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Mécanique

PRINCIPES | MÉCANIQUE ANALYTIQUE | MÉCANIQUE CLASSIQUE
MÉCANIQUE ONDULATOIRE
MÉCANIQUE STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

29. MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:24:03 | {oUUID 1.810}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Nous devons la forme actuelle de la mécanique analytique appelée aussi parfois "mécanique lagrangienne" aux travaux des frères Bernoulli et particulièrement d'Euler et Lagrange. C'est effectivement en 1696 que commence l'histoire de la vraie physique théorique.

Au fait, l'événement de départ de la mécanique analytique provient de l'observation suivante (énoncée au 17ème siècle): Tout système semble évoluer d'un état à un autre toujours en utilisant les moyens les plus simples et en conservant une grandeur constante entre les deux états.

Remarques:

R1. Les moyens précités peuvent être: le chemin le plus court, le chemin le plus rapide (les trajectoires spatio-temporelles à plus faibles amplitudes en gros...).

R2. Selon le premier principe fondamental de la physique, la grandeur constante est choisie comme étant l'énergie.

Cet énoncé est appelé dans le cadre de la mécanique "principe de moindre action (de Maupertuis)" ou dans le cadre de la physique générale "principe variationnel" ou encore parfois dans le cadre de l'optique "principe d'économie" ou "principe de Fermat". Dans le cadre mathématique faisant purement abstraction des concepts physiques, nous parlons de "principe de Hamilton".

Plus techniquement, il est aussi formulé de la manière suivante: Un système se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la variation de l'action (voir plus loin) entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle.

Au fait, bien que cet énoncé puisse paraître comme cohérent, il peut faire douter mais... nous verrons:

1. Qu'en mécanique classique, nous pouvons démontrer la première loi de Newton en admettant ce principe comme vrai et en y superposant le principe de conservation de l'énergie et nous pouvons expliquer le mouvement de nutation de presque tout solide simple.

2. En électromagnétisme, nous retrouverons toutes les équations de Maxwell (in extenso la loi de Biot-Savart, Faraday, force de Lorentz, loi de Laplace, etc.) à partir des propriétés du principe de moindre action et de conservation de l'énergie.

3. En optique, nous démontrerons que le chemin suivi par la lumière est toujours le plus court et cela nous permettra de démontrer le principe de Fermat à la base de toute l'optique géométrique.

4. En physique atomique, les propriétés du principe de moindre action nous permettront de déterminer certaines propriétés mathématiques des atomes et autres particules (les fermions et les bosons en physique quantique des champs).

5. Le principe de moindre action nous permettra également de démontrer que tout corps, avec ou sans masse, est dévié par un champ d'accélération et... permet donc de déterminer l'équation d'Einstein des champs qui est à la base de tout le chapitre sur la relativité générale.

6. Ce principe s'applique également pour obtenir des résultats puissants en géométrie comme nous allons le voir un peu plus loin. Ainsi, les techniques de la mécanique analytique sont très intiment liées à la mathématique pure.

Il va donc sans dire par ces six petits exemples les applications phénoménales de ce principe!!

Historiquement, il est intéressant de savoir que c'est Pierre-Louis Moreau de Maupertuis qui a énoncé le premier le principe de moindre action sous forme peu scientifique. L'intervention d'Euler et Lagrange dans ce domaine a été de mettre sous forme mathématique ce principe et de démontrer (tenez-vous bien...) qu'il découle d'une simple propriété mathématique des optima des fonctions continues. Il va sans dire, que savoir que cela a permis de redémontrer toutes les lois de la physique classique en a dérangé plus d'un...

Ce principe a eu (et a toujours) des répercussions inimaginables et le problème fut d'appliquer l'expression mathématique de ce dernier à tous les phénomènes physiques qui avaient déjà étés démontrés de façon expérimentale et empirique à l'époque. Effectuer cette démonstration revenait ainsi à expliquer pourquoi tel phénomène ou telle loi était ainsi plutôt qu'autrement. Imaginez !

Ainsi, le premier à s'attaquer au problème fût donc le Bâlois (Suisse) Leonhard Euler. Mais nous avons également gardé le nom de Lagrange (d'où l'appellation: "formalisme lagrangien") pour définir toute la méthode et le formalisme mathématique construit autour du principe de moindre action.

FORMALISME LAGRANGIEN

La mécanique classique peut être formalisée de différentes manières. La plus courante est la formulation de Newton, qui utilise la notion de force (cf. chapitre de Mécanique Classique). Elle est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considérer un problème concret et c'est pourquoi c'est celle qui est enseignée. Mais pour pouvoir traiter des problèmes plus complexes ou plus finement, et pour pouvoir faire des démonstrations rigoureuses, cette formulation n'est pas la plus pratique.

La mécanique analytique, initiée dès le 18ème siècle, regroupe ainsi différentes formulations très mathématisées de la mécanique classique, notamment les mécaniques de Hamilton et de Lagrange (toutes ces formulations sont équivalentes!).

