PRINCIPES
| MÉCANIQUE ANALYTIQUE
| MÉCANIQUE
CLASSIQUE
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE | MÉCANIQUE
STATISTIQUE | THERMODYNAMIQUE
MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
31.
MÉCANIQUE
ONDULATOIRE |
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LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE
Nous nous
intéresserons ici à l'étude des
propriétés mathématiques des cordes vibrantes
que nous pouvons également
par extension et dans un souci de généralisation à des
cas immatériels
assimiler au concept des "ondes". Cette étude
est très
importante car nous aurons besoin de certains des résultats
obtenus ici en thermodynamique, physique quantique, astrophysique, électrodynamique,
acoustique, théorie des cordes (pour ne citer que les plus
importants).
Définitions:
D1.
Une "onde" est un transport
d'énergie sans transport
de matière. Elle
est concrétisée par la propagation d'une perturbation d'un milieu
d'où l'appellation "d'ondes progressives".
La vitesse avec laquelle l'onde progresse dépend des propriétés
physiques du milieu.
D2.
Dans le cas où la perturbation du milieu (déformation de l'onde)
se fait de façon
perpendiculaire à
la direction de propagation de l'onde, nous parlons "d'onde
transversale" ou de "perturbation
transversale" (typique
des ondes dans les cordes par exemple).
D3.
Dans le cas où la perturbation du milieu se fait parallèlement à
la direction de propagation de l'onde, nous parlons "d'onde
longitudinale" ou de "perturbation
longitudinale"
(typique des ressorts).
FONCTION
D'ONDE
Soit une perturbation définie
dans une région donnée de l'espace. Si nous remplaçons x par
x-b, nous définissons dans cette même région,
une perturbation f(x-b) identique à
f(x) mais translatée d'une distance b dans
la direction des X positifs (à droite donc si l'on
adopte le système de représentation conventionnel vu en
analyse fonctionnelle).
Si
t représente
un temps et si l'on pose
,
alors v peut
désigner la vitesse de translation de la perturbation.
Ainsi,
nous appelons "fonction d'onde", la relation mathématique:
(31.1)
qui décrit la progression d'une perturbation y(x,t) dans
l'espace:
-
décrivant
une onde qui progresse vers +X
-
décrivant
une onde qui progresse vers -X
v est
par définition appelée "vitesse
de phase de l'onde". Elle
est constante dans un milieu homogène. "L'amplitude
de l'onde"
est la valeur maximale de la perturbation:
(31.2)
En
l'absence d'amortissement, elle conservera la même valeur en chacun
des points x où
l'onde passe.
ÉQUATION
D'ONDE
Sans aller dans des considérations trop techniques, nous
dirons que toute fonction f dont
l'argument est
jouit
de la propriété:
(31.3)
Démonstration:
(31.4)
et donc l'égalité s'ensuit immédiatement
(il s'agit simplement de l'application des dérivées composées tel
que démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral).
Suite à la demande d'un lecteur qui n'a pas trouvé cela
très clair, faisons un exemple. Considérons la fonction
suivante:
(31.5)
et dès lors:
(31.6)
Pour en revenir au cas général, dérivons
une seconde fois, nous obtenons alors une autre forme de l'équation
d'onde que nous retrouverons aussi fréquemment:
(31.7)
Ce
qui nous amène à écrire l'une des relations les plus importantes
en physique appelée "équation
de propagation", "équation
d'onde" ou encore "équation
de d'Alembert" et que
nous retrouverons dans de nombreux autres chapitres du site (Électrodynamique,
Physique Quantique Ondulatoire, Relativité Générale,
Acoustique):
(31.8)
C.Q.F.D.
Remarques:
R1. Ne pas oublier (cf. chapitre de Calcul
Différentiel Et Intégral)
que la somme des solutions à une équation différentielle est
aussi solution de l'équation différentielle. Ainsi, la solution
générale de l'équation d'Alembert est la superposition de deux
ondes progressives arbitraires allant dans des directions opposées.
R2. Lorsque deux ou plusieurs ondes se propagent
dans un milieu, la fonction d'onde qui en résulte est
la somme algébrique
des fonctions d'onde de chaque onde. Nous disons alors que
les ondes "interfèrent" et
nommons cette considération le "principe
de superposition des ondes".
Considérons
maintenant une corde de longueur L attachée
par
l'une de ses extrémités à une terminaison fixe. Supposons
maintenant qu'une perturbation se propage sur cette corde. Lorsque
la perturbation
arrive à la terminaison, nous observons que celle-ci change de
signe en même temps que sa vitesse de propagation s'inverse: l'onde
subit ainsi une réflexion avec inversion.
Pour
décrire le phénomène, il faut imposer:
(31.9)
Une
fonction d'onde quelconque,
qui progresse vers la terminaison, ne peut pas vérifier la condition:
(31.10)
pour
toutes les valeurs du temps !
L'astuce
consiste à la remplacer par une autre fonction d'onde y(x,t) dont
la forme est semblable à f
à grande distance de l'origine de la perturbation, et
qui s'annule au point de terminaison pour toutes les valeurs du
temps. Pour cela, nous pouvons imaginer au point de la terminaison,
un miroir qui donne de la corde une image de même longueur dans
laquelle nous inventons une onde virtuelle:
(31.11)
symétrique
de ,
mais de signe opposé.
Nous
décidons ainsi:
-
que les deux ondes progressent l'une vers l'autre pour s'annuler
au point de terminaison
-
toute partie de l'onde réelle qui dépasse le point de terminaison
devient virtuelle
-
toute partie de l'onde virtuelle qui pénètre dans la corde devient
réelle
A
leur intersection, les deux ondes réalisent une interférence destructive
au point de terminaison. La somme algébrique de ces deux fonctions
d'onde est aussi une fonction d'onde:
(31.12)
qui
a la propriété voulue en x=L:
(31.13)
Si
nous considérons maintenant une terminaison libre, sans frottements
avec son support d'attache, nous nous retrouvons dans un cas similaire
au précédent à la différence que l'interférence est constructive
au point de terminaison plutôt que destructive telle que la fonction
d'onde s'écrive:
(31.14)
Remarques:
R1.
Lorsque l'onde arrive sur une terminaison libre ou fixe, l'énergie
transportée est intégralement renvoyée en arrière.
R2. Lorsqu'une terminaison n'est pas exactement adaptée, seule
une partie de l'énergie est absorbée par le point Q, le reste
est réfléchi.
