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Atomistique

PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE | PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE | PHYSIQUE NUCLÉAIRE
PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS | PHYSIQUE DES PARTICULES ÉLÉMENTAIRES


42. PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE (2/2)

Dernière mise à jour de ce chapitre: 2018-02-03 19:53:48 | {oUUID 1.823}
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Table des matières LISTE DES SUJETS TRAITÉS SUR CETTE PAGE

MOMENT CINÉTIQUE ET SPIN

Tout comme l'oscillateur harmonique, la notion de moment cinétique (ou moment angulaire) est d'une importance capitale en théorie quantique et possède de nombreuses applications dans tous les domaines de la physique: physique atomique et moléculaire, physique nucléaire et subnucléaire, physique de l'état condensé, etc. Ainsi, il joue un rôle essentiel dans l'étude du mouvement d'une particule dans un potentiel à symétrie sphérique, comme nous le verrons en chimie quantique (qui en est un excellent exemple pratique). Le moment cinétique est également à la base du groupe des rotations qui satisfait à l'algèbre des opérateurs de moment cinétique (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). De ce fait, il permet non seulement de construire la fonction d'onde d'un système quantique de symétrie donnée, mais aussi de prédire si une transition optique est permise et d'en déterminer son intensité (par exemple, lors de l'étude des transitions optiques entre états d'impureté (en état solide), états moléculaires (chimie quantique), en physique nucléaire, etc.).

Enfin, nous verrons que la méthode algébrique appliquée à l'étude du moment cinétique nous permettra d'introduire tout naturellement la notion de moment cinétique intrinsèque d'une particule, le "spin", qui n'a pas d'équivalent classique.

Les développements qui vont suivre peuvent paraître assez déconcertants dans le sens qu'il ne faut plus du tout se fier à l'intuition mais uniquement aux propriétés et résultats des mathématiques. Comme d'habitude, si vous avez besoin de compléments d'informations, n'hésitez pas à nous contacter.

Ainsi, rappelons que le moment cinétique d'une particule par rapport à l'origine est donné par (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (42.1)

La quantité de mouvement étant quantifiée (c'est une valeur propre rattachée à l'énergie d'une façon ou d'une autre), le moment cinétique l'est nécessairement aussi (le moment cinétique est donc aussi une valeur propre) et l'expérience a appuyé ce résultat (Stern-Gerlach).

Soit la composante en z du produit vectoriel résultant:

equation   (42.2)
(cycl.)

Cette relation étant cyclique, nous pouvons changer les indices pour obtenir les autres coordonnées.

Comme x et y commutent (dans le sens que leur commutateur est nul) et que nous avons démontré:

equation   (42.3)

nous avons alors:

equation   (42.4)

Ce qui donne:

equation   (42.5)
(cycl.)

En utilisant le gradient (nous retrouverons cette relation dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste lors de notre étude de l'équation de Pauli!!):

equation   (42.6)

et en posant pour "l'opérateur du moment cinétique orbital":

equation   (42.7)

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (42.8)

Avec:

equation   (42.9)

Remarque: Le plus souvent dans la littérature le moment cinétique orbital est noté equation (nous avions déjà fait cette remarque dans le chapitre de Mécanique Classique) mais nous avons évité cette notation ici afin de différencier le moment cinétique orbital et le moment cinétique orbital total.

Nous allons établir certaines relations de commutation concernant  equation qui joueront un rôle essentiel dans l'étude du spin. En faisant usage des relations de commutation suivantes (démontrées lors de notre étude des principes d'incertitudes):

  equation (cycl.)   (42.10)

et:

equation (cycl.)   (42.11)

Nous avons la relation (il est de tradition de faire l'analyse sur la composante de la projection de equation en z):

equation   (42.12)

Donc:

equation   (42.13)
(cycl.)

et en procédant de la même manière:

equation (cycl.) et equation (cycl.)   (42.14)

Remarque: Nous trouvons des relations analogues avec la quantité de mouvement:

equation   (42.15)

Évaluons maintenant la quantité (suite à la demande d'un lecteur, nous avons mis tous les détails):

equation   (42.16)

Soit après simplification (c'est assez embêtant pour l'expérience que cela ne commute pas):

equation   (42.17)
(cycl.)

par ailleurs, à ce stade, si le lecteur a déjà parcouru au préalable le chapitre de Calcul Spinoriel, il remarquera que les matrices de Pauli satisfont aux relations précédentes si nous nous mettons en unités naturelles (la constante de Planck réduite valant alors 1):

equation

Ce constat sera utile pour notre étude de la physique quantique relativiste (voir chapitre du même nom). Effectivement, nous savons de par notre étude du calcul spinoriel (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) que les matrices 2 par 2 complexes unitaires de déterminant 1 forment le groupe des rotations dans l'espace SU(2), dont les matrices Pauli sont les génératrices. Fondamentalement, l'origine du spin vient du lien qui existe entre SU(2) et le groupe des rotations de notre espace ordinaire, SO(3) (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Maintenant, considérons la norme:

equation   (42.18)

où il faut considérer le carré d'un de ces opérateurs sous la forme suivante:

equation   (42.19)

Étudions son commutateur avec une composante (sans avoir à expliciter la chose!):

equation   (42.20)

en utilisant la relation cyclique equation il vient:

equation   (42.21)

Donc la norme du moment cinétique orbital commute avec avec ses composantes:

equation   (42.22)
(cycl.)