Cette formalisation est assez peu enseignée dans les petites écoles car il faut bien l'avouer le formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe de moindre action sous forme mathématique) fait appel à un niveau d'abstraction un peu plus élevé que les méthodes normales et malgré qu'il soit souvent d'une aide précieuse dans l'élaboration de théories (physique fondamentale, physique quantique, relativité générale, théorie quantique des champs, théorie des supercordes), il en découle rarement de nouvelles solutions (mais plutôt une réduction et une méthode de validation utile et très puissante).

Commençons donc notre travail:

COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES ET RÉFÉRENTIELS

Un réflexe naturel conduit généralement à référer la position d'un point dans l'espace à la seule connaissance de ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z. Cette attitude est d'ailleurs le plus souvent justifiée par la simplicité d'un grand nombre de situations rencontrées dans la pratique, où il n'est pas nécessaire de rechercher de méthodes plus élaborées ou de passer dans d'autres systèmes de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Pour repérer la position d'un mobile (ou d'un point matériel) en physique il est nécessaire dans un premier temps d'associer un repère au référentiel. Ainsi, un "repère" est un système (physique concret) de repérage (ou "système de référence") dans l'espace associé au référentiel.

Les repères conventionnels en mécanique classique constituent majoritairement des bases d'espaces pré-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orientés et où chaque point, ou vecteur de l'espace, peut-être représenté algébriquement par ses valeurs d'affixes (la valeur à l'ordonnée (projection sur l'axe vertical) et la valeur à l'abscisse (projection sur l'axe horizontal).

Voici quelques exemples triviaux:
equation

equation
(ou plan d'Argand-Cauchy)

equation

Figure: 29.1 - Mouvements dans des référentiels à 1, 2 ou 3 dimensions

Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle, la distance entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appelée "abscisse curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appelée simplement "abscisse".

Définitions:

D1. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Galiléen" (c'est rare que nous en fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si:

- Nous pouvons le considérer comme immobile pendant toute l'étude du mouvement du système ou comme étant en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel lui-même immobile (on parle alors de "système inertiel" car non accéléré).

Donc si nous négligeons le mouvement de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, alors le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen. Si nous négligeons le mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil, alors le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen. Si nous négligeons le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même, alors le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen. Dans beaucoup d'expériences de mécanique à la surface de la Terre, nous constatons que le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen avec une très bonne précision. Heureusement qu'il y a quand même un tas de phénomènes où il faut tenir compte de la rotation de la Terre (déviation vers l'est, pendule de Foucault...etc.)

- Nous pouvons le considérer comme un système où les lois de Newton sont vérifiées (cf. chapitre de Mécanique Classique)

D2. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel barycentrique" (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique) du corps étudié.

Ainsi, le "repère de Copernic" est assimilé au centre de gravité (d'inertie) du système solaire, le "repère héliocentrique" appelé aussi "repère de Kepler" au centre d'inertie du Soleil.

D3. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel géocentrique" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre. Les axes, parallèles à ceux du référentiel de Copernic, pointent vers trois étoiles fixes. Dans ce référentiel la Terre tourne sur elle-même en 24 [h.].

D4. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Terrestre" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre et qui a un mouvement de rotation uniforme correspondant à la vitesse de rotation de la Terre. Traditionnellement un des axes est dirigé vers l'étoile polaire. C'est le référentiel auquel nous nous référons le plus dans la vie courante il n'est donc pas galiléen en toute rigueur! Ceci va induire des effets particuliers sur les mouvements dans l'atmosphère tels que nous les ressentons.

Remarque

Dire qu'un repère orthonormé equation est un "repère direct" signifie que l'angle orienté equation a pour mesure principale equation (dans le sens horaire). Dire qu'un repère orthonormé equation est un "repère indirect" signifie que l'angle orienté a pour mesure principale equation. Dans tout ce qui suit, si nous ne spécifions pas l'orientation, cela sous-entend que equation est direct.

Manifestement, il y a un certain nombre de choix arbitraires à faire losque nous mettons en place un système de référence: par exemple, où placer l'origine des coordonnées spatiales, comment orienter les axes, et où mettre l'origin du temps. Mais cette liberté ne pase pas de problème ccar, si nous faisons un autre choix, il existe des techniques mathématiques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) qui permettent de passer de l'ancien système au nouveau.

Il est bien exact que les trois paramètres x, y, z suffisent parfaitement à repérer un point matériel dans l'espace usuel comme nous en avons déjà fait mention dans notre étude des espaces ponctuels (cf. chapitre sur les Principes), mais il n'en demeure pas moins qu'il est parfois inévitable, ou même tout simplement plus avantageux, d'utiliser un nombre de paramètres supérieur à trois. Nous pouvons évidemment envisager toutes sortes de paramétrages pour atteindre les coordonnées d'un point dans l'espace, de telle sorte que, d'une façon plus généralisée nous serons amenés à prendre en considération des relations du type (nous ne gardons plus la même écriture que celle que nous avions lors de notre étude des espaces ponctuels par cohérence avec les nombreuses références déjà existant sur le sujet):

equation   (29.1)

Les paramètres equation portent le nom de "coordonnées généralisées", paramètres auxquels un problème sera le plus souvent référé. Connaître leur expression en fonction du temps est le problème fondamental de la dynamique. Cela signifie que nous serons parvenus à une solution quand nous disposerons des relations indépendantes:

equation   (29.2)

Il est donc important de retenir que le nombre de paramètres equation définissant le repérage d'un point dans l'espace est au moins égal à trois, sans être nécessairement différent de trois. C'est finalement la nature des situations envisagées qui suggèrent le choix du nombre des paramètres à utiliser (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques,...).