TYPE
D'ONDES
En
physique théorique (et dans la pratique), nous restreignons fréquemment
l'étude de certains phénomènes à des cas particuliers d'ondes. Principalement,
nous en distinguons trois que nous allons brièvement mais soigneusement
développer:
ONDES
PÉRIODIQUES
Si
un événement produit une onde qui ne transporte qu'une
seule perturbation produite en un point donné, il existe
de nombreuses perturbations qui sont capables d'exciter un milieu
de manière
répétitive.
Le
point spatial de la source subit alors périodiquement la même
perturbation. La durée d'un cycle complet est appelée identiquement à l'étude
des pendules: "la période" T.
Si
la perturbation peut se propager sous forme d'onde, à vitesse v,
elle est décrite par la fonction d'onde que nous connaissons:
(31.15)
En
chaque point du milieu perturbé, l'onde périodique impose une "périodicité
temporelle" de la perturbation qui nous impose d'écrire:
(31.16)
Après
plusieurs cycles d'excitations de la source, plusieurs perturbations
sont distribuées dans l'espace. La
distance entre deux perturbations successives est appelée "longueur
d'onde" .
La
"périodicité spatiale" impose ainsi aussi:
(31.17)
est
le chemin parcouru par l'onde pendant le temps T:
(31.18)
Si
une fonction d'onde est périodique dans le temps, elle l'est
aussi dans l'espace, pour autant que l'impulsion ne se déforme
pas lors de sa progression.
Démonstration:
(31.19)
En
posant ,
nous avons bien:
(31.20)
C.Q.F.D.
ONDES
HARMONIQUES
Pour
ces ondes, la fonction d'onde solution de l'équation d'Alembert
est une fonction trigonométrique
de type sinus ou cosinus (ou une somme):
ou
(31.21)
La
présence de k appelé
"nombre d'onde" est exigée pour 2 raisons:
-
k s'exprime
en pour
la cohérence des unités des fonctions trigonométriques
-
la valeur de k doit
assurer la périodicité de la fonction d'onde:
1.
périodicité angulaire de la fonction mathématique:
2.
périodicité spatiale de la fonction d'onde:
En
égalant ces deux expressions:
(31.22)
ce
qui implique:
(31.23)
Introduisons:
(31.24)
dans
l'expression de k:
(31.25)
d'où
autre relation importante:
(31.26)
La
fonction d'onde de l'onde harmonique peut alors s'écrire sous la
forme:
ou
progressive
selon +X
ou
progressive
selon -X
(31.27)
ONDES
STATIONNAIRES
Imaginons
une corde excitée de manière harmonique. Au lieu d'adapter sa terminaison
pour extraire de l'énergie de la corde, imposons que cette terminaison
soit fixe. L'onde est alors réfléchie.
Une
nouvelle fonction d'onde doit être définie pour décrire la superposition
de l'onde incidente:
(31.28)
et
de l'onde réfléchie (symétrique et de signe opposé):
(31.29)
en
analogie avec le résultat que nous avions trouvé lors de notre étude
des terminaisons:
(31.30)
La
relation trigonométrique:
(31.31)
nous
donne:
(31.32)
Ce
n'est plus une onde progressive car x et
t ne
se combinent plus comme .
Certains points de la corde ne bougent jamais. Ils satisfont:
(31.33)
et
sont situés en:
(31.34)
Pour
des raisons évidentes, nous ne conservons que les valeurs de n pour
lesquelles .
Remarque: Chacun de ces points est appelé "noeud
de la vibration".
Nous
observons dans un tel système, des fuseaux de vibration, de longueur
,
dans lesquels la corde vibre transversalement dans une zone de hauteur
(deux
vers le haut, deux vers le bas).
Remarque: Les points où l'amplitude de vibration est maximale sont
des "ventres de la vibration".
Puisque
,
les ventres sont distants de et
situés à des
noeuds.
Si
nous imposons maintenant une terminaison fixe aux deux extrémités
d'une corde en vibration, nous nous retrouvons avec une "mise
en résonance".
Le
plus souvent, nous n'observons pas grand-chose jusqu'à ce que nous
trouvions la fréquence d'excitation qui place les noeuds
de vibrations sur les deux points de terminaison fixe.
Dès
lors pour une corde de longueur L:
(31.35)
implique:
(31.36)
La
corde est alors le siège d'une onde stationnaire dont l'amplitude
de vibration est considérablement plus grande que l'amplitude d'excitation
(quatre fois).
Nous
disons alors que la corde est rentrée en "résonance" avec
l'excitateur.
La
relation:
(31.37)
montre
qu'il y a plusieurs longueurs d'onde possibles
dont la plus grande correspondant à n=1 est
appelée "longueur d'onde fondamentale" et
vaut bien évidemment .
MODES DE
VIBRATIONS DANS UN FIL TENDU
Nous avons vu comment
une onde peut progresser dans une corde. Montrons maintenant
pourquoi
c'est possible et établissons la relation y(x,t),
donnant la forme de la corde en fonction du temps.
Soit un fil de diamètre
,
longueur L et masse m, la densité linéique
du fil (supposée constante le long de celui-ci) est alors:
(31.38)
Par un léger choc,
créons une petite perturbation (afin de ne pas déformer
le câble et maintenir constant sa densité linéique)
transversale. Isolons, dans la zone perturbée, un élément
de fil, de longueur .
Approximations:
A1. Chaque élément
de la corde peut être découpé de façon
infinitésimale de façon à être presque
parallèle
à l'axe x.
Les angles
sont donc considérés comme petits.
A2. La corde est considérée
comme déformable mais non allongeable donc la norme des
forces dans la corde est constante en tout point quelle que soit
la déformation.
Pour la suite du raisonnement,
nous nous servons de la figure ci-dessous:
Figure: 31.1 - Illustration d'un élément de corde
Si les angles sont petits,
le bilan des forces donne:
(31.39)
ce qui signifie
qu'il n'y pas
de déplacements selon x :
(31.40)
Si les angles
sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement
qui donne:
(31.41)
Donc:
(31.42)
accélération
selon y.
La loi de Newton appliquée
à la masse
donne (nous considérons que chaque point de masse se déplace
seulement selon y car il n'y a pas allongement):
(31.43)
Les tangentes sont données
par les dérivées partielles de la fonction y(x):
(31.44)
Qui s'égalise avec
l'avant-dernière relation:
(31.45)
et donc:
(31.46)
Si ,
les deux tangentes tendent vers la même valeur, mais la fraction
du membre de droite tend vers une valeur finie:
(31.47)
Il en résulte l'équation
différentielle:
(31.48)
Cette dernière relation s'écrit plus
souvent sous la forme suivante:
(31.49)
et se nomme "équation des cordes vibrantes".
