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Atomistique

PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES

La physique atomique est la partie de la physique qui s'occupe des états quantifiés d'énergie de la matière corpusculaire et ondulatoire et des échanges d'énergies au sein de l'atome (Larousse).

41. PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2017-08-06 17:25:04 | {oUUID 1.821}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

Voici venu le moment de nous plonger dans les eaux obscures et impénétrables de la physique atomique.

Il va de soi que ne nous parcourrons les théories de la physique atomique que dans les grandes lignes. Dans les faites, nous allons nous limiter uniquement aux développements théoriques effectués entre 1910 et environ 1935 (au-delà la complexité des théories nécessite trop de pages pour un site Internet généraliste). Nous passerons aussi sur beaucoup de détails mathématiques qui auront déjà été démontrés et vérifiés dans d'autres chapitres du site.

La physique atomique comme vous le savez déjà certainement est le monde de l'infiniment petit (points de dimension nulle). C'est un monde, vous le verrez, assez particulier où les lois classiques, celles qui gouvernent notre quotidien macroscopique, ne s'appliquent pas.

Ainsi, au début du 20ème siècle nous savions uniquement que les atomes étaient formés au plus simple par un noyau central et des électrons en orbite.

L'électron, la première particule subatomique (plus petite que l'atome) à nous être révélée, fut mis en évidence par des expériences sur les courants électriques dans les solides, les liquides et les gaz. Au 19ème siècle, les physiciens n'avaient aucune idée de ce qu'était la charge, si elle était continue ou particulaire. Aujourd'hui, nous savons que la charge est une propriété de la matière et que la charge totale dans un système est toujours un multiple d'une charge élémentaire correspondant à la charge d'un électron (ou d'un proton).

Michael Faraday suggéra par des expériences d'électrolyse que l'électricité était composée de particules de charge e et qu'une mole de ces charges (voir la section de Chimie pour la définition de la mole) était équivalente à une charge de 1 Faraday soit 96'485 [C]. Comme le nombre d'Avogadro n'était pas connu à l'époque, il n'était pas possible de déterminer e. Cependant, une mole d'une substance monovalente pouvant transporter 1 [F] de charge, il devait s'ensuivre qu'une demi-mole de la même substance devait transporter 1/2 [F] et ainsi de suite jusqu'à la plus petite unité de charge e, qui devait être transportée par la plus petite unité de masse m, correspondant à la masse d'un seul atome de cette substance. En 1881, Helmholtz affirma que si on acceptait l'hypothèse que les substances élémentaires étaient composées d'atomes, nous devions logiquement en déduire que l'électricité, tant positive que négative, devait être divisée en portions finies qui devaient se comporter comme des atomes d'électricité. Stoney nomma cette unité fondamentale de charge "électron". La valeur élémentaire de charge se nomme aujourd'hui prosaïquement le "quantum de charge".

Toutes les charges subatomiques connues aujourd'hui qu'elles soient positives ou négatives, transportent une charge nette qui est un multiple entier de e. Les quarks ont eux une charge fractionnaire mais ils n'apparaissent pas comme entités isolées. Il existe également des charges fractionnaires dans l'effet Hall quantique mais cela est une toute autre histoire...

Encore aujourd'hui, les meilleurs physiciens disent ne pas vraiment savoir ce qu'est un électron et même un atome. Au fait, on ne sait toujours pas ce qu'est vraiment la matière...

Les scientifiques ont tenté l'élaboration de plusieurs modèles pour expliquer les observations obtenues de résultats expérimentaux du monde microscopique. Ainsi, il y a eu dans l'ordre les modèles de Dalton, Thomson, Rutherford, Bohr, Sommerfeld et Schrödinger (ce dernier incluant les contributions majeures de Heisenberg, De Broglie, Pauli, Dirac et Einstein pour les plus fameux).

On peut situer la naissance de la physique quantique corpusculaire ou "physique des quanta" ("quantum" voulant dire "quantité fixe") en 1900, année où Max Planck présentant son célèbre article sur le rayonnement du corps noir (cf. chapitre de Thermodynamique) à une réunion de la société allemande de physique et l'incapacité de la physique classique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme) tenta d'expliquer certains comportement de la matière au niveau microscopique, c'est-à-dire certains phénomènes où interviennent des particules de faibles masses localisées dans de très petites régions de l'espace.

Humour

Pour parvenir à donner une interprétation cohérente de ces expériences, il a été nécessaire d'introduire des concepts radicalement différents de ceux de la physique classique. Par exemple, on a dû abandonner la notion de trajectoire, la quantification de l'énergie (loi de Planck) et considérer que les particules microscopiques ont parfois un comportement semblable à une onde. L'ensemble de ces nouveaux concepts a donné naissance à une nouvelle physique, la "physique quantique", qui s'est développée rapidement puisqu'en 1927, déjà, les fondements de la théorie sont achevés. Par son abandon des concepts-clés de la mécanique classique, on peut dire que la physique quantique constitue une véritable révolution (on l'appelle par ailleurs la "2ème révolution", la première étant la théorie de la relativité) dans notre façon d'interpréter les mesures expérimentales. Avec la relativité introduite par Einstein, la physique quantique est un des piliers de l'édifice théorique de la physique contemporaine du 21ème siècle. 

Tout comme la relativité contient la mécanique classique comme cas limite (les lois relativistes approchent les lois classiques lorsque la vitesse d'une particule est suffisamment faible par rapport à celle de la lumière), la nouvelle physique quantique contient comme cas limites les lois classiques de la mécanique statistique voire même de l'électromagnétisme. 

Remarque: Nous verrons que la constante fondamentale qui caractérise la physique quantique (comme la vitesse de la lumière caractérise la relativité) est la constante de Planck.

MODÈLE DE DALTON

En 1803, John Dalton fit l'hypothèse que la matière est composée d'atomes de différentes masses et qui se combinent en respectant des proportions massiques simples (cependant l'idée d'atome n'était pas nouvelle, elle datait de bien bien plus tôt!). C'est cette théorie que Dalton proposa qui est la pierre d'angle de la science physique moderne. En 1808, l'oeuvre de Dalton intitulée "Un nouveau système de philosophie chimique" fut publié. Dans ce livre, il dressa la liste des masses atomiques d'un certain nombre d'éléments connus par rapport à la masse de l'hydrogène. Ses masses "U.M.A" (cf. chapitre de Physique Nucléaire) n'étaient pas entièrement correctes, mais elles forment la base de la table périodique moderne des éléments. Dalton arriva à sa théorie atomique par une étude des propriétés physiques de l'air atmosphérique et des autres gaz.

Dalton supposa que l'atome était une sphère:

equation
Figure: 41.1 - L'approche idéale de Dalton

Ainsi, il put faire une première estimation de la taille des atomes:

En effet, soit equation la densité typique,  equation la masse atomique et R le rayon (valeur inconnue) d'un élément dont nous cherchons à déterminer la dimension de l'atome. Nous avons alors très simplement:

equation   (41.1)

Connaissant equation et equation, nous obtenons:

equation   (41.2)

MODÈLE DE THOMSON

Thomson est à l'origine de la découverte de l'électron par ses expérimentations sur les flux de particules (électrons) créés par des rayons cathodiques. Théoricien et expérimentateur, Thomson avança en 1898 la "théorie du pain aux raisins" sur la structure atomique, dans laquelle les électrons sont considérés comme des raisins négatifs enfoncés dans un pain de matière positive. Son modèle de l'atome est représenté par la figure ci-dessous:

equation
Figure: 41.2 - L'approche gourmande de Thomson

Or, nous savons (les physiciens du 19ème le savaient aussi) qu'aucun arrangement de charges électriques statiques n'est stable si ces charges sont sous l'influence de la force de Coulomb:

equation   (41.3)

que nous avions étudiée en détails dans le chapitre d'Électrostatique. Il faut donc que les particules qui constituent l'atome soient en mouvement ce qui nous amène à mettre en place un autre modèle: le "modèle de Rutherford" suivant:

MODÈLE DE RUTHERFORD

Rutherford assimila donc intuitivement par cette observation théorique, peu d'années après la découverte de Thomson, l'atome à un système planétaire dont le centre était occupé par un noyau central de charge positive, qui contenait pratiquement toute la masse de l'atome. Le noyau était cent mille fois plus petit que l'atome et n'occupait ainsi qu'un volume infime.