Dans une vision plus générale, la configuration instantanée d'un système, quelle qu'en soit la nature, sera déterminée par la connaissance, en fonction du temps, de n paramètres, n définissant le nombre de "degrés de liberté" du système (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est tout naturel, mathématiquement, d'associer la manipulation des n paramètres equation au recours à un hyper-espace à n dimensions, dans lequel les equation apparaîtraient comme les coordonnées d'un point P représentatif de la configuration d'un système quelconque. Nous donnons à cet espace à n dimensions equation, le nom "d'espace de configuration".

Mais la rigueur de la mathématique-physique, nous amène à disposer d'une description plus précise des phénomènes en ajoutant cette variable importante qu'est le temps, considérée souvent comme variable indépendante, aux equation. Nous en arriverons donc fatalement à utiliser un autre hyper-espace equationauquel nous avons donné le nom "d'espace des événements". 

Ce dernier espace de référence revêt un intérêt capital pour un grand nombre de problèmes de la science moderne et se trouve particulièrement bien adapté aux raisonnements de nature relativiste. Les variables indépendantes constituant les coordonnées spatiales et temporelles forment alors ce que nous appelons les "variables d'Euler".

Dans la mesure où les paramètres equation sont simplement présentés comme des fonctions explicites du temps, le point P décrit une courbe paramétrée, définie par equation, avec equation. Cela revient à exploiter simultanément les équations:

equation   (29.3)

Il arrivera fréquemment que, pour des raisons d'opportunité, nous souhaitions changer de système de coordonnées généralisées, et utiliser un autre ensemble plus compatible avec les spécificités du problème envisagé. Nous substituerons alors au jeu des equation un nouveau jeu de coordonnées equation. Il est alors évident que nous devrons, avant toute chose, nous doter des relations de dépendance existant entre les deux ensembles de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (29.4)

Les fonctions equation seront maintenant supposées définies, continues, de classe equation (pour travailler avec l'accélération) par rapport aux equation et devront conduire à un jacobien différent de zéro (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). 

Dans ces conditions, à chaque point equation de l'espace des configurations des x, noté equation, correspondra un point equation de l'espace de configuration des q , noté equation. Nous avons ainsi effectué une transformation ponctuelle, autrement dit une application de l'espace sur lui-même.

Pour étudier des milieux continus (concept radicalement différent du point matériel), nous aurons cependant deux approches différentes:

1. Méthode de Lagrange: nous cherchons à caractériser le mouvement du milieu décrit par une formulation Lagrangienne consistant donc à le caractériser en se donnant un système d'équations au sens newtonien. Par dérivations, nous avons alors la vitesse et l'accélération du milieu.

2. Méthode d'Euler: Au lieu de suivre le parcours d'un point, nous portons notre attention sur l'évolution des caractéristiques physiques en un point donné comme la vitesse, l'accélération la température, la pression ou autre. Nous parlons alors fréquemment de "système Eulérien".

PRINCIPE VARIATIONNEL

Le "principe variationnel" n'est donc que la forme mathématique contemporaine du principe de moindre action qui est, comme nous en avons déjà fait mention, à la base du formalisme lagrangien.

Rappelons que selon l'énoncé du principe variationnel nous devons trouver dans tout phénomène physique, une certaine quantité qui est naturellement optimisée (minimisée ou maximisée) et qui décrit toutes les variables du système étudié et ainsi son issue.

Voici la démarche que nous allons suivre; une fois cette démarche présentée, nous nous attaquerons à sa formalisation mathématique.

Les propositions sont les suivantes:

P1. Nous supposons donc le principe variationnel et le principe de conservation de l'énergie comme justes.

P2. L'énergie totale d'un système fermé est constante et constituée de la sommation de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Si nous ne considérons que l'énergie cinétique, alors le système est dit "système libre"; si les deux énergies sont considérées, nous disons alors que le système est un "système généralisé".

P3. Nous définissons une fonction mathématique (dont les variables sont les coordonnées généralisées) appelée "Lagrangien" qui est donnée par la différence entre les deux énergies précitées.

P4. Sur l'évolution d'un système entre deux états, nous cherchons les propriétés de la fonction (du lagrangien) qui donne la minimisation de la variation de la différence des deux énergies sur l'évolution temporelle ou métrique du système.

Enfin, une fois cette propriété déterminée (mise sous la forme que nous appelons "équation d'Euler-Lagrange") nous chercherons toutes les autres propriétés possibles afin d'avoir les outils nécessaires pour la physique théorique et vous allez voir cela marche terriblement bien...