Remarque: Dans certains ouvrages, la densité linéique
est notée
et la force de tension dans la corde
ce qui donne:
(31.50)
Si nous vérifions que
les unités de
sont celles du carré d'une vitesse ,
comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture,
nous posons:
(31.51)
Nous allons maintenant considérer
un cas particulier très intéressant dans le cadre
de la musicologie qui est celui de la corde tendue (la plupart des
instruments à corde fonctionnant ainsi).
CONDITIONS
DE DIRICHLET
L'objectif est dans le cadre
de l'équation différentielle obtenue précédemment
(petites déformations dans les cadres des instruments de
musique) de trouver une fonction y(x,t)
solution de cette dernière avec les conditions initiales,
typiques à un instrument de musique suivantes:
C.I.1.
(les extrémités A et B sont fixes -
il s'agit des "conditions de Dirichlet")
C.I.2.
(forme initiale du fil à l'excitation)
C.I.3.
(vitesse initiale nulle en tout point)
Les deux dernières conditions sont appelées "conditions
de Cauchy".
Pour résoudre cette
équation différentielle linéaire, nous allons
faire usage de la méthode de séparation de variables
en posant:
(31.52)
L'équation différentielle:
(31.53)
devient dès lors:
(31.54)
Nous avons donc:
(31.55)
En mettant la deuxième relation dans la première,
nous en tirons:
(31.56)
Le membre de gauche de la
dernière relation ne contient pas la variable t et
celui de droite ne contient pas la variable x. La seule
et unique façon d'égaler ces deux expressions est de
les considérer chacune comme constante, que nous noterons :
(31.57)
Ainsi, nous avons deux équations
différentielles:
et
(31.58)
Ces deux équations
étant similaires, résolvons-les de manière
générale (cf. chapitre
de Calcul Différentiel
Et Intégral):
avec
(31.59)
L'équation caractéristique
est donc:
(31.60)
d'où:
(31.61)
Nous savons que la solution
générale si les racines de l'équation caractéristique
sont complexes, est de la forme:
(31.62)
Pour nos deux équations
différentielles, nous avons donc par similitude:
et
(31.63)
Cela donne pour la solution
de notre équation d'onde:
(31.64)
Déterminons les constantes
en tenant compte des conditions initiales.
(31.65)
Il ne reste que:
(31.66)
Posons:
(31.67)
La condition initiale impose:
(31.68)
Pour tenir compte de la vitesse
initiale nulle, dérivons
par rapport au temps:
(31.69)
Il ne reste que:
(31.70)
La constante b représente donc l'amplitude
du déplacement transversal
du fil. Cette amplitude ne pouvant être la même partout
en un temps donné et une position donnée pour tout
type d'excitation satisfaisant les conditions initiales, il doit
exister
autant de valeurs
que nous choisissons de valeurs n dans .
Le principe de superposition
des solutions des équations différentielles linéaires
(cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral)
permet d'écrire que la combinaison linéaire de toutes
les solutions pour la corde est finalement:
(31.71)
Les
doivent être choisis de manière à satisfaire
la condition initiale qui donne la forme de la perturbation:
(31.72)
Cette expression pour f(x) suggère de
la comparer au développement en série de Fourier
(cf.
chapitre des Suites Et Séries):
(31.73)
Dans laquelle
et .
Le théorème de Fourier impose alors que les
sont donnés par:
(31.74)
Imaginons maintenant une
corde de longueur L fixée en ses
extrémités et tendue. Choisissons
la perturbation la plus simple possible: nous grattons la corde
en son milieu de manière très sèche, pour l'écarter
d'une petite distance H de sa position d'équilibre.
La perturbation initiale
y(x,0)
est alors:
pour
et
pour
(31.75)
Calculons les coefficients
de Fourier:
(31.76)
L'intégration par
parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel
Et Intégral)
donne:
(31.77)
La fonction d'onde devient:
(31.78)
À cause du ,
les termes pour lesquels n est pair sont tous nuls. Il reste:
(31.79)
Si nous ne retenons que le terme
en n=1, nous aurions:
(31.80)
Nous avons:
(31.81)
qui est le nombre d'onde
correspondant à une longueur d'onde:
(31.82)
et:
(31.83)
qui serait la fréquence
de vibration du fil de la première harmonique.
Ainsi, pour une valeur n
quelconque, il est facile de démontrer que le n-ème
"mode propre" est donné par:
(31.84)
avec:
(31.85)
relations appelées "lois de
Mersenne" (1644-1648).
où le mode de plus basse fréquence avec n valant
1 est appelé le "mode fondamental"
associé à sa "fréquence
fondamentale".
Ainsi, après avoir
été gratté sec au milieu de sa longueur L,
un fil maintenu rigidement à ses deux extrémités
peut osciller suivant plusieurs modes. Le mode fondamental (harmonique
fondamentale) correspond à la plus petite fréquence
possible. Il lui correspond la longueur d'onde .
Les fréquences d'ordre
n supérieures sont appelées "fréquences
harmoniques".
Pour un même déplacement initial H, l'amplitude
maximale de la vibration diminue selon comme
nous le voyons dans l'expression de notre fonction.
Une autre manière
d'exciter la corde est de la faire osciller de manière
sinusoïdale,
ce qui signifie dès lors que y(x,t)
est de la forme:
(31.86)
En substituant cette relation
dans l'équation d'onde de la corde, nous obtenons:
(31.87)
La solution se réduit
alors à:
ou
(31.88)
La valeur n=0 ne peut
pas être incluse car elle donne une corde sans excitation.
En mettant cette fonction dans l'équation d'onde précédente
et en simplifiant, nous obtenons trivialement:
(31.89)
Ce sont les "fréquences
d'oscillations de Dirichlet" pour une corde. Les cordes d'un violon
par exemple sont des cordes de Dirichlet.
Figure: 31.2 - Quelques modes fondamentaux d'une corde fixée
Les mêmes analogies,
raisonnements et développements pourront être faits
avec les conditions de Neumann ci-dessous.
Remarques:
R1. La théorie prédit
que la vibration peut être une combinaison linéaire
de plusieurs modes. Ce phénomène porte le nom de "vibration
simultanée". Il se produit abondamment dans un piano.
R2. Les instruments de musique
sont conçus pour émettre des sons à des fréquences
conventionnelles, étant admis que la hauteur d'une note
perçue
par l'oreille est définie par la fréquence fondamentale,
par exemple le: Do (264 Hertz), La (440 Hertz).
R3. Lors de la construction de l'instrument, nous décidons
de la valeur de
(en choisissant le diamètre et de la nature de la corde)
et nous déterminons la longueur L en cherchant le
compromis entre l'intensité sonore que nous voulons émettre
et la résistance mécanique de l'instrument qui doit
supporter les forces F de tension.