Conclusions des résultats obtenus jusqu'à maintenant: Comme le commutateur est nul (les quantités commutent) il est donc possible de mesurer simultanément avec précision une composante ainsi que le carré du moment cinétique (sa norme au carré), mais il est impossible de faire la même chose pour deux composantes!

Notons enfin que la relation que equation peut s'écrire:

equation   (42.23)

et donc d'une façon un peu curieuse:

equation   (42.24)

Si nous avons un système de particules numérotées par l'indice k, chacune a un moment cinétique individuel equation  et le moment cinétique orbital total du système  equation  (ne pas confondre la notation avec le Lagrangien!!!), est défini par (en unités naturelles equation):

equation   (42.25)

Mais equation n'est pas encore vraiment le moment cinétique total du système! Effectivement, une particule peut posséder un moment cinétique intrinsèque, ou "spin". Nous pouvons donner une image simple du spin en disant qu'il traduit une rotation infinitésimale de la particule sur elle-même (attention !!! ce n'est qu'une image car au fait la particule ne tourne pas sur elle-même !). Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel, cela correspond mathématiquement au développement limité de la matrice de rotations au voisinage de la matrice identité.

Nous noterons equation  le moment cinétique de spin de la k-ème particule (en unités naturelles equation ) et la relation:

equation   (42.26)

sera le spin total et enfin:

equation   (42.27)

sera le "moment cinétique total" du système (ne pas confondre la notation J avec le moment cinétique orbital ou la densité de courant!!!) et nous démontrerons lors de notre étude du couplage spin-orbite que ce moment cinétique est une constante du mouvement en présence de ce couplage.

Nous allons supposer (mais c'est relativement facile à démontrer une fois, entre autres, les spineurs connus) que chaque equation et equation obéit aussi aux lois de commutation vues précédemment:

equation (cycl.) et equation  (cycl.)   (42.28)

Ce qui s'écrit sous forme tensorielle en utilisant le symbole de Levi-Civita (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

equation et equation   (42.29)

Nous remarquons que dans la représentation matricielle de Heisenberg il y aussi des composantes de matrices qui satisfont ces deux relations. Par exemple les composantes des matrices hermitiques (dont la transposée conjuguée est égale à elle-même pour rappel....) et de trace nulle suivantes:

equation    (42.30)

Les deux relation antéprécédentes entraînent (aussi) au même titre que pour le moment cinétique orbital:

equation    (42.31)
(cycl.)

avec bien évidemment la relation:

equation

appelée par les mathématiciens "élément de Casimir" ou encore "opérateur de Casimir" (un simple développement parfaitement similaire à celui obtenu plus haut suffit à la démontrer).

Définissons maintenant de façon purement formelle les deux opérateurs non hermitiques dits "opérateurs d'échelle" (les matrices de Pauli satisfont toujours à ces relations!):

equation   (42.32)
equation

où respectivement equation est appelé "opérateur élévateur" et equation "opérateur abaisseur".

Les equation commutent avec equation, puisque celui-ci commute avec equation et  equation . Ce qui nous permet d'écrire le produit:

equation   (42.33)

Par ailleurs:

equation   (42.34)

Donc:

equation   (42.35)

De même:

equation   (42.36)

Enfin, évaluons les produits equation et equation:

equation   (42.37)

De même:

equation   (42.38)

Puisque les deux opérateurs hermitiques equation et  equation commutent ils ont donc des états et valeurs propres communes et, plus précisément, ils ont une base propre complète commune. Lorsque des observables commutent et ont une base propre commune, rappelons que nous avons pour habitude de parler d'un "ECOC" (Ensemble Complet d'Opérateurs qui Commutent).

Pour étudier leurs valeurs propres posons:

equation   (42.39)

Système qui est parfois noté sous la forme suivante dans la littérature spécialisée:

equation   (42.40)

Car elle met en évidence que les états propres associés seront définis au moins en partie par les paramètres K, m.

Pour commencer, nous savons que les valeurs propres K et m ne sont pas indépendantes puisque nous avons:

equation   (42.41)

La moyenne étant notée par les crochets equation, nous avons par linéarité de l'espérance (cf. chapitre de Statistiques):

equation   (42.42)

Ce qui peut s'écrire:

equation   (42.43)

Nous voyons que le membre de gauche de la relation ci-dessus est donc égal par définition à:

equation   (42.44)

Comme l'opérateur du moment cinétique orbital total au carré est de toute façon hermitique (il n'a pas de composante complexe dans equation), nous avons alors par construction des potulats de la physique quantique:

equation   (42.45)

Il vient alors que:

equation   (42.46)

Cette dernière relation implique donc que:

equation   (42.47)

Ce qui nous apporte jusqu'ici les informations suivantes:

equation   (42.48)

À partir de  equation, nous bâtissons l'état equation , nous allons montrer que si cet état n'est pas identiquement nul, il est état propre de equation et de equation . De la relation:

equation   (42.49)

déjà démontrée précédemment, nous posons:

equation   (42.50)

equation commutent avec equation, puisque celui-ci commute avec equation et equation. Ce qui nous donne que la relation précédente est nulle telle que:

equation   (42.51)

De la relation equation nous posons de façon identique:

equation   (42.52)

Toujours avec:

equation   (42.53)

Nous avons finalement le paquet de relations:

equation   (42.54)

Donc equation et equation sont identiquement nuls et equation et equation sont des états propres de l'opérateur   equation pour la valeur propre K, et de equation pour la valeur propre equation.