Donc, pour mettre cela sous forme mathématique, nous commençons par poser qu'il existe une fonction réelle de 2n variables (les n coordonnées et les n dérivées correspondantes à la variable implicite qui sera typiquement en physique le temps t):

equation   (29.5)

que nous appellerons "Lagrangien généralisé" du système, dont l'intégrale satisfait à l'énoncé suivant:

Dans un mouvement naturel partant d'un point equation à l'instant equation, arrivant au point equation à l'instant equation, l'intégrale suivante appelée "intégrale d'action" ou simplement "action":

equation   (29.6)

qui peut aussi être notée dans une écriture plus abrégée:

equation   (29.7)

doit être un extrémum (en fait, "un minimum" ou "un maximum", puisque nous aurions pu tout aussi bien prendre -L au lieu de +L dans le choix de la définition du Lagrangien généralisé).

L'action S est ce que nous appelons communément en physique une "fonctionnelle" et a les unités de l'énergie multipliée par le temps puisque L est une énergie.

ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE

Le principe de moindre action énonce donc que (l'intégrale) S est extrêmale si:

 equation   (29.8)

est la trajectoire naturelle effectivement suivie par le système physique. 

Considérons alors une trajectoire très voisine à la précédente, que nous noterons:

equation   (29.9)

C'est-à-dire que pour chaque i nous posons:

equation   (29.10)

avec:

equation   (29.11)

pour assurer que nous partons toujours du même point A pour arriver au même point B. La détermination parfaite des points extrêmes (caractérisés par des variations d'une trajectoire à l'autre identiquement nulles) est une hypothèse majeure du principe de moindre action!

Remarque: Nous avons omis maintenant l'écriture des arguments t des fonctions du temps afin d'alléger les écritures.

Si equation est bien l'évolution d'un système évoluant selon le principe de moindre action, alors l'action donnée par la variation:

equation   (29.12)

est nulle pour equationet equation tendant vers zéro (sous-entendu que tout système physique revient à son état initial sans intervention extérieure).

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (29.13)

Ce qui nous permet de justifier la dénomination de "principe variationnel" (aussi appelé parfois le "principe de stationnarité de l'action"):

equation   (29.14)

Ce principe stipule donc que la trajectoire d'une particule (ou d'un système de manière plus générale) s'obtient en demandant qu'une certaine fonctionnelle S appelée "action" soit stationnaire par rapport à une variation de la trajectoire. En d'autres termes, si nous effectuons une variation infiniment petite de la trajectoire, la variation doit être nulle.

Pour un système mécanique simple, l'action est alors évidemment, de par le principe de conservation de l'énergie égale à l'intégrale sur la trajectoire de (par définition du lagrangien) la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Dès lors, dans une théorie pour laquelle les forces dérivent d'un potentiel V, nous sommes naturellement amenés à définir le "Lagrangien (classique)" par la relation (il faudra s'en souvenir !):

equation   (29.15)

T et V sont la notation traditionnelle dans le formalisme Lagrangien de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle données par:

equation et  equation   (29.16)

Le principe varationnel s'écrit alors dans le cas conservatif (ce qui facilite l'interprétation de l'intégrale comme étant la somme infinie des différences infinitésimale de l'énergie cinétique et potentielle entre deux instants et qui doit alors bien évidemment être nul dans un système conservatif):

equation   (29.17)

Ce qui implique le cas connu que dans un système conservatif toute variation d'énergie cinétique impose une variation contraire d'énergie potentielle (d'où le fait que celle-ci est implicitement un signe négatif):

equation   (29.18)

Attention! En toute rigueur, nous n'avons pas toujours l'égalité entre le variationnnel de l'intégrale du lagrangien et l'intégrale du variationnel du lagrangien. Il peut arriver que:

equation   (29.19)

Effectivement, alors que l'intégrale à droite de l'inégalité a une interprétation relativement aisée puisqu'il s'agit en physique de la somme infinie des différences infinitésimales entre énergie potentielle et cinétique qui dans un système conservatif est nul, l'intégrale de droite est la différentielle inexacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qui vaudra zéro que si le lagrangien ne dépend pas du chemin et donc inextenso ne dépend pas explicitement de la variable t.

Remarque: Pour l'étude de la relativité générale, nous ne chercherons pas à ce que la variation de la différence des énergies soit minimale tel que c'est le cas pour les systèmes mécaniques, mais bien la variation de la longueur d'un arc ds (non dépendant du temps contrairement à l'exemple précédent) dans un espace quelconque lors d'une trajectoire d'un système libre. Ce qui nous amènera à écrire simplement (rappelez-vous en aussi car ce sera très important) l'action:

equation   (29.20)

pour une masse unitaire et en prenant les unités naturelles.

Pour revenir à notre application du principe variationnel dans le cas du lagrangien généralisé, nous pouvons alors écrire la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de dL et nous obtenons alors la relation:

equation   (29.21)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) le deuxième terme de la somme de l'intégrale précédente:

equation   (29.22)

Le premier terme de la dernière égalité est nul:

equation   (29.23)

puisque nous avons déjà mentionné plus haut que par construction il faut que:

equation   (29.24)

L'expression de l'intégrale de moindre action peut finalement s'écrire:

equation   (29.25)

Mais les equationet equation tendent vers 0 d'une infinité de manières différentes et nous devons cependant avoir néanmoins equation. Cela veut dire alors que chaque terme sommé de l'intégrale peut être pris indépendamment et doit satisfaire:

equation   (29.26)