Voiri une représentation imagée (les distances ne sont pas à l'échelle pour des raisons évidentes...):

equation
Figure: 41.3 - L'approche planétaire de Rutherford

Il appliqua les résultats que nous avons obtenus en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie) lors de l'étude des orbites képlériennes à l'atome et obtint donc des trajectoires coniques pour la rotation de l'électron autour du noyau tel que:

equation   (41.4)

e est l'excentricité (rapport du petit axe equation) et p le paramètre focal (equation) d'une ellipse (cf. chapitre de Géométrique Analytique) et où:

equation et  equation   (41.5)

Remarques:

R1. Il faudra se rappeler lorsque nous aborderons plus loin le modèle de Bohr que dans le modèle de Rutherford, r peut prendre n'importe quelle valeur théoriquement!

R2. Nous verrons lors de notre étude de la diffusion de Rutherford (cf. chapitre de Physique Nucléaire) que Rutherford détermina la taille de l'atome d'or comme valant equation. Nous avons donc un facteur 10'000 avec le modèle de Dalton (c'est dire...).

Or,  nous avons vu en électromagnétisme que les équations de déplacement de Maxwell (cf. chapitre d'Électrodynamique):

equation   (41.6)

et:

equation   (41.7)

décrivent qu'un électron en mouvement (accélération) émet de l'énergie sous forme de rayonnement électromagnétique que nous appelons en physique le "bremstrahlung" expliqué par les potentiels de Liénard-Wiechert (cf. chapitre d'Électrodynamique).

Rutherford et Thomson se trouvèrent donc confronté au dilemme suivant:

Si l'électron émet de l'énergie sous forme de rayonnement électromagnétique, il perd donc de l'énergie cinétique (vitesse) et finira donc nécessairement un jour ou l'autre (sauf intervention extérieure) par tomber sur le noyau (illustration du phénomène dans la figure ci-dessous). Or la matière nous environnant est stable.

equation
Figure: 41.4 - Illustration simpliste du bremstrahlung

Ils rejetèrent donc leur modèle et Bohr intervint à ce moment-là avec une hypothèse audacieuse et révolutionnaire mais qui avait selon lui seulement à expliquer l'expérience et non la réalité... (Bohr était un physicien expérimentaliste de génie et probablement le meilleur partenaire de débat d'Einstein).

MODÈLE DE BOHR

En 1913, Niels Bohr, qui a participé aux travaux de Rutherford sur la diffusion des particules equation(noyaux de 2 protons, 2 neutrons libres d'électrons), reprend le modèle de Rutherford mais y inclut trois postulats fondamentaux:

POSTULATS DE BOHR

P1. L'électron n'émet pas de rayonnement lorsqu'il se trouve sur certaines orbites dites "orbites stationnaires". Cette affirmation est contraire aux théories de l'électrodynamique. Donc ceci implique que toutes les orbites ne sont pas autorisées et constitue une véritable révolution dans l'approche de la physique (donc les orbites interdites sont nommées "orbites non-stationnaires").

P2. Sur toute orbite stable la quantité de mouvement p intégrée sur le chemin r est un multiple entier de la constante de Planck h (postulat découlant du premier) conformément à la quantification des échanges d'énergie établis par la relation de Planck. Ce postulat est parfois appelé "hypothèse quantique de Planck".

P3. La relation expérimentale de Planck-Einstein:

equation   (41.8)

est valable pour l'émission ou l'absorption d'une radiation lors de la transition d'un électron d'un état énergétique equation ver un état equation (postulat qui solidifie le premier postulat).

Au fait, nous trouvons ici un concept révolutionnaire et indémontrable (aujourd'hui et à notre connaissance) qui consiste à quantifier certaines propriétés de la physique.

Continuons donc notre analyse:

QUANTIFICATION

Soit M la masse du noyau central de charge électrique +e et m la masse de l'électron en "orbite". Nous faisons l'hypothèse que equation et que la masse centrale est immobile (ce qui est évidemment faux dans la réalité).

Nous assimilons le mouvement circulaire de l'électron autour du noyau à celui d'un oscillateur harmonique (masse reliée à un ressort exerçant une force opposée proportionnelle à une constante de rappel equation afin de retenir l'objet lié).

Si l'oscillation a lieu dans un plan, son équation différentielle est (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (41.9)

Une solution (particulière) de cette équation (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est:

equation   (41.10)

L'énergie cinétique du système étant donnée dès lors par:

equation   (41.11)

et l'énergie potentielle du système par (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

equation   (41.12)

Si nous notons v la fréquence d'oscillation du mouvement oscillatoire, nous avons alors bien évidemment (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

 equation   (41.13)

L'énergie totale du système s'écrit finalement après sommation et simplification (trigonométrie élémentaire):

equation   (41.14)

Nous admettons maintenant que l'électron lié ne peut occuper que certains niveaux d'énergie (premier postulat) selon la relation de Planck-Einstein:

equation   (41.15)

Ce qui nous donne lorsque nous incluons la relation de Planck-Einstein dans l'avant-dernière relation:

equation   (41.16)

Nous remarquons ici que puisque l'énergie de l'électron est quantifiée l'amplitude de son mouvement l'est également.

Soit à présent l'intégrale de chemin suivante (attention la notation ambiguë entre la fréquence et la vitesse peut porter à confusion) dite également "intégrale d'action" (il s'agit au fait du moment cinétique):

equation   (41.17)

et compte tenu de l'expression de la vitesse obtenue auparavant:

equation   (41.18)

Sur une période de révolution, nous avons:

equation   (41.19)

Étant donné que (cf. chapitre de Trigonométrie):

  equation   (41.20)

L'intégration devient:

equation   (41.21)

comme equation (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) nous avons:

equation   (41.22)

Nous obtenons donc finalement:

equation   (41.23)

Compte tenu que equation et equation ainsi que equation:

equation   (41.24)

Finalement:

equation   (41.25)

Cette condition imposée par Bohr (2ème postulat) résulte de la quantification des échanges d'énergie (relation de Planck-Einstein). Ce qui a pour conséquence d'imposer des niveaux stationnaires d'énergie que l'électron peut occuper autour du noyau.

Pour une orbite circulaire (rappelez-vous bien que nous considérons pour l'instant une orbite circulaire!) de rayon r le moment cinétique (oui l'intégrale d'action n'est au fait que le moment cinétique) sur la longueur de l'orbitale est donc:

equation   (41.26)

ou bien en utilisant la notation traditionnelle du moment cinétique: 

equation   (41.27)

Le moment cinétique est donc quantifié et non nul dans le cadre du modèle de Bohr (puisque n est non nul). Nous verrons que ceci n'est plus le cas dans le modèle ondulatoire où le moment cinétique peut être nul.

MODÈLE DES ATOMES HYDROGÉNOÏDES SANS ENTRAÎNEMENT

Nous entendons par l'étude des "atomes hydrogénoïdes sans entraînement" le fait de considérer des atomes avec un unique électron de masse m en rotation autour d'un noyau central de charge equation et de masse M tel que equation (donc le noyau est supposé fixe).