Puisque le moment cinétique est quantifié, ses valeurs propres doivent donc avoir un minimum et un maximum avec pour chacune la fonction propre associée.

Posons pour la suite que m ' et equation sont la valeur et état propre associé maximal et m'' et equation la valeur et état propre minimal.

Étant données les trois relations démontrées jusqu'ici:

equation    (42.55)

Nous écrivons:

equation

equation
  (42.56)

Ce qui intuitivement n'est pas évident à poser mais qui mathématiquement est tout à fait justifiable.

À partir des deux dernières relations ci-dessus, nous pouvons écrire en soustrayant la première à la deuxième:

equation   (42.57)

soit:

equation   (42.58)

m ' étant le maximum, m'' le minimum d'un même ensemble, nous avons:

equation   (42.59)

Ce qui nous donne après simplification de la deuxième paranthèse:

equation   (42.60)

Notons J la valeur m' (qui correspond donc à la valeur propre maximale de la quantité equation ) puisque equation nous avons:

equation   (42.61)

(où souvent dans la littérature nous retrouvons un j minuscule afin de ne pas avoir de confusion possible avec l'opérateur associé) donc:

equation   (42.62)

Comme la différence à gauche de l'égalité est obligatoirement une nombre entier (en nous inspirant des résultats connus de la physique quantique corpusculaire), cela impose que 2J est un nombre entier positif ou nul mais cela implique aussi directement que J ne peut être qu'un nombre entier, demi-entier ou nul tel que:

equation   (42.63)

Donc, si nous nous fixons un J, puisque par construction equation, il vient logiquement que:

equation   (42.64)

et donc puisque m ne peut être qu'entier, il ne peut prendre que les valeurs:

equation   (42.65)

Enfin, comme:

equation et equation   (42.66)

nous avons alors:

equation et equation   (42.67)

et finalement cela nous donne la valeur propre:

equation   (42.68)

Et puisque nous avons posé que m' est égal à J et que nous avons la relation:

equation 

Il vient alors:

equation   (42.69)

Sous forme plus explicite et moins confuse (attention à ne pas confondre les valeurs propres avec les opérateurs!):

equation   (42.70)

et en définitive, en multipliant à gauche et à droite par equation pour revenir en unités du système international (S.I.), nous avons pour la composante verticale du moment cinétique orbital total, la valeur propre:

equation   (42.71)

Il vient sinon au final:

equation   (42.72)

Comme nous avons vu plus haut que:

equation   (42.73)

(composant par composante de leur vecteur respectif) et si la particule n'a pas de spin (equation) alors nous avons la valeur propre du moment cinétique orbital total qui se réduit à la valeur propre du moment cinétique:

equation   (42.74)

où nous n'indiquons plus les indices des composantes (inutile!)

Si nous n'avons qu'une seule particule alors:

equation   (42.75)

Donc le moment cinétique orbitla s'écrit en se rappelant (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) que l est quantifié:

equation   (42.76)

Si nous avons equation, alors dans ce cas:

equation   (42.77)

Nous retrouvons donc le résultat obtenu au début de notre étude du moment cinétique. 

Grossièrement, si nous posons maintenant equation, nous retrouvons à partir du modèle ondulatoire l'hypothèse de quantification du moment cinétique postulée par Bohr vue dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire. Raison pour laquelle il est d'usage de ne prendre que les valeurs entières de l!

Remarque: Rappelons que réellement equation et donc qu'à la différence du modèle corpusculaire de Bohr le moment cinétique peut être nul dans le modèle ondulatoire...! Une autre manière d'accepter les valeurs prises par n outre le faire de se reporter au modèle de Bohr dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire est de regarder les valeurs que peuvent prendre l dans le modèle quantique de l'atome hydrogénoïde du chapitre de Chimie Quantique sinon quoi les polynômes associés de Legendre ne sont plus définis!

Cette constatation justifie maintenant physiquement l'utilisation du nombre quantique l dans l'utilisation du tableau périodique des éléments tel que nous l'avions vu et défini (sans aucune justification réelle) dans le chapitre précédent.

Enfin, indiquons qu'exactement le même raisonnement amène aux valeurs possibles suivantes du moment cinétique de spin:

equation   (42.78)

où l'expérience nous montre (pour ne citer que les plus connus) que le spin 0 est caractéristique du boson de Higgs ou de certains atomes, le spin 1/2 est une caratérisique de l'électron/positron, le spin 1 est une caractéristique du photon, le spin 2 serait une caractéristique encore théorique du graviton. Au jour où nous écrivons ces lignes, aucune particule de spin 3/2 ou 5/2 n'est connue.

La valeur entière ou demi-entière du spin détermine une propriété cruciale de la particule : si son spin est entier, c'est un boson, si son spin est demi-entier, c'est un fermion.