CONDITIONS
DE NEUMANN
Alternativement aux conditions
de Dirichlet où les extrémités sont fixes
et
à hauteur égales, les conditions de Neumann supposent
que les extrémités sont de petites boucles autorisées
à glisser le long de deux barres sans frottements.
Pour notre corde, les conditions
de Neumann spécifient les valeurs
aux extrémités. Mais tant que les boucles sont supposées
sans masse et sans frottements, la dérivée
doit s'annuler aux extrémités .
Si tel n'était pas le cas, alors de par la nullité
de la masse de l'extrémité, le changement de vitesse
sera dû à une accélération infinie,
ce qui ne peut être autorisé ! C'est ainsi que nous
imposons au lieu de la condition de Dirichlet, la condition de
Neumann
définie
par:
C.I.1.
les conditions C.I.2. et
C.I.3. restant identiques.
Ce changement de condition
n'empêche pas que la méthode de résolution
par séparation de variables est la même que précédemment
et que nous tomberons identiquement sur la relation suivante à
laquelle
il faudra appliquer la nouvelle condition initiale:
(31.90)
sur laquelle
nous appliquons donc la condition de Neumann:
(31.91)
Il reste donc:
(31.92)
en posant
la fonction se simplifie en:
(31.93)
La condition initiale,
impose:
(31.94)
Les mêmes développements
pour la C.I.2. que nous avions faits avec la C.I.1. de Dirichlet
s'appliquent ensuite de manière identique:
(31.95)
ensuite, l'analogie avec
les séries de Fourier s'applique de manière similaire
mais avec les cosinus au lieu des sinus.
Les fréquences de
Neumann d'une corde sont les mêmes que pour celle de Dirichlet
soit:
(31.96)
La particularité réside
cependant dans la valeur de la fonction spatiale qui vaut cette
fois trivialement:
ou
(31.97)
Effectivement, pour n=0
nous avons cette fois une amplitude
identique qui est transmise tout le long de la corde sans que celle-ci
ne vibre cependant !
Par ailleurs, faisons remarquer,
que la fonction
satisfait aussi pleinement les trois conditions initiales incluant
celle de Neumann.
Effectivement, nous avons
bien:
(31.98)
et de plus,
vérifie aussi l'équation d'onde:
(31.99)
LAGRANGIEN
D'UNE CORDE
Nous allons maintenant déterminer
le lagrangien d'une corde, calcul qui nous sera en partie utile
lors de l'étude de la théorie des cordes.
Nous gardons donc notre corde
ayant une densité linéique et tension constante dont
les extrémités sont situées en
et dont la vitesse de la perturbation transversale est non relativiste.
L'énergie cinétique
est alors simplement la somme des énergies cinétiques
de chaque élément infinitésimal de la corde.
Nous pouvons alors écrire en notation Lagrangienne:
(31.100)
L'énergie potentielle
intervient dans l'élongation de la corde dont une portion
infinitésimale peut être vue comme variant de
(x,0)
à
quand la corde est à l'équilibre. Quand une corde
est momentanément mise sous tension de (x, y)
à
alors la variation de la longueur dl d'un élément
infinitésimal de la corde est
donnée trivialement par:
(31.101)
Nous avons utilisé
ci-dessus pour approximation le développement limité
au deuxième terme en série de Taylor (cf.
chapitre Suites Et Séries), qui nous donne:
(31.102)
Le travail effectué
pour étirer chaque élément infinitésimal
étant ,
l'énergie potentielle totale est alors exprimée
par:
(31.103)
La lagrangien étant
défini par
(cf. chapitre de Mécanique Analytique),
nous avons alors:
(31.104)
où
est défini, très justement, comme étant la
"densité lagrangienne":
(31.105)
L'action pour notre corde
est alors:
(31.106)
Dans cette action, le chemin
d'action est la fonction y(x,t).
Pour trouver les équations du mouvement, nous devons examiner
la variation de l'action quand nous varions:
(31.107)
Ce qui donne:
(31.108)
Car:
(31.109)
et ce identiquement pour
le second terme.
Nous ne devons pas avoir
de dérivées temporelles agissant sur les variations.
Alors en utilisant la relation triviale suivante sur le premier
terme:
(31.110)
et identiquement sur le deuxième,
nous pouvons réécrire l'action:
(31.111)
Comme nous l'avons vu en
mécanique analytique, le bon chemin est donné par
.
Dès lors, nous devons avoir:
(31.112)
Ainsi, notre expression contient
trois termes. Chacun de ces trois termes doit s'annuler indépendamment
comme nous allons le voir:
1. L'annulation du troisième
terme se fait selon une condition triviale qui nous est déjà
bien connue (heureusement...):
(31.113)
et donc:
(31.114)
nous retrouvons donc l'équation
différentielle d'une onde transversale telle que nous
l'avions démontrée plus haut. Notre hypothèse
sur le troisième terme ne peut donc être que juste
ainsi que l'expression de notre action.
2. Le premier terme est déterminé
par la configuration de la corde aux temps :
(31.115)
Or, si nous imposons la connaissance
de ces configurations dans le temps, nous aurons par définition:
(31.116)
(connaissance
totale du chemin d'action car connaissance des conditions initiales,
donc pas de variation). Cela valide encore une fois
l'expression
de notre action et la valeur nulle du terme comme attendu.
3. Le second terme est un
peu plus intéressant:
(31.117)
D'abord, ce n'est que parce que
nous connaissons les positions des extrémités de
la corde que nous pouvons connaître ces modes de vibrations,
nous le savons bien! Il nous faut donc savoir comment se comportent
les extrémités. Pour cela nous allons revenir sur
des choses qui nous sont connues: les conditions de Dirichlet
et
de Neumann d'une corde.
Supposons que nous imposions
les conditions de Dirichlet (voir plus haut), les extrémités
sont alors fixes et nous aurons forcément à ces
mêmes
extrémités:
(31.118)
et
donc le deuxième terme disparaît bien (ouf!).
Si, à l'opposé,
nous choisissons que les extrémités se meuvent
librement, alors les variations:
(31.119)
sont
non contraintes et dès lors, seulement les conditions
de Neumann:
(voir
plus haut pour plus de détails) nous permettront d'avoir
le deuxième terme de l'action nul.
Pour prendre pleinement conscience
de l'importance de ces conditions initiales, considérons
la quantité de mouvement
portée par la corde (il n'y pas d'autres composantes du
mouvement car nous avons supposé implicitement une excitation
transversale dès le début seulement dans cette direction
y).
