'un décibel, voici un tableau de valeurs typiques (pour une fréquence et une pression de référence donnée):

Décibels

Source

160

Dommages au tympan

140

Seuil de la douleur

120

Seuil de la gêne

100

Atelier de machines lourdes

85

Automobile

75

Usine moyenne

60

Conversation normale

40

Bruit des spectateurs au cinéma

20

Studio de radiodiffusion

10

Chambre anéchoïque

0

Seuil de l'audition

Tableau: 68.1 - Amplitudes relatives typiques de différentes sources sonores

Comme nous l'avons déjà dit la pression efficace sonore minimum qui provoque une sensation auditive est de:

equation   (68.75)

c'est-à-dire environ equation fois plus petite que la pression atmosphérique. Il faut tout de même que la fréquence de cette onde se situe autour de 3 [KHz], là où la sensibilité est maximum.

Il est très intéressant de calculer à quelle amplitude efficace de déplacement cela correspond. Nous utilisons alors la relation démontrée plus haut:

equation   (68.76)

Donc pour le cas limite et à 1 [KHz], aux conditions normales de température et de pression, nous aurons un déplacement de (valeurs prises dans les tables de la commission romande de mathématique):

equation   (68.77)

et la valeur crête sera donc de:

equation   (68.78)

Cette valeur est inférieure au rayon des atomes selon le modèle de Dalton. La nature nous a doté d'un organe d'une sensibilité exquise!

Il est facile de calculer à quelle valeur de puissance par unité de surface correspond une onde sonore à la limite de l'audition. En utilisant la relation démontrée plus haut, nous obtenons:

equation   (68.79)

Comme la surface de la section du canal auditif fait moins d'un equation, la puissance qui arrive au tympan est inférieure à equation.

ONDES SPHÉRIQUES

Dans la réalité les ondes sonores sont générées par des sources d'étendue finie. À des distances plus faibles ou comparables à l'étendue de la source, la forme du front d'onde qui s'éloigne de la source peut être très compliquée (imaginez le front d'onde d'un tonnerre provoqué par un éclair tarabiscoté). Mais, loin de la source, elle est vue comme un objet ponctuel et le front d'onde devient de plus en plus sphérique à mesure que l'on s'éloigne de la source.

Si nous regardons un petit morceau de la sphère, la petite surface sphérique sera très peu incurvée et nous pourrons l'assimiler à une surface plane sans faire trop d'erreur. Nous retrouverons les ondes planes... mais pas tout à fait!

La différence est que l'énergie transportée par l'onde sonore est distribuée dans une surface qui s'agrandit comme equation (où R est la distance à la source). Donc la puissance par unité de surface doit diminuer comme equation (exactement selon le même développement mathématique que celui pour les ondes électromagnétiques vues dans le chapitre d'Électrodynamique) et comme la puissance par unité de surface est proportionnelle à equation ou à equation cela implique que dans une onde sphérique, aussi bien le déplacement equation, que la pression sonore equation, doivent diminuer comme 1/R.

Dans le cas des ondes sinusoïdales, il faudra modifier l'équation d'onde:

equation   (68.80)

en ajoutant un coefficient 1/R. Si nous appelons r la distance entre la source et la position d'observation, et que, à la place de mesurer la position avec x nous le faisons avec r:

equation   (68.81)

et de même pour la pression sonore:

equation   (68.82)

EFFET DOPPLER

Dans ce qui a été étudié jusqu'ici, la source S et l'observateur O de l'onde ont toujours été considérés comme immobiles l'un par rapport à l'autre. L'effet Doppler explique les variations de fréquences de l'onde observée lorsque S et O sont en mouvement relatif.

SOURCE FIXE-OBSERVATEUR EN MOUVEMENT

Considérons donc le premier cas où la source est fixe et l'observateur en mouvement rectiligne et uniforme:

equation
Figure: 68.2 - Schéma de principe d'une source fixe et d'un observateur en approche

Soient:

equation   (68.83)

la fréquence de la source S et equation la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu, supposé immobile.

Si O reste immobile, il voit arriver les fronts d'onde à la vitesse equation et il n'y a pas grand-chose à dire. Si O se dirige vers S à vitesse equation, il reçoit les fronts d'onde à la vitesse:

equation   (68.84)

et franchit les distances equation en des temps égaux:

equation   (68.85)

Pendant chaque intervalle equation il perçoit un cycle complet de l'onde. Il en déduit que equation est la période equation d'une onde de fréquence equation:

equation   (68.86)

Donc au final:

equation   (68.87)

Le son devient donc plus aigu lorsqu'on approche une source.