Le moment cinétique total vaut donc approximativement:

equation   (42.79)

Par analogie (c'est vraiment une analogie douteuse...), nous écrivons pour J suffisament grand...:

equation   (42.80)

Mais comme le spin peut avoir que deux orientations possibles, les valeurs de j seront dans le cas d'une particule de spin 1/2:

equation   (42.81)

D'où une classification possible des électrons atomiques tenant compte de leur spin:

Type d'orbitale

s

p

d

f

l

0

1

2

3

j

equation

equation

equation

equation

notation

equation

equation

equation

equation

Tableau: 42.1- Types d'orbitales et spin

etc... Soit sous forme schématique avec les niveaux d'énergie correspondants:

equation
Figure: 42.1 - Forme schématique des orbitales et spin associés

Ce tableau nous amène à constater que nous avons finalement:

equation   (42.82)

Pour revenir à des considérations plus pratiques... nous avons finalement obtenu pour la norme du moment cinétique total (dans le cas d'une particule seule et sans spin):

equation   (42.83)

l est un entier. Nous savons également de par le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire que le moment magnétique est lui donné par:

equation   (42.84)

et que le nombre quantique secondaire l et le nombre quantique magnétique equation sont d'une certaine manière indissociables.

De la même manière nous obtenons:

equation   (42.85)

où nous s ne peut prendre pour une particule comme l'électron que les valeurs:

equation   (42.86)

qui correspondent simplement aux deux valeurs propres de la matrice:

equation   (42.87)

qui lie l'opérateur de spin aux matrices de Pauli de par l'équation de Dirac comme nous le démontrerons dans le chapitre la chapitre de Physique Quantique Relativiste:

equation   (42.88)

Maintenant, ce que nous savons de nos résultats obtenus dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire c'est que lorsque l vaut 1 nous avons le moment magnétique qui peut prendre trois valeurs différentes suivant qu'un champ magnétique est appliqué ou non:

equation   (42.89)

À ce moment, bien que la norme du moment cinétique total reste constante (car conservative), ses composantes doivent forcément changer. Comme nous ne pouvons connaître qu'une seule des composantes du moment cinétique en connaissant sa norme (opérateurs qui commutent) nous choisissons de nous intéresser par convention pédagogique à equation.

Nous choisissons un référentiel tel qu'une des composantes spatiales soit nulle (c'est toujours possible). Il suffit ensuite par exemple dans le référentiel plan X, Z choisi (donc la composante Y sera nulle) d'avoir la norme de J qui vaut pour equation:

equation   (42.90)

et idem avec S en imposant que la norme vaille pour s = 1/2:

equation   (42.91)

Il y a alors trois possibilités pour arriver au même résultat en appliquant simplement la norme euclidienne si une des composantes est toujours imposée comme nulle! C'est que nous ayons:

equation   (42.92)

Ce que nous pouvons aussi écrire en introduisant le nombre nombre quantique de projection orbital (qui quantifie donc la projection du moment cinétique orbital selon Z et est en multiplicité 2l + 1):

equation   (42.93)

Ce que les physiciens aiment bien représenter de manière très simplifiée par le schéma suivant:

equation
Figure: 42.2 - Représentation schématique simplifiée de la quantification du moment cinétique total

Mais qui en réalité (de par le carré des composantes de la norme) devrait se dessiner sous la forme suivante:

equation
Figure: 42.3 - Représentation schématique complète de la quantification du moment cinétique total

Ce qui nous permet de constater au passage par symétrie que:

equation   (42.94)

Remarquons qu'avec de la trigonométrie élémentaire, nous avons:

equation   (42.95)

Et donc les angles prennent les valeurs suivantes:

equation   (42.96)

Enfin, indiquons que nous avons alors dans ce cas particulier où equation, le système "abtrait" que nous avions utilisé plus haut:

equation   (42.97)

devient alors dans le cas de notre exemple particulier:

equation   (42.98)

Ce qui est souvent noté de façon condensée sous la forme suivante:

equation   (42.99)

De la même façon avec le spin 1/2 nous avons en introduisant le nombre quantique de spin (qui quantifie donc la projection du moment cinétique de spin selon Z et peut prendre autant de valeurs qu'il y a entre -s et +s mais par pas de 1 comme l'impose les résultats expérimentaux, raison pour lesquels il n'y pas de composante nulle en Z ci-dessous):

equation   (42.100)

Le lecteur pourra aisément vérifier que le nombre quantique de projection de spin est aussi de multiplicité 2+ 1.

Ce que les physiciens aiment aussi bien représenter de manière très simplifiée par le schéma suivant:

equation
Figure: 42.4 - Représentation schématique de la quantification du spin

avec pour angle:

equation   (42.101)

De même qu'avant, nous avons dans ce cas particulier où equation:

equation   (42.102)

Ce qui peut être noté de façon condensée sous la forme suivante:

equation   (42.103)

Nous avons donc les seuls éléments variables mesurables expérimentalement qui sont:

equation  et   equation   (42.104)

qui sont donc des observables discrètes (bivaluées en ce qui concerne le spin).

Avec une vue d'artiste du concept pour le plaisir des yeux:

equation
Figure: 42.5 - Représentation schématique de diverses quantifications du moment cinétique
par le physicien et sculpteur Julian Voss-Andreae

Donc en appliquant un champ magnétique, l'hamiltonien de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) effectuera des sauts équivalents à la relation:

equation   (42.105)

Ce résultat signifie que les niveaux d'énergie pour une énergie donnée (couche n) sont séparés en plusieurs niveaux distants de equation quand l'atome est placé dans un champ magnétique. Ce résultat est l'effet Zeeman dont nous avons parlé plusieurs fois.