La quantité de mouvement
est simplement la somme des quantités de mouvement de chaque
élément infinitésimal le long de la corde:
(31.120)
Vérifions juste par
curiosité (c'est une curiosité anticipée...)
si la quantité de mouvement est bien conservée:
(31.121)
où nous avons utilisé
l'équation d'onde transversale pour la substitution.
Nous voyons par le résultat
de ce petit calcul que la quantité de mouvement est trivialement
conservée si nous imposons les conditions de Neumann, alors
que pour les conditions de Dirichlet, la plupart du temps la
conservation
n'est pas respectée! Effectivement, c'est trivial (il n'y
pas besoin de calculs pour s'en rendre compte), lorsque les extrémités
sont attachées au mur, le mur exerce constamment une force
sur la corde.
MODES
DE VIBRATIONS DANS UNE MEMBRANE CIRCULAIRE TENDUE
Nous dérivons le phénomène
de vibration dans une membrane tendue (typiquement un tambour)
de la même
manière
que la vibration transversale de la corde. Toutefois, la densité linéique
du fil doit être remplacée par la masse surfacique
de la membrane.
De plus, nous remplaçons
la force F de tension unidirectionnelle du fil par une force de tension appliquée
sur le pourtour de la membrane. Cette force s'exerce dans toutes
les directions du plan et se décrit par unité de longueur:
(31.122)
Nous avons (analyse dimensionnelle):
(31.123)
Il est d'abord évident
que:
(31.124)
et comme:
(31.125)
L'analyse dimensionnelle
(eh oui ... à nouveau...) donne:
(31.126)
Nous avons donc:
(31.127)
L'analyse dimensionnelle
donne:
(31.128)
Donc finalement nous obtenons
pour équation d'onde en coordonnées cartésiennes
exprimé avec le laplacien d'un champ scalaire (cf.
chapitre de Calcul Vectoriel):
(31.129)
Nous cherchons la solution
particulière de cette équation de Laplace qui vérifie
les conditions suivantes:
C.I.1. La membrane est fixée
sur son pourtour circulaire R (conditions
aux limites)
C.I.2. La position et la
vitesse initiales sont données (conditions initiales)
La symétrie du problème
suggère d'utiliser le laplacien d'un champ scalaire en
coordonnées
polaires (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):
(31.130)
Remarque: Nous avons changé de notation en posant
Et les conditions fixées:
C1.
(conditions aux limites)
C2.
(conditions initiales)
où les fonctions
sont données.
Á nouveau, pour chercher
la solution, nous allons utiliser la méthode de séparation
des variables telle que:
(31.131)
et de même que pour
la corde:
(31.132)
et identiquement que pour
la corde, nous obtenons pour la partie temporelle T une
solution du type:
(31.133)
Pour
la méthode change par rappot au cas de la corde vu plus
haut car nous avons maintenant une équation
différentielle à deux variables telle que:
(31.134)
Pour intégrer cette dernière équation, nous
chercherons les solutions aussi sous la forme séparées:
nous
obtenons en reportant dans l'équation différentielle:
(31.135)
car pour rappel, nous avons en coordonnées
polaires:
(31.136)
D'où, en séparant
les variables:
(31.137)
Le membre de gauche de la
dernière relation ne contient pas la variable r et celui de droite ne contient pas la variable .
La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions
est de les considérer chacune comme constante, que nous noterons
. Les équations différentielles vérifiées
par R et sont alors:
(31.138)
La fonction est
périodique de période ,
il existe donc un entier naturel n tel que
et donc manière identique à la corde, nous obtenons:
(31.139)
Dans la première équation
différentielle:
(31.140)
Que l'on retrouve souvent dans la littérature sous
la forme suivante:
(31.141)
Pour simplifier, nous effectuons
le changement de variable .
L'équation différentielle devient:
(31.142)
Nous reconnaissons ici l'équation
différentielle de Bessel d'ordre n telle
que nous l'avons avec sa solution présentée
dans le chapitre des Suites Et Séries. Dès lors,
la solution générale est du type:
(31.143)
Ce qui nous donne finalement:
(31.144)
Parmi les solutions à
cette équation, cherchons celles qui vérifient les
conditions aux limites en posant :
(31.145)
À moins que
ou T soit la fonction nulle, ce qui donne pour solution la position
d'équilibre...
(qui ne vérifie sans doute pas les conditions initiales),
nous devons avoir ,
c'est-à-dire:
(31.146)
La fonction Bessel d'ordre
a une infinité de zéros positifs
(il suffit de tracer cette fonction avec un ordinateur pour le
voir tel qu'avec Maple 4.00b en mettant la commande: plot(BesselJ(2,x),x=0...100)
où vous pouvez changer la valeur 2 par une autre valeur)
qui fournissent une infinité de valeurs convenables de b telle
que:
(31.147)
Ce qui correspond finalement
à une infinité de solutions de l'équation différentielle
initiale que nous pouvons écrire:
(31.148)
En ayant modifié le
nom des constantes d'intégration et en ayant posé
(ce qui vérifie l'analyse dimensionnelle). Maintenant que
cette solution satisfait les conditions aux limites, nous devons
nous attaquer aux conditions initiales.
D'abord pour les mêmes
raisons que la corde, la solution finale est la superposition linéaire
des solutions telle que:
(31.149)
Nous allons déterminer
les coefficients
de façon à ce que la solution y donnée précédemment
vérifie également
les conditions initiales, à savoir:
(31.150)
Ces deux relations sont similaires,
étudions la première. Elle peut s'écrire:
(31.151)
qui est le développement
en série de Fourier de la fonction .
Nous avons donc (cf. chapitre sur les Suites
Et Séries):
(31.152)
En utilisant l'orthogonalité des fonctions de Bessel nous
pouvons déduire de ces relations les coefficients
(et de même pour les autres).
Pour cela, supposons n fixé et posons .
Montrons
où le produit scalaire est défini par:
(31.153)
Puisque
vérifient l'équation différentielle en R(r),
nous avons:
(31.154)
En combinant ces deux relations
nous obtenons:
(31.155)
En intégrant membre
à membre entre 0
et L et en tenant compte de:
et
(31.156)
Nous obtenons:
(31.157)
D'où le résultat
énoncé puisque
.
La relation:
(31.158)
Peut donc s'écrire:
(31.159)
Utilisant l'orthogonalité
de
pour
nous en déduisons:
(31.160)
Les coefficients
sont donc donnés par:
(31.161)
Ce qui n'est pas aisé
à calculer à la main....
Nous procédons de la même façon pour les autres
coefficients. Pour éviter toute frustration utilisons toutefois
Maple 5.00 pour aller un peu plus loin.