Calculons les rayons des orbites stationnaires:

Sur son orbite stationnaire, l'électron est en équilibre car il y a un antagonisme exact entre la force coulombienne et la force centrifuge. Ceci doit se traduire par l'égalité des forces suivante:

equation   (41.28)

Nous posons à partir de maintenant (afin d'alléger l'écriture) que:

  equation   (41.29)

Ce qui nous permet d'écrire la relation:

equation   (41.30)

En recourant à la condition de quantification de Bohr et en élevant au carré:

equation   (41.31)

En divisant les deux dernières relations l'une par l'autre:

equation   (41.32)

nous obtenons:

equation   (41.33)

compte tenu de l'expression de k.

Le rayon des orbites autorisées pour l'électron est donc:

equation    (41.34)

avec equation et cette relation est communément appelée le "rayon de Bohr" pour equation.

Les orbites d'un atome selon ce modèle ressemblent donc à:

equation
Figure: 41.5 - Le modèle planaire de Bohr

L'énergie de l'atome hydrogénoïde sans entraînement est donnée par la mécanique classique (cas d'une force centrale), somme de l'énergie cinétique et potentielle électrostatique:

equation   (41.35)

Avec:

equation   (41.36)

il vient:

equation   (41.37)

En y introduisant l'expression du rayon quantifié obtenu précédemment:

equation   (41.38)

Nous trouvons donc que l'énergie totale de l'atome considéré est quantifiée et négative (ce qui correspond à des états stables car il faut un apport de l'énergie pour les défaire) telle que:

equation   (41.39)

Entre deux niveaux, le passage d'un électron du niveau equation vers un niveau equation (nous préciserons comment lors de l'étude de l'effet photoélectrique plus loin) se traduit par l'émission d'une raie de fréquence donnée par l'expression de l'hypothèse de quantification de Planck:

equation   (41.40)

Ainsi, la physique quantique expliquer l'émission d'énergie du photon lors d'une transition entre deux niveaux!

En fait, si nous admettons avec Bohr que les énergies d'un électron sur son orbite sont données par l'inverse du carré du nombre entier, la différence d'énergie entre deux orbites caractérisées par de grandes valeurs de ces nombres entiers tend vers zéro lorsque les nombres entiers tendent vers l'infini. Nous retrouvons alors un semblant de variation continue pour les énergies échangées par un atome avec le champ électromagnétique et la notion de trajectoire d'un électron prend alors à nouveau du sens.

En faisant appel à l'expression complète de l'énergie totale, nous trouvons alors la fréquence correspondante à la raie émise:

equation   (41.41)

la longueur d'onde émise s'en déduit aisément:

equation   (41.42)

La constante equation  (notée aussi equation selon les situations) est appelée la "constante de Rydberg".

Un électron qui occupe une orbite n est dans un "état stationnaire" si son énergie ne varie pas. En revanche, une transition directe equation equation s'accompagne de l'émission d'un photon dont l'énergie est donnée par le calcul de la fréquence comme nous allons le démontrer.

"L'énergie d'ionisation" est l'énergie qu'il faut fournir pour éloigner l'électron à l'infini de son orbite. Ainsi pour l'état fondamental de l'hydrogène, il faudrait poser equation et equation.

Le résultat obtenu par Bohr pour l'expression de la fréquence en fonction des niveaux d'énergie de l'électron est un résultat formidable (qui surprit Bohr lui-même) car en faisant intervenir des constantes fondamentales majeures il retrouva théoriquement la loi que le spectre des raies de l'hydrogène suivait. Loi que le chimiste Balmer avait en 1885 (28 ans auparavant) découvert expérimentalement.

Balmer avait remarqué que les raies spectrales étaient extrêmement fines. Cela laissait supposer que l'énergie n'était pas émise par les atomes d'une manière continue mais seulement à certaines fréquences bien précises. En outre, cette finesse des raies explique la précision avec laquelle il avait pu déterminer la constante de Rydberg.

Les chimistes avaient également constaté que chaque élément atomique possédait son propre spectre. Il était dès lors clair que toute théorie atomique devrait rendre compte de ces 2 caractéristiques et c'est ce que fit brillamment le modèle de Bohr à l'aide des postulats des niveaux d'énergies.

Nous définissons les séries suivantes du spectre de l'atome d'hydrogène:

- Pour la série partant de equation et allant à equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Lyman en 1906 dans l'UV.

- Pour la série partant de equation et allant à equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Balmer en 1885 dans le visible.

- Pour la série partant de equation et allant à equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Paschen en 1908 dans l'infrarouge.

- Pour la série partant de equation et allant à equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Brackett en 1928 dans l'infrarouge.

- Pour la série partant de equation et allant à equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Pfund en 1924 dans l'infrarouge.

equation
Figure: 41.6 - Quelques séries spectrales de l'atome d'hydrogène

ou une autre représentation courant pour les trois séries les plus connues:

equation
Figure: 41.7 - Trois séries principales de l'atome d'hydrogène (source: Wikipédia)

Les quatre raies principales de la "série de Balmer" (visible) sont les plus connues:

equation   (41.43)

Cependant une petite différence subsistait entre la constante de Rydberg théorique et pratique (connue avec très grande précision). Ceci va conduire à complexifier le modèle:

MODÈLE DES ATOMES HYDROGÉNOÏDES AVEC ENTRAÎNEMENT

Le noyau de l'atome possède une masse M que nous avons supposée immobile par simplification. En réalité l'ensemble noyau (M) et électron (m) tourne autour d'un centre de masse commun (évidemment!).

Hypothèses:

H1. L'atome hydrogénoïde est considéré comme un système isolé.

H2. Le noyau et l'électron gravitent chacun sur une orbite circulaire autour d'un centre commun: le "centre de masse" (cf. chapitre de Mécanique Classique).

H3. Ils ont même vitesse angulaire.

L'atome hydrogénoïde étant un système isolé, le mouvement du centre de masse est soit en mouvement rectiligne et uniforme soit au repos. Il est donc licite d'y placer un système de repère inertiel.

equation
Figure: 41.8 - Mise en situation de l'atome hydrogénoïde

La définition du centre de masse dans un système de laboratoire est donnée par le théorème du centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (41.44)

L'étude présente sera effectuée par rapport au centre de masse, la relation précédente devient donc (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (41.45)

De la relation précédente, en prenant la norme et la valeur absolue, il vient que: 

equation   (41.46)

La distance entre le noyau et l'électron demeurant constante et égalant equation nous écrivons:

equation   (41.47)

Nous en déduisons trivialement que:

equation et equation   (41.48)

En appliquant la loi de la dynamique, nous écrivons que la somme des forces sollicitantes (électrostatique et centrifuge) de l'électron (uniquement) s'équilibre telle que:

equation   (41.49)

que nous pouvons écrire en isolant equation:

equation   (41.50)

Nous retrouvons l'expression de la masse réduite bien connue dans un système à deux corps:

equation   (41.51)

Attaquons-nous maintenant à la détermination de l'énergie totale de l'atome:

L'énergie cinétique de l'atome est la somme des énergies cinétiques du noyau (N) et de l'électron (e) telle que:

equation   (41.52)

Comme equation avec comme hypothèse que la pulsation est identique pour le noyau et l'électron:

equation   (41.53)

Avec les relations des différents rayons déterminées précédemment:

equation   (41.54)

et connaissant l'expression du carré de la pulsation:

equation   (41.55)