Tout cela permet de mieux comprendre l'origine mathématique des 4 nombres quantiques (nombre quantique principal, nombre quantique secondaire ou azimutal, nombre quantique magnétique, spin):

equation   (42.106)

notés aussi (puisque dans le cas particulier des particules étudiées sur ce site le nombre quantique magnétique de projection de spin à la même valeur que le spin puisque nous traitons majoritairement de l'électron):

equation   (42.107)

Avec pour résumer un peu tout cela...:

equation   (42.108)

COUPLAGE SPIN-ORBITE

Nous avions fait remarquer dans le chapitre de physique quantique corpusculaire que quand nous analysons à haute résolution les raies spectrales de l'hydrogène en l'absence d'un quelconque champ extérieur, nous voyons qu'elles sont en fait constituées de doublets très serrés, séparés de equation. Ce phénomène étant dû à un soi-disant couplage spin-orbite. Il est temps maintenant de voir d'où cela vient. Rappelons que nous avons obtenu précédemment:

equation   (42.109)

Dès lors, la norme (ce qui est mesuré) nous amène à écrire:

equation   (42.110)

ce qui nous donne après regroupement:

equation   (42.111)

Le terme equation est appelé "couplage spin-orbite". C'est lui qui lors des mesures très précises fait apparaître un dédoublement des raies dû au couplage entre le spin de l'électron et le moment cinétique orbital (ce n'est pas equation car ce terme est toujours positif).

Remarque: Lorsque nous avons deux corps en interaction le moment cinétique total est une constante du mouvement. Il peut donc y avoir un transfert de moment cinétique entre ces deux corps (c'est le couplage spin-orbite). L'un perd du moment l'autre en gagne. À noter qu'un corps étendu possède un moment cinétique de rotation autour d'un point et un moment cinétique de rotation sur lui-même. C'est ce dernier que nous appelons par une analogie abusive: le spin.

L'écart mesuré est donc attribué à l'interaction du spin de l'électron avec son moment orbital. L'électron tourne autour du noyau, mais si nous nous plaçons sur l'électron, nous voyons le noyau tourner (sur la Terre le soleil tourne autour de la Terre!). Tout se passe comme si le noyau créait un champ magnétique au niveau de l'électron, et ce champ interagit avec le moment magnétique de l'électron, le spin, et ceci différemment selon que le spin est dans le sens du champ ou opposé, c'est cette différence qui ajoute ou retranche un peu d'énergie au niveau.

Voici un schéma qui résume le tout:

equation
Figure: 42.6 - Représentation imagée de l'interaction spin-orbite

Montrons en effet que equation tel que défini, est une constante du mouvement. Nous avons (inutile de préciser qu'en mettant au carré, il s'agit des composantes du vecteur que nous mettons au carré et non le vecteur lui-même!):

equation   (42.112)

d'où:

equation   (42.113)

Faisons le développement pour une composante:

equation   (42.114)

Or, par définition (de notation) equation donc:

equation   (42.115)

Or, nous savons que equation (car un opérateur commute toujours avec lui-même) et en ce qui concerne equation, nous en avons fait mention dans le chapitre de Calcul Spinoriel et nous le démontrerons dans le cadre de l'étude de l'équation de Dirac libre classique (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste), que le spin est totalement décrit par les matrices de Pauli qui sont des opérateurs linéaires. Écrivons alors à un facteur constant près:

equation   (42.116)

et nous verrons que cela est bien conforme à l'équation de Pauli que nous verrons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste (et inversement)!!!

Donc en faisant abstraction de la constante multiplicative:

equation   (42.117)

ce qui était de toute façon 100% prévisible puisque de toute façon, encore une fois, un même opérateur commute toujours avec lui-même.

Donc finalement:

equation   (42.118)

Dès lors:

equation   (42.119)

d'où finalement:

equation   (42.120)

equation est bien le moment cinétique total qui, même en présence d'interaction spin-orbite, est une constante du mouvement (une obligation pour un système isolé).

Remarque: Une autre manière de lire la chose consiste à dire que la mesure sur un des éléments du commutateur précédent adapte l'autre immédiatement pour que leur commutation soit nulle donc par extension le moment cinétique total est une constante du mouvement.

Revenons maintenant sur la relation démontrée plus haut:

equation   (42.121)

Nous avons certes obtenues les valeurs propres, mais il serait judicieux de déterminer l'expression des opérateurs de Spin. Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel que:

equation   (42.122)

et nous avons démontré que pour la valeur propre +1 les vecteurs propres associés étaient:

equation   (42.123)

Nous avons alors:

equation   (42.124)

En multipliant à gauche et droite par un terme familier:

equation   (42.125)

Et par analogie du fait que les matrice de Pauli sont des matrices de rotations particulières, nous posons:

equation   (42.126)

Et évidemment nous en déduisons:

equation   (42.127)

DIMENSIONS DE PLANCK

Il convient d'ouvrir une petite parenthèse pour finir sur la constante de Planck (car beaucoup d'ouvrages font mention de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur). Nous venons de voir que la mesure des objets dépend du principe d'indétermination de Heisenberg. Cette précision joue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules ou la densité d'énergie de l'Univers. Voyons que cela à, par extension... d'autres éventuelles implications.