> F:=f(r,theta,t);
> wave_eq:=linalg[laplacian](F,[r,theta,z],coords=cylindrical)-diff(F,t,t);
#On prend le laplacien en coordonnées polaires
> eval(subs(F=A(r,theta)*T(t),wave_eq)); #on fait la séparation
de variables
> expand(eval(subs(F=A(r,theta)*T(t),wave_eq))/A(r,theta)/T(t));
#On simplifie le résultat
> time_part:=numer(select(has,expand(eval(subs(F=A(r,theta)*T(t),wave_eq))/A(r,theta)/T(t)),t)-lambda^2);
#On prend la partie temporelle
> space_part:=numer(select(has,expand(eval(subs(F=A(r,theta)*T(t),wave_eq))/A(r,theta)/T(t)),r)
+lambda^2); #On prend cette fois que la partie spatiale
> sol_time:=dsolve(time_part,T(t)); #On résout la partie spatiale
> eval(subs(A(r,theta)=phi(r)*U(theta),space_part)); #On sépare la
partie
spatiale en radiale et polaire
> expand(eval(subs(A(r,theta)=phi(r)*U(theta),space_part))/phi(r)/U(theta));
#On simplifie
> polar_part:=numer(select(has,expand(eval(subs(A(r,theta)=phi(r)*U(theta),space_part))
/phi(r)/U(theta)),theta)+kappa^2);
#On prend la partie polaire
seule
> radius_part:=numer(select(has,expand(eval(subs(A(r,theta)=phi(r)*U(theta),space_part))
/phi(r)/U(theta)),r)-kappa^2);
#On prend la partie radiale
seule
> dsolve(polar_part,U(theta)); #On résout la partie angulaire
> assume(kappa,integer); #On impose kappa comme étant un nombre entier
> dsolve(radius_part,phi(r)); #On résout la partie radiale qui fait apparaître
les fonctions de Bessel
> dsolve(radius_part,phi(r),series); #La même solution exprimé en développement
de série
> sol_radius:=eval(subs(BesselY=0,dsolve(radius_part,phi(r)))); #On prend une
solution particulière
> sol_lambda:=BesselJZeros(kappa,nu); #On sait donc que les réponses
sont de
type Bessel J donc en en prend la zéro réels (nécessite une version supérieure
à la version 4.00b)
> sol_radius:=BesselJ(kappa,sol_lambda*r);
> plots[animate3d]([r,theta,subs(kappa=2,nu=3,sol_radius*cos(sol_lambda*t)*cos(kappa*theta))],
r=0..1,theta=0..2*Pi,t=0..2*Pi/subs(kappa=2,nu=3,sol_lambda),coords=cylindrical,frames=20);
Figure: 31.3 - Animation de la membrane de tambour avec Maple 5.00
PHASEURS
Il existe plusieurs
façons d'exprimer les fonctions d'ondes que nous avons vues précédemment.
Les physiciens (ainsi que les électrotechniciens) utilisent
une formulation, appelée "phaseur" ou
"représentation de Fresnel",
permettant d'économiser
avantageusement le poids des écritures et ainsi de simplifier
considérablement
l'étude des problèmes complexes (ou simples). Les phaseurs
font usage des propriétés des nombres complexes
pour exprimer les fonctions d'onde trigonométriques sous
une forme simplifiée
dans tous les phénomènes où apparaissent des oscillations.
Ce que nous appelons "phaseur",
est une fonction f dont
la valeur est complexe et qui, dans un espace à 1 dimension, s'écrit:
(31.162)
Dans toutes les applications
en physique, t
est la variable du temps.
Comme cette fonction est
complexe, elle a une partie réelle que nous appelons ici g et
une partie imaginaire que nous appelons h.
Leur identification est facile puisque comme nous l'avons déjà démontré
lors de notre étude des nombres complexes (cf.
chapitre sur les Nombres):
(31.163)
Ainsi, les parties réelles
et imaginaires sont simplement:
(31.164)
Le module de f se
calcule aisément en calculant:
(31.165)
Les parties réelles et imaginaires
varient lorsque la position ou le temps varient. Le module ne change
donc pas, il est toujours égal à 1. Le changement se manifeste simplement
par la simple variation d'angle que fait le vecteur représentant
f dans
son plan complexe. C'est là une raison suffisante pour parler de
phaseur, puisque la variation de f peut
être visualisée comme un simple changement d'angle ou de phase.
Si nous sommes dans un espace
physique à plus d'une dimension, disons 3, alors l'expression pour
f devient:
(31.166)
La situation est un peu plus
difficile à visualiser (...). Elle est la même qu'en une dimension,
mais là tout se passe le long d'une direction définie dans l'espace
3D par le vecteur .
Plus précisément, nous aurons:
(31.167)
La variation dans le temps
reste la même qu'en une dimension spatiale mais un déplacement
dans l'espace est un peu plus compliqué qu'en une dimension. Ici
tout déplacement spatial dans une direction qui n'est pas orthonormale
à fera
que le produit scalaire changera de telle sorte que l'argument f variera.
Ici ce n'est pas seulement la grandeur ou la norme du vecteur qui
donne le taux de variation de f sous
un déplacement spatial mais aussi l'angle que fait ce déplacement
par rapport à la direction de puisque
nous avons un argument qui varie comme et
donc qui dépend de cet angle noté ici .
En effet, nous avons:
(31.168)
La quantité
est souvent appelée le "vecteur d'onde". Physiquement
il est relié le plus souvent à l'équivalent du moment (linéaire)
de l'onde pour laquelle il
est évident que la définition usuelle de la quantité de mouvement
()
n'a plus de sens.
Une partie importante des
systèmes étudiés en physique ne peuvent être caractérisés par
un point et donc décrits par une trajectoire. Une vague, une onde,
une bande élastique qui oscillent n'ont pas une unique position
définie, ce sont des "milieux continus" sur
un certain intervalle. La question que nous nous posons dans
notre tentative
de les décrire est plutôt la suivante: comment décrire le déplacement
de ce milieu dans l'espace et dans le temps. Par exemple, pour
une
vague, si nous figeons le temps, comment l'amplitude A,
de cette vague varie-t-elle d'un endroit à l'autre de l'espace?
Nous pouvons aussi figer l'espace en regardant un seul endroit
et
demander comment l'amplitude varie avec le temps?
Les coordonnées et le temps
jouent maintenant un rôle similaire de paramètres indépendants.
Nous mesurons l'amplitude du phénomène en tout temps et en tout
lieu. Nous chercherons donc à obtenir une expression du type:
ou
(31.169)
en une ou trois dimensions.
Le point important est que
nous cherchons à exprimer A,
dont le nom correct est un "champ", comme une fonction
des coordonnées du temps. Par exemple, si la vague est très régulière
peut-être est-elle décrite adéquatement par si
je regarde à un seul endroit et par lors
d'une fixation imaginaire du temps ?