Mais comme les fonctions equationet equation  peuvent toujours tendre vers zéro de multiples façons, et que cette intégrale doit être quand même nulle, nous en déduisons que ce sont les intégrandes qui sont nuls:

equation   (29.27)

Ces n équations, satisfaites par le lagrangien généralisé du système pour le mouvement effectivement suivi, sont appelées "équations d'Euler-Lagrange", ou plus brièvement (mais plus rarement) "équations de Lagrange". Ce sont, comme nous allons le voir, les équations du mouvement du système: résolues, elles donnent l'évolution effective du système dans le temps.

 equation   (29.28)

ou plus explicitement:

equation   (29.29)

Remarque: C'est en étudiant la physique (les chapitres suivants du site) que l'on comprend mieux les applications de cette équation (obtenue quasiment que par des développements purement mathématiques !!!) et qu'il devient alors possible de comprendre sa signification. A notre niveau du discours, il est inutile de dire quoi que ce soit. Il faut faire de la physique, et encore de la physique pour la comprendre et la voir apparaître.

Donc dans l'approche lagrangienne, nous apprenons à raisonner à partir des concepts d'énergie potentielle et cinétique, au lieu des concepts de force. Les deux approches sont évidemment équivalentes physiquement, mais les énergies n'étant pas des quantités vectorielles, elles sont conceptuellement plus faciles à utiliser dans une vaste gamme de problèmes. En physique quantique par exemple, la notion de force n'a aucune signification mais les notions d'énergie demeurent valables. C'est une raison de plus pour se familiariser avec leur utilisation. De plus, la force au sens de Newton est une action instantanée à distance. En relativité, une telle chose est impossible. La notion de force est donc une création purement classique et macroscopique contrairement à notre intuition, son intérêt est limité.

Voyons un exemple d'application particulièrement simple de l'équation d'Euler-Lagrange (les autres exemples seront vus pendant notre étude des lois de Newton, de l'électrodynamique, de la relativité restreinte, de la relativité générale, de la physique quantique des champs, etc..):

exempleExemple:

Dans un premier temps, posons sous une forme mathématique conventionnelle l'équation d'Euler-Lagrange (la notation des coordonnées généralisées n'est pas identique en mathématiques à celle de la physique...):

equation   (29.30)

Prenons un exemple mathématique pratique simple mondialement connu et très important (nous réutiliserons les développements effectués ici pour l'étude du pendule de Huygens). L'énoncé du problème est le suivant: déterminer quel est le plus court chemin entre deux points d'un plan (nous devinons que c'est la droite mais il faut le démontrer!).

Ce problème consiste à trouver la courbe paramétrée la plus courte equation qui relie deux points (attention la variable t n'a rien à voir avec le temps dans cet exemple!):

equation   (29.31)

Ainsi la longueur infinitésimale dL par application de Pythagore est (abscisse curviligne différentielle paramétrée):

equation   (29.32)

Ainsi, la longueur L de la courbe paramétrée est donnée par:

equation   (29.33)

Il s'agit d'une relation que nous retrouverons souvent en physique et en mathématique!!

Ainsi, ce problème, dont la solution géométrique est très simple, se formule sous forme de problème de calcul variationnel de la manière suivante:

equation   (29.34)

Écrivons l'équation d'Euler-Lagrange que la solution de ce problème, si elle existe, doit vérifier.

Nous avons donc:

equation   (29.35)

L'équation d'Euler-Lagrange dans ce cas particulier devient alors:

equation   (29.36)

Donc:

equation   (29.37)

C est une constante d'intégration (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Cette dernière égalité implique que (nous ajoutons un indice pour la constante qui nous évitera de la confondre avec deux autres constantes un peu plus bas):

equation   (29.38)

En revenant aux notations utilisées au début de l'énoncé du problème:

equation   (29.39)

Soit:

equation   (29.40)

d'où:

equation   (29.41)

et par intégration il vient donc:

equation   (29.42)

ce qui est bien l'équation d'une droite. Autrement écrite:

equation   (29.43)

IDENTITÉ DE BELTRAMI

Nous allons démontrer ici une relation utile dans certaines situations. Il s'agit d'une relation appelée "identité de Beltrami" qui simplifie l'application de l'équation d'Euler-Lagrange dans certaines situations bien particulières!

Nous rappelons d'abord l'équation d'Euler-Lagrange:

equation   (29.44)

Ecrivons la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (29.45)

Ce que nous écrirons sous la forme:

equation   (29.46)

En réarrangeant:

equation   (29.47)

Multiplions avant de continuer l'équation d'Euler-Lagrange par equation:

equation   (29.48)

et injectons la relation antéprécédente dans la précédente:

equation   (29.49)

Après une petite factorisation nous obtenons:

equation   (29.50)

Dans les conditions particulières (mais relativement fréquents en physique), que nous appelerons sur ce site la "condition de Beltrami", où:

equation   (29.51)

nous obtenons "l'identité de Beltrami":

equation   (29.52)

qui nous amène de suite à avoir:

equation   (29.53)

qui nous sera par exemple utile dans le chapitre de Mécanique Classique lors de notre étude du brachistochrone.