Nous avons démontré précédemment au début de ce chapitre qu'une des relations d'incertitudes est donnée, en prenant le module, par (de l'ordre de la constante de Planck donc à un facteur près):

equation   (42.128)

Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une fluctuation equation de l'espace (à ne pas confondre avec la notation de la longueur d'onde), nous pouvons associer la quantité de mouvement:

equation   (42.129)

À celle-ci correspond, d'après nos résultats du chapitre de Relativité Restreinte, la relation de l'énergieequation, ou la masse équivalente (en divisant par equation) p/c. En désignant par M cette masse associée à la perturbation equation, nous avons donc:

equation   (42.130)

La gravitation due à cette masse est caractérisée par une longueur R que nous déterminerons en ordre de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle qui lui est associée (cela suppose que la gravitation classique et quantique sont régies par les mêmes lois...), equation(cf. chapitre de Mécanique Classique), est égale à la masse-énergie equation. Cela donne:

equation   (42.131)

ou, en remplaçant M par son expression précédente:

equation   (42.132)

Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence) du phénomène de fluctuation quantique du vide, nous devons avoir de préférence equation. En écrivant l'égalité entre ces deux grandeurs, nous aboutissons donc à une quantité qui représente la dimension minimale (en ordre de grandeur) que puisse concevoir la physique. C'est la fameuse "longueur de Planck":

equation   (42.133)

pour laquelle il correspond la période ou "temps de Planck" equationd'où:

equation   (42.134)

Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression plus intéressante de la masse fluctuante. Puisque:

equation et equation   (42.135)

nous avons dès lors la "masse de Planck":

equation   (42.136)

L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près et selon le théorème du Viriel (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

equation   (42.137)

et donc:

equation   (42.138)

d'où la "température de Planck":

equation   (42.139)

et encore "l'énergie de Planck":

equation   (42.140)

Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de Planck":

equation   (42.141)

Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs de Planck encore, mais qui ne veulent plus dire grand-chose à force (et nous pourrions continuer ainsi longtemps avec énormément d'autres grandeurs):

La "force de Planck":

equation   (42.142)

La "puissance de Planck":

equation   (42.143)

La "pulsation de Planck":

equation   (42.144)

En procédant avec le même raisonnement initial fait avec la masse, mais en utilisant l'énergie potentielle électrostatique au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons obtenir la "charge de Planck":

equation   (42.145)

Dès lors nous pouvons calculer un "courant de Planck":

equation   (42.146)

ainsi que la "tension de Planck":

equation   (42.147)

et "l'impédance de Planck" (...):

equation   (42.148)

Remarque: Certains physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultats ci-dessus pour des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont qu'interprétation. Il convient donc de prendre avec des pincettes toutes les informations relatives aux dimensions de Planck que vous pourriez trouver (même si celles-ci paraissent fort sympathiques). L'exemple le plus connu est donné par la longueur d'onde de Compton equation (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui dépend de la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde est égale au rayon de Schwarzschild classique pour la même masse-énergie (cf. chapitre d'Astrophysique), alors dans ce cas sa valeur est celle de la longueur de Planck et sa masse est égale à la masse de Planck. Il est alors tentant de dire que la particule forme alors un trou noir. Mais il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien ne nous dit que l'expression du rayon de Schwarzschild s'applique à la physique quantique...

INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE

En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de l'onde d'une particule et le principe d'incertitude d'Heisenberg constituent les éléments de l'interprétation "standard " non déterministe de la physique quantique comme nous en avons déjà fait mention au début de ce chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation de Copenhague", car Niels Bohr qui y contribua largement y dirigeait un institut de physique renommé à cette époque. Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger, qui acceptaient la formulation mathématique de la physique quantique, n'étaient pas à l'aise avec l'interprétation de Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours, la question de l'interprétation correcte de la formulation mathématique reste un problème.

En effet, nous pouvons nous poser la question suivante: Où se trouve la réalité? Y a-t-il une réalité? Niels Bohr répond non: il n'y a rien au niveau quantique, la réalité n'existe ou n'apparaît que lors d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens (interprétation de Copenhague), implique que la mesure "crée" la position de l'électron (voir le sous-chapitre traitant du principe de superposition linéaire des états). Autrement dit: Aucun phénomène élémentaire n'est un phénomène réel avant d'être un phénomène observé.

Einstein pensait que la physique quantique, bien que très efficace et très impressionnante, n'est pas complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique. Pour lui, il y aurait autre chose, au-delà, qui clarifierait et affinerait notre présente vision (au même titre que la théorie des gaz pour laquelle il avait fallu attendre les modèles statistiques, Einstein pensait qu'il restait à découvrir des variables cachées)

Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique le principe d'incertitude signifie qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique n'existe plus de manière déterministe, mais plutôt comme une série de probabilités ou de potentiels. Par exemple, le motif produit par des millions de photons passant à travers une fente de diffraction peut être calculé à l'aide de la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute lorsqu'il disait: "je ne peux pas croire que Dieu joue aux dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant que philosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation du déterminisme universel défendu par Laplace au début du 19ème siècle.