La quantité va
caractériser la fréquence de la variation du même phénomène.
Le nom de "fréquence
angulaire" est facile à comprendre puisque la fonction
cosinus ou sinus fait un cycle si son argument change de sur
un temps d'une période .
Rappelons que:
(31.170)
Dans la description des systèmes
harmoniques, la notation phaseur peut être très utile comme nous
l'avons déjà dit. L'équation la plus souvent rencontrée
est l'équation d'onde (que nous avons démontrée au
début de ce chapitre).
En une dimension, elle s'écrit:
(31.171)
Nous vérifions par simple
substitution que la solution est du type:
ou
(31.172)
ou une combinaison linéaire
dont la forme la plus générale est:
(31.173)
Une manière rapide et efficace
d'écrire toutes ces relations de façon condensée et utilement imagée,
est d'écrire:
(31.174)
Dans les trois cas, la substitution
permet de le vérifier. Prenons, par exemple, la solution sinus.
Alors:
(31.175)
Le remplacement dans l'équation
donne:
(31.176)
qui sera satisfait si et
seulement si:
(31.177)
La substitution du phaseur
comme solution de l'équation d'onde transforme cette dernière équation
différentielle en une simple équation algébrique
appelée "relation
de dispersion".
Elle est évidemment caractéristique
de l'équation qui la génère. Celle qui apparaît ci-dessus est
particulièrement
simple et caractérise une onde libre dans un milieu non-dispersif,
tel que décrit par l'équation d'onde que nous avons écrite.
La solution phaseur:
(31.178)
satisfait
donc aussi l'équation, avec la même relation de dispersion.
Est-elle donc aussi la description d'une onde? La réponse
est oui, et même deux fois plutôt qu'une, comme nous allons le
voir ci-dessous.
Une onde physique n'est évidemment
pas complexe. La solution phaseur est complexe et a donc une partie
réelle et une partie imaginaire. Nous montrons ici que chacune des
deux parties peut représenter une onde réelle générale. Utilisons
même un point de départ un peu plus général. Imaginons que l'amplitude
est
elle-même complexe. Nous pouvons donc l'écrire:
(31.179)
Nous avons donc:
(31.180)
Nous étudions d'abord la
partie réelle de cette expression:
(31.181)
Cette partie réelle est
donc de la forme la plus générale (et réelle) de la solution monochromatique
pour l'équation d'onde, soit:
(31.182)
Clairement, il suffit d'identifier:
(31.183)
qui relient deux paramètres
à deux autres. La partie réelle du phaseur est donc suffisante pour
décrire entièrement l'onde monochromatique.
Nous pouvons refaire exactement
la même chose avec la partie imaginaire du phaseur et démontrer
de façon identique qu'elle est suffisante pour décrire entièrement
l'onde monochromatique.
Conclusion: il est donc possible
d'utiliser le phaseur pour faire toutes les manipulations mathématiques
demandées par le problème physique et à la fin,
ne garder que la partie réelle ou imaginaire, selon ce
qui a été convenu
dès le début.
Comme nous l'avons déjà dit,
la forme réelle la plus générale de la solution est:
(31.184)
Cette fonction a le comportement
d'un sinus (ou d'un cosinus) dont l'amplitude est donnée par:
(31.185)
De plus les conditions initiales
ajustent de
telle sorte qu'à et
(initialement),
le champ a
la valeur donc.
Ces deux conditions fixent ces deux paramètres. Nous aurions pu
utiliser la forme toute aussi générale:
(31.186)
Ici l'amplitude connue est et
les conditions initiales sont telles qu'à et
,
le champ a la valeur:
(31.187)
Encore
une fois, deux conditions fixent deux paramètres.
L'amplitude est une chose
évidente, la phase un peu moins. Pour qu'une fonction du
type:
(31.188)
ait
n'importe quelle valeur que l'on veut lorsque son arg (argument)
est, disons nul, il suffit d'ajuster la valeur de la phase .
C'est comme faire glisser la fonction sinusoïdale le long de
l'axe, de façon à satisfaire des conditions initiales physiques
imposées
par le système étudié.
De deux fonctions de type
sinus ou cosinus qui ne commencent pas au même point de leur cycle,
nous disons qu'elles sont "déphasées".
Ceci devient vital lorsqu'il y a plus d'une onde en présence.
Imaginons le cas le plus simple de deux ondes de même amplitude:
(31.189)
Ici l'argument est une variable
et les phases des paramètres constants. Nous considérons le résultat
physique de l'onde résultant de l'addition de ces deux ondes.
Si l'onde
résultante sera une onde sinusoïdale d'amplitude 2 fois .
Cependant, si ,
l'onde résultante sera identiquement nulle partout. La différence
est donc considérable et nous trouvons toutes les situations intermédiaires.
Il est donc important de garder en tête la phase à l'origine de
l'onde ou mieux, sa phase relative par rapport à d'autres ondes
de notre système physique.
Dans le phaseur, soit la
partie réelle, soit la partie imaginaire, est suffisante pour donner
une description générale de l'onde (toujours monochromatique jusqu'à
maintenant). Elles sont respectivement composées d'un cosinus et
d'un sinus et donc déphasées de l'une
par rapport à l'autre !
Il est souhaitable de revenir
sur la "relation de dispersion" que
nous avions obtenue. Nous avons vu que, pour l'onde monochromatique
libre, celle qui est solution
de l'équation homogène, cette relation s'écrit pour
que la phase de la solution corresponde à cette réalité (attention
il s'agit de ne pas confondre le symbole de la vitesse et de la
fréquence!):
(31.190)
Toujours dans le cas libre,
nous pouvons avoir une situation physique qui correspond à l'addition
de plusieurs ondes monochromatiques libres. Le résultat n'est
pas monochromatique et s'écrit évidemment comme une somme:
(31.191)
Nous lui donnons
souvent le nom de "paquet d'ondes" pour
des raisons évidentes.
Puisque tout est libre, chaque composante satisfera:
(31.192)
Nous noterons ici deux choses
pour l'équation des ondes libres:
- D'abord, même pour des
ondes libres, elle est quadratique, nous pouvons donc changer le
signe du vecteur d'onde et/ou de la pulsation sans affecter l'équation.
Nous observons trivialement que pour une ou plusieurs composantes
du vecteur d'onde positives l'onde se propage vers les x
croissants pour ces composantes positives et qu'inversement, pour
une ou plusieurs composantes négatives l'onde se propage
vers les
x
décroissants. De même, une pulsation négative ou
positive signifie que le temps varie vers le passé, respectivement
le futur.
-
D'autre part, certains types d'ondes n'obéissent pas à une équation
aussi simple que l'équation homogène. C'est le cas des vagues, par
exemple, tant du fait de la nature du liquide dans lequel elles
se
propagent que de la force de rappel gravitationnel. Parfois aussi,
une onde qui serait totalement libre, ou à peu près, cherche à se
propager dans un milieu où les conditions de propagation sont
sérieusement
affectées. Par exemple une onde sonore qui tente de se propager dans
le mastic ou une onde électromagnétique qui cherche à se propager
dans un conducteur (un métal). Dans ce cas, une partie importante
de la différence entre onde libre et onde modifiée par le milieu
peut se décrire par un changement de la dispersion.
SUPERPOSITION D'ONDES PÉRIODIQUES
La superposition d'ondes périodiques est un cas très fréquent
en électrodynamique, en électronique et en acoustique. Afin de
ne pas le répéter dans chacun des chapitres précédemment mentionné,
il nous a semblé plus adéquat dans de le mettre ici.
Nous allons donc nous intéresser à un cas particulier afin de
voir la démarche intellectuelle. Il faut cependant savoir qu'avec
les ordinateurs, ces calculs à la main sont devenus un peu obsolètes.
Ils doivent cependant faire quand même partie de la culture générale.
Considérons d'abord deux signaux périodiques (harmoniques) générés
en un même point du type:
et
(31.193)
Pour des raisons pédagogiques, nous avons remarqué qu'il était
préférable de travailler sans phaseurs. Nous allons donc nous efforcer
d'y faire un minimum usage mais pour le début ce sera indispensable.
Effectivement, les deux ondes et leur somme peuvent être représentés
dans le plan de Gauss (cf. chapitre Nombres)
sous la forme suivante:
Figure: 31.4 - Représentation en phaseurs des deux harmoniques dans le plan de Gauss
avec donc:
(31.194)
L'amplitude de la somme des deux signaux s'obtient aisément en
appliquant le théorème du cosinus (cf. chapitre
de Trigonométrie). Donc constatons dans un premier temps
que nous puisqu'il s'agit d'un parallélogramme que nous avons (cf.
chapitre Formes Géométriques):
(31.195)
Il vient alors:
(31.196)
d'où:
(31.197)
Le terme est
appelé "terme de corrélation".
Comme les phaseurs sont tournants, nous avons en réalité:
(31.198)
La phase de
la somme des ondes s'obtient simplement en faisant dans la trigonométrie élémentaire
dans la figure précédente:
(31.199)
Maintenant, considérons le cas particulier où les deux ondes sont
en phase:
(31.200)
Il vient alors (cf. chapitre de Trigonométrie):
et
(31.201)
et l'amplitude s'écrite alors:
(31.202)
Donc l'amplitude aura deux extremums:
(31.203)
Soit:
(31.204)
On parle alors dans le domaine de l'électrodynamique, de l'acoustique
de "modulation d'amplitude".
La "fréquence de modulation",
appelée aussi "fréquence de battement" est
alors:
(31.205)
Voyons un exemple avec Maple 4.00b (superposition d'un Si bémol d'un
Do dans un rapport d'intensité de 0.8):
>A:=1;B:=0.8;f1:=466.16;f2:=523;w1:=2*Pi*f1;w2:=2*Pi*f2;
>plot(A*sin(w1*t)+B*sin(w2*t),t=0..0.05);
Figure: 31.5 - Représentation de l'enveloppe de la modulation d'amplitude
et si nous rajoutons l'enveloppe:
>plot([A*sin(w1*t)+B*sin(w2*t),sqrt(A^2+B^2+2*A*B*cos((w2-w1)*t))],t=0..0.05);
Figure: 31.6 - Représentation explicite de l'enveloppe de la modulation d'amplitude
Dans le cas général, il est malaisé de simplifier l'expression
du signal résultant:
(31.206)
Si les amplitudes sont identiques alors
nous avons:
(31.207)
Et donc en utilisant un des formules de Simpson démontrée dans
le chapitre de Trigonométrie, il vient:
(31.208)
où nous retrouvons la fréquence de battement. De plus, si les
deux fréquences sont voisines, nous avons:
(31.209)
Nous parlons alors de "fréquence porteuse".
Nous voyons que l'amplitude es doublée (raison pour laquelle certaines
cordes de piano sont dédoublées, voir triplées).
Maintenant, considérons le cas où les ondes avancent (car jusqu'à maintenant
elles étaient stationnaires):
(31.210)
Si les deux amplitudes sont identiques, nous avons:
(31.211)
En utilisant encore une fois la formule de Simpson, il vient:
(31.212)
Donc l'amplitude est modulée selon le terme:
(31.213)
L'amplitude est donc décrite par une fonction d'one. L'onde correspondante
représente la progression d'un paquet d'ondes porteuse, progressant à la
vitesse:
(31.214)
Nous remarquons aussi que si nous avons les deux ondes progressives
de sens de propagation opposé tel que:
(31.215)
alors:
(31.216)
Si en plus les deux harmoniques sont synchrones (de même fréquence),
nous avons alors:
(31.217)
Il s'agit donc d'une onde stationnaire mais dont l'amplitude est
modulée en fonction du temps et la position. Effectivement le lecteur
remarquera qu'en plusieurs points r, l'onde est toujours
nulle.
Maintenant, considérons un système de haut-parleurs (télé, chaîne
hi-fi, etc.) qui émettent des ondes acoustique de manière synchrone
de même amplitude et de même fréquence. Comme la source des deux
harmoniques ne se réduite pas à un seul et unique point, nous avons
en fonction de notre distance du
premier haut-parleur et du
deuxième:
(31.218)
En appliquant encore une fois la formule de Simpson, il vient:
(31.219)
Si nous sommes à distance égale des deux haut-parleurs, il vient:
(31.220)
Donc l'amplitude y est maximale (interférence constructive) et
vaut deux fois l'amplitude de chaque harmonique. En fait, nous
trouvons des maxima d'amplitude en chaque point où:
(31.221)
en d'autres termes:
(31.222)
où n est un entier relatif (pouvant être nul!). Ainsi,
exactement entre les deux haut-parleurs, nous trouvons un maxima.
Pour un même n, toutes les valeurs de qui
satisfont cette relation sont appelées "lignes
ventrales".
Nous avons in extenso l'amplitude qui est nulle (interférence
destructive) à chaque fois que:
(31.223)
en d'autres termes:
(31.224)
où n est un entier impair relatif non nul. Pour un même n,
toutes les valeurs de qui
satisfont cette relation sont appelées "lignes
nodales".
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