Si O s'éloigne de S à vitesse equation, il reçoit les fronts d'onde à la vitesse:

equation   (68.88)

et les mêmes développements nous amènent alors à:

equation   (68.89)

La limite de validité de cette relation étant pour equation. Le son devient donc plus grave lorsqu'on s'éloigne d'une source.

Remarque: Si la vitesse de l'observateur est orientée de manière quelconque, par rapport à la ligneequation, seule la composante radiale est à prendre en compte.

SOURCE EN MOUVEMENT-OBSERVATEUR FIXE

Il n'est pas forcément intuitif de voir que le système n'est pas symétrique. Mais en prenant un cas particulier on se rend vite compte que ça ne l'est effectivement pas. En effet, si le récepteur fuit l'émetteur à une vitesse supérieure à equation, il ne recevra jamais d'onde, alors que si l'émetteur fuit un récepteur immobile, celui-ci recevra toujours une onde. On ne peut pas inverser le rôle de l'émetteur et du récepteur.

Dans le cas classique, il y a donc dissymétrie dans le décalage fréquentiel selon que l'émetteur ou le récepteur est en mouvement.

Considérons dons la situation suivante:

equation
Figure: 68.3 - Schéma de principe d'un observateur fixe et d'une source en approche

Soient:

equation   (68.90)

la fréquence de la source S en mouvement rectiligne et uniforme et equation la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu et O l'observateur supposé immobile.

Si la source se déplace à vitesse equation, elle parcourt une distance:

equation   (68.91)

entre chaque cycle. La longueur d'onde vue par l'observateur varie donc de:

equation   (68.92)

Pour l'observateur, elle diminue telle que:

equation   (68.93)

Nous avons alors:

equation   (68.94)

Donc après simplification:

equation   (68.95)

La limite de validité de cette relation étant pour equation.

Il vient donc:

equation   (68.96)

Le son devient donc plus aigu lorsque la source s'approche (donc même sensation que lorsque c'est l'observateur qui s'approche).

De même, lorsque la source s'éloigne de l'observateur, nous avons immédiatement:

equation   (68.97)

Le son devient donc plus grave lorsque la source s'éloigne (donc même sensation que lorsque c'est l'observateur qui s'éloigne).

Remarque: Dans le cas d'ondes électromagnétiques, la vitesse de l'onde est la vitesse de la lumière qui ne dépend pas du référentiel. Nous devons alors traiter le problème dans le cadre de la relativité restreinte et on s'attend alors à trouver un effet parfaitement symétrique puisqu'on ne peut pas distinguer entre vitesse de l'émetteur et vitesse du récepteur, seule comptant la vitesse relative entre les deux (voir les développements dans le chapitre de Relativité Restreinte).

OBSERVATEUR ET SOURCE EN MOUVEMENT

Si les deux (source et observateur) sont en mouvement rectiligne sur une droite commune, les deux effets s'ajoutent. Nous avons alors lorsqu'ils se rapprochent:

equation   (68.98)

Et s'ils s'éloignent:

equation   (68.99)

ONDES DE CHOC

Les ondes de choc se produisent dans un gaz pour des perturbations très intenses. Par exemple, l'onde du choc du Concorde (bang supersonique) fait au niveau du sol une surpression  d'environ 100 [Pa]. Le son est très fort, de l'ordre de 140 [dB], mais la surpression n'est que d'un millième de la pression atmosphérique! Les ondes à la sortie des armes à feu ont des surpressions de l'ordre de quelques equation.

Nous avons démontré que la vitesse des ondes dans un gaz dépendait de la température mais si nous prenons en compte que les ondes sonores produisent des variations de pression, celles-ci produisent donc elles-mêmes des variations de température (cf. chapitre de Thermodynamique). Donc, une augmentation de pression augmente la température ce qui augmente la vitesse. Pour le cas d'une sinusoïde, les sommets de pression se retrouvent à voyager plus vite que les creux... La sinusoïde se déforme, la pente entre les sommets et les creux de devant augmente ce qui a tendance à créer un front d'onde abrupt entre la partie chaude, derrière le front d'onde et la partie froide juste devant. C'est ce que l'on appelle "onde de choc". Cette onde de choc se propage à la vitesse qui correspond à sa température et qui est supérieure à celle du son normal.