THÉORÈME DU CALCUL VARIATIONNEL

Le théorème du calcul variationnel consiste à montrer qu'en considérant f une fonction continue sur equation à valeurs réelles et H l'ensemble des fonctions continues sur equation indéfiniment dérivables surequation et qui s'annulent en a et b alors pour toute fonction equation:

equation   (29.54)

f est nulle sur equation.

Pourquoi s'intéresser à ce théorème? Parce que nous le rencontrerons très souvent lors de l'application du principe variationnel ayant une configuration de ce type. Effectivement, rappelons que le principe variationnel amène à avoir:

equation   (29.55)

et l'expression intégrée est rarement une fonction simple comme le lecteur s'en apercevra au cours de sa lecture des différents chapitres du site. Il est donc important de connaître une propriété qui simplifie parfois l'analyse du problème.

Remarque: Certains penseront que le cas avec equation avec equation et equation contredit l'énoncé du théorème! Au fait ce n'est pas vraiment ça... le théorème se doit d'être valable pour equation et non juste pour l'exemple cité. D'où le fait que f devra bien être nul comme nous allons le démontrer.

Démonstration:

Pour simplifier nous prendrons le cas equation, equation. A quelques détails techniques près la preuve par l'absurde ci-dessous peut être adaptée au cas a, b quelconques.

Supposons que f ne soit pas nulle sur equation. Alors il existe equation tel que equation. Nous pouvons supposer equation (même raisonnement si equation).

Par l'hypothèse initiale de continuité et de non nullité de f il existe alors un petit intervalle autour de equation sur lequel f  est strictement positive. C'est-à-dire, qu'il existe equation tel que equation et equation.

Considérons à présent la fonction equation définie par

equation   (29.56)

Nous vérifions assez facilement que equation est continue (positive) sur equation et indéfiniment dérivable sur equation (cf. chapitres d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Différentiel Et Intégral).

De plus, equation. Et donc, equation. Voici une représentation graphique de equation:

equation
Figure: 29.2 - Exemple de fonction pour la démonstration

A partir de equation nous voulons obtenir une fonction continue sur equation, indéfiniment dérivable sur equation positive sur equationet nulle en dehors de equation afin de montrer l'absurde de l'hypothèse de non nullité de f pour que le théorème soit vérifié (rappelons que nous sommes en train de faire une démonstration par l'absurde!).

Pour ceci, il suffit de centrer equation en equation et de la contracter.

La fonction equation définie par:

equation   (29.57)

répond aux critères exigés. De plus, equation et donc, equation.

Ainsi, la fonction equation sera continue sur equation positive sur equation et nulle ailleurs.

Nous avons:

equation   (29.58)

Or, si une fonction equation est continue et positive et:

equation   (29.59)

cela entraîne forcément (nous supposerons cela comme trop intuitif pour avoir besoin d'être démontré) equation sur equation.

Par conséquent equation sur equation or equation selon notre hypothèse absurde initiale, ce qui est contradictoire.

L'hypothèse de départ est donc bien fausse et f doit être nulle sur equation

equationC.Q.F.D.

FORMALISME CANONIQUE

Le formalisme canonique n'introduit pas une nouvelle physique mais propose une nouvelle gamme d'outils pour étudier les phénomènes physiques. Son élément central, le "hamiltonien", joue un grand rôle en physique quantique. 

Comme dans le formalisme de Lagrange nous travaillerons avec des quantités comme l'énergie, T et V plutôt qu'avec des quantités vectorielles comme la force de Newton.

Dans le formalisme de Lagrange, la description d'un système mécanique à n degrés de liberté décrits par les coordonnées générales equation indépendantes (non contraintes) nous mène à n équations d'Euler-Lagrange:

equation   (29.60)

qui sont des équations différentielles du 2ème ordre.

Dans le formalisme canonique (ou de Hamilton), un système mécanique à n degrés de liberté toujours décrits par des equation indépendants nous mènera à 2n équations du premier ordre (plus simple à résoudre).

Chez Lagrange nous comparons principalement des trajectoires et par conséquent les equation et les equation sont tous indépendants. Chez Hamilton nous devrons d'abord apprendre à définir les "moments généralisés", notés  equation, pour remplacer les coordonnées généralisées equation et equation qui sont aussi tous indépendants.

Remarque: L'origine des moments conjugués sera triviale dès que nous aurons vu un premier exemple concret.

TRANSFORMATION DE LEGENDRE

Cette transformation est souvent utilisée en thermodynamique (voir chapitre du même nom) où elle permet de relier entre eux les différents potentiels thermodynamiques. En mécanique ou en géométrie elle permet de définir le hamiltonien à partir du lagrangien et inversement. Nous en donnons une description simplifiée et suffisante.

Soit une fonction f(u,v) où u,v sont les deux variables indépendantes dont dépend f

Définissons:

equation   (29.61)

La transformation de Legendre permet de définir une fonction equation qui peut remplacer equation dans le sens qu'on ce débarasse d'une des deux variables explicatives (ce qui est très utile en thermodynamique!):

equation   (29.62)

Soit maintenant la différentielle totale de f (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (29.63)

De la définition de g nous calculons:

equation   (29.64)

et nous avons donc:

equation   (29.65)

Évidemment nous arrivons au signe près au même résultat si nous avions posé au début:

equation   (29.66)

comme cela est d'usage en thermodynamique.