Par ailleurs, de l'avant-dernier développement nous tirons une relation dont nous allons faire usage plus loin:

equation   (41.56)

L'énergie potentielle de l'électron par rapport au centre de masse étant donnée par (cf. chapitre d'Électrostatique):

equation   (41.57)

L'énergie totale de l'atome hydrogénoïde est alors:

equation   (41.58)

Par rapport au centre de masse, le moment cinétique total est la somme des moments cinétiques de l'électron equation et du noyau equation (rappelons que le moment cinétique est aussi souvent noté par la lettre L).

equation   (41.59)

La parenthèse de la dernière égalité a déjà fait l'objet d'un calcul précédemment et nous avons donc:

equation   (41.60)

c'est ici que Bohr introduit sa condition de quantification:

equation   (41.61)

or, nous connaissons l'expression détaillée du carré de la pulsation:

equation   (41.62)

Le rayon quantifié a donc pour expression:

equation   (41.63)

L'énergie totale de l'atome devient finalement:

equation   (41.64)

Soit de manière condensée:

equation   (41.65)

À partir de cette dernière relation, nous pouvons déterminer facilement l'expression (comment nous l'avons déjà fait) des longueurs d'ondes émises par une désexcitation de l'électron d'une orbite equation à equation.Calculons au même titre que nous l'avons fait pour le modèle sans entrainement, l'expression de la longueur d'onde émise lors du passage d'un niveau à l'autre. Nous faisons alors des développements identiques:

equation   (41.66)

Il vient alors:

equation   (41.67)

la longueur d'onde émise s'en déduit aisément:

equation   (41.68)

Remarque: Il convient bien évidemment de rendre compte que ce modèle est plus précis que le précédent.

HYPOTHÈSE DU NEUTRON

Les résultats de spectroscopie sont connus avec très grande précision, par conséquent les constantes de Rydberg également (car dépendante de la masse de l'élément atomique étudié).

Les deux raies bleues mesurées de la série de Balmer de l'hydrogène noté H (equation composé d'un proton et d'un électron) et du deutérium D (isotope de l'hydrogène composé d'un neutron en plus) présentent une différence de longueur d'onde de equation Angström.

La longueur d'onde appartenant à la série de Balmer s'exprime dès lors (avec la correction du centre de masse vue précédemment) comme:

equation   (41.69)

Cette dernière expression écrite successivement pour l'hydrogène et le deutérium mène à:

equation et equation   (41.70)

où nous rappelons que la masse de l'électron nous est connue! Ce qui est intéressant c'est que ces deux éléments ont des propriétés chimiques identiques (hydrogène et deutérium) mais des raies différentes. Les scientifiques de l'époque se demandaient pourquoi et après que le modèle de Bohr de l'atome hydrogénoïde avec entraînement soit à leur disposition ils ont pu conclure que cette différence dans les raies venait de la différence de la masse du noyau de l'atome.

Encore fallait-il déterminer cette différence de masse et expliquer sa provenance!

Nous avons donc:

equation   (41.71)

ce qui montra aux scientifiques de l'époque que le noyau de deutérium est formé de 2 particules de masse équivalente à celle du proton. Donc par déduction logique, ce noyau se doit d'être composé d'un proton (ce que l'on sait évidemment!) et d'une particule neutre.

Cette hypothèse est celle du "neutron", qui fut découvert ultérieurement de manière expérimentale en 1932 par Chadwick.

MODÈLE DE SOMMERFELD ET WILSON

Pour élaborer leur modèle, Sommerfeld et Wilson firent appel à la dynamique classique pour généraliser le modèle de Bohr à des orbites de type képlérien (donc non uniquement circulaires mais elliptiques dans le cas général) car ce dernier n'expliquait pas le dédoublement de certaines raies (sans présence d'un quelconque champ électrique ou magnétique), qu'on appela à l'époque la "structure fine".

Comme nous l'avons vu plus haut, dans le cas d'un système à deux corps sollicités par une force centrale, l'énergie totale du système est (nous négligeons l'énergie potentielle gravitationnelle):

equation   (41.72)

Pour trouver l'expression de la trajectoire de la masse m, nous allons procéder exactement de la même manière que celle utilisée en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie) pour déterminer les orbites képlériennes.

Ainsi, nous avons démontré dans le chapitre d'Astronomie que:

equation   (41.73)

avec:

equation  et equation   (41.74)

Il va sans dire que dans notre cas, il ne  s'agit plus d'un potentiel gravitationnel mais électrique. Ce qui nous amène à écrire pour notre problème:

equation   (41.75)

Encore nous reste-t-il à trouver l'expression de K sous forme quantifiée (selon les postulats de Bohr).

Attaquons-nous d'abord à déterminer l'expression du paramètre focal p de la trajectoire:

Dans notre problème actuel, l'énergie cinétique et potentielle exprimées en coordonnées polaires donnent (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation et equation   (41.76)

L'énergie totale de l'atome est donc donnée par:

equation   (41.77)

De façon identique à celle de Bohr, Sommerfeld et Wilson appliquèrent la même forme de quantification pour le rayon-vecteur et l'étendirent à la quantification pour l'angle azimutal.

Soit les moments cinétiques:

equation et equation   (41.78)

Les quantités de mouvement s'obtiennent par dérivation du lagrangien par rapport aux coordonnées généralisées puisque (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

equation   (41.79)

La quantification sur l'angle est immédiate, puisque equation est une constante du mouvement. Effectivement, le lagrangien L étant indépendant de equation (mais pas de equation), l'invariance du moment cinétique se traduit par l'équation de Lagrange:

equation   (41.80)

Ce qui nous donne:

equation   (41.81)

avec equation étant le "nombre quantique azimutal" (donc le deuxième nombre quantique), pour rappeler qu'il est lié à la quantification de l'angle polaire.

De cette dernière relation nous obtenons aussi:

equation   (41.82)

Revenons maintenant à:

equation   (41.83)

ce qui nous donne:

equation   (41.84)

Attaquons-nous maintenant à déterminer l'excentricité e de la trajectoire (à ne pas confondre avec la notation de la charge électrique si possible!).

Ce qui nous donne:

equation   (41.85)

Pour déterminer la quantification du moment cinétique par rapport à la variable radiale, nous allons nous servir d'une substitution:

equation   (41.86)

En notant simplement r' la dérivée equation, l'intégrale s'écrit:

equation   (41.87)

où nous avons utilisé equation comme nous l'avons déjà démontré.

En reportant:

equation   (41.88)

dans l'intégrale du moment cinétique radial, nous obtenons (simple à obtenir):

equation   (41.89)

d'où nous déduisons compte tenu de equation que:

equation   (41.90)

ce qui nous amène à:

equation   (41.91)

et donc:

equation   (41.92)

Après quelques simplifications élémentaires nous obtenons finalement:

equation   (41.93)

equation, appelé également "nombre quantique radial" peut lui être nul! Car c'est le cas si equation , c'est-à-dire si la trajectoire est un cercle (cas particulier de Bohr). 

Nous introduisons alors un entier n appelé "nombre quantique principal" tel que:

equation   (41.94)

avec equation

Sommerfeld et Wilson montrent par-là que les orbitales du modèle de Bohr doivent pouvoir être déterminées par ces deux nouveaux nombres quantiques:

exempleExemple:

Pour equation nous avons deux sous-orbitales possibles:

 equation   (41.95)

La valeur equation est impossible par définition car cela signifierait que le petit axe est nul (ellipse dégénérée en une droite) et l'électron ne peut traverser le noyau (dans le modèle classique en tout cas). Donc la plus petite valeur entière de equation possible est 1.