À mesure que le front d'onde se propage, son amplitude diminue et à la fin, l'onde de choc devient une onde sonore normale. Ce qui est remarquable est que les ondes de choc, aussi bien celles qui sont en surpression (plus chaudes et plus rapides) que celles qui sont en dépression (plus froides et plus lentes) fusionnent avec les ondes qu'elles rattrapent ou qui les rattrapent. En effet, une onde normale qui se fait rattraper par une onde de choc se retrouve à voyager dans une zone chaude dont la vitesse est celle de l'onde qui l'a rattrapée.

GAMMES MUSICALES

Lorsque nous faisons vibrer une corde de guitare, de violon ou autre instrument à cordes dont les extrémités sont fixes (onde stationnaire), nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire que nous sommes dans des conditions dites de Dirichlet.

Nous avions obtenu après de nombreux calculs, le résultat suivant:

equation   (68.100)

Soit:

equation   (68.101)

donc la fréquence (qui est un des facteurs de la sensation de la "hauteur" d'un son chez l'être humain) est bien inversement proportionnelle à la longueur L d'une corde fixée aux extrémités (comme l'aurait déduit Pythagore bien avant que la théorie soit établie).

La relation précédente le met en évidence; plus la partie vibrante est longue (plus n est petit), plus le son sera bas (basse fréquence) et plus elle sera courte (n grand), plus le son sera aigu (haute fréquence).

Rappelons que pour equation, nous parlons de "fréquence fondamentale" et pour equation de "fréquence harmonique". Ainsi, equation est la première harmonique, equation la deuxième harmonique, etc.

Définitions:

D1. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques) sont "à l'unisson" l'une de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à l'unité:

equation   (68.102)

D2. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques) sont "à l'octave" l'une de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à deux:

equation   (68.103)

Remarquons que la première harmonique correspond à l'octave de la fondamentale:

equation

Ainsi, certaines chanteuses sont capables de jouer sur 8 octaves (c'est-à-dire un rapport de fréquences de 16). Ainsi, dans le cas d'un instrument à cordes avec conditions de Dirichlet cela équivaut bien évidemment à pincer la corde en son milieu (pour les guitares cela correspond à appuyer la corde sur la frette de la 12ème case par rapport à la fréquence de la corde à vide pour avoir une octave).

D3. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques) sont "à la quinte" l'une de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à 3/2:

equation   (68.104)

Hormis l'octave, cet intervalle est le plus simple de tous, et depuis toujours, dans la musique occidentale, il a été considéré comme l'intervalle consonant par excellence, donc le plus remarquable à l'oreille. Pour cette raison, la quinte a joué un rôle essentiel dans l'établissement des gammes musicales, la gamme de Pythagore (gamme pythagoricienne) étant même exclusivement construite sur cet intervalle particulier.

Nous remarquons que nous arrivons à mettre au plus un nombre entier de 2 quintes dans une octave (au-delà nous dépassons la valeur d'une octave).

D4. Nous disons que deux fréquences (ou deux ondes périodiques) sont "à la quarte" l'un de l'autre si le rapport de leurs fréquences est égal à 4/3:

equation   (68.105)

D5. Le rapport des fréquences de deux sons (ou deux ondes périodiques) éloignés l'un de l'autre d'un "ton" peut être de 9/8. Il s'agit alors du "ton majeur":

equation   (68.106)

D6. Le "ton mineur" a pour rapport de fréquences 10/9.

Lorsqu'un instrument à cordes a ses vibrations à vides qui sont dans un rapport de fréquences correspondant à la quinte, nous disons que l'instrument est "accordé de quinte en quinte".

Remarque: L'octave, la quinte, la quarte et le ton sont appelés en musique des "intervalles".

Évidemment, si nous souhaitons faire de la musique, il faut choisir un repère. Comme la gamme de fréquences est infinie, il a été choisi une fréquence à laquelle l'oreille humaine actuelle est la plus sensible: 440 [Hz] que l'on appelle le "la" et qui est noté (A) chez les Anglo-saxons.

Au solfège, les étudiants occidentaux apprennent la suite empirique suivante de 7 notes et dont l'origine écrite est purement mnémotechnique  (on retrouve cette suite sur les accordeurs électroniques avec le système Anglo-saxon qui utilise certaines lettres de l'alphabet):

do (C) - ré (D) – mi (E) - fa (F) - sol (G) - la (A) - si (B) – do (C)

equation

où les lignes de la symbolique solfégique ci-dessus représentent une quinte dans la gamme pythagoricienne. Entre le premier do et le deuxième do, nous avons donc un intervalle d'une octave. Par ailleurs, ce nombre de notes à l'intérieur de l'intervalle d'octave est souvent insuffisant pour faire de la bonne musique et des artistes ont ajouté d'autres notes par altération des fréquences de ces 7 notes, en les diésant (multiplication de la fréquence par 25/24) ou en les bémolisant (multiplication par 1-25/24).

Signalons qu'il existe une dizaine de manières de découper l'octave solfégique et qui sont presque toutes encore utilisée au début du 21ème siècle (elles sont toutes complétement empiriques donc nous n'entrerons pas dans les détails):

- La "gamme naturelle" (appelée aussi "gamme harmonique")

- La "gamme tempérée"

- La "gamme pythagoricienne"

- La "gamme chromatique"

- La "gamme de Zarlino" (appelée aussi "gamme des physiciens")

etc.

La méthode et l'ordre d'apprentissage susmentionné est une aberration mathématique (mais on est plus à ça près en musique... qui est un art empirique).

OSCILLATEUR HARMONIQUE

Considérons le système mécanique de la figure ci-dessous constitué d'un ressort de constante k, d'une masse m et d'un amortisseur visqueux de constante c. Ce système est souvent assimilé à la mécanique d'un haut-parleur (ou d'un micro) où l'air sert d'amortisseur visqueux et le champ magnétique de l'aimant excitateur de force d'application ou encore d'un amortisseur de voiture:

equation
Figure: 68.4 - Schéma de principe de l'oscillateur harmonique

Nous avons démontré dans le chapitre de Génie Mécanique que pour un ressort de type hélicoïdal nous avions:

equation   (68.107)

et c'est l'expression de la force avec laquelle le ressort s'opposera à une force extérieure de compression ou de traction. À l'équilibre, nous avons forcément la somme des forces qui est nulle:

equation   (68.108)

soit:

equation   (68.109)

Nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus que la loi de Stokes dans le cadre d'un cylindre était donnée par:

equation   (68.110)

Nous supposerons que notre amortisseur visqueux est basé sur une loi du même type où la force de résistance est proportionnelle à la vitesse. À l'équilibre, nous avons forcément la somme des forces qui est nulle:

equation   (68.111)

soit:

equation   (68.112)

Nous allons simplifier cette expression:

equation   (68.113)

Nous nous retrouvons donc avec une équation différentielle exactement identique à celle d'un circuit RLC série en régime constant (cf. chapitre de Génie Électrique):

equation   (68.114)

Nous avons donc de la même manière, la viscosité critique:

equation   (68.115)

au lieu de la résistance critique du circuit RLC:

equation   (68.116)

qui va déterminer si le système est en régime critique:

equation   (68.117)

en régime apériodique (hypercritique):

equation   (68.118)

ou pseudo-périodique (oscillations amorties) avec:

equation   (68.119)

Dans le cas des voitures ou haut-parleurs, il est souvent intéressant de s'arranger pour être en mode pseudo-périodique. Nous retrouvons alors exactement les mêmes résultats que le circuit RLC avec oscillations amorties puisque l'équation différentielle est la même.

Les spécialistes de l'acoustique ou de la mécanique s'arrangent alors pour s'approprier le concept de "facteur d'amortissement" du circuit RLC:

equation   (68.120)

qui s'écrira dans le cas présent par identification des termes:

equation   (68.121)

Avec la pulsation propre:

equation   (68.122)

qui s'écrit dans le cas présent:

equation   (68.123)

L'oscillateur amorti perd de l'énergie au cours du temps. Calculons cette perte. Nous avons (cf. chapitres de Mécanique Classique et Génie Mécanique):

equation   (68.124)

d'où:

equation   (68.125)

Or, selon l'équation du mouvement:

equation   (68.126)

Il vient alors:

equation   (68.127)

La perte d'énergie (ou puissance dissipée) est proportionnelle au carré de la vitesse instantanée.

Nous avons démontré dans le chapitre de Génie Électrique pour le circuit RLC qu'en régime d'oscillations amorties, nous avions:

equation   (68.128)

Ce qui devient ici:

equation   (68.129)

Dès lors:

equation   (68.130)

L'OSCILLATEUR FORCÉ

Considérons toujours le même l'oscillateur mais excité cette fois-ci par une force harmonique (donc en régime forcé) tel que:

equation   (68.131)

Encore une fois, il s'agit exactement du même type d'équation différentielle que pour l'oscillateur RLC en régime forcé étudié dans le chapitre de Génie Électrique pour lequel nous avions:

equation   (68.132)

Il s'ensuit les mêmes résultats et conclusions que le lecteur pourra trouver dans le chapitre de Génie Électrique.


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TECHNIQUES DE GESTIONGÉNIE MARIN & MÉTÉO


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