HAMILTONIEN

Soit un lagrangien equation que nous traiterons comme la fonction f ci-dessus avec les equation jouant le rôle de u et les equation le rôle de v. A la place de w, nous définissons les moments généralisés également appelés "moments canoniques":

equation   (29.67)

avec equation.

Avant de continuer voyons ce que nous permet de faire cette définition:

Nous définissons donc, en analogie avec g, une fonction des equation et des equation que nous noterons equation:

equation   (29.68)

Attention! La relation obtenue:

equation   (29.69)

appelée "fonction de Hamilton" ou "hamiltonien" est plus qu'importante (comme tout le reste d'ailleurs). Nous la retrouverons, entre autres, en physique quantique relativiste ou encore en physique quantique des champs. Par ailleurs, un très joli exemple de tout ce que nous avons vu maintenant est donné dans le chapitre de Relativité Restreinte où nous calculons le lagrangien et hamiltonien d'une particule libre. Les résultats sont assez pertinents et leur utilité et justesse en électrodynamique plus que étonnante.

exempleExemple:

Une autre application importante et très connue de la mécanique analytique est le calcul des surfaces minimales (physique et architecture). Si nous nous intéressons à la détermination d'une telle surface en imposant qu'elle soit une surface de révolution, nous allons voir que nous trouvons une caténoïde (soit la forme que prend un film de savon ente deux anneaux).

Nous nous donnons les rayons equation et equation de deux cercles et l'écartement l entre les deux cercles. Nous cherchons une fonction y de classe equation telle que:

equation et equation   (29.70)

et que la surface de révolution sous forme paramétrique:

equation   (29.71)

possède une surface minimale.

Nous savons que la surface d'un volume de révolution peut s'écrire (cf. chapitre Formes Géométriques):

equation   (29.72)

Soit en faisant varier la fonction:

equation   (29.73)

Puisque equation l'intégration par parties du deuxième terme donne:

equation   (29.74)

Comme les bornes d'intégration sont fixes, le premier terme sera nul. Il reste alors:

equation   (29.75)

et donc:

equation   (29.76)

Le minimum cherché correspond à equation quel que soit equation ce qui impose la condition:

equation   (29.77)

nous retrouvons l'équation d'Euler-Lagrange.

Cette équation peut aussi s'écrire sous une autre forme. En introduisant le moment canonique pour simplifier:

equation   (29.78)

Nous avons alors immédiatement:

equation   (29.79)

Nous obtenons alors:

equation   (29.80)

Ainsi, en posant l'analogie vue plus haut (méthode de Hamilton):

equation   (29.81)

nous aboutissons à:

equation   (29.82)

Ainsi en se rappelant qu'au début nous avions:

equation   (29.83)

Nous aboutissons à:

equation   (29.84)

Ce que nous pouvons aussi noter (car la constante a un signe indéterminé):

equation   (29.85)

Nous avons alors:

equation   (29.86)

Nous avons déjà intégré ce type d'équation différentielle en détails dans le chapitre de Génie Civil dans l'étude de la chainette. Le résultat est:

equation   (29.87)

la surface de révolution de cette courbe étant une caténoïde:

equation
Figure: 29.3 - Tracé de la caténoïde (source: Wikipédia)

Ce qui est un exemple remarquable qui montre l'intime relation entre la mathématique et la physique!

Cette figure peut être obtenue avec Maple 4.00b comme suit:

>y:=cosh(x);
>plot3d([x,y*cos(phi),y*sin(phi)],x=-2..2,phi=-2*Pi..2*Pi);

Maintenant, si L dépend du temps (ce qui est quand même assez souvent le cas...) nous avons comme différentielle totale:

equation   (29.88)

nous calculons aussi la différentielle totale de equation et y substituons le résultat obtenu précédemment:

equation   (29.89)

ce qui montre bien que equation est fonction des equation (et du temps). 

Nous pouvons donc aussi écrire pour sa différentielle totale:

equation   (29.90)

et comme les equation et equation sont indépendants nous identifions, en comparant nos deux expressions que:

equation   (29.91)

Ces relations sont extrêmement importantes car nous les retrouverons en magnétostatique, en physique quantique relativiste et aussi en physique quantique des champs sous une forme un peu plus barbare (mais magnifique aussi...).

Considérons maintenant le deuxième terme du premier membre de l'équation d'Euler-Lagrange. Nous avons: 

equation   (29.92)

et ainsi, nous obtenons les 2n équations ci-dessous:

equation   (29.93)

Ces 2n équations sont appelées "équations canoniques du mouvement" et sont des équations différentielles du premier ordre.

Remarque: L'apparition du signe moins " - " entre les équations pour les equation et celles pour leurs moments conjugués, s'appelle une "symétrie symplectique".

De:

equation   (29.94)

nous pouvons, sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, calculer:

equation   (29.95)

Remarque: Si H ne dépend pas du temps nous avons alors equation, alors H (ainsi que L), sont une "constante du mouvement".