Il y a donc alors n orbites donnant le même terme spectral. Autrement dit, il y a n fois la même quantification d'énergie. Nous disons également que le niveau d'énergie (total) equation est "n fois dégénéré".

L'idée de Sommerfeld était de rendre compte de la richesse des spectres observés. De ce point de vue, les résultats sont décevants: la quantification de tous les degrés de liberté fait bien apparaître plus d'états (il faut maintenant deux nombres quantiques pour spécifier complètement l'état, alors que le modèle de Bohr n'en considère qu'un) mais le degré supplémentaire ne fait qu'introduire une dégénérescence en énergie.

Pour résumer ce modèle, il y a donc exactement le même nombre de niveaux d'énergie et donc le même nombre de transitions d'états énergétiques possibles que celui de Bohr. Du point de vue spectral, la théorie de Sommerfeld-Wilson n'apporte rien de plus que celle de Bohr mis à part que les orbites sont elliptiques et n'explique donc pas l'étendue des spectres observés.

equation
Figure: 41.9 - L'approche excentrique... de Sommerfeld

Au fait, l'idée à partir de maintenant va être de reprendre le même modèle en y ajoutant les corrections relativistes. Le travail va nécessairement être plus long mais ô combien fructueux!

MODÈLE RELATIVISTE DE SOMMERFELD

Cependant, le modèle de Sommerfeld et Wilson peut être considéré comme incomplet si nous ne prenons pas en compte les variations de paramètres qu'engendrent les résultats de la théorie de la relativité restreinte (cf. chapitre de Mécanique Relativiste).

Remarque: Le chapitre Physique Quantique Relativiste est réservé uniquement à l'étude de la physique quantique probabiliste basée sur la version relativiste de l'équation de Schrödinger (donc en toute rigueur le chapitre de Physique Quantique Relativiste devrait se nommer "Physique Quantique Relativiste Ondulatoire"). Raison pour laquelle il nous a semblé plus judicieux de mettre un modèle corpusculaire, déterministe et relativiste (à l'opposé d'un modèle ondulatoire, probabiliste et relativiste) comme celui que nous allons étudier maintenant dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Effectivement, comme nous l'avons démontré dans le développement du modèle de Bohr, l'énergie cinétique de l'électron est donnée par:

equation   (41.96)

ce qui nous donne:

equation   (41.97)

Pour l'hydrogène et le niveau equation, nous trouvons  equation et comme facteur de Michelson-Morley (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

equation   (41.98)

avec:

equation   (41.99)

Ce que le lecteur pourra vérifier avec la version française de MS Excel:

=1/RACINE(1-(1*(1.60217656E-19)^2/(2*8.854187E-12*1*6.62068E-34))^2/(299792458)^2)

Certes, la variation est faible mais les valeurs de spectrométrie étaient tellement précises qu'il fallait introduire la relativité restreinte pour prendre en compte ces infimes variations et ainsi valider la théorie par l'expérience.

Remarque: Comme nous pouvons le voir facilement, la relation montre que plus la particule est éloignée du noyau (n grand) plus sa vitesse est faible. Ce résultat a été confirmé expérimentalement en remplaçant l'électron artificiellement par un muon et les scientifiques ont ainsi remarqué que la durée de vie de ce dernier augmentait faiblement en fonction de la valeur de n.

Déterminons dans l'ordre des choses, l'expression des conditions de quantification avec les facteurs relativistes. Avant de commencer, il est important de comprendre que nous considérons le noyau comme fixe et comme référentiel de notre système. Ainsi, par rapport à ce référentiel la masse de l'électron subit une variation relativiste mais non le potentiel électrique (il faudrait prendre en compte la variation de ce dernier si et seulement si le référentiel était l'électron lui-même).

En dynamique relativiste (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons démontré que l'énergie cinétique (sous forme de notation Lagrangienne avec "T" au lieu de equation) s'exprime sous la forme:

equation   (41.100)

L'énergie potentielle (sous forme de notation Lagrangienne avec "V" au lieu de equation) ne subissant pas de variation relativiste, nous avons toujours:

equation   (41.101)

Le lagrangien est donc:

equation   (41.102)

En travaillant en coordonnées polaires, dans lesquelles la vitesse a pour expression:

equation   (41.103)

Dès lors:

 equation   (41.104)

Les conditions de quantification de Sommerfeld étant:

equation

equation
  (41.105)

À présent, nous devons rechercher des expressions relativistes pour equation et equation.

Commençons par equation:

equation   (41.106)

avec:

equation   (41.107)

Soit:

equation   (41.108)

Ce qui donne:

equation   (41.109)

Comme:

equation   (41.110)

nous avons finalement:

equation   (41.111)

La première condition de quantification s'écrit donc:

equation   (41.112)

Pourequation:

equation   (41.113) 

toujours avec:

equation   (41.114)

Soit:

equation   (41.115)

Ce qui donne:

equation   (41.116)

Comme:

equation   (41.117)

nous avons finalement:

equation   (41.118)

La seconde condition de quantification s'écrit donc:

equation   (41.119)

En résumé, les conditions de quantification de l'atome relativiste de Sommerfeld sont:

equation et equation   (41.120)

Nous pourrions, en voyant les deux résultats ci-dessus, conclure un peu trop rapidement en pensant qu'il aurait suffi finalement de multiplier les deux conditions de quantification par le facteur de Michelson-Morley relativement à la transformation relativiste de la masse. Or, un tel raccourci est complètement faux et tout sauf rigoureux ! Effectivement, si vous appliquez un tel raisonnement, il suffirait alors de prendre l'expression de l'énergie totale du modèle non relativiste de Sommerfeld-Wilson et d'introduire partout où la masse se situe le facteur de Michelson-Morley. Pourtant, le résultat final n'a absolument rien de commun avec le résultat que nous allons obtenir plus loin. Il faut donc toujours être prudent et travailler comme le mathématicien sans brûler les étapes !

L'énergie totale relativiste de l'atome (somme de l'énergie cinétique, de l'énergie de masse et de l'énergie potentielle du champ électrique pour l'ensemble de l'atome) est donnée par:

equation   (41.121)

Effectivement, en utilisant la notation du chapitre de Relativité Restreinte:

equation   (41.122)

Or, dans le cadre de l'étude de la physique quantique corpusculaire, il est (malheureusement) d'usage de noter la masse au repos avec le symbole de la masse relativiste tel que:

equation   (41.123)

Donc:

equation   (41.124)

Il nous faut exprimer cette énergie totale en fonction des conditions de quantification. Il y a un long travail mathématique à effectuer mais indispensable pour arriver au résultat de notre étude.

Soit le calcul de l'expression:

 equation    (41.125)

avec:

equation et equation   (41.126)

En élevant au carré:

equation et equation   (41.127)

Donc:

equation   (41.128)

Nous ajoutons des deux côtés de l'égalité equation (dans l'idée d'y inclure l'énergie de masse comme vous allez le voir quelques lignes plus loin), ce qui donne:

equation  (41.129)

En multipliant des deux côtés par equation il vient:

equation   (41.130)

En extrayant la racine carrée:

equation   (41.131)

Si nous introduisons cette dernière relation dans l'expression de l'énergie totale, nous obtenons:

equation   (41.132)

Maintenant, il nous reste à déterminer les expressions de equation et equation en fonction de equation et equation.

L'intégrale de quantification de l'angle azimutal est immédiate:

equation   (41.133)

Soit:

equation   (41.134)

L'intégrale de quantification du rayon-vecteur nécessite un développement plus conséquent:

equation   (41.135)

Ensuite, viennent de longs et joyeux développements mathématiques:

En reprenant l'expression de l'énergie totale:

equation   (41.136)

Nous obtenons:

equation   (41.137)

En élevant au carré et en faisant quelques transformations:

 equation   (41.138)

En travaillant sur le terme entre parenthèses, on le posera égal à A tel que:

equation   (41.139)

En ajoutant et en retranchant equation et en décomposant le terme equation en equation et ensuite en les regroupant:

equation   (41.140)

Nous posons en vue de la simplification des calculs (pour alléger le nombre de termes à manipuler):

equation   (41.141)

Nous obtenons ainsi: 

equation   (41.142)

En mettant equation en évidence, nous avons: 

equation   (41.143)

En ajoutant et en retranchant 1 dans la parenthèse:

equation   (41.144)

En travaillant, à présent, sur les trois derniers termes:

equation   (41.145)

Comme equation nous avons:

equation   (41.146)

En posant:

equation   (41.147)

Et en posant également:

equation   (41.148)

puisque  equation.

Sommerfeld introduit alors ce qu'il appelle une "constante de structure fine" equation définie par la relation:

equation   (41.149)

valant:

equation   (41.150)

Remarque: La constante de structure fine est une des constantes les plus importantes de la physique. D'abord parce qu'elle est sans dimensions, et secundo parce qu'elle est à ce jour la mieux connue (au niveau de la précision) de toutes les constantes et tertio, parce qu'elle ne dépend que de termes qui semblent être des constantes fondamentales. Les physiciens et astrophysiciens cherchent donc à observer si la valeur de cette constante varie au cours du temps, ce qui impliquerait immédiatement qu'une au moins des constantes implicites n'est pas atemporelle.

Compte tenu de la constante de structure fine, nous écrivons:

equation   (41.151)

En résumé:

equation   (41.152)

Avec:

equation   (41.153)

Nous aboutissons donc à l'intégrale suivante:

equation   (41.154)

Le théorème des résidus (cf. chapitre d'Analyse Complexe) appliqué à l'intégrale précédente donne pour expression:

equation   (41.155)

Nous voyons trivialement qu'il y a un pôle à l'origine equation .

Nous allons calculer le résidu en ce point en passant à la limite pour equation. Nous posons pour cela:

equation   (41.156)

En passant à la limite construite sur la base du théorème des résidus:

equation   (41.157)

Le résidu correspondant au pôle equation est donc:

equation   (41.158)

Nous voyons également qu'il y a un second résidu à l'infini equation et pour le calculer, nous effectuons à nouveau un changement de variable. Nous posons (conformément à la méthode que nous avons vue dans le chapitre d'Analyse Complexe):

equation   (41.159)

L'intégrale s'écrit alors:

equation   (41.160)

Pour trouver le résidu, nous allons faire un développement en série de Laurent de:

equation   (41.161)

autour de ce pôle de valeur nulle. Pour ce faire, nous posons:

  equation   (41.162)

Nous connaissons le développement de Taylor (cf. chapitre Suites Et Séries) de l'expression résultante de ce changement de variable: 

equation   (41.163)

Appliqué au radical, nous obtenons:

equation   (41.164)

Il vient alors automatiquement la série de Laurent (chouette!):

equation  (41.165)

où nous voyons immédiatement que le pôle est d'ordre 2.

Le second résidu est le coefficient en equation:

equation   (41.166)

Effectivement, nous avons simplement appliqué la relation démontrée dans le chapitre d'Analyse Complexe:

equation   (41.167)

pour déterminer le résidu se trouvant dans la série de Laurent avec l'ordre du pôle k valant donc 2.

En final, nous aboutissons à:

equation   (41.168)

Avec: 

equation   (41.169)

Pour le calcul de equation nous avons:

equation  (41.170)

Dès lors, l'intégrale curviligne a pour expression:

equation   (41.171)

Après simplification:

equation  (41.172)

Nous élevons au carré:

equation  (41.173)

Donc:

equation   (41.174)

d'où:

equation
  (41.175)

Nous posons equation:

En travaillant sur le dénominateur equation:

equation   (41.176)

En ajoutant et en retranchant equation:

equation   (41.177)

Donc:

equation   (41.178)

ou encore:

equation   (41.179)

Ou encore: 

equation   (41.180)

Nous considérons dans le terme  equation le radical qui s'écrit encore:

equation   (41.181)

Soit le développement en série equation (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) alors:

 equation   (41.182)

Donc:

equation   (41.183)

Comme equation, nous pouvons négliger les termes au-delà de l'ordre 2 tel que:

equation   (41.184)

Le terme suivant s'écrit alors:

equation   (41.185)

En travaillant maintenant sur le terme entre les crochets et en considérant uniquement le carré sans tenir compte de son signe négatif (!):

equation   (41.186)

Soit le développement en série de Taylor de (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

equation   (41.187)

alors:

equation   (41.188)

En négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:

equation   (41.189)

Le terme entre les accolades s'écrit:

equation   (41.190)

Nous entreprenons le développement en série de Taylor du terme entre les accolades:

equation   (41.191)

En négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:

equation
  (41.192)

En développant le carré du troisième terme, il vient:

equation   (41.193)

Soit:

equation   (41.194)

L'énergie totale de l'atome devient:

 equation  (41.195)

Finalement, nous obtenons pour l'expression de l'énergie:

equation   (41.196)

Nous pouvons donner une autre expression pour l'énergie de l'atome hydrogénoïde puisque:

equation  et  equation   (41.197)

L'expression de l'énergie totale de l'atome hydrogénoïde devient:

equation   (41.198)

Soit:

equation   (41.199)

Dans la littérature, nous trouvons d'autres expressions pour l'énergie totale qui sont plus intéressantes que les précédentes (car plus traditionnelles). Ainsi, en considérant que equation, il vient:

equation
  (41.200)

Si nous cherchons une expression en fonction de la constante de Rydberg equation (voir plus haut):

equation
  (41.201)

Donc l'expression de l'énergie totale relativiste de l'atome hydrogénoïde la plus condensée que nous puissions trouver dans la littérature et que nous adopterons dans le présent site est:

equation   (41.202)

La relation ci-dessus révèle bien l'existence d'une structure fine puisque les caractéristiques equation  et  equation  de l'orbite de l'électron apparaissent séparément dans un rapport et non plus uniquement sous la forme d'une somme comme dans le premier modèle de Sommerfeld et Wilson.

Mais en toute rigueur, nous devrions du fait de l'entraînement du noyau:

equation   (41.203)

ou:

equation   (41.204)

Dans laquelle la constante de Rydberg a pour expression:

equation   (41.205)

Cependant comme la masse du noyau est 1840 fois plus lourde que celle de l'électron, nous pouvons admettre en première approximation que:

equation   (41.206)

MOMENT MAGNÉTIQUE DIPOLAIRE QUANTIQUE

À l'époque du développement du modèle de Sommerfeld, certains physiciens s'attachent à étudier une autre propriété de l'atome. Ils observèrent que sous l'application du champ magnétique, les raies se doublaient. Pour expliquer cela, ils eurent l'idée géniale et extrêmement simple d'expliquer ce phénomène par le moment magnétique de l'électron.

Remarque: Nous verrons en physique quantique ondulatoire, qu'au fait, même en l'absence de champ magnétique une mesure très fine des raies montre qu'elles sont toutes doubles et ce à cause du couplage spin-orbite. Dès lors, une interprétation correcte est de dire qu'il y doublement du dédoublement des raies sous l'application du champ magnétique.

Ainsi, soit l'expression de la norme du moment magnétique dipolaire (cf. chapitre de Magnétostatique):

equation   (41.207)

le moment magnétique est donc égal à la surface entourée par l'orbite de l'électron multipliée par le courant de l'électron (perpendiculaire au vecteur unitaire de la surface) sur sa ligne d'orbite soit:

equation   (41.208)

où:

  equation   (41.209)

est la période du mouvement.

Nous avons vu que la somme des moments cinétiques étant égale à:

equation   (41.210)

donc le rapport moment magnétique/moment cinétique donne:

equation   (41.211)

Le rapport equation est appelé le "rapport gyromagnétique orbital" et la quantité:

equation   (41.212)

est appelée "magnéton de Bohr".

Remarque:Il est important de se souvenir des quelques développements et définitions qui viennent d'être faits lorsque nous développerons l'équation de Pauli en Physique Quantique Relativiste.

Fréquemment nous notons la relation ci-dessus ainsi:

equation   (41.213)

equation est appelé "nombre quantique magnétique".

Sachant que le nombre quantique principal est décomposé par les nombres quantiques radiaux et azimutaux, il y a alors autant de moments magnétiques qu'il y a de géométries différentes d'orbites pour une valeur donnée du nombre quantique principal. Au fait, il y en a même le double si nous considérons que l'électron peut tourner dans le même sens ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (le moment magnétique étant une grandeur vectorielle).

Maintenant, prenons les deux exemples:

equation et equation   (41.214)

pour lequel nous posons maintenant equation , nombre que nous appelons "nombre quantique de moment cinétique orbital" et ayant des valeurs comprises entre: equation.

Qu'avons-nous finalement ?

1. Lorsque equation, nous avons equationet comme equation n'a qu'une seule sous-couche, alors lors de l'application d'un champ magnétique nous n'avons toujours qu'une et une seule raie de visible.

equation
Figure: 41.10 - Décomposition d'une orbitale très basse...

2. Lorsque equation, nous avons equation et equation et comme equation a deux sous-couches. Lorsque aucun champ magnétique n'est appliqué, les raies des deux sous-couches sont superposées donc indiscernables (on n'en voit qu'une seule). Mais lorsqu'un champ magnétique est appliqué les deux sous-couches se distinguent de par le moment magnétique et dès lors nous avons deux raies mais au total il en existe théoriquement 3 (une sans champ, et deux avec champ).

equation
Figure: 41.11 - Décomposition de l'orbitale supérieure

Ainsi, nous avons:

equation   (41.215)

où:

equation   (41.216)

L'énergie potentielle d'un moment magnétique equation placé dans un champ magnétique B vaut (cf. chapitre de Magnétostatique):

equation   (41.217)

Donc finalement pour chaque orbitale d'électron soumise à un champ magnétique nous avons:

equation   (41.218)

toujours avec :

equation   (41.219)

L'observation du spectre d'un atome dans un champ magnétique a pour effet d'ajouter des raies de par l'énergie potentielle du moment magnétique. C'est ce que nous appelons "l'effet Zeeman" car c'est ce dernier qui a mesuré ces raies pour la première fois (avant la théorie).

SPIN

Diverses constatations expérimentales ont conduit à attribuer à l'électron un moment cinétique et magnétique propre et particulièrement le dédoublement des raies Zeeman elles-mêmes appelé alors: "effet Zeeman anormal".

Il a effectivement été expérimentalement mesuré que le moment magnétique résultant était juste égal à la valeur du magnéton de Bohr. Il est alors tentant d'attribuer ce moment magnétique à l'électron et émettre l'hypothèse que ce dernier viendrait peut-être du fait qu'il tourne sur lui-même (moment cinétique intrinsèque): il posséderait donc un "spin" égal au magnéton de Bohr et ce dernier pouvant prendre des valeurs négatives ou positives. Nous parlons alors de "nombre quantique de spin" ou historiquement "nombre de Pauli" et ce dernier donne le nombre de différentes valeurs que peut prendre le spin.

Cependant, cette vision classique d'une rotation propre (moment cinétique intrinsèque) de la particule est en fait trop naïve et par la même erronée.

En effet, dans un premier temps, si la particule est ponctuelle, la notion de rotation propre autour de son axe est tout simplement dénuée de sens physique. Rappelons que puisque par définition, l'axe de rotation d'un objet est le lieu de points de cet objet qui restent immobiles, alors si la particule est ponctuelle, son axe propre est sur la particule, donc celle-ci est immobile.

Dans un deuxième temps, si la particule n'est pas ponctuelle, alors la rotation possède un sens, mais on se heurte dans ce cas à une autre difficulté. Supposons par exemple que la particule soit un électron, modélisé comme étant un corps sphérique de rayon a. Nous obtenons une estimation du rayon a en écrivant que l'énergie de masse de l'électron est de l'ordre de grandeur de son énergie potentielle électrostatique (cf. chapitre d'Électrostatique), soit:

equation   (41.220)

La valeur numérique de ce "rayon classique de l'électron" est equation en prenant sa masse au repos.

Si nous attribuons alors à cet électron un moment cinétique égal à equation (qui a les unités d'un moment cinétique), nous obtenons pour un point de l'équateur une vitesse v vérifiant:

equation   (41.221)

La valeur numérique de la vitesse vaut alors equation ... donc la vitesse de rotation propre serait supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide, ce qui pose bien évidemment des problèmes avec la théorie de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Nous ne pouvons donc avec les outils mathématiques de la physique quantique corpusculaire formaliser rigoureusement la notion de spin, mais nous y reviendrons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste (équation de Pauli) et nous montrerons que le spin est au fait quelque chose de beaucoup plus subtil qu'une simple rotation.

Mais revenons à notre vision classique en attendant. Donc, lorsque nous observons un dédoublement des raies de Zeeman, nous supposons que cela est dû au spin s de l'électron qui peut prendre deux orientations (sens vectoriels) différentes.

Il a donc été mesuré que le moment magnétique propre de l'électron est égal à la valeur du magnéton de Bohr soit:

equation   (41.222)

Si nous posons (ce que les physiciens aiment bien faire) equation nous avons:

equation   (41.223)

(ceci juste afin d'obtenir une similitude avec equation...)

Cette valeur est constante mais peut être négative ou positive en fonction du sens de rotation propre de l'électron relativement à l'observateur (le moment cinétique ayant une orientation vectorielle). Ainsi:

equation   (41.224)

Ce résultat, de la plus haute importance, nous amène aussi à la conclusion que chaque nombre quantique magnétique est dégénéré deux fois par le nombre quantique de spin! Ainsi, comme nous le verrons un peu plus loin dans des exemples concrets (avec schémas à l'appui), chaque nombre quantique principal n est dit "dégénéré" un nombre equation de fois:

PRINCIPE D'EXCLUSION DE PAULI

Suite au fait que l'état d'un électron atomique peut être caractérisé avec au moins les 4 nombres quantiques suivants (le premier nombre quantique venant de Bohr,, les deux autres de Sommerfeld et le dernier de Pauli) dont nous avons démontré la provenance:

equation   (41.225)

ou sous forme étendue suivante: 

equation   (41.226)

Wolfgang Pauli, a alors posé pour expliquer certaines régularités dans les propriétés atomiques (plus particulièrement: les propriétés chimiques) un principe d'exclusion nommé aujourd'hui "principe d'exclusion de Pauli" et qui s'énonce de la manière suivante:

Dans un atome, deux électrons ne peuvent avoir le même quadruplet equation ordonné de nombres quantiques.

Remarques:

R1. Nous notons parfois selon les situations equation (pour ce que cela change...).

R2. Nous savons par la physique quantique ondulatoire que le principe d'exclusion s'applique aux particules qui sont des "fermions". Ce sont les particules (élémentaires ou composées) qui ont un spin demi-entier, comme le proton, le neutron et le neutrino. Ce principe ne s'applique pas au groupe de particules dites "bosons", qui ont un spin nul ou entier.

Il est possible à partir de ce principe, d'établir une sorte de catalogue des éléments atomiques à partir des possibilités de remplissage des orbitales, supposées disposées en couches, améliorant ainsi la classification de Mendeleïev.

Les étudiants les voient fréquemment pour la première fois dans les écoles lors de leurs cours de chimie. Ils les utilisent la plupart du temps, sans savoir ce qu'ils représentent vraiment.

COUCHES ÉLECTRONIQUES

Au cours des années 1920, Niels Bohr, Edmund Clifton Stoner et d'autres conçurent un modèle de la structure électronique des atomes qui permet de comprendre le tableau périodique des éléments. Le travail de Henri Moseley a permis de déterminer le nombre de protons dans le noyau et, comme l'atome est neutre, c'est aussi le nombre des électrons orbitaux. Il n'est pas simple de déterminer la structure atomique et dans cette analyse, les physiciens ont été aidés par les expériences menées par les chimistes.

Ainsi, selon les chimistes les électrons occupent des couches et des sous-couches autour du noyau par ordre d'énergie croissante selon des règles associées à leurs nombres quantiques que nous avons déterminés précédemment. Ainsi, la "configuration électronique" est l'arrangement des électrons dans un atome, une molécule ou un autre corps. Précisément, c'est la position des électrons dans une orbitale atomique, moléculaire ou d'autres formes d'orbitales électroniques.

Remarque: Rigoureusement ce concept de "couche" comme nous pouvons nous l'imaginer visuellement n'a aucun sens si l'on se réfère aux résultats de la mécanique quantique (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). C'est la raison pour laquelle le débat qui consiste à savoir comment remplir les couches est stérile car il n'existe pas rigoureusement sans une grossière approximation de règle générale.

Chaque couche correspond à une valeur spécifique du "nombre quantique principal" n et traditionnellement les couches sont désignées (cette tradition devrait être abandonnée... mais comme toutes les traditions elle a la peau dure...) par les lettres majuscules K, L, M, N, O,... correspondant aux nombres 1, 2, 3, 4, 5...que peut prendre le nombre quantique principal.

Le "nombre quantique secondaire/azimutal"  noté conventionnellement par la lettre l correspond aux états de dégénérescence que peuvent prendre les couches pour une valeur donnée de n tel que:

Pour la couche K (equation) nous avons une unique sous-couche comme:

equation   (41.227)

et ainsi pour la couche L (equation) nous avons deux sous-couches:

 equation   (41.228)

et ainsi pour M (equation) avons trois sous-couches:

 equation   (41.229)

et ainsi de suite...

Les chimistes ont pour habitude de noter les premières sous-couches par les lettres latines: 

s (sharp), p (principal), d (diffuse), f (fondamental)....

Qui sont l'équivalent alphabétique du nombre quantique secondaire l. Pour résumer cela sous forme de tableau nous avons:

Nombre quantique principal n

Nombre de sous-niveaux

Nom des sous-niveaux

Nombre d'électrons maximum

1
1
1s

2

2
2
2s, 2p

8

3

3

3s, 3p, 3d

18

4

4

4s, 4p, 4d, 4f

32

5

5

5s, 5p, 5d, 5f, 5g

50

6

6

6s, 6p, 6d, 6f, 6g, 6h

72

7

7

7s, 7p, 7d, 7f, 7g, 7h, 7i

98

Tableau: 28.1 - Sous-niveaux des électrons dans les couches principales

Le "nombre quantique magnétique" equation désigne donc la position de l'orbitale dans l'espace (au fait, il représente le vecteur directeur perpendiculaire à la surface de l'orbite décrite par l'électron). 

Ce dernier nombre prend, nous l'avons démontré, le double de la valeur qu'il y a de sous-couches par couche (effet Zeeman: doublement des raies) et puisque:

equation   (41.230)

Le "nombre quantique de spin" equation désigne le nombre de différentes valeurs que peut prendre le moment magnétique de l'électron sur une orbitale donnée. Évidemment, il ne peut prendre que deux valeurs qui correspondent au sens de rotation propre de l'électron par rapport à l'observateur et produit un dédoublement du doublement des raies (dédoublement Zeeman normal):

equation   (41.231)

Définitions:

D1. Une "couche électronique" est un groupe d'états qui ont le même nombre quantique principal n.

D2. Une "sous-couche" est un groupe plus petit d'états qui sont caractérisés par les nombres quantiques de n et l.

D3. Une "orbitale" est précisée par les trois nombres quantique equation et elle peut contenir deux électrons l'un de spin haut et l'autre de spin bas.

D4. Un "état" est défini par les quatre nombres quantiques equation et contient un seul électron comme l'exige le principe d'exclusion.

Résumons sous forme de schémas à ce que nous avons vu jusqu'à maintenant:

Prenons l'exemple:

equation
Figure: 41.12 - Décomposition d'une orbitale basse avec spin

Ainsi, le principe d'exclusion de Pauli permet qu'il y ait deux électrons sur la couche K.

Prenons l'exemple:

equation
Figure: 41.13 - Décomposition d'une orbitale directement au-dessus

Ainsi, le principe d'exclusion de Pauli permet qu'il y ait 8 électrons sur la couche L.

Et ainsi de suite... Nous remarquons que si nous faisons abstration du nombre quantique de spin, chaque couche principale peut contenir un nombre d'électrons égal à:

equation

Sous forme d'atomes schématisés selon le modèle de Bohr, cela donne:

equation
Figure: 41.14 - Forme courante dans les livres de chimie du modèle relativiste de Sommerfeld avec spin

Sous une notation conforme à celle des chimistes, les configurations fondamentales de quelques éléments s'écrivent:

Élément

Symbole

Numéro atomique

Config. électronique

Hydrogène
H
1

1s

Hélium
He
2

1s2

Lithium

Li

3

1s22s

Béryllium

Be

4

1s22s2

Bore

B

5

1s22s22p

Carbone

C

6

1s22s22p2

Azote

N

7

1s22s22p3

Oxygène
O
8
1s22s22p4
Fluor
F
9
1s22s22p5
Néon
Ne
10
1s22s22p6
Sodium
Na
11
1s22s22p63s
Magnésium
Mg
12
1s22s22p63s2
Aluminium
Al
13
1s22s22p63s23p
Silicium
Si
14
1s22s22p63s23p2
Phosphore
P
15
1s22s22p63s23p3
Soufre
S
16
1s22s22p63s23p4
Chlore
Cl
17
1s22s22p63s23p5
Argon
Ar
18
1s22s22p63s23p6
Tableau: 28.2 - Sous-niveaux des électrons dans les couches principales

Qui est une forme condensée du tableau équivalant suivant:

tableau
Figure: 41.15 -Forme extensive... du tableau précédent

Cependant, bien que le modèle relativiste de Sommerfeld soit d'une précision et d'une cohérence redoutable par rapport aux observations expérimentales, il n'explique pas certains phénomènes importants que nous observons à l'échelle de l'atome. Ainsi, ce modèle est dans l'incapacité d'expliquer la désintégration des éléments, le comportement dual (complémentaire) de la matière entre onde et corpuscule, l'annihilation entre matière et antimatière et encore bien d'autres. 

Ce sont des développements beaucoup plus complexes et à la fois compatibles avec ce que nous avons vu qui vont être développés dans le chapitre suivant traitant de la Physique Quantique Ondulatoire permettant d'expliquer de manière parfaitement satisfaisante nombre de phénomènes qui étaient inexpliqués à l'échelle du nanomètre.


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