Une réduction instantanée de tous les états possible se produit dès l'observation du système selon l'interprétation de Copenhague. Cette décision aléatoire de l'état observé respecte les probabilités, correspondant au carré des amplitudes des états. De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule que, lors d'une mesure, un processus de réduction, originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions d'états quantiques.

L'interprétation de l'école de Copenhague conduit donc au problème de la mesure, l'expérience de pensée du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une quantité, telle que la position ou l'impulsion, nous intervenons dans le processus de mesure en provoquant un changement radical de l'état quantique, de la fonction d'onde. Nous modifions les quantités mesurées de façon imprévisible et cet état ne peut être décrit par l'équation déterminée de Schrödinger. Les physiciens et les philosophes ont réagi de plusieurs manières à cette interprétation:

- Soit nous considérons comme Bohr et Heisenberg que ce principe fait loi et qu'il est préférable de ne pas rechercher l'interprétation ultime. C'est une attitude qui est admise par la plupart des physiciens.

- Soit nous considérons que la physique quantique est une théorie incomplète et certains, tel Einstein, Eugène Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher d'autres solutions, stériles jusqu'à présent.

- Enfin, Hugh Everett et bien d'autres prennent l'équation de Schrödinger très au sérieux, la considérant comme une représentation de la réalité. Ils considèrent que l'interprétation de l'école de Copenhague représente réellement l'évolution de la fonction d'onde. Les différents termes de l'équation correspondraient aux différents niveaux d'énergie dans lesquels se trouve le système. La réduction du paquet d'ondes s'interpréterait comme une division totale de l'objet et de l'instrument de mesure dans des univers parallèles.

Aujourd'hui le débat reste ouvert, mais plusieurs expériences réalisées depuis les années 1930 nous permettent, pas à pas, de dissiper l'épais brouillard qui recouvre le fond de la réalité et de répondre à quelques questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins que l'époque des certitudes est bien révolue. L'expérience la plus fameuse restant le paradoxe EPR suite à la publication d'un article de Einstein, Podolsky et Rosen ayant pour seul objectif de mettre à mal l'interprétation de Copenhague.

L'article d'origine étant un peu difficile, nous allons prendre la version scolaire d'usage simplifiée mais qui est celle utilisée dans les laboratoires, proposée à l'origine par David Bohm. Alors qu'à l'origine le paradoxe était présenté avec le couple {position, quantité de mouvement}, Bohm proposa d'utiliser le spin qui est une propriété à priori purement quantique.

Un électron, ne pouvant alors avoir que deux états de spin "en haut" ou "en bas", l'expérience EPR proposée par Bohm consiste alors à prendre une particule de spin nul qui se désintègre, produisant ainsi deux électrons A et B. Puisque leur spin combiné doit demeurer égal à zéro, l'un des éléctrons doit avoir son spin en haut et l'autre en bas. Les électrons foncent dans des directions opposées jusqu'à ce que la distance les séparant soit assez grande pour éliminer tout interaction physique entre eux, et on mesure le spin de chaque électron exactement au même instant à l'aide d'un détecteur de spin.

Selon Bohr, tant qu'aucune mesure n'a été effectuée, ni l'électron A, ni l'électron B ne possèdent un spin pré-existant dans aucune direction. Au lieu de quoi, avant d'être observés, les électrons existent dans une superposition d'états, si bien qu'ils sont en haut et en bas en même temps. Puisque les deux électrons sont intriqués, l'information concernant l'état de leur spin est donnée par une fonction d'onde du type:

equation

L'électron A n'a pas de composante x de spin avant qu'une mesure effectuée pour la déterminer fasse s'effondrer la fonction d'onde du système A et B, après quoi elle est soit "en haut", soit "en bas". À cet instant précis, son partenaire B acquiert le spin opposé dans la même direction, même s'il est à l'autre bout de l'Univers. L'interprétation de Copenhague est alors dite "interprétation non-locale" alors qu'Einstein croyait au réalisme local: c'est-à-dire qu'une particule ne peut être instantanément influencée par un événement lointain et que ses propriétés existent indépendamment de toute mesure.

L'approche de Bohm a cependant une faille qu'Einstein aurait probablement utilisé comme argument: les corrélations s'expliqueraient en avançant que les deux électrons possèdent chacun des valeurs de spin définies sur chacun des trois axes x, y, z. qu'elles soient mesurées ou non. Donc à nouveau, selon Einstein, le fait que les états de spin pré-existants du couple d'électrons ne puissent être pris en compte par la physique quantique ondulatoire aurait encore été une preuve de son incomplétude.

Un physicien John Bell eut cependant l'idée d'un moyen expérimental et théorique pour sortir de l'impasse du paradoxe EPR en changeant l'orientation relative des deux détecteurs de spin.

Ainsi, si les détecteurs mesurant le spin des électrons A et B sont alignés de façon à être parallèles, alors il y a une corrélation de 100% entre les deux ensembles de mesures chaque fois que le spin en haut est mesuré par un détecteur, le spin en bas est enregistré par l'autre détecteur, et vice versa. Si l'on fait tourner légèrement un des détecteurs, ils ne sont plus alignés. À présent, si on mesure l'état de spin de nombreux couples d'électrons intriqués, lorsqu'on trouve "en haut" pour l'électron A, la mesure correspondante pour B donnera parfois "en haut" elle aussi. Augmenter l'angle entre les axes des deux détecteurs conduit donc à une réduction du degré de corrélation. Si les détecteurs sont à angle droit l'un de l'autre et que l'expérience est à nouveau répétée de nombreuses fois, ce n'est que dans la moitié des cas qu'on détectera un spin en bas chez B lorsqu'on détecte un spin en haut chez A sur l'axe x. Si les détecteurs sont orientés à 180 degrés l'un de l'autre, le couple d'électrons sera totalement anticorrélé. Si la mesure donne "en haut" pour l'état de spin de A, alors le spin de B sera "en bas".