Un exemple s'avère indispensable à ce niveau d'avancement de l'étude du formalisme Lagrangien. Nous allons nous restreindre à un cas particulier d'une particule soumise à une force en une dimension. Mais bien que cet exemple et les développements qui y sont liés soient simples nous retrouverons les résultats obtenus ici dans bien d'autres parties du site. Il est donc important de bien l'étudier et de bien le comprendre (ce qui nécessite malheureusement aussi que le contenu du chapitre de Mécanique Classique soit connu par le lecteur).

exempleExemple:

Soit une particule de masse m se déplaçant en une dimension (disons x) et soumise à une force dérivant d'un potentiel tel que:

equation   (29.96)

Nous savons que son lagrangien est:

equation   (29.97)

Nous n'aurons qu'un seul moment (la quantité de mouvement), noté p, conjugué à x et défini par:

equation   (29.98)

équation que nous pouvons (que nous devons !) inverser (de la définition de la quantité de mouvement):

equation   (29.99)

Nous pouvons noter en ce point que le moment p correspond (ô hasard !!) à la composante x de la définition élémentaire equation (ce qui ne sera pas toujours aussi trivialement le cas). 

Selon la définition de l'hamiltonien il vient alors:

equation   (29.100)

que nous écrivons souvent sous la forme:

equation   (29.101)

T est donc l'énergie cinétique exprimée en fonction des moments.

CROCHETS DE POISSON

Le crochet de Poisson equation est la façon standard de noter une certaine opération qui implique les quantités equation et equation ainsi que l'ensemble des variables canoniques equation définie par:

equation   (29.102)

qui exprime la manière de parcourir un champ (le crochet étant nul si les deux types de parcours sont égaux).

de cette définition nous pouvons déduire certaines propriétés relativement triviales:

P1. equation

Démonstration:

equation   (29.103)

equationC.Q.F.D.

P2. equation

Démonstration:

equation   (29.104)

equationC.Q.F.D.

P3. equation

Démonstration:

equation   (29.105)

equationC.Q.F.D.

P4. equation

Démonstration (nous allons simplifier la notation pour condenser...):

equation   (29.106)

Bon et ici, histoire de pas avoir un truc illisible, long et ennuyeux on va démontrer la propriété pour equation et nous supposerons (bien évidemment) qu'elle est valable pour tout n:

equation   (29.107)

Nous avons en plus (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sous certaines conditions la propriété equation. Dès lors l'ensemble des termes s'annulent (c'est de l'algèbre élémentaire) pour avoir finalement:

equation   (29.108)

où la dernière expression est appelée "identité de Jacobi".

equationC.Q.F.D.

Au-delà d'une simple notation, le calcul des crochets de Poisson est assez facile et permet d'obtenir nombre de résultats intéressants. D'autre part, ils sont intimement reliés aux "commutateurs" de la physique quantique que nous étudierons dans le détail dans le chapitre concerné.

Considérons maintenant une fonction quelconque equationdont la dérivée totale par rapport au temps le long d'une trajectoire s'écrit (vous y reconnaîtrez normalement quelque chose que vous connaissez déjà...):

equation   (29.109)

Si cette trajectoire est une trajectoire physique, elle obéit aux équations canoniques de l'hamiltonien H du système:

equation   (29.110)

et alors:

equation   (29.111)

En particulier, cette équation permet un calcul facile des constantes du mouvement. En effet, le calcul de equation est immédiat et le calcul de equation un exercice assez simple.

Il existe une famille de résultats intéressants des crochets de Poisson. Parmi les plus importants, calculons certains de ces crochets entre des variables canoniques, coordonnées et moments:

equation   (29.112)

puisque par définition, les coordonnées et moments ne sont pas directement dépendants:

equation   (29.113)

d'où:

equation   (29.114)

et de manière identique:

equation   (29.115)

Mais:

equation   (29.116)

où rappelons-le, equation est le symbole de Kronecker défini par:

equation   (29.117)

Attention ! equation n'est pas commutatif. Effectivement, le lecteur contrôlera facilement que:

equation   (29.118)

Ce qui implique un résultat assez général que nous retrouverons dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire:

equation   (29.119)

TRANSFORMATIONS CANONIQUES

Nous disons des equation que ce sont des "variables canoniques généralisées". Ce n'est pas un euphémisme puisqu'il n'y a pratiquement aucune limite à ce qu'elles peuvent représenter physiquement.

Puisque tel est le cas, il doit exister des transformations entre ces différents choix. Nous noterons equation les nouvelles variables canoniques obtenues suite à une telle transformation.

Nous ne sommes pas surpris par contre de constater que ces transformations sont soumises à des conditions assez sévères. En effet, les equation sont généralisés et obéissent à:

equation   (29.120)

et les équations canoniques:

equation   (29.121)

sont invariantes de forme. Ainsi, à la suite d'une transformation des equation vers les equation et définissant un nouvel hamiltonien que nous noterons equation nous devrons avoir:

equation   (29.122)

et les équations canoniques:

equation   (29.123)

Strictement, les équations de transformation peuvent s'écrire:

equation   (29.124)

avec equation et doivent pouvoir s'inverser puisque la physique reste indépendante des variables que nous employons pour la décrire, donc nous pouvons écrire les transformations inverses:

equation   (29.125)

avec equation. Les equation forment 4n variables mais il est évident que seules 2n d'entre elles sont indépendantes.


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