Bien qu'il s'agisse d'une expérience imaginaire, il est possible de calculer le degré exact de corrélation du spin pour une orientation donnée des détecteurs, tel qu'il est prédit par la théorie quantique. Il n'est cependant pas possible d'effectuer un calcul similaire en se servant d'une théorie à variables cachées archétypique et qui conserve la localité. La seule chose que pareille théorie pourrait prédire serait un couplage imparfait entre les états de spin de A et de B. Cependant, en toute rigueur, c'est insuffisant pour choisir entre la théorique quantique et une théorie locale à variables cachées. Bell fit alors une découverte étonnante. Il était possible de décider entre les prédictions de la mécanique quantique et celles de toute théorie à variables cachées en mesurant les corrélations de couples d'électrons pour une configuration donnée des détecteurs et en répétant ensuite l'expérience avec une orientation différente. Ce qui permit à Bell de calculer la corrélation totale pour les deux configurations d'orientation en termes de résultats individuels prédits par toute théorie locale à variables cachées. Puisque, dans toute théorie de cette sorte, le résultat d'une mesure effectuée par un détecteur ne peut être affecté par ce qui est mesuré avec l'autre, il est possible de distinguer entre les variables cachées et la mécanique quantique.

Bell réussit à calculer les limites du degré de corrélation de spin entre couples d'électrons intriqués dans une expérience EPR modifiée par Bohm. Il trouva qu'au royaume éthéré des quanta il y a un plus grand degré de corrélation si la mécanique quantique règne en maîtresse absolue que dans tout univers qui dépend de variables cachées et de la localité. Le théorème de Bell disait qu'aucune théorie locale à variables cachées ne pouvait reproduire le même ensemble de corrélations que la mécanique quantique. Toute théorie locale à variables cachées conduirait à des corrélations de spin générant des nombres, appelés coefficients de corrélation, entre -2 et +2. Or, pour certaines orientations des détecteurs de spin, la mécanique quantique prédit des coefficients de corrélation qui se trouvent à l'extérieur de la plage, appelée "inégalités de Bell", allant de -2 à +2.

Le théorème de Bell permet donc de tester en face de l'interprétation de Copenhague soutenue par Bohr la réalité locale préconisée par Einstein, à savoir que l'univers quantique existe indépendamment de l'observation et que les effets physiques ne peuvent se transmettre à une vitesse supérieure à celle de la lumière. Bell avait transporté le débat Einstein-Bohr dans une arène nouvelle, la philosophie expérimentale. Si l'inégalité de Bell résistait, alors l'affirmation d'Einstein que la mécanique quantique était incomplète serait exacte. Si toutefois cette inégalité venait à être violée, ce serait Bohr qui triompherait. Plus d'expériences de pensée! Ce serait maintenant Einstein contre Bohr au laboratoire.

La première expérience qui testa les inégalités de Bell utilisa des couples de photons au lieu de couples d'électrons. Ce changement était possible parce que les photons possèdent le propriété de polarisation, qui, pour les besoins du test, jouait le rôle du spin quantique (de plus les photons sont plus simples à manipuler). C'est certes une simplification, mais on peut considérer un photon comme étant polarisé "en haut" ou "en bas". À l'instar du spin de l'électron, si la polarisation d'un des photons sur l'axe x est mesurée comme étant "en haut", alors la mesure de l'autre donnera "en bas", puisque les polarisations combinées des deux photons doivent aboutir à zéro.

Les résultats violèrent les inégalités de Bell ce qui était en faveur de l'interprétation de Copenhague non locale soutenue par Bohr et contre la réalité locale soutenue par Einstein.

Bell dérivait cette inégalité de deux suppositions. Primo, il existe une réalité indépendante de l'observateur. Ce qui se traduit par le fait qu'une particule possède une propriété bien définie comme le spin avant d'être mesurée. Secundo, la localité est conservée. Il n'y a pas d'influence supraluminique, si bien que ce qui se produit ici ne peut affecter instantanément ce qui se produit ailleurs. Les résultats expérimentaux signifient qu'il faut abandonner l'une de ces deux suppositions, mais laquelle? Bell était disposé à abandonner la localité.

En Savoir Plus

- Cours de mécanique quantique, Y. Ayant + E. Belorizky, Éditions Dunod, ISBN10: 2100047426 (339 pages) - Imprimé en 2000

- Quantum Mechanics, F. Mandl, Éditions John Wiley & Sons, ISBN10: 0471931551 (301 pages) - Imprimé en 1992

- Quantum Mechanics: Classical Results, Modern Systems, and Visualized Examples (2ème Édition), Éditions Oxford University Press, Richard W. Robinett, ISBN10: 0198530978 (722 pages) - Imprimé en 